江苏省高邮市2020届高三12月阶段性学情联合调研数学试题 Word版含答案

2019-2020学年江苏省扬州市高三（上）12月调研数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x>1}，则A∪B＝________．【答案】(0, +∞)【考点】并集及其运算【解析】进行并集的运算即可．【解答】∵A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x>1}；∴A∪B＝(0, +∞)．2. 已知i为虚数单位，若复数(1+ai)(1+i)纯虚数，则实数a＝________．【答案】1【考点】虚数单位i及其性质复数的运算复数的基本概念【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】∵(1+ai)(1+i)＝(1−a)+(1+a)i是纯虚数，∴{1−a=0，得a＝1．1+a≠03. 已知p:x≥a，q：(x−1)(x−2)≥0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．【答案】[2, +∞)【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由p:x≥a，q:x≤1或x≥2，p是q的充分不必要条件，能求出实数a的取值范围．【解答】∵p:x≥a，q：(x−1)(x−2)≥0，即q:x≤1或x≥2，p是q的充分不必要条件，∴a≥2．∴实数a的取值范围是[2, +∞)．4. 运行如图所示的伪代码，其结果为________．【答案】5050【考点】伪代码（算法语句）【解析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S＝1+2+3+...+100的值．【解答】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S＝1+2+3+...+100的值，所以S＝1+2+3+...+100＝5050．5. 圆柱形容器内部盛有高度为4cm的水，若放入1个铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）沉到水底后，水恰好将球淹没，则球的半径是6cm．【答案】6【考点】球的体积和表面积【解析】直接利用体积相关的等量关系式的应用求出球的半径．【解答】设球的底面半径为R，放入1个铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）沉到水底后，水恰好将球淹没，所以π⋅R2⋅4+43⋅πR3=π⋅R2⋅2R，解得R＝6．6. 角α的终边经过点P(−3, 4)，则cos(π2−α)=________．【答案】4【考点】任意角的三角函数【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得要求式子的值．【解答】∵角α的终边经过点P(−3, 4)，则cos(π2−α)=sinα=√9+16=45，7. 设直线l:3x+4y+a＝0，与圆C：(x−2)2+(y−1)2＝25交于A，B，且|AB|＝6，则a的值是________．【答案】10或−30【考点】直线和圆的方程的应用【解析】首先利用垂径定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式求出a即可．【解答】根据题意，圆C：(x−2)2+(y−1)2＝25，其圆心C(2, 1)，半径为r＝5，又由|AB|＝6，则d=√r2−(|AB|2)2=√25−9=4，即圆心到直线的距离为4；则有d=√9+16=4，解可得a＝10或−30；8. 平均数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为________ 【答案】1【考点】等差数列的性质【解析】利用等差数列的性质即可得出．【解答】设该数列的首项为x，由题意可得：1010=2019+x2，解得x＝1．9. 我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的曲线分别是x2 a2+y2b2=1(a>b>0)与x2+y2＝a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为________．【答案】abπ【考点】类比推理【解析】根据拨给原理的条件，先用平行于y轴的直线截椭圆x 2a2+y2b2=1与圆x2+y2＝a2，可得出所截得线段的比都为ba，再根据所给的原理可知，椭圆x 2a2+y2b2=1的面积是圆x2+y2＝a2的面积的ba倍．从而结合圆x2+y2＝a2的面积公式即可得出椭圆x2a2+y2b2=1的面积．【解答】图③中的曲线分别是x 2a2+y2b2=1(a>b>0)与x2+y2＝a2，如果用平行于y轴的直线截椭圆x 2a2+y2b2=1与圆x2+y2＝a2，所截得线段的比都为ba，根据所给的原理可知，椭圆x 2a +y2b=1的面积是圆x2+y2＝a2的面积的ba倍．又圆x2+y2＝a2的面积为a2π，∴椭圆x2a2+y2b2=1的面积是a2π×ba=abπ．10. 若曲线f(x)＝(ax−1)e x在点A（0, f(0)）处的切线与y轴垂直，则a＝________．【答案】1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再由题意可得f′(0)＝0，则答案可求．【解答】由f(x)＝(ax−1)e x，得f′(x)＝ae x+(ax−1)e x，∴f′(0)＝a−1，由题意可得：a−1＝0，则a＝1．11. 已知函数f(x)＝sin x+12x2+ln x，f(1−a)<f(2a)，则实数a的取值范围________．【答案】(1,1)【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】先对f(x)求导，判断f(x)的单调性，然后由f(1−a)<f(2a)，得到关于a的不等式，进一步得到a的范围．【解答】由f(x)＝sin x+12x2+ln x，得f′(x)=cos x+x+1x(x>0)，∵当x>0时，x+1x>√2，cos x∈[−1, 1]，∴当x>0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0, +∞)上单调递增，∴由f(1−a)<f(2a)，得{1−a >02a >01−a <2a ，∴ 13<a <1，∴ a 的取值范围为(13,1)．12. 在△ABC 中，AB ＝2BC ，DB →=AD →,CE →=12EA →，则BE →与CD →的夹角为________． 【答案】 π2【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】可设AB ＝2BC ＝2，根据DB →=AD →,CE →=12EA →及向量加法、减法和数乘的几何意义即可得出CD →=12BA →−BC →,BE →=23BC →+13BA →，然后进行数量积的运算即可求出BE →⋅CD →=0，从而可得出BE →,CD →的夹角． 【解答】如图，设AB ＝2BC ＝2， ∵ DB →=DA →,CE →=12EA →，∴ CD →=BD →−BC →=12BA →−BC →，BE →=BC →+CE →=BC →+13CA →=BC →+13(BA →−BC →)=23BC →+13BA →， ∴ BE →⋅CD →=(23BC →+13BA →)⋅(12BA →−BC →)=−23BC →2+16BA →2=−23×1+16×4=0，∴ BE →⊥CD →， ∴ <BE →,CD →>=π2．13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2−8x +15＝0，若直线y ＝kx −2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________43 ．【答案】4 【考点】圆与圆的位置关系及其判定 直线与圆的位置关系 【解析】由于圆C 的方程为(x −4)2+y 2＝1，由题意可知，只需(x −4)2+y 2＝1与直线y ＝kx −2有公共点即可． 【解答】∵ 圆C 的方程为x 2+y 2−8x +15＝0，整理得：(x −4)2+y 2＝1，即圆C 是以(4, 0)为圆心，1为半径的圆；又直线y ＝kx −2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点， ∴ 只需圆C′：(x −4)2+y 2＝4与直线y ＝kx −2有公共点即可． 设圆心C(4, 0)到直线y ＝kx −2的距离为d ， 则d =2≤2，即3k 2−4k ≤0，∴ 0≤k ≤43． ∴ k 的最大值是43．14. 若对任意的x ≥0，都有e x ≥ax 2+x +1恒成立，则a 的取值范围为________(−∞,12] ． 【答案】(−∞,12]【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】设g(x)＝e x −ax 2−x −1(x ≥0)，分a ≤12及a >12讨论即可． 【解答】设g(x)＝e x −ax 2−x −1(x ≥0)，则g′(x)＝e x −2ax −1，g ′′(x)＝e x −2a ， 当a ≤12时，g ′′(x)≥0在[0, +∞)上恒成立，即函数g′(x)在[0, +∞)上单调递增， 故g′(x)≥g′(0)＝0，∴ 函数g(x)在[0, +∞)上单调递增，故g(x)≥g(0)＝0，即e x ≥ax 2+x +1恒成立，满足题意；当a >12时，令g ′′(x)＝0，解得x ＝ln (2a)，易知当x ∈[0, ln 2a)时，函数g ′′(x)<0，g′(x)单调递减；当x ∈(ln (2a)，+∞)时，函数g ′′(x)>0，g′(x)单调递增，又g′(0)＝0，故当x ∈[0, ln 2a)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，则g(x)≤g(0)＝0，这与题设矛盾．综上，实数a 的取值范围为(−∞,12]．二、解答题：本大题共10小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知向量a →=(sin θ, −2)与b →=(1, cos θ)互相垂直，其中θ∈(0, π2)． （1）求sin θ和cos θ的值；（2）若5cos (θ−φ)＝3√5cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值．【答案】 ∵ a →⊥b →，∴ a →⋅b →=sin θ−2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ 又∵ sin 2θ+cos 2θ＝1，∴ 4cos 2θ+cos 2θ＝1，即cos 2=15，∴ sin 2θ=45⋯又 θ∈(0,π2)∴ sin θ=2√55，cos θ=√55⋯ ∵ 5cos (θ−φ)＝5(cos θcos φ+sin θsin φ)=√5cos φ+2√5sin φ=3√5cos φ⋯∴ cos φ＝sin φ，∴ cos 2φ＝sin 2φ＝1−cos 2φ， 即cos 2φ=12⋯ 又 0<φ<π2，∴ cos φ=√22⋯ 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 同角三角函数间的基本关系 【解析】（1）由a →⊥b →得到sin θ＝2cos θ，再结合sin 2θ+cos 2θ＝1求出sin θ和cos θ的值； （2）5cos (θ−ϕ)=3√5cos ϕ，对等式左边用余弦的差角公式展开，得到cos φ＝sin φ再有sin 2φ+cos 2φ＝1，及0<φ<π2求得cos φ的值【解答】 ∵ a →⊥b →，∴ a →⋅b →=sin θ−2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ 又∵ sin 2θ+cos 2θ＝1，∴ 4cos 2θ+cos 2θ＝1，即cos 2=15， ∴ sin 2θ=45⋯ 又 θ∈(0,π2)∴ sin θ=2√55，cos θ=√55⋯ ∵ 5cos (θ−φ)＝5(cos θcos φ+sin θsin φ)=√5cos φ+2√5sin φ=3√5cos φ⋯∴ cos φ＝sin φ，∴cos2φ＝sin2φ＝1−cos2φ，⋯即cos2φ=12，又0<φ<π2∴cosφ=√2⋯2如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1 // 平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【答案】∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE // AB，AB // A1B1，∴DE // A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1 // 平面DEC1．∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．【考点】棱柱的结构特征直线与平面平行【解析】（1）推导出DE // AB，AB // A1B1，从而DE // A1B1，由此能证明A1B1 // 平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【解答】∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE // AB，AB // A1B1，∴DE // A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1 // 平面DEC1．∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．某公园为监控“旋转木马”游乐项目，要求在木马一边的护栏上安装监控摄像头，使整个木马始终在摄像头的监控范围内．如图为木马和护栏的水平示意图，分别记作圆C和直线l，入口为A，AC与l垂直，A，B，C高度一致．已知木马轮盘的半径为5米，AC的距离为6米，B处的摄像头摄像视角的一边固定为直线l．（注：摄像视角指镜头中心点观察物体边缘的光线的夹角）．（1）若AB的长为8米，求最小摄像视角的正切值；（2）若摄像视角最大为60∘，求B距离A至少有多远？【答案】..…当AB的长为8米时，最小摄像视角的正切值为48+25√339B距离A至少16√3米..…3【考点】解三角形【解析】（1）利用圆的性质作出圆的切线，解直角三角形即可；（2）建立直角坐标系，利用点到直线距离公式求解．【解答】过B作圆C的切线BE，切点为E，连接CE，BC，则CE⊥BE，在Rt△ABC中，由AC＝6，AB＝8，，．…得BC＝10，tan∠CBA=34在Rt△BCE中，由BC＝10，CE＝5，得BE＝5√3，tan∠CBE=√3，．…3∴ tan ∠ABE ＝tan (∠ABC +∠CBE)=34+√331−34⋅√33=48+25√339，．… 答：当AB 的长为8米时，最小摄像视角的正切值为48+25√339..… 以B 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设BA ＝a ，则C(a, 6)， 当∠ABE 的最大值为60∘时，若直线BE 与圆C 相切，则BA 的值最小，．… ∴ 直线BE 的方程为y =√3x ， ∴ CE =|√3a−6|2=5，．…得a =16√33（负值舍去）..…答：B 距离A 至少16√33米..…设椭圆E:x 2a+y 2b =1(a >b >0)过M(√6, 1)，N(2, √2)两点，O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E 上有两点A ，B 且OA →⊥OB →，证明1OA 2+1OB 2是定值，并求出|AB|的最小值． 【答案】因为椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 过M(√6, 1)，N(2，√2 两点， 所以{6a 2+1b 2=14a2+2b 2=1解得：a 2＝8，b 2＝4 椭圆E 的方程为x 28+y 24=1．因为OA →⊥OB →，若OA ，OB ，斜率不存在或为0，则1OA +1OB =18+14=38， 若OA ，OB 斜率存在且不为0，设OA 斜率为k ， 设直线OA 的方程为y ＝kx ，联立与椭圆的方程整理得：（(1+2k 2)x 2＝8，∴ x 2=81+2k 2，y 2=8k 21+2k 2， ∴ 1OA 2=1x 2+y 2=1+2k 28+8k 2；所以由题意知直线OB 的方程：y =−1k x ，同理得：1OB 2=k 2+28+8k 2， 所以1OA2+1OB2=3+3k 28+8k 2=38，综上，总有1OA 2+1OB 2=38成立．因为AB 2=OA 2+OB 2=83(OA 2+OB 2)(1OA 2+1OB 2)， 所以AB 2=83(2+OB 2OA2+OA 2OB2)≥83(2+2√OB 2OA2⋅OA 2OB 2)=323，当且仅当OA ＝OB 即k ＝±1时取等号． 所以AB min =4√63． 【考点】椭圆的离心率 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）由椭圆过两点求出a ，b 的值进而求出椭圆的方程；（2）分OA ，OB 的斜率存在和不存在两种情况讨论，再由OA →⊥OB →，与椭圆联立求出OA ，OB 的长，进而证明1OA2+1OB 2是定值，|AB|2＝OA 2+OB 2，由均值不等式求出它的最小值． 【解答】因为椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 过M(√6, 1)，N(2，√2 两点， 所以{6a 2+1b 2=14a+2b =1解得：a 2＝8，b 2＝4 椭圆E 的方程为x 28+y 24=1．因为OA →⊥OB →，若OA ，OB ，斜率不存在或为0，则1OA 2+1OB 2=18+14=38， 若OA ，OB 斜率存在且不为0，设OA 斜率为k ， 设直线OA 的方程为y ＝kx ，联立与椭圆的方程整理得：（(1+2k 2)x 2＝8，∴ x 2=81+2k 2，y 2=8k 21+2k 2， ∴ 1OA 2=1x 2+y 2=1+2k 28+8k 2；所以由题意知直线OB 的方程：y =−1k x ， 同理得：1OB 2=k 2+28+8k 2，所以1OA 2+1OB 2=3+3k 28+8k 2=38， 综上，总有1OA 2+1OB 2=38成立． 因为AB 2=OA 2+OB 2=83(OA 2+OB 2)(1OA 2+1OB 2)，所以AB 2=83(2+OB 2OA +OA 2OB )≥83(2+2√OB 2OA ⋅OA 2OB )=323，当且仅当OA ＝OB 即k ＝±1时取等号． 所以AB min =4√63．已知数列{a n }的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n 都有(a 1+a 2+...+a n )2＝a 13+a 23+...a n 3．（1）若数列{a n }共三项，且为等比数列，求数列{a n }的公比．（2）是否存在满足条件的无穷数列{a n }，使得a 2020＝−2019？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 【答案】由题意，当n ＝1时，a 12＝a 13，由a 1≠0，得a 1＝1．当n ＝2时，(1+a 2)2＝1+a 23，由a 2≠0，得a 2＝2或−1．当n ＝3时，(1+a 2+a 3)2＝1+a 23+a 33，若a 2＝2，得a 3＝3或−2． 若a 2＝−1，得a 3＝1．又∵ 数列{a n }为等比数列， ∴ a 1＝1，a 2＝−1，a 2＝1， ∴ 数列{a n }的公比为−1．由题意，令S n ＝a 1+a 2+...+a n ，则S n 2＝a 13+a 23+...+a n 3，∴ (S n +a n+1)2＝a 13+a 23+...+a n 3+a n+13．∴ S n 2+2S n a n+1+a n+12=a 13+a 23+...+a n 3+a n+13．∴ 2S n a n+1+a n+12=a n+13． ∵ a n+1≠0，∴ 2S n ＝a n+12−a n+1．当n ＝1时，由（1）得a 1＝1．当n ≥2时，2a n ＝2(S n −S n−1)＝(a n+12−a n+1)−(a n 2−a n )．整理得：(a n+1+a n )(a n+1−a n −1)＝0．所以，a n+1＝−a n 或a n +1． 又∵ a 1＝1，a 2020＝−2019，∴ 数列{a n }的一个通项公式是a n ={n,1≤n ≤20192019×(−1)n+1,n ≥2020．【考点】 数列递推式 【解析】本题第（1）题根据题意取n ＝1，n ＝2，n ＝3分别计算出a 1，a 2，a 3的值，然后根据数列{a n }为等比数列确定一组正确的a 1，a 2，a 3的值，由此可得数列{a n }的公比；第（2）题先令S n ＝a 1+a 2+...+a n ，则S n 2＝a 13+a 23+...+a n 3，然后添加a n+1，则有(S n +a n+1)2＝a 13+a 23+...+a n 3+a n+13．通过化简整理，可得2S n ＝a n+12−a n+1．再利用公式a n ＝S n −S n−1，进行计算，最终可得数列{a n }的一个通项公式． 【解答】由题意，当n ＝1时，a 12＝a 13，由a 1≠0，得a 1＝1．当n ＝2时，(1+a 2)2＝1+a 23，由a 2≠0，得a 2＝2或−1．当n ＝3时，(1+a 2+a 3)2＝1+a 23+a 33，若a 2＝2，得a 3＝3或−2． 若a 2＝−1，得a 3＝1．又∵ 数列{a n }为等比数列， ∴ a 1＝1，a 2＝−1，a 2＝1， ∴ 数列{a n }的公比为−1．由题意，令S n ＝a 1+a 2+...+a n ，则S n 2＝a 13+a 23+...+a n 3，∴ (S n +a n+1)2＝a 13+a 23+...+a n 3+a n+13．∴ S n 2+2S n a n+1+a n+12=a 13+a 23+...+a n 3+a n+13．∴ 2S n a n+1+a n+12=a n+13． ∵ a n+1≠0，∴ 2S n ＝a n+12−a n+1．当n ＝1时，由（1）得a 1＝1．当n ≥2时，2a n ＝2(S n −S n−1)＝(a n+12−a n+1)−(a n 2−a n )．整理得：(a n+1+a n )(a n+1−a n −1)＝0．所以，a n+1＝−a n 或a n +1． 又∵ a 1＝1，a 2020＝−2019，∴ 数列{a n }的一个通项公式是a n ={n,1≤n ≤20192019×(−1)n+1,n ≥2020 ．若函数f(x)满足f(x 0)＝x 0成立，则称函数f(x)有不动点x 0． （1）判断函数f(x)=1+x x在区间(0, 1)内是否有不动点，说明理由；（2）证明：函数g(x)＝a x +a −x +x −2x (a >0且a ≠1)在区间(0, 1)内有不动点；（3）若函数ℎ(x)＝ax 2−ln x 有两个不动点，求实数m 的取值范围． 【答案】 令1+x x=x ，解得x =1±√52均不在区间(0, 1)内， 所以f(x)=1+x x在区间(0, 1)内没有不动点；证明：要证g(x)在区间(0, 1)内有不动点，即证方程a x +a −x −2x =0在(0, 1)上有解， 即证方程x(a x )2−2a x +x ＝0在(0, 1)上有解，记ℎ(x)＝x(a x )2−2a x +x ，因为ℎ(x)图象在[0, 1]上不间断，ℎ(0)＝−2<0，ℎ(1)＝a 2−2a +1＝(a −1)2>0， ，所以ℎ(x)(0, 1)上有零点，所以方程x(a x )2−2a x +x ＝0在(0, +∞)上有解，从而原命题得证； 记H(x)＝ax 2−ln x −x ，则H(x)有两个零点.H ′(x)=2ax −1x −1=2ax 2−x−1x,x >0，所以当a ≤0 时，H ′(x)<0，函数H(x)减，最多一个零点， 所以a >0， 考虑a =ln x+x x ，下面证明：ln x ≤x −1，设t(x)＝x −ln x −1，所以t ′(x)=1−1x =x−1x(x >0)，x ∈(0, 1)时，t ′(x)<0，t(x)减；x >1时，t ′(x)>0，t(x)增，t(x)≥t(1)＝0，ln x ≤x −1， a =ln x+x x 2≤2x−1x 2=2x−1x 2=−(1x−1)2+1≤1，a ＝1时x 只能取1，故a ∈(0, 1)，下面证明a ∈(0, 1)时H(x)有两个零点a ∈(0, 1)时，H(1)＝a −1<0，H(1e )=a e 2+1−1e =e 2−e+a e 2>0，H(1a )=ln a <0，H(x)图象不间断，所以H(x)在(1e,1)，(1,1a)上各有一个零点符合题意．综上，a ∈(0, 1)． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 【解析】（1）利用定义直接判断即可；（2）根据定义即证方程x(a x )2−2a x +x ＝0在(0, 1)上有解，利用零点存在性定理易得证；（3）先判断a ∈(0, 1)，再验证即可． 【解答】 令1+x x=x ，解得x =1±√52均不在区间(0, 1)内， 所以f(x)=1+x x在区间(0, 1)内没有不动点；证明：要证g(x)在区间(0, 1)内有不动点，即证方程a x +a −x −2x=0在(0, 1)上有解，即证方程x(a x )2−2a x +x ＝0在(0, 1)上有解，记ℎ(x)＝x(a x )2−2a x +x ，因为ℎ(x)图象在[0, 1]上不间断，ℎ(0)＝−2<0，ℎ(1)＝a 2−2a +1＝(a −1)2>0， ，所以ℎ(x)(0, 1)上有零点，所以方程x(a x )2−2a x +x ＝0在(0, +∞)上有解，从而原命题得证； 记H(x)＝ax 2−ln x −x ，则H(x)有两个零点.H ′(x)=2ax −1x −1=2ax 2−x−1x,x >0，所以当a ≤0 时，H ′(x)<0，函数H(x)减，最多一个零点， 所以a >0， 考虑a =ln x+x x 2，下面证明：ln x ≤x −1，设t(x)＝x −ln x −1，所以t ′(x)=1−1x =x−1x(x >0)，x ∈(0, 1)时，t ′(x)<0，t(x)减；x >1时，t ′(x)>0，t(x)增，t(x)≥t(1)＝0，ln x ≤x −1， a =ln x+x x 2≤2x−1x 2=2x −1x 2=−(1x −1)2+1≤1，a ＝1时x 只能取1，故a ∈(0, 1)，下面证明a ∈(0, 1)时H(x)有两个零点a ∈(0, 1)时，H(1)＝a −1<0，H(1e )=ae 2+1−1e =e 2−e+a e 2>0，H(1a )=ln a <0，H(x)图象不间断，所以H(x)在(1e,1)，(1,1a)上各有一个零点符合题意．综上，a ∈(0, 1)．已知可逆矩阵A =[a273]的逆矩阵为A −1=[b −2−7a ]，求A −1的特征值．【答案】∵ 可逆矩阵A =[a 7 的逆矩阵为A −1=[b −2−7a ]，∴ A ⋅A −1=[a273][b −2−7a ]=[1001]， ∴ {ab −14=17b −21=0−14+3a =1 ，解得a ＝5，b ＝3，∴ A −1=[3−2−75]，∴ f(λ)=|λ−327λ−5|=λ2−8λ+1，由f(λ)＝0，得λ1＝4+√15，λ2＝4−√15．【考点】特征值与特征向量的计算 【解析】由A ⋅A −1=[a273][b −2−7a ]=[1001]，求出a ＝5，b ＝3，从而A −1=[3−2−75]，进而f(λ)=|λ−327λ−5|=λ2−8λ+1，由f(λ)＝0，能求出A −1的特征值． 【解答】∵ 可逆矩阵A =[a 7 的逆矩阵为A −1=[b −2−7a ]，∴ A ⋅A −1=[a273][b −2−7a ]=[1001]，∴ {ab −14=17b −21=0−14+3a =1 ，解得a ＝5，b ＝3，∴ A −1=[3−2−75]，∴ f(λ)=|λ−327λ−5|=λ2−8λ+1，由f(λ)＝0，得λ1＝4+√15，λ2＝4−√15．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程{x =1+cos φy =sin φ（φ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2ρsin (θ+π3)=3√3，射线OM:θ=π3与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【答案】解：（1）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程{x =1+cos φy =sin φ（φ为参数）化为(x −1)2+y 2=1，∴ ρ2−2ρcos θ=0，即ρ=2cos θ．（2）设(ρ1, θ1)为点P 的极坐标，由{ρ1=2cos θ1θ1=π3，解得{ρ1=1θ1=π3． 设(ρ2, θ2)为点Q 的极坐标，由{ρ2(sin θ2+√3cos θ2)=3√3θ2=π3，解得{ρ2=3θ2=π3． ∵ θ1=θ2，∴ |PQ|=|ρ1−ρ2|=2．∴ |PQ|=2． 【考点】圆的极坐标方程直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 【解析】 解：（1）利用cos 2φ+sin 2φ=1，即可把圆C 的参数方程化为直角坐标方程．（2）设(ρ1, θ1)为点P 的极坐标，由{ρ1=2cos θ1θ1=π3，联立即可解得．设(ρ2, θ2)为点Q 的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1−ρ2|即可得出． 【解答】解：（1）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程{x =1+cos φy =sin φ（φ为参数）化为(x −1)2+y 2=1，∴ ρ2−2ρcos θ=0，即ρ=2cos θ．（2）设(ρ1, θ1)为点P 的极坐标，由{ρ1=2cos θ1θ1=π3，解得{ρ1=1θ1=π3． 设(ρ2, θ2)为点Q 的极坐标，由{ρ2(sin θ2+√3cos θ2)=3√3θ2=π3，解得{ρ2=3θ2=π3． ∵ θ1=θ2，∴ |PQ|=|ρ1−ρ2|=2．∴ |PQ|=2．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠BAC =90∘，F 为棱AA 1上的动点，A 1A =4，AB =AC =2．(1)当F 为A 1A 的中点，求直线BC 与平面BFC 1所成角的正弦值；(2)当AFFA 1的值为多少时，二面角B −FC 1−C 的大小是45∘．【答案】解：(1)如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)， A 1(0, 0, 4)，C 1(0, 2, 4)， ∵ F 为AA 1中点， ∴ F(0,0,2)，则BF →=(−2,0,2)，BC 1→=(−2,2,4)，BC →=(−2,2,0)， 设n →=(x,y,z)是平面BFC 1的一个法向量， 则{n →⋅BF 1→=−2x +2z =0n →⋅BC 1→=−2x +2y +4z =0， 取x =1，得n →=(1,−1,1)，设直线BC 与平面BFC 1的法向量n →=(1,−1,1)的夹角为θ， 则cos θ=BC →⋅n→|BC →|⋅|n →|=2√2⋅√3=−√63， ∴ 直线BC 与平面BFC 1所成角的正弦值为√63．(2)设F(0,0,t)(0≤t ≤4),BF →=(−2,0,t)，BC 1→=(−2,2,4)， 设n →=(x,y,z)是平面BFC 1的一个法向量， 则{n →⋅BF 1→=−2x +tz =0n →⋅BC 1→=−2x +2y +4z =0，取z =2，得n →=(t,t −4,2)，AB →=(2,0,0)是平面FC 1C 的一个法向量， cos <n →, AB →>=AB →⋅n→|AB →|⋅|n |=22=√22， 解得t =52，即AF =52，FA 1=32，∴ 当AF FA 1=53时，二面角B −FC 1−C 的大小是45∘．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角 与二面角有关的立体几何综合题 异面直线及其所成的角 【解析】（1）以点A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC 与平面BFC 1所成角的正弦值．（2）求出平面BFC 1的一个法向量，利用向量法能求出当AF FA 1=53时，二面角B −FC 1−C 的大小是45∘． 【解答】解：(1)如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)， A 1(0, 0, 4)，C 1(0, 2, 4)， ∵ F 为AA 1中点， ∴ F(0,0,2)，则BF →=(−2,0,2)，BC 1→=(−2,2,4)，BC →=(−2,2,0)， 设n →=(x,y,z)是平面BFC 1的一个法向量， 则{n →⋅BF 1→=−2x +2z =0n →⋅BC 1→=−2x +2y +4z =0， 取x =1，得n →=(1,−1,1)，设直线BC 与平面BFC 1的法向量n →=(1,−1,1)的夹角为θ， 则cos θ=BC →⋅n→|BC →|⋅|n →|=2√2⋅√3=−√63， ∴ 直线BC 与平面BFC 1所成角的正弦值为√63．(2)设F(0,0,t)(0≤t ≤4),BF →=(−2,0,t)，BC 1→=(−2,2,4)，设n →=(x,y,z)是平面BFC 1的一个法向量， 则{n →⋅BF 1→=−2x +tz =0n →⋅BC 1→=−2x +2y +4z =0， 取z =2，得n →=(t,t −4,2)，AB →=(2,0,0)是平面FC 1C 的一个法向量， cos <n →, AB →>=AB →⋅n→|AB →|⋅|n →|=22=√22， 解得t =52，即AF =52，FA 1=32，∴ 当AF FA 1=53时，二面角B −FC 1−C 的大小是45∘．某空间中存在2n 个基本粒子，每个基本粒子在每个时间均等可能的处于A ，B 两种状态之一，若处于A 状态的粒子数和处于B 状态的粒子数相等，则称该空间处于基态． （1）n ＝2时，求该空间处于A 状态的粒子数的数学期望．（2）记该空间处于处于基态的概率为P(n)，研究P(n)的单调性，并证明n ≥2时P(n)>(12)n 恒成立．【答案】记n ＝2时，求该空间处于A 状态的粒子数为ξ， 则ξ的取值集合为{0, 1, 2, 3, 4}P(ξ＝0)=C 40(12)4=116， P(ξ＝1)=C 41(12)4=14，P(ξ＝2)=C 42(12)4=38， P(ξ＝3)=C 43(12)4=14， P(ξ＝4)=C 44(12)4=116，所以E(ξ)=1×14+2×38+3×14+4×116=2．P(n)=C 2n n (12)2n ，P(n +1)−P(n)=C 2n+2n+1(12)2n+2−C 2n n (12)2n =C 2n n (12)2n ⋅(−12n+2)<0，所以P(n)单调递减．n ＝2时P(2)=C 42(12)4=38>12，假设n ＝k 时P(k)>(12)k 成立，则n ＝k +1时P(k +1)=2k+12k+2P(k)>(12)P(k)>(12)⋅(12)k =(12)k+1成立 综上，n ≥2时P(n)>(12)n 恒成立．【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）记n ＝2时，求该空间处于A 状态的粒子数为ξ，则ξ的取值集合为{0, 1, 2, 3, 4}，分别求出相应的概率，由此能求出该空间处于A 状态的粒子数的数学期望．（2）P(n)=C 2n n (12)2n ，P(n +1)−P(n)=C 2n+2n+1(12)2n+2−C 2n n (12)2n =C 2n n(12)2n ⋅(−12n+2)<0，从而P(n)单调递减．再利用数学归纳法能证明n ≥2时P(n)>(12)n 恒成立．【解答】记n ＝2时，求该空间处于A 状态的粒子数为ξ， 则ξ的取值集合为{0, 1, 2, 3, 4}P(ξ＝0)=C 40(12)4=116， P(ξ＝1)=C 41(12)4=14， P(ξ＝2)=C 42(12)4=38， P(ξ＝3)=C 43(12)4=14， P(ξ＝4)=C 44(12)4=116，所以E(ξ)=1×14+2×38+3×14+4×116=2．P(n)=C 2n n (12)2n ，P(n +1)−P(n)=C 2n+2n+1(12)2n+2−C 2n n (12)2n =C 2n n (12)2n ⋅(−12n+2)<0，所以P(n)单调递减．n ＝2时P(2)=C 42(12)4=38>12，假设n ＝k 时P(k)>(12)k 成立，则n ＝k +1时P(k +1)=2k+12k+2P(k)>(12)P(k)>(12)⋅(12)k =(12)k+1成立 综上，n ≥2时P(n)>(12)n 恒成立．。

2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研数学试题一、单选题1．已知集合3|0,2x A x x R x -⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，{}|24,B x x x Z =≤≤∈，则A B =（ ） A ．[]2,3 B ．(]2,3 C ．{}2,3 D ．{}3【答案】D【分析】首先解分式不等式得到{}|23A x x =<≤，再求A B 即可. 【详解】{}3|0,|232x A x x R A x x x -⎧⎫=≤∈⇒=<≤⎨⎬-⎩⎭， {}{}|24,2,3,4B x x x Z =≤≤∈=，所以{}3A B ⋂=. 故选：D2．“m =-2”是“直线l 1: mx +4y +4=0与直线l 2: x +my +1=0平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为m =-2，所以直线l 1: x -2y -2=0，直线l 2: x -2y +1=0平行，故充分； 当直线l 1: mx +4y +4=0与直线l 2: x +my +1=0平行时，24m =， 解得2m =或2m =-，当2m =时，直线l 1: x +2y +2=0与直线l 2: x +2y +1=0平行，当2m =-时，直线l 1: x -2y -2=0，直线l 2: x -2y +1=0平行，故不必要， 故选：A3．已知向量a =(3，2)， b =(2m -1，3)，若a 与b 共线，则实数m =（ ） A ．114B ．5C ．72D ．1【答案】A【分析】利用向量共线的坐标运算计算即可. 【详解】由已知a 与b 共线得()33221m ⨯=⨯-， 解得114m =4．若椭圆22x a +22y b =1(0a b >>)的离心率为32，短轴长为6，则椭圆的焦距为（ ）A ．43B ．8C ．63D ．83【答案】C【分析】根据离心率结合短轴长度，即可求得c ，再求焦距即可. 【详解】因为短轴长度为6，即26b =，故可得3b =；又离心率为22239112b a a=-=-，解得6a =；故可得22227c a b =-=，则33c =，故焦距263c =. 故选：C.5．己知等比数列{}n a 满足538a a -=，6424a a -=， 则3a =（ ） A ．3 B ．3- C ．1 D ．1-【答案】C【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，根据已知条件可得出关于1a 、q 的方程组，解出这两个量的值，即可求得3a 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，由已知可得()()225313264118124a a a q q a a a q q ⎧-=-=⎪⎨-=-=⎪⎩，解得1193a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 因此2311a a q ==.故选：C. 6．我们从商标中抽象出一个图象如图所示，其对应的函数解析式可能是()f x =（ ）A ．1|1|x - B ．1|||1|x -C ．211x - D ．211x +【分析】根据函数的奇偶性及定义域和取特值可排除得选项.【详解】根据函数的图像可知，函数为偶函数，且定义域为{|1}x x ≠±， 判断四个选项，只有1|||1|x -和211x -符合，又因为()f x =211x -时，有的函数值是负数，例如1(2)3f =-不符合，所以只有()f x =1|||1|x -成立，故选：B.7．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为 A ．5:6π B ．6:2πC ．:2πD ．5:12π【答案】B【分析】作出过正方体的对角面的截面，设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，在直角C CO '∆中，由勾股定理，得222CC OC OC ''+=，求得球的半径62R a =，利用体积公式，即可求解.【详解】作出过正方体的对角面的截面，如图所示， 设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，那么2,2a CC a OC '==， 在直角C CO '∆中，由勾股定理，得222CC OC OC ''+=, 即2222()2a a R +=，解得62R a =， 所以半球的体积为333114266()23322V R a a πππ=⨯=⨯=，正方体的体积为32V a =，所以半球与正方体的体积比为336:6:22a a ππ=，故选B.【点睛】本题主要考查了球的内接组合体的性质，以及球的体积与正方体的体积的计算，其中解答中正确认识组合体的结构特征，作出过正方体的对角面的截面，利用勾股定理求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于基础题.8．已知向量a b c ，，，满足a =c =1，b =7a c ⋅，=12，若a b +=λc (R λ∈)， 则λ=A ．3B ．2-C ．3或2-D ．3-或2【答案】C【分析】根据题意，利用数量积的运算法则，结合已知条件，即可求得参数λ. 【详解】因为a b +=λc ，故可得b c a λ=-， 两边平方可得：22222b c a a c λλ=+-⋅， 代值可得：271λλ=+-，整理得：260λλ--=， 解得3λ=或2-. 故选：C.9．已知实数(),,0,a b c e ∈，且22a a =，33b b =，55c c =，则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<【答案】A【分析】构造函数()ln xf x x=，判断函数单调性，比大小. 【详解】由22a a =，33b b =，55c c =，得ln ln 22a a =，3ln ln 3b b =，ln ln 55c c =， 又252ln5ln5ln 25ln 2=<=，即ln 5ln 252<， 同理323ln 2ln 2ln32ln3=<=，即ln 2ln 323<， 所以ln5ln 2ln3523<<，即ln ln ln c a b c a b<<， 设函数()ln x f x x=()0,x e ∈，()21ln 0xf x x -'=>在()0,e 上恒成立，故函数()f x 在()0,e 上单调递增， 所以c a b <<， 故选：A. 二、多选题10．已知i 为虚数单位，复数z 满足()10z 2i i +=，则下列说法正确的是（ ）A ．复数z 的虚部为1i 5B ．复数z 的共轭复数为21i 55-C ．复数zD ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限.【答案】CD【分析】根据复数的运算得21z i 55=-+，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为()5102i i 1==-，所以()102i i 121z i 2i 2i 555---====-+++，所以复数z 的虚部为15,复数z 的共轭复数为21i 55--,故A ，B 选项错误；复数z复数z 在复平面内对应的点21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故CD 选项正确. 故选：CD11．已知正实数a ，b 满足a +b =2，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．ab ≤1 B ．1a +2bCD ．ln a ln b ≤0【答案】ACD【分析】根据正实数a ，b 满足a +b =2，利用基本不等式逐项判断. 【详解】因为正实数a ，b 满足a +b =2，所以212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故A 正确；所以1a+()(211212113332222b a a b b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当2b aa b=时，等号成立，故B 错误；因为2a b =++，故C 正确；因为ln a ln b 2222ln ln ln ln 20222a b a b ab ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪≤=≤= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，故D 正确； 故选：ACD12．已知互不相同的两条直线,m n 和两个平面,αβ，下列命题正确的是（ ） A ．若//m α，n αβ=，则//m nB ．若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥C ．若m α⊥，βn//， 且m n ⊥，则//αβD ．若m α⊥，βn//， 且//m n ， 则αβ⊥【分析】根据直线与直线，直线与平面和平面与平面的位置关系和特殊图形依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若//m α，n αβ=，则m 与n 的位置关系为平行或异面，故A 错误；对选项B ，若m n ⊥，m α⊥，则n ⊂α或//n α， 又因为n β⊥，所以αβ⊥，故B 正确. 对选项C ，在长方体中，如图所示：满足m α⊥，βn//， 且m n ⊥，此时α与β的位置关系为相交，故C 错误. 对选项D ，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又因为βn//，则存在l β⊂，l α⊥，所以αβ⊥，故D 正确. 故选：BD13．下列关于L 型椭圆C ：42116y x +=的几何性质描述正确的是（ ）A ．图形关于原点成中心对称B ．44y -≤≤C ．其中一个顶点坐标是()0,2-D ．曲线上的点到原点的距离最大值为2【答案】ACD【分析】根据曲线方程，结合曲线的对称性、范围对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】A ：对方程42116y x +=，用,x y --分别替换,x y ，可知还是同一个方程， 故该图形关于原点成中心对称，A 正确；B ：因为421016y x =-≥，故可得416y ≤，解得24y ≤，即[]2,2y ∈-，故B 错误；C ：令0x =，解得416y =，可得2y =±，故其一个顶点坐标为()0,2-，C 正确；D ：因为()42222211851616y x y y y +=-+=--+，由B 知：[]2,2y ∈-，故可得当2y =±时，22x y +取得最大值422x y +2，即曲线上的点到原点的距离最大值为2，D 正确.【点睛】本题考查由曲线方程研究曲线的性质，重点在于充分利用曲线方程，结合对称性以及范围的求解方法进行细致分析，属中档题. 三、填空题14．已知圆C ：224x y +=，直线l ：()1,y kx k k R =-+∈，则直线l 被圆C 截得的最短弦长为______________【答案】【分析】根据直线方程求得直线l 恒过的定点，再结合几何关系以及弦长公式即可求得结果.【详解】因为1y kx k =-+，故可得()11y k x -=-， 则直线l 恒过定点()1,1A ，且点()1,1A 在圆C 内； 当且仅当AC 垂直于l 时，直线l 被圆截得的弦长最短，此时圆心C 到直线l 的距离d AC ==故最短的弦长为=故答案为：15．已知cos()4πα+=π(0,)2α∈，则sin α=__________【解析】【详解】试题分析：cos()(0,)sin()424πππααα+=∈∴+=sin sin sin cos cos sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】三角函数基本公式16．甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为P ，乙胜的概率为1-p ，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827.现甲、乙进行7局比赛，采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数X 的数学期望为_____________ 【答案】97282187【分析】根据当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827，求得每局比赛甲胜的概率P ，再由采取7局4胜制得到X 的可能取值为：4，5，6，7，分别求得其【详解】因为当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827， 且每局比赛甲胜的概率为p ，乙胜的概率为1-p ， 所以()2238127C p p p ⋅⋅-⋅=， 解得 21,133p p =-=，X 的可能取值为：4，5，6，7，则 ()()3333342216212644,53381333243p x C p x C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅===⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()323333562121602123206,73337293332187p x C p x C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅===⋅⋅⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为：所以采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数x 的数学期望为：()1664160320972845678124372921872187E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 故答案为：9728218717．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x )= ln x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交x 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交x 轴于点N ，设线段MN 的中点的横坐标为t ，则t 的最大值是_____________ 【答案】11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】首先根据导数的几何意义得到切线为：()0001ln y x x x x -=-，切线l 的垂线为：()000ln y x x x x -=--，从而得到()000ln ,0M x x x -，000ln ,0x N x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可得到00000ln 12ln 2x t x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再构造()ln 2ln xg x x x x x=-+，利用导数求解最大值即可. 【详解】设()00,ln P x x ，()1f x x'=，则()001k f x x '==， 则切线l 为：()0001ln y x x x x -=-， 令0y =，解得000ln x x x x =-，即()000ln ,0M x x x -. 切线l 的垂线为：()000ln y x x x x -=--，令0y =，解得000ln x x x x =+，即000ln ,0x N x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以00000ln 12ln 2x t x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 设()ln 2ln xg x x x x x=-+， ()()()()22211ln 1ln 2ln 1x x x g x x x x +--'=-++=， 令()0g x '=，解得e x =，则()0,e x ∈，()0g x '>，()g x 为增函数，()e,x ∞∈+，()0g x '<，()g x 为减函数. 所以()()max 1e e eg x g ==+，即t 的最大值为11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题18．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图.(1)求函数()f x 的解析式;(2)将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，当,6x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()g x 值域.【答案】(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)[3,2]-.【分析】（1）根据图象由函数最值求得A ，由函数周期求得ω，由特殊点求得ϕ，即可求得解析式；（2）根据三角函数图象的变换求得()g x 的解析式，再利用整体法求函数值域即可. (1)周期453123T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2||ππω∴=，0>ω，则2ω=， 从而()2sin(2)f x x ϕ=+，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，得5sin 16⎛⎫+=⎪⎝⎭πϕ， 则5262k ππϕπ+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=-+，k Z ∈， 又||2ϕπ<，则3πϕ=-.()2sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.(2)将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，故可得2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象 故可得()2sin()6g x x π=-；[,]6x ππ∈-5[,]636x πππ∴-∈-，sin 6x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，()[2]g x ∴的值域为. 19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点到左、右焦点1F 、2F 的距离之和为4，且右顶点A 到右焦点2F 的距离为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)直线y kx =与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，记MNA △的面积为S ，当3S =时求k 的值.【答案】(1)221.43x y += (2)32k =±【分析】（1）根据题意得到24a =，1a c -=，再根据222a b c =+求解即可. （2）首先设()11,M x y ，()22,N x y ，再根据122121111222AMNSOA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-求解即可. (1)由题意24a =，2a =，则b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)设()11,M x y ，()22,N x y ，且2OA = 根据椭圆的对称性得122121111222AMNSOA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-， 联立方程组22143y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得223(4)12y k +=，解得y = 因为AMN 的面积为3，可得12||3y y -=，解得32k =±. 20．设各项均为正数的数列{an }的前n 项和为Sn 满足4Sn =(an +1)2 (1)证明数列{an }为等差数列，并求其通项公式；(2)求数列{}3nn a ⋅的前n 项和Tn【答案】(1)证明见解析，21n a n =-(2)()1133n n T n +=-⋅+【分析】（1）直接采用作差法化简可得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，变形可得12n n a a --=，可证{an }为等差数列，结合通项公式可求n a ；（2）由（1）得()3213n nn a n ⋅=-⋅，结合错位相减法化简可求n T .(1)()()()22-1-14=14=12n n n n S a S a n +∴+≥，， ()()22114411n n n n S S a a --∴-=+-+，2211422n n n n n a a a a a --∴=-+-，()()1120n n n n a a a a --∴+--=，()10,22n n n a a a n ->∴-=≥，所以数列{}n a 为等差数列，11,1,n a == 21n a n ∴=-；由（1）得()3213n nn a n ⋅=-⋅，所以()121333213=⨯+⨯++-⋅n n T n ，()()21313233213n n n T n n +=⨯++-⋅+-⋅()()2123233213n n n T n +∴-=+⨯++--⋅，()()21131323221313n n n T n -+⨯-∴-=+⨯--⋅-，()122236n n T n +∴-=-⋅-， ()1133n n T n +∴=-⋅+.21．击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花(或一小物件);另有一人背着大家或蒙眼击鼓(桌子、黑板或其他能发出声音的物体)，鼓响时众人开始传花(顺序不定)，至鼓停止为止，此时花在谁手中(或其座位前)，谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共9组，玩击鼓传花，(前五组)组号x 与组内女性人数y 统计结果如表: .(1)女性人数与组号x (组号变量x 依次为1， 2， 3， 4， 5， ... )具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数;（参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxybay bx xnx==-==--∑∑）(2)在(1) 的前提下，从9组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于5人的有X 组，求X 的分布列与期望.【答案】(1)预测从第7组开始女性人数不低于男性人数 (2)分布列见解析，1.【分析】（1）根据题意，结合已知公式得0.6 1.2y x ∧=+，再解0.6 1.25x +≥即可估计得答案；（2）根据题意得X 的所有可能取值为0，1，2，3，再根据超几何分布求解即可.解：由题可得()11234535x =⨯++++=，51223443,515i i i y x y =++++===∑，522222211234555i i x ==++++=∑．则51522150.6,30.63 1.25i ii i i x y x yb a y b x x x∧∧∧==-===-=-⨯=-∑∑所以0.6 1.2y x ∧=+ 当0.6 1.25x +≥时，193x ≥所以预测从第7组开始女性人数不低于男性人数． (2)解：由题可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，36395(0)21C C P X === 21633915(1)28C C C P X === 1263393(2)14C C C P X === 33391(3)84C C P X ===则X 的分布列为()1E X ∴=22．已知在平面四边形ABCD 中，1,2AB BD ==，BC =DB 为ADC ∠的角平分线 (1)若1cos 4A =，求BDC 的面积; (2)若4CD AD -=，求CD 长. 【答案】 (2)6【分析】（1）根据题意，在三角形ABD 中由正弦定理得sin ADB ∠=，进而结合题意，在三角形BCD 中由余弦定理解得6CD =，在根据三角形面积公式计算即可；（2）设CD x =，由于cos cos ADB CDB ∠=∠，故在三角形ABD 和三角形CDB 中，结合余弦定理解方程得6x =.解：在三角形ABD 中，由1cos 4A =得15sin 4A = 由正弦定理可得sin sin BD ABA ADB =∠，即21sin sin A ADB=∠ 所以115sin sin 28ADB A ∠==因为DB 为ADC ∠的角平分线，所以15sin sin 8CDB ADB ∠=∠=， 因为AB BD <，故ADB ∠为锐角，故CDB ∠为锐角，故27cos 1sin 8CDB CDB ∠=-∠=在三角形BCD 中由余弦定理得2222cos BC CD DB CD DB CDB =+-⋅⋅∠ 所以227300CD CD --=，解得6CD =或52CD =-（舍） .所以1115315sin 622284BDCS DC DB CDB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=(2)解：设CD x =，则4AD x =-在三角形ABD 中由余弦定理可得22224)41cos 24(4)DA DB AB x ADB DA DB x +--+-∠==⋅-（ 在三角形CDB 中由余弦定理可得2222419cos 24DC DB CB x CDB DC DB x+-+-∠==⋅ 因为cos cos ADB CDB ∠=∠所以22(4)414194(4)4x x x x -+-+-=-，解得6x =或52x =（舍）综上所述CD 的长为6.23．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面为矩形，平面11AA D D ⊥平面11C CDD ，且1111122CC CD DD C D ====.(1)证明:11A D ⊥面11CC D D π【答案】(1)证明见解析； (2)34. 【解析】(1)如图在梯形11CC D D 中，因为1111122CC CD DD C D ====，作11DH D C ⊥于H ，则11D H =，所以11cos 2DD H ∠=， 所以113DD C π∠=，连结1DC ，由余弦定理可求得123DC =，因为2221111DC DD D C +=，所以11DC DD ⊥，因为平面11AA D D ⊥平面11CC D D 且交于1DD ，1DC ⊂面11CC D D 所以1DC ⊥平面11AA D D ，因为AD ⊂平面11AA D D ，所以1AD DC ⊥，因为AD DC ⊥，1DC DC D ⋂=，1,DC DC ⊂面11CC D D ， 所以AD ⊥平面11CC D D . (2)连结11A C ，由（1）可知，11A D ⊥平面11CC D D ， 以1D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为11A D ⊥平面11CC D D ，所以1A C 在平面11CC D D 内的射影为1D C ， 所以1A C 与平面11CC D D 所成的角为11ACD ∠，即113ACD π∠=，在△1D DC 中，由余弦定理可得：2221112cos120D C DD DC DD DC =+-⨯⨯︒，即21144222122D C ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得1DC =在11Rt A CD中，因为1DC =116A D =， 则()10,0,0D ，()16,0,0A，(D，(C ，()10,4,0C ，所以(1D D =，()116,0,0D A =，()116,4,0AC =-，(1AC =- 设平面11AA D D 的法向量为(),,m x y z =， 则有11100m D D m D A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即060y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令3y =，则0x =，z =(0,3,m =， … 设平面11AAC C 的法向量为(),,n a b c =， 则有11100n A C n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即640630a b a b -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令2a =，则3b =，c =(2,3,3n =，所以6cos ,23m n m n m n⋅===⨯故锐二面角1C AA D --24．己知函数()e mxf x x =(其中e 为自然对数的底数)(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当1m =时，若()ln 1f x x ax ≥++恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)(],1-∞【分析】（1）()()'1mxf x mx e =+，进而分0m =，0m >，0m <三种情况讨论求解即可；（2）由题意知ln 1xx a e x+≤-在()0+∞，上恒成立，故令ln 1()x x g x e x +=-，再根据导数研究函数的最小值，注意到01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()'00g x =，进而结合函数隐零点求解即可.(1)解：()()'1mxf x mx e =+①0m =，()f x 在R 上单调增； ②0m >，令()'10f x x m ==-，，()()'1,,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞-< ⎪⎝⎭单调减()()'1+,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞> ⎪⎝⎭，单调增； ③0m <，()()'1,,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞-> ⎪⎝⎭单调增()()'1+,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞< ⎪⎝⎭，单调减. 综上，当0m =时，()f x 在R 上单调增；当0m >时，()f x 在1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在1+m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；当0m <时，()f x 在1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，在1+m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递减. (2)解：由题意知ln 1xx a e x+≤-在()0+∞，上恒成立 ()2'2ln 1ln (),x xx x e xg x e g x x x ++=-=，令()2ln x h x x e x =+，()()'212xh x x x e x=++， ()()()'0,,0,x h x h x ∈+∞>单调递增∵()121110,10e h e h e e e⎛⎫=⨯-<=> ⎪⎝⎭，∴01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得()00h x =，即()'00g x =()()()'00,,0,x x g x g x ∈<单调递减；()()()'0,,0,x x g x g x ∈+∞>单调递增()()000min 0ln 1x x g x g x e x +∴==-， 0020000011ln 0,ln x x x e x x e x x +=∴=令()xm x xe =，则111ln ln m x x x⎛⎫= ⎪⎝⎭()m x 在()0+∞，上单调增 000011ln,x x e x x ∴=∴=，0000000ln 111()=1x x x g x e x x x +-+∴=--= 1a ∴≤∴实数a 的取值范围是(],1-∞。

2020届高三年级阶段性学情联合调研语文试题2019.12一、语言文字运用（每题3分，共12分）1.在下面一段话的空缺处依次填入词语，最恰当的一组是（）（3分）当代读者喜欢麦家的作品，因为他的风格鲜明。

奇异的想象力和独创性交融，故事情节传奇，充满悬念，没有的晦涩，背后还有着对人性的深度发掘，触及生存世界的幽暗之处，。

A.标识佶屈聱牙雅俗共赏B.标签模棱两可奇文共赏C.标签佶屈聱牙雅俗共赏D.标识模棱两可奇文共赏2.对下面一段文字主要意思的提炼，最准确的一项是（）（3分）书法史上的魏晋时期留下了无尽的辉煌，以清雅、高逸、流美、洒脱为特征的“魏晋风韵”，一直被后期书家苦苦追索。

书法演进有种奇特现象，一种审美风格的形成，从萌动、滋生、繁茂、壮大到成熟，往往经过漫长时间的孕育，高峰形成后又迅速坍塌。

同样，“魏晋风韵”在隋唐后便跌入低俗，虽也不乏书家踵其前贤而光耀千秋，但水准始终难以接近、持平或超越，只能望其项背空发仰慕之思。

A.清逸、洒脱的“魏晋风韵”一直被后期书家苦苦追索。

B.书法演进往往经过漫长时间的孕育，高峰后迅速坍塌。

C.隋唐后“魏晋风韵”跌入低俗，但仍有书家效法前贤。

D.后期书家难以接近、持平或超越“魏晋风韵”的辉煌。

3.在下面一段文字横线处填入语句，衔接最恰当的一项是（）（3分）不知从什么时候起，雨脚忽然收了。

于是留下了阴暗——仿佛比先前更浓的阴暗。

①漏出一角石青的天②有如一个娇怯的姑娘③洒下一片炙人的阳光④厚重的云堆慢慢移动⑤刚探出头就又下了窗帘⑥是羞于照临这不洁的都市吗A.①④⑤③②⑥B.④①⑥③⑤②C.④①③⑥②⑤D.①④②⑤③⑥4.下列诗句各咏一历史人物，按次序排列，正确的一项是（）（3分）①千古同惜长沙傅，空白汨罗步尘埃。

②为虏为王尽偶然，有何羞见汉江船。

③可怜荒垄穷泉骨，曾有惊天动地文。

④平生勋业载成书，胁制诸侯只霸图。

A.屈原刘邦李白苏秦B.贾谊项羽李白管仲C.屈原项羽杜甫苏秦D.贾谊刘邦杜甫管仲二、文言文阅读(20分)阅读下面的文言文，完成5-8题。

江苏省合作联盟学校2020届高三阶段性调研测试数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．满足1≤1i z -+≤3的复数z 在复平面上对应的点构成的图形的面积为 ． 2．对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图，若一批电子元件中寿命在100~300小时的电子元件的数量为400，则寿命在500~600小时的电子元件的数量为 ．3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ．第3题 第2题4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线2x ﹣y ﹣1＝0上方的概率为 ．5．若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为“黄金圆锥”，已知一黄金圆锥的侧面积为π，则这个圆锥的高为 ．6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a 2，b 2，c 2成等差数列，则cosB 的最小值为 ． 7．函数xy e =的图象在点(k a ，k ae )处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中k N *∈，1a ＝0，则135a a a ++＝ ．8．关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(﹣1，2)，则关于x 的不等式2a bc bx x++>的解集为 ．9．记123kkkkk S n =++++L ，当k ＝1，2，3，…时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++，5434111152330S n n n n =++-，5S =654215A B 212n n n n +++，…可以推测，A ﹣B ＝ ．10．设P 为2124y x =-图象C 上任意一点，l 为C 在点P 处的切线，则坐标原点O 到l 距离的最小值为 ．11．已知函数221()11x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨+>⎩，，，若1x ∃，2x ∈R ，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则实数 a 的取值范围是 ． 12．直线3y x =+D的圆22(1)(1x y -+-=交于A ，B 两点，直线AD ，BD 的倾斜角分别为α，β，则tan()αβ+＝ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆2221(1)x y a a+=>上，其中A(0，1)为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 ． 14．若0i x ≥(i ＝1，2，3，4，5)，511ii x==∑，则min{max{12x x +，23x x +，34x x +，45x x +}}＝ ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知∠A ＝45°，∠C ＝90°，∠ADC ＝105°，AB ＝BD ，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．（1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）设CD ＝a ，求三棱锥A －BFE 的体积．16．（本小题满分14分）已知函数()Asin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜2π）的图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最高点为M(23π，﹣2)．（1）求()f x 的解析式； （2）当x ∈[12π，2π]时，求()f x 的最大值及相应的x 的值．如图，某校打算在长为1千米的主干道AB 一侧的一片区域内临时搭建一个强基计划高校咨询和宣传台，该区域由直角三角形区域ACB(∠ACB 为直角)和以BC 为直径的半圆形区域组成，点P(异于B ，C ）为半圆弧上一点，点H 在线段AB 上，且满足CH ⊥AB ．已知∠PBA ＝60°，设∠ABC ＝θ，且θ∈[18π，3π)．初步设想把咨询台安排在线段CH ，CP 上，把宣传海报悬挂在弧CP 和线段CH 上．（1）若为了让学生获得更多的咨询机会，让更多的省内高校参展，打算让CH ＋CP 最大，求该最大值；（2）若为了让学生了解更多的省外高校，贴出更多高校的海报，打算让弧CP 和线段CH 的长度之和最大，求此时的θ的值．18．（本小题满分16分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率e 椭圆C 的上、下顶点分别为A 1，A 2，左、右顶点分别为B 1，B 2，左、右焦点分别为F 1，F 2．原点到直线A 2B 2． （1）求椭圆C 的方程；（2）P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点，直线PA 1，PA 2，分别交x 轴于点N ，M ，若直线 OT 与过点M ，N 的圆G 相切，切点为T ，证明：线段OT 的长为定值，并求出该定值．已知函数2312()23f x x ax =-，函数()()2(1)x g x f x e x =+-，函数()g x 的导函数为()g x '．（1）当函数()y f x =在区间(1，+∞)时为减函数，求a 的范围；（2）若a ＝e (e 为自然对数的底数）．①求函数()g x 的单调区间；②证明：()1ln g x x ≥+．20．（本小题满分16分）设数列{}n a ，对任意n N *∈，都有112()()2()n n kn b a a p a a a +++=+++L （其中k ，b ，p 是常数）．（1）当k ＝0，b ＝3，p ＝﹣4时，求12n a a a +++L ；（2）当k ＝1，b ＝0，p ＝0时，若33a =，915a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k ＝1，b ＝0，p ＝0时，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，212a a -=，试问：是否存在这样的“封闭数列”{}n a ，使得对任意n N *∈都要有0n S ≠，且1211112S S <+++L 11118n S <，若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值；若不存在，说明理由．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B 两小题，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝1 00 1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． （1）求矩阵M 的特征值和特征向量；（2）设23β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r，求99M βu r ．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩t 为参数），点A(1，0)，B(3，)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，x 轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系．（1）求直线AB 的极坐标方程；（2）求直线AB 与曲线C 交点的极坐标．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）过直线y ＝﹣1上的动点A(a ，﹣1)作抛物线2y x =的两切线AP ，AQ ，P ，Q 为切点． （1）若切线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值； （2）求证：直线PQ 过定点．23．（本小题满分10分）对有n （n ≥4）个元素的总体{1，2，3，…，n }进行抽样，先将总体分成两个子总体{1，2，3，…，m }和{m ＋1，m ＋2，…，n }（m 是给定的正整数，且2≤m ≤n ﹣2），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用P ij 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率．（1）求P 1n 的表达式（用m ，n 表示）； （2）求所有P ij (1≤i ＜j ≤n )的和．。

2023-2024学年第一学期高三期初学情调研测试数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,2,3A =，{}1>=x x B ，则A B = （）A ．{}1,2,3B ．{}2C ．{}2,3D ．{}1,32.已知命题:14,:12p x q x -<<-<，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设函数()()2x x a f x -=在区间()0,2上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．[)4,+∞B ．[)4,0-C ．(]0,4D ．(],4-∞-4.若0 , 0>>>>d c b a ，则一定有（）A ．db c a >B ．c bd a >C ．db c a <D ．cb d a <5.函数433()1x xf x x --=+的部分图象大致为（）A. B. C. D.6.在成都大学生世界运动会中，甲、乙、丙参加了游泳、体操、足球三个项目，每人参加的比赛项目不同．已知①乙没有参加游泳；②若甲参加体操，则丙参加足球；③若丙没有参加体操，则甲参加体操．下列说法正确的为（）A.丙参加了体操 B.乙参加了体操C.丙参加了足球 D.甲参加了足球7.设函数1)(2--=mx mx x f ，若对于任意的{}, 21 ≤≤∈x x x 4)(+-<m x f 恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．0≤m B ．350<≤m C ．35<m D ．350<<m8.若实数a ，,b c 满足6182,a ac ==25b =，则a ，,bc 的大小关系是（）A ．a b c>>B ．b c a>>C ．c a b>>D ．c b a>>二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知全集U ，集合B A ,是U 的子集，且B B A = ，则下列结论中正确的是（）A ．AB A = B ．AC B C U U ⊆ C.∅=)(A C B U D ．UB C A C U U =)()( 10.下列说法正确的是（）A ．函数()1f x x =+与()2g x =是同一个函数B ．若函数()f x 的定义域为[0,3]，则函数(3)f x 的定义域为[0,1]C ．已知命题2:0,0p x x ∀>≥，则命题p 的否定为20,0x x ∃><D ．定义在R 上的奇函数()f x 满足()(2)0f x f x --=，则4为函数()f x 的一个周期11.已知0 , 0>>b a 且2=+b a ，则下列式子中正确的是（）A ．122≥+b a B ．223221+≥+b a C ．212>-b a D ．22≤+b a 12.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）A ．(0)0f =B ．(1)1f -=-C ．()f x 为偶函数D ．若1(2)2f =，则11()232f -=-三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.已知集合A ={}21,1a a +-，若3A ∈，则实数a 的值是__________.14.若关于x 的不等式22280x ax a --<（0a >）的解集为{}12|x x x x <<，且2115x x -=，则a 的值是__________.15.满足()()()2f x y f x f y xy -=+-的一个函数解析式是()f x =__________.16.已知函数224,0()21,0x x x x f x x -⎧+<=⎨-≥⎩，若关于x 的方程()()24430f x a f x a -⋅++=有5个不同的实根，则实数a 的取值范围是__________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知集合305x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，{}2760B x x x =-+<，{}C x x a =>，全集为实数集R .（1）求A B ，()R C A B ；（2）如果A C =∅ ，求实数a 的取值范围.18.（12分）已知命题p ：04,22≠+-∈∀t x x R x ，命题p 为假命题时实数t 的取值集合为A ．(1)求集合A ；(2)设集合{}|231,B t m t m =-<<+若B x ∈是A x ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．19.（12分）（1）当1>x 时，求14-+x x 的最小值；（2）已知0 , 0>>b a 且11111=+++b a ，求b a +2的最小值．20.（12分）如图，在多面体ABCDE 中，AB ⊥平面BCD ，平面ECD ⊥平面BCD ，其中ECD ∆是边长为2的正三角形，BCD ∆是以BDC ∠为直角的等腰三角形.（1）证明：AB ∥平面CDE ；（2）若平面ACE 与平面BDE ，求线段AB 的长度．21.（12分）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选20只小白鼠，随机地将其中10只分配到试验组，另外10只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）．（1）设X 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X 的分布列和数学期望；（2）试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为22.523.225.826.527.530.132.634.334.835.6试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为16.518.018.819.219.820.221.622.823.623.9（i ）求20只小白鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于m 的数据的个数，完成如下列联表：m<m≥对照组实验组（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，P （K 2≥k ）0.1000.0500.010k2.7063.8416.63522.（12分）根据人教2019版必修一87P 页的13题介绍：函数()f x 的图象关于点(,)P m n 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x m n =+-为奇函数．设函数()log ,2a xf x x =+0a >且1a ≠，（1）利用上述结论，求函数()f x 的对称中心；（2）若对于[]2,3,x ∀∈不等式()()42120x x a x f f ⎡⎤++-≤⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围.高三期初学情调研测试参考答案1.C2.B3.A4.B5.D6.A7.C8.D 9.AC 10.BCD11.ABD12.ACD13.2-14.2515.2x （答案不唯一）16.57919-≤<-a 17.解：（1）053≤--x x ()(){}53,53,05053<≤=∴<≤∴⎩⎨⎧≠-≤--∴x x A x x x x --------------2分{}61<<=x x B --------------3分{}61<<=∴x x B A --------------5分()[)()3,16,5 =B A C R --------------7分（2）,5A C a =∅∴≥ --------------10分18.解：（1）法一：若命题p 为真命题时，则0<∆，即2,04162>∴<-t t 或2-<t 因命题p 为假命题，所以t 范围为22≤≤-t []2,2-=∴A --------------4分法二：由题意得，04,22=+-∈∃t x x R x 为真命题，22,0416,02≤≤-∴≥-∴≥∆∴t t []2,2-=∴A --------------4分（2） B x ∈是A x ∈的充分不必要条件B ∴是A 的真子集--------------6分当132+≥-m m 时，即4≥m ,此时B =∅，满足B 是A 的真子集.--------------8分当132+<-m m 时，即4<m B 是A 的真子集⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-<∴212324m m m ，121≤≤∴m --------------11分综上，m 的范围是[)1,14,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦--------------12分19．解：（1）01,1>-∴>x x 5142114114=+≥+-+-=-+∴x x x x （当且仅当3=x 时取等号）所以14-+x x 的最小值为5.……………………………………………………5分（2）根据题意0 , 0>>b a 且11111=+++b a ，则()()[]()()22111122111123111111231122=++⨯++≥+++++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=-+++=+a b b a a b b a b a b a b a b a （当且仅当2,22==b a 时取等号）所以b a +2的最小值为22.……………………………………………………12分20.（1）证明：取CD 中点F ，连接EF CDE ∆ 是等边三角形，EF CD∴⊥,,ECD BCD ECD BCD CD EF ECD ⊥=⊂ 平面平面平面平面平面EF BCD∴⊥平面……………………………………………………2分又AB BCD⊥ 平面//EF AB∴……………………………………………………4分,EF CDE AB CDE ⊂⊄ 又平面平面//AB CDE∴平面……………………………………………………5分（2）解：过点B 作BP CD ∥，以B 为坐标原点，分别以BP ，BD ，BA的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，AB a=设则()0,0,A a ，()0,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，(1,E ，故()2,2,AC a =- ，(CE =- ，()0,2,0BD= ，(1,BE =．设平面ACE 的法向量为()111,,m x y z =，则111112200m AC x y az m CE x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，得()2m a =-．……………………………………………7分设平面BDE 的法向量为()222,,n x y z =，则22222020n BD y n BE x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令2x =，得)1n =- ．………………9分设平面ACE 与平面BDE 的夹角为θ，则219cos cos ,,19n m m n n m θ⋅=<>==a ∴=AB ∴=……………………………………………………12分21．解：（1）根据题意可得X ＝0，1，2，又P （X ＝0）=100102202=938，P （X ＝1）=101101202=1019，P （X ＝2）=102100202=938，∴X 的分布列为：X 012P9381019938……………………………………………………3分∴E （X ）=0×938+1×1019+2×938=1；…………………………………………5分（2）（i ）20个数据从小到大排列后，中位数m 即为第10位和第11位数的平均数，第10位数为23.2，第11位数为23.6，∴m =23.2+23.62=23.4，……………………………………………………7分∴补全列联表为：m<m≥合计对照组2810实验组8210合计101020……………………………………………………8分（ii ）由（i ）可知2=20×(2×2−8×8)210×10×10×10=7.200＞3.841，…………………………10分∴能有95%的把握认为药物对小白鼠生长有抑制作用．……………………………12分22.解：（1）()(),f x m n 设的对称中心为，()y f x m n ∴=+-为奇函数()()f x m n f x m n ∴-+-=-++恒成立log log 222x m x mn aa x m x m -++∴+=-++++恒成立……………………………………2分()222222m x n a m x -∴=+-恒成立()()()2222212021022220n n a x m m a n a n m m a ∴-+-+=⎧-=⎪∴⎨⎪-+=⎩恒成立0,1n m ∴==-()()1,0.f x ∴-的对称中心为……………………………………………………5分（2）()()1,0,f x - 的对称中心为()()20f x f x ∴+--=[]()()[]()()2,3,42122,3,4232x x x x f a f x x x x f a f ⎡⎤∈+≤--⎢⎥⎣⎦⎡⎤∴∀∈+≤-+⎢⎥⎣⎦恒成立恒成立……………………………7分()()1,log 0,2xa f x ax >=+∞+当时在单调递增，[]()2,3,4232x x x x a ∴∀∈+≤-+有恒成立[]232,3,42x x a x x -∴∀∈≤+恒成立[]11231,52122071271120tx t y t t t t a a a =-∈==≥++++∴≤>∴ 令无解…………………………9分()()01,log 0,2xa f x ax <<=+∞+当时单调递减，[]()2,3,4232x x x x a ∴∀∈+≥-+有恒成立[]232,3,42x x a x x -∴∀∈≥+恒成立[]1231,57212712770171tx t y t t t ta a a =-∈==≤-++++∴≥-<<∴-<令71a -≤<综上：……………………………………………12分。

2020届江苏省南京十校上学期12月高三联合调研数学试题第I 卷（选择题)第II 卷（非选择题)一、填空题1．已知集合{}1,2A =，{}1,2,3B =-，则集合A B =U ______.2．已知复数21i z i=+，(i 为虚数单位)则复数z 的实部为 . 3．根据如图所示的伪代码，则输出I 的值为______.4．某校高一、高二、高三年级的学生人数比为3:3:2，为调查该校学生每天用于课外阅读的时间，现按照分层抽样的方法取若干人，若抽取的高一年级人数为45人，则抽取的样本容量为______.5．函数f(x)=ln(1)x +____________.6．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为______.7．在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程为______.8．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()y f x ϕ=-（02πϕ<<）是偶函数，则ϕ=______.9．已知数列{}n a 是首项为1，公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，若2a ，6a ，22a 成等比数列，则10S =______.10．某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为______.时，可使得所用材料最省.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：0x m +-=，点()3,0A ，动点P 满足2227PO PA -=.若P 点到直线l 的距离恒小于8，则实数m 的取值范围______.12．如图，在ABC ∆中，AB =2AC =，2BD DC =u u u r u u u r ，E 为AC 的中点，AD 与BE 交于点F ，G 为EF 的中点.AG CF ⋅=u u u r u u u r______.13．已知0a >，0b >，且31126a b a b ++≤+，则3ab a b+的最大值为______. 14．已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当[]0,4x ∈时，()()x x f x =，关于x 的不等式()()20f x af x +>在区间[]400,400-上有且仅有400个整数解，则实数a 的取值范围______.二、解答题15．已知分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，且3tan 4A =（1）若65a =，2b =，求边c 的长；（2）若()sin 10A B -=，求tan B 的值 16．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC ∆为正三角形，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，平面11AA C C ⊥平面ABC ，11A E AC ⊥.（1）求证：//DE 平面11AB C ；（2）求证：1A E ⊥平面BDE .17．如图，已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点到相应准线的距离为3，离心率为12，过右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 、CD ，设AB ，CD 的中点分别为M 、N .（1）求椭圆的标准方程；（2）若弦AB ，CD 的斜率均存在，且OMF ∆和ONF ∆的面积分别为1S ，2S ，试求当12S S 最大时的方程.18．如图，某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形，其中：AB CD ∥，AB BC ⊥，75DAB ∠=︒，AD 长1千米，AB千米，公园内有一个形状是扇形的天然湖泊DAE ，扇形DAE 以AD 长为半径，弧DE 为湖岸，其余部分为滩地，B ，D 点是公园的进出口.公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道：线段BQ -线段QP -弧PD ，其中Q 在线段BC 上（异于线段端点），QP 与弧DE 相切于P 点（异于弧端点］根据市场行情BQ ，OP 段的建造费用是每千米10万元，湖岸段弧PD 的建造费用是每千米)2013万元（步行道的宽度不计），设PAE ∠为θ弧度观光步行道的建造（1）求步行道的建造费用w 关于θ的函数关系式，并求其走义域；（2）当θ为何值时，步行道的建造费用最低？19．已知函数()3232f x x x x =-+，()g x tx =，t R ∈. （1）求函数()()xf x e x xϕ⋅=的单调增区间； （2）令()()()h x f x g x =-，且函数()h x 有三个彼此不相等的零点0，m ，n ，其中m n <. ①若12m n =，求函数()h x 在 x m =处的切线方程； ②若对[],x m n ∀∈，()16h x t ≤-恒成立，求实数t 的去取值范围.20．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足23a =，2420S S +=，数列{}n b 是首项为2，公比为q （0q ≠）的等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设正整数k ，t ，r 成等差数列，且k t r <<，若11k r r k a b a b a b +=+=+，求实数q 的最大值；（3）若数列{}n c 满足,21,2k n k a n k c b n k=-⎧=⎨=⎩，k *∈N ，其前n 项和为n T ，当3q =时，是否存在正整数m ，使得221m m T T -恰好是数列{}n c 中的项？若存在，求岀m 的值；若不存在，说明理由. 21．已知点()2,2P ，在矩阵21a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为点()4,6Q . （1）求a 和b 的值；（2）若直线l 在M 对应的变换作用下变为直线20x y +=，求直线l 的方程.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1,232,x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是42sin 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求线段AB 的长.23．设函数()22f x x x =-++，若不等式242a b a b a --+≤()f x 对任意a ，b R ∈，且0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围.24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 在直线10x y +-=上，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交抛物线C 于A ，B 两点，交该抛物线的准线于D ，E 两点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若F 在线段AB 上，P 是DE 的中点，证明：AP EF P .25．甲、乙两人用一颗均匀的骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）做抛掷游戏，并制定如下规则：若掷出的点数不大于4，则由原掷骰子的人继续掷，否则，轮到对方掷.已知甲先掷.（1）若共抛掷4次，求甲抛掷次数的概率分布列和数学期望；（2）求第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率.参考答案1．{}1,1,2,3-【解析】【分析】利用并集定义直接求解．【详解】∵集合{}1,2A =，{}1,2,3B =-∴集合{}1,1,2,3A B ⋃=-.故答案为：{}1,1,2,3-．【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．1【解析】 试题分析：22(1)=112i i i z i i -==++，所以实部为1 考点：复数概念3．10【解析】【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S ，I 的值，直到S 不满足条件跳出循环，输出I 的值即可．【详解】模拟程序的运行，可得1S =，1I =.满足条件12S ≤，执行循环体，2S =，4I =；满足条件12S ≤，执行循环体，6S =，7I =；满足条件12S ≤，执行循环体，13S =，10I =；不满足条件12S ≤，退出循环，输出I 的值为10.故答案为：10.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的S ，I 的值是解题的关键，属于基础题．4．120【解析】【分析】设样本容量为n ，由抽取的高一年级人数为45人，利用分层抽样的性质能求出抽取的样本容量．【详解】某校高一、高二、高三年级的学生人数比为3：3：2，为调查该校学生每天用于课外阅读的时间，现按照分层抽样的方法取若干人，设样本容量为n .∵抽取的高一年级人数为45人 ∴332451203n ++=⨯=. 故答案为；120.【点睛】本题考查样本容量的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．(]1,2-.【解析】【分析】由题意得到关于x 的不等式组，解不等式组可得函数的定义域．【详解】由题意得21040x x +>⎧⎨-≥⎩，解得12x -<≤， 所以函数的定义域为(]1,2-．【点睛】已知函数的解析式求函数的定义域时，可根据解析式的特征得到关于自变量x 的不等式（组），解不等式（组）后可得函数的定义域．6．1 3【解析】【分析】先求出基本事件总数326n=⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m=⨯=，由此能求出两人均未抽到标有数字3的卡片的概率．【详解】甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），基本事件总数326n=⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m=⨯=，则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为2163mpn===.故答案为：13．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．y x=【解析】【分析】利用双曲线的离心率求出a，b关系，然后求解渐近线方程即可．【详解】由已知可知离心率32cea==，2222294c a ba a+==，即2254ba=.∵双曲线22221x ya b-=的焦点在x轴上∴该双曲线的渐近线方程为by xa=±，即y x=.故答案为：y x=.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8．512π 【解析】【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的对称性的应用求出结果．【详解】∵函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴函数()sin 223y f x x πϕϕ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭ ∵函数()y f x ϕ=-（02πϕ<<）是偶函数 ∴232k ππϕπ-+=+，k Z ∈ ∴212k ππϕ=--，k Z ∈ ∵02πϕ<<∴当1k =-时，512πϕ=. 故答案为：512π. 【点睛】 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．145【解析】【分析】设等差数列的公差为d ，0d >，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d ，由等差数列的求和公式，计算可得所求和．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，0d >. ∵2a ，6a ，22a 成等比数列∴26222a a a =，即()()()2111521a d a d a d +=++.∴133d a ==∴101104510453145S a d =+=+⨯=. 故答案为：145． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 10．12【解析】 【分析】设圆柱的高为h ，底面半径为r ，根据容积为128π个立方单位可得2128r h ππ=，再列出该圆柱的表面积，利用导数求出最值，从而进一步得到圆柱的底面半径和高的比值． 【详解】设圆柱的高为h ，底面半径为r .∵该圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位 ∴2128r h ππ=，即2128h r=. ∴该圆柱形的表面积为222212825622222S r rh r r r r rππππππ=+=+⋅=+. 令()22562g r r r ππ=+，则()22564g r r r ππ'=-. 令()0g r '>，得4r >； 令()0g r '<，得04r <<.∴()g r 在()0,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增. ∴当4r =时，()g r 取得最小值，即材料最省，此时12r h =.故答案为：12. 【点睛】本题考查函数的应用，解答本题的关键是写出表面积的表示式，再利用导数求函数的最值，属中档题． 11．()9,3- 【解析】 【分析】设(),P x y ，由已知列式求得点P 的轨迹方程，可得P 在以()3,0-为圆心，以5为半径的圆上，把P 点到直线l 的距离恒小于8，转化为圆心到直线的距离小于3列式求解，即可得到m 的取值范围． 【详解】 设(),P x y .∵()3,0A ，动点P 满足2227PO PA -=∴()()2222237x y x y ⎡⎤+--+=⎣⎦，即()22325x y ++=. ∴P 在以()3,0-为圆心，以5为半径的圆上 ∵P 点到直线l：0x m +-=的距离恒小于83<，解得93m -<<.故答案为：()9,3-. 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 12．34-【解析】 【分析】根据2BD DC =u u u r u u u r ，设2133AF AD AB AC λλ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r ，再根据B ，F ，E 三点共线，设()112AF AB AE AB AC μμμμ-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即可求出λ，从而得出AF u u u r ，CF uuur ，进而求出AG CF ⋅u u u r u u u r的值.【详解】根据2BD DC =u u u r u u u r ，设2133AF AD AB AC λλ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r∵F ，E ，B 三点共线∴设()112AF AB AE AB AC μμμμ-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴23132λμλμ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得34λ=∴1124AF AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，11132448AG AF AE AB AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，1324CF CA AF AB AC =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴2211313119224242416AG CF AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∵AB =2AC =，∴11933424164AG CF ⎛⎫⋅=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r故答案为：34-. 【点睛】本题考查了向量数乘的几何意义，向量减法的几何意义，向量数量积的运算，考查了计算和推理能力，属于中档题． 13．19【解析】 【分析】将不等式两边同乘以31a b+，再将不等式两边化简，然后利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】∵0a >，0b >，且31126a b a b++≤+ ∴()23131126a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+++≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()31361863631126312156b a b a a b a b a a b b ab a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++=++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()313131126156276a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥++=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当6a b =时取等号.令()310t t a b+=>，原不等式转化为2276t t +≤，解得9t ≥. ∴1113139ab a b t a b ==≤++故答案为：19.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.14．31223e ,e --⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】由已知条件可知函数()f x 关于直线4x =对称，周期为8，故不等式()()20f x af x +>在区间[]0,8上有且仅有4个整数解，作出函数图象，进而得解． 【详解】∵()f x 满足()()44f x f x +=- ∴函数()f x 关于直线4x =对称 ∵函数()f x 为偶函数 ∴()()()8f x f x f x +=-=∴()f x 周期为8，则在区间[]400,400-上有100个周期 ∵()()20f x af x +>在[]400,400-上有且仅有400个整数解 ∴()()20fx af x +>在[]0,8有且仅有4个整数解当04x ≤≤时，()()xxf x =，则()()112xx f x -'=.∴令()0f x '>，则02x ≤<，()f x 在[)0,2上单调递增；令()0f x '<，则24x <≤，()f x 在(]2,4上单调递减，其中()22f e=. 做出函数在区间[]0,8上的图象如图所示：∵()1f =，()()31f f =>，()()20f x af x +>在[]0,8上有4个整数解，则()f x a >-在[]0,8上有4个整数解.a ≤-<∴a <≤. 故答案为：31223e ,e --⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查函数性质的运用及导数在解决函数问题中的应用，考查数形结合思想及转化能力，属于较难题目． 15．（1）85c =；（2）13【解析】 【分析】（1）由正切值可得0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进而可求得sin A 与cos A ，再由余弦定理即可求得边c 的值；（2）根据()sin A B -=，求得()cos A B -，进而求得()tan A B -，从而可求出tan B 的值. 【详解】（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =可知0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即216640525c c -+=，解得85c =. （2）由0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()0,B π∈，得,2A B ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭. 又()sin 010A B -=>，则0,2A B π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则()cos 0A B ->.所以()cos A B -==，所以()()()sin 1tan cos 3A B A B A B --==- 所以()()()31tan tan 143tan tan 311tan tan 3143A AB B A A B A A B---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅. 【点睛】考查余弦定理及两角差的正弦公式，给出一个角的三角函数值，求其他三角函数值，属于简单题．16．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，即可证明1//DE AC ，从而可证//DE 平面11AB C ；（2）先根据ABC ∆为正三角形，且D 是AC 的中点，证出BD AC ⊥，再根据平面11AA C C ⊥平面ABC ，得到BD ⊥平面11AAC C ，从而得到1BD A E ⊥，结合11A E AC ⊥，即可得证． 【详解】（1）∵D ，E 分别是AC ，1CC 的中点 ∴1//DE AC∵DE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ∴//DE 平面11AB C .（2）∵ABC ∆为正三角形，且D 是AC 的中点 ∴BD AC ⊥∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，且平面11AAC C I 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ∴BD ⊥平面11AAC C ∵1A E ⊂平面11AAC C ∴1BD A E ⊥∵11A E AC ⊥且1//DE AC ∴1A E DE ⊥∵DE ，BD ⊂平面BDE ，且DE BD D ⋂= ∴1A E ⊥平面BDE . 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中档题．17．（1）22143x y +=；（2）10x y +-=或10x y --= 【解析】 【分析】（1）直接根据椭圆的几何性质得到a ，b 的值；（2）设出直线AB 的方程与椭圆方程联立，求出OMF ∆的面的表达式，同理求出ONF ∆的面积不等式，从而可求出12S S ，利用基本不等式即可求其最大值，从而得解. 【详解】（1）由题意：23a c c-=，12c e a ==，则2a =，1c =，b =22143x y +=. （2）由题意可得()1,0F .∵AB ，CD 斜率均存在，设直线AB 方程为：()1y k x =-（0k ≠），()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,122x x x x M k ⎛++⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∴由()221,3412,y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()22223484120k x k x k +-+-=. ∴2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，则22243,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.∴同理可得2243,3434k N k k ⎛⎫⎪++⎝⎭∴()12312234M k S OF y k =⋅⋅=+，()22312234Nk S OF y k =⋅⋅=+ ∴()21242229911441225121225k S S k k k k ==⋅⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，∵2212k k +≥，当且仅当221k k=即1k =±时取等号 ∴当1k =±时，12S S 最大，此时直线AB 的方程为10x y +-=或10x y --=. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积的最值等，考查函数最值，重要不等式，属于难题. 18．（1）)1cos 25101sin 312w θπθθ⎡-⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，定义域：5,412ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）当3πθ=时，步行道的建造费用最低. 【解析】 【分析】（1）以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，可得»DE所在圆的方程为221x y +=，可得()cos ,sin P θθ，从而求得PQ 所在直线方程，与BC 所在直线方程联立求得Q 坐标，即可得到BQ 与PQ ，再由弧长公式求»DP的长，再根据QP 与»DE 相切于P 点（异于弧端点）与512DAB π=∠，即可求得函数关系式与其定义域； （2）令()1cos 25sin 312f θπθθθ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用导数求使步行道的建造费用最低时的θ值．【详解】（1）以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则»DE所在圆的方程为221x y +=，()cos ,sin P θθ，)B ，直线PQ ：cos sin 1x y θθ+=.∵直线BC的方程为x =∴1sin Q θθ⎫⎪⎪⎭.所以BQ =，PQ =，弧PD 长512πθ=-，所以)2011cos 510sin sin 312w θθπθθθ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得)1cos 25101sin 312w θπθθ⎡-⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.∵QP 与»DE 相切于P 点（异于弧端点），512DAB π=∠ ∴定义域：5,412ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭. （2）令()1cos 25sin 312fθπθθθ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，求导得()21cos 2sin 3f θθθ-'=-，令()21cos 20sin 3f θθθ-'=-=， cos 1θ=（舍去），1cos 2θ=，3πθ=，所以当3πθ=时，()fθ最小，即w 最小，当3πθ=时，步行道的建造费用最低.【点睛】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查直线与圆位置关系的应用，利用导数求最值，是中档题．19．（1）单调增区间是⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭；（2）①1y x =-+，②124t -<<或211t <≤ 【解析】 【分析】（1）先求得函数()()xf x e x xϕ⋅=，对函数()x ϕ求导，令()x ϕ'大于零，解不等式即可求得单调增区间；（2）易知3m n +=，2mn t =-，①求出m ，n 的值，进而求得切线方程；②由对[],x m n ∀∈，()16h x t ≤-恒成立，可得()max 16h x t ≤-，分302m n <<<与0m n <<两种情况讨论，从而可求得t 的取值范围． 【详解】（1）∵()()x f x e x xϕ⋅=，()3232f x x x x =-+∴()()232xx x x e ϕ=-+∴()()21xx x x e ϕ'=--，令()0x ϕ'>，得12x -<x >∴()x ϕ的单调增区间是⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭.（2）由方程()0h x =，得m ，n 是方程()2320x x t -+-=的两实根，故3m n +=，2mn t =-，且由判别式得14t >-.①若12m n =，得1m =，2n =，故22mn t =-=，得0t =，因此()11h '=-，故函数()h x 在1x =处的切线方程为1y x =-+. ②若对任意的[],x m n ∈，都有()16h x t ≤-成立，所以()max 16h x t ≤-. 因为3m n +=，m n <，所以302m n <<<或0m n <<. 当302m n <<<时，对[],x m n ∈有()max 0h x =，所以016t ≤-，解得16t ≤.又因为20mn t =->，得2t <，则有124t -<<；当0m n <<时，()()2362h x x x t '=-+-，则存在()h x 的极大值点()1,0x m ∈，且211362t x x =-+.由题意得()()3211113216h x x x t x t =-+-≤-，将211362t x x =-+代入得321113370x x x -++≥进而得到()3118x -≥-，得110x -≤<. 又因为211362t x x =-+，得211t <≤.综上可知t 的取值范围是124t -<<或211t <≤. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查导数的几何意义，考查运算求解能力及分类讨论思想，属于中档题．本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等． 20．（1）21n a n =-；（2）12-；（3）存在，1m =或2m = 【解析】 【分析】（1）根据等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足23a =，2420S S +=，可得数列{}n a 的通项公式；（2）根据k ，t ，r 成等差数列与11k r r k a b a b a b +=+=+，推导出2t k rq q q +=，从而得出()2r k t k -=-，令t k n -=，则2210n nq q --=，从而可得q 的最大值；（3）根据题设条件可得()2221212212131333131m m m m m m T m T m m ----+-==-≤+-+-，再利用221m m T T -恰好是数列{}n c 中的项，可得只能为1c ，2c ，3c ，利用分类思想，即可求出m 的值． 【详解】（1）等差数列中，23a =，2420S S +=，111324620a d a d a +=⎧∴⎨+++=⎩解得11a =，2d =，21n a n ∴=-. （2）正整数k ，t ，r 成等差数列，且k t r <<，若k t t r r k ab a b a b +=+=+，111212212212t r k k q t q r q ---∴-+=-+=-+，11t r t k q q --∴-=-，11r k r t q q ---=-又t k r t -=-1111t r r k qq q q ----∴-=-整理可得2t k r q q q +=.210r k t k q q --∴--=.又t k r t -=-，()2r k t k ∴-=-，令t k n -=，则2210n nq q --=，12n q ∴=-或1. 又1q ≠±，12nq ∴=-.∴n 为奇数，10q -<<，112n q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为递减数列∴当1n =时，q 取最大值12-. （3）由题意得()()2221312131213mm mm m Tm -+-=+=+--，2112212312331m m m m m m T T c m m ---=-=+--⋅=+-.()2221212212131333131m m m m m m T m T m m ----+-∴==-≤+-+- 若221m m T T -恰好是数列{}n c 中的项只能为1c ，2c ，3c ， 第一类：若21211mm T c T -==，则130m -=，所以m 无解；第二类：若221212mm T c b T -===，则12310m m --+=.由题意1m =不符合题意，2m =符合题意.当3m ≥时，令()1231x f x x -=-+（3x ≥），则()13ln32x f x x -'=-，设()13ln32x g x x -=-，则()()213ln320x g x -'=->，即()f x ¢为增函数，故()()30f x f ''≥>，()f x \为增函数.故()()310f x f ≥=>，即当3m ≥时，12310m m --+=无解，即2m =是方程唯一解.第三类：若232213mm T c a T -===，则21m =，即1m = 综上所述，1m =或2m =. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题． 21．（1）0a =，2b =；（2）30x y += 【解析】 【分析】（1）由矩阵的点变换可得a ，b 的方程组，解方程可得a ，b 的值；（2）设直线l 上任意一点()00,P x y 经矩阵M 变换为(),P x y '''，由点变换可得方程，即可得到所求直线l 的方程． 【详解】（1）224126a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，424226a b +=⎧⎨+=⎩解得02a b =⎧⎨=⎩，∴0a =；2b =.（2）由（1）知2021M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，M T ：202212x x x y y x y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 设直线l 上任意一点()00,P x y 经矩阵M 变换为(),P x y '''，则00022x x y x y ='=+'⎧⎨⎩.∵20x y ''+=，∴()0002220x x y ++=即0030x y +=， ∴直线l 的方程为30x y +=.【点睛】本题考查矩阵的点变换，考查方程思想和运算能力，属于基础题．22．（1）l 20y -+=，C ：()()22228x y -+-=；（2）【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换； （2）由（1）可得曲线C 是圆，求出圆心坐标及半径，再求得圆心到直线的距离，即可求得AB 的长. 【详解】（1）由题意可得直线l 20y -+=，由4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得24cos 4sin ρρθρθ=+，即2244x y x y +=+，所以曲线C ：()()22228x y -+-=.（2）由（1）知，圆()2,2C ，半径r =∴圆心到直线l 的距离为：d ==∴AB ===【点睛】本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法、运算求解能力，是中档题． 23．52x ≤-或52x ≥ 【解析】 【分析】先由()()2422425a b a b a b a b a --+≤-++=，可得()5f x ≥，从而可得实数x 的范围. 【详解】()()2422425a b a b a b a b a --+≤-++=Q又0a ≠Q0a ∴>，由题意，得()5a a f x ≤.∴()5f x ≥，则225x x -++≥，解得52x ≤-或52x ≥. ∴x 的取值范围是52x ≤-或52x ≥ 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的几何性质及求解方法，考查学生对基础知识的掌握情况.24．（1）24y x =；（2）见解析【解析】 【分析】（1）根据抛物线的焦点在直线10x y +-=上，可求得p 的值，从而求得抛物线的方程； （2）法一：设直线1l ，2l 的方程分别为y a =和y b =且0a ≠，0b ≠，a b ¹，可得A ，B ，D ，E 的坐标，进而可得直线AB 的方程，根据F 在直线AB 上，可得4ab =-，再分别求得AP k ，EF k ，即可得证；法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121,2y y P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据直线AB 的斜率不为0，设出直线AB 的方程为1x my -=，联立直线AB 和抛物线C 的方程，结合韦达定理，分别求出AP k ，EF k ，化简AP EF k k -，即可得证. 【详解】（1）抛物线C 的焦点F 坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且该点在直线10x y +-=上，所以102p-=，解得2p =，故所求抛物线C 的方程为24y x = （2）法一：由点F 在线段AB 上，可设直线1l ，2l 的方程分别为y a =和y b =且0a ≠，0b ≠，a b ¹，则2,4a A a ⎛⎫⎪⎝⎭，2,4b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,D a -，()1,E b -.∴直线AB 的方程为222444b aa y a xb a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭-，即()40x a b y ab -++=.又点()1,0F 在线段AB 上，∴4ab =-. ∵P 是DE 的中点，∴1,2a b P +⎛⎫- ⎪⎝⎭∴224224142APa ba a a k a a a ++-===++，4222EF AP b a k k a -====--.由于AP ，EF 不重合，所以//AP EF法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121,2y y P +⎛⎫- ⎪⎝⎭当直线AB 的斜率为0时，不符合题意，故可设直线AB 的方程为1x my -=联立直线AB 和抛物线C 的方程214x my y x-=⎧⎨=⎩，得2440y my --=又1y ，2y 为该方程两根，所以124y y m +=，124y y =-，()()112121112121APy y y y y kx x -+-==++，22EF y k =-. ()()()()()211121122112111114144021111AP EFy y y y y y y y x y y x k k x x x x -++-+++-=====++++，EF AP k k = 由于AP ，EF 不重合，所以//AP EF 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．25．（1）分布列见解析，()7427E ξ=；（2）2111263n n P -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）分别求出点数不大于4的概率和大于4的概率，设甲抛掷次数为ξ，ξ的可能取值为1，2，3，4，进而可得甲抛掷次数的概率分布列和数学期望；（2）设第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率为n P ，则第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷这个事件包含第1n -次由乙抛掷，第n 次仍由乙抛掷和第1n -次由甲抛掷，第n 次由乙抛掷这两个互斥的事件，进而得出()1121133n n n P P P --=⋅+-⋅，从而可得1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，根据213P =，结合等比数列，即可得到n P . 【详解】（1）由已知，掷出的点数不大于4的概率为23，大于4的概率为13，抛掷4次，设甲抛掷次数为ξ，ξ的可能取值为1，2，3，4.()1224133327P ξ==⋅⋅=，()2121111217233333333327P ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，()2212111128333333333327P ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，()2228433327P ξ==⋅⋅=，分布列：则()47887412342727272727E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅= （2）设第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率为n P ，则第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷这个事件包含第1n -次由乙抛掷，第n 次仍由乙抛掷和第1n -次由甲抛掷，第n 次由乙抛掷这两个互斥的事件，所以，()111211113333n n n n P P P P ---=⋅+-⋅=+（3n ≥）， 所以，1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=（3n ≥），又213P =，所以，21126P -=- 所以，当2n ≥，n *∈N 时，12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，则2111263n n P -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，所以，2111263n n P -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率2111263n n P -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查的知识点是随机变量的分布列和数学期望，互斥事件概率加法公式，关键是对题意的理解，是难题.。

2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研数学试题一、单选题1．已知集合3|0,2x A x x R x -⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，{}|24,B x x x Z =≤≤∈，则A B =（ ） A ．[]2,3 B ．(]2,3 C ．{}2,3 D ．{}3答案：D首先解分式不等式得到{}|23A x x =<≤，再求A B 即可. 解：{}3|0,|232x A x x R A x x x -⎧⎫=≤∈⇒=<≤⎨⎬-⎩⎭， {}{}|24,2,3,4B x x x Z =≤≤∈=，所以{}3A B ⋂=. 故选：D2．“m =-2”是“直线l 1: mx +4y +4=0与直线l 2: x +my +1=0平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A利用充分条件和必要条件的定义判断.解：因为m =-2，所以直线l 1: x -2y -2=0，直线l 2: x -2y +1=0平行，故充分； 当直线l 1: mx +4y +4=0与直线l 2: x +my +1=0平行时，24m =， 解得2m =或2m =-，当2m =时，直线l 1: x +2y +2=0与直线l 2: x +2y +1=0平行，当2m =-时，直线l 1: x -2y -2=0，直线l 2: x -2y +1=0平行，故不必要， 故选：A3．已知向量a =(3，2)， b =(2m -1，3)，若a 与b 共线，则实数m =（ ） A ．114B ．5C ．72D ．1答案：A利用向量共线的坐标运算计算即可. 解：由已知a 与b 共线得()33221m ⨯=⨯-，解得114m =故选：A.4．若椭圆22x a +22y b =1(0a b >>)的离心率为32，短轴长为6，则椭圆的焦距为（ ）A ．43B ．8C ．63D ．83答案：C根据离心率结合短轴长度，即可求得c ，再求焦距即可. 解：因为短轴长度为6，即26b =，故可得3b =；又离心率为22239112b a a=-=-，解得6a =；故可得22227c a b =-=，则33c =，故焦距263c =. 故选：C.5．己知等比数列{}n a 满足538a a -=，6424a a -=， 则3a =（ ） A ．3 B ．3- C ．1 D ．1-答案：C设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，根据已知条件可得出关于1a 、q 的方程组，解出这两个量的值，即可求得3a 的值.解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，由已知可得()()225313264118124a a a q q a a a q q ⎧-=-=⎪⎨-=-=⎪⎩，解得1193a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 因此2311a a q ==.故选：C. 6．我们从商标中抽象出一个图象如图所示，其对应的函数解析式可能是()f x =（ ）A ．1|1|x - B ．1|||1|x -C ．211x - D ．211x +根据函数的奇偶性及定义域和取特值可排除得选项.解：根据函数的图像可知，函数为偶函数，且定义域为{|1}x x ≠±， 判断四个选项，只有1|||1|x -和211x -符合，又因为()f x =211x -时，有的函数值是负数，例如1(2)3f =-不符合，所以只有()f x =1|||1|x -成立，故选：B.7．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为 A ．5:6π B ．6:2π C ．:2π D ．5:12π答案：B作出过正方体的对角面的截面，设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，在直角C CO '∆中，由勾股定理，得222CC OC OC ''+=，求得球的半径62R a =，利用体积公式，即可求解. 解：作出过正方体的对角面的截面，如图所示， 设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，那么2,2aCC a OC '==， 在直角C CO '∆中，由勾股定理，得222CC OC OC ''+=, 即2222()2a a R +=，解得62R a =， 所以半球的体积为333114266()23322V R a a πππ=⨯=⨯=，正方体的体积为32V a =，所以半球与正方体的体积比为336:6:22a a ππ=，故选B.本题主要考查了球的内接组合体的性质，以及球的体积与正方体的体积的计算，其中解答中正确认识组合体的结构特征，作出过正方体的对角面的截面，利用勾股定理求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于基础题.8．已知向量a b c ，，，满足a =c =1，b =7a c ⋅，=12，若a b +=λc (R λ∈)， 则λ=（ ） A ．3B ．2-C ．3或2-D ．3-或2根据题意，利用数量积的运算法则，结合已知条件，即可求得参数λ. 解：因为a b +=λc ，故可得b c a λ=-， 两边平方可得：22222b c a a c λλ=+-⋅， 代值可得：271λλ=+-，整理得：260λλ--=， 解得3λ=或2-. 故选：C.9．已知实数(),,0,a b c e ∈，且22a a =，33b b =，55c c =，则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<答案：A 构造函数()ln xf x x=，判断函数单调性，比大小. 解：由22a a =，33b b =，55c c =，得ln ln 22a a =，3ln ln 3b b =，ln ln 55c c =， 又252ln5ln5ln 25ln 2=<=，即ln 5ln 252<， 同理323ln 2ln 2ln 32ln 3=<=，即ln 2ln 323<， 所以ln5ln 2ln3523<<，即ln ln ln c a b c a b<<， 设函数()ln x f x x=()0,x e ∈，()21ln 0xf x x -'=>在()0,e 上恒成立，故函数()f x 在()0,e 上单调递增， 所以c a b <<， 故选：A. 二、多选题10．已知i 为虚数单位，复数z 满足()10z 2i i +=，则下列说法正确的是（ ）A ．复数z 的虚部为1i 5B ．复数z 的共轭复数为21i 55-C ．复数zD ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限.答案：CD根据复数的运算得21z i 55=-+，再依次讨论各选项即可得答案.解：解：因为()5102i i 1==-，所以()102i i 121z i 2i 2i 555---====-+++，所以复数z 的虚部为15,复数z 的共轭复数为21i 55--,故A ，B 选项错误；复数z复数z 在复平面内对应的点21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故CD 选项正确.故选：CD11．已知正实数a ，b 满足a +b =2，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．ab ≤1 B ．1a +2bCD ．ln a ln b ≤0答案：ACD根据正实数a ，b 满足a +b =2，利用基本不等式逐项判断. 解：因为正实数a ，b 满足a +b =2，所以212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故A 正确；所以1a+()(211212113332222b a a b b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当2b a a b=时，等号成立，故B 错误；因为2a b =++，故C 正确；因为ln a ln b 2222ln ln ln ln 20222a b a b ab ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪≤=≤= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，故D 正确； 故选：ACD12．已知互不相同的两条直线,m n 和两个平面,αβ，下列命题正确的是（ ） A ．若//m α，n αβ=，则//m nB ．若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥C ．若m α⊥，βn//， 且m n ⊥，则//αβD ．若m α⊥，βn//， 且//m n ， 则αβ⊥ 答案：BD根据直线与直线，直线与平面和平面与平面的位置关系和特殊图形依次判断选项即可得到答案.解：对选项A ，若//m α，n αβ=，则m 与n 的位置关系为平行或异面，故A 错误；对选项B ，若m n ⊥，m α⊥，则n ⊂α或//n α， 又因为n β⊥，所以αβ⊥，故B 正确. 对选项C ，在长方体中，如图所示：满足m α⊥，βn//， 且m n ⊥，此时α与β的位置关系为相交，故C 错误. 对选项D ，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又因为βn//，则存在l β⊂，l α⊥，所以αβ⊥，故D 正确. 故选：BD13．下列关于L 型椭圆C ：42116y x +=的几何性质描述正确的是（ ） A ．图形关于原点成中心对称 B ．44y -≤≤C ．其中一个顶点坐标是()0,2-D ．曲线上的点到原点的距离最大值为2答案：ACD根据曲线方程，结合曲线的对称性、范围对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 解：A ：对方程42116y x +=，用,x y --分别替换,x y ，可知还是同一个方程， 故该图形关于原点成中心对称，A 正确；B ：因为421016y x =-≥，故可得416y ≤，解得24y ≤，即[]2,2y ∈-，故B 错误； C ：令0x =，解得416y =，可得2y =±，故其一个顶点坐标为()0,2-，C 正确；D ：因为()42222211851616y x y y y +=-+=--+，由B 知：[]2,2y ∈-， 故可得当2y =±时，22x y +取得最大值422x y +2， 即曲线上的点到原点的距离最大值为2，D 正确. 故选：ACD .本题考查由曲线方程研究曲线的性质，重点在于充分利用曲线方程，结合对称性以及范围的求解方法进行细致分析，属中档题. 三、填空题14．已知圆C ：224x y +=，直线l ：()1,y kx k k R =-+∈，则直线l 被圆C 截得的最短弦长为______________答案：根据直线方程求得直线l 恒过的定点，再结合几何关系以及弦长公式即可求得结果. 解：因为1y kx k =-+，故可得()11y k x -=-， 则直线l 恒过定点()1,1A ，且点()1,1A 在圆C 内； 当且仅当AC 垂直于l 时，直线l 被圆截得的弦长最短，此时圆心C 到直线l 的距离d AC ==，故最短的弦长为==.故答案为：15．已知cos()4πα+=π(0,)2α∈，则sin α=__________【解析】解：试题分析：cos()(0,)sin()424πππααα+=∈∴+=sin sin sin cos cos sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】三角函数基本公式16．甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为P ，乙胜的概率为1-p ，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827.现甲、乙进行7局比赛，采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数X 的数学期望为_____________ 答案：97282187根据当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827，求得每局比赛甲胜的概率P ，再由采取7局4胜制得到X 的可能取值为：4，5，6，7，分别求得其相应概率，列出分布列求解. 解：因为当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为827， 且每局比赛甲胜的概率为p ，乙胜的概率为1-p ，所以()2238127C p p p ⋅⋅-⋅=， 解得 21,133p p =-=，X 的可能取值为：4，5，6，7，则 ()()3333342216212644,53381333243p x C p x C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅===⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()323333562121602123206,73337293332187p x C p x C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅===⋅⋅⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为：所以采取7局4胜制，则甲获胜时比赛局数x 的数学期望为：()1664160320972845678124372921872187E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 故答案为：9728218717．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x )= ln x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交x 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交x 轴于点N ，设线段MN 的中点的横坐标为t ，则t 的最大值是_____________ 答案：11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭首先根据导数的几何意义得到切线为：()0001ln y x x x x -=-，切线l 的垂线为：()000ln y x x x x -=--，从而得到()000ln ,0M x x x -，000ln ,0x N x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，即可得到00000ln 12ln 2x t x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再构造()ln 2ln xg x x x x x=-+，利用导数求解最大值即可. 解：设()00,ln P x x ，()1f x x'=，则()001k f x x '==，则切线l 为：()0001ln y x x x x -=-， 令0y =，解得000ln x x x x =-，即()000ln ,0M x x x -. 切线l 的垂线为：()000ln y x x x x -=--， 令0y =，解得000ln x x x x =+，即000ln ,0x N x x ⎛⎫+⎪⎝⎭. 所以00000ln 12ln 2x t x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 设()ln 2ln xg x x x x x=-+， ()()()()22211ln 1ln 2ln 1x x x g x x x x +--'=-++=，令()0g x '=，解得e x =，则()0,e x ∈，()0g x '>，()g x 为增函数，()e,x ∞∈+，()0g x '<，()g x 为减函数. 所以()()max 1e e eg x g ==+，即t 的最大值为11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：11e 2e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题18．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图.(1)求函数()f x 的解析式;(2)将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，当,6x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()g x 值域.答案：(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)[3,2].（1）根据图象由函数最值求得A ，由函数周期求得ω，由特殊点求得ϕ，即可求得解析式； （2）根据三角函数图象的变换求得()g x 的解析式，再利用整体法求函数值域即可. (1)由图象可知，()f x 的最大值为2，最小值为2-，又0A >，故2A =，周期453123T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2||ππω∴=，0>ω，则2ω=， 从而()2sin(2)f x x ϕ=+，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，得5sin 16⎛⎫+=⎪⎝⎭πϕ， 则5262k ππϕπ+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=-+，k Z ∈，又||2ϕπ<，则3πϕ=-.()2sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.(2)将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，故可得2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象 故可得()2sin()6g x x π=-；[,]6x ππ∈-5[,]636x πππ∴-∈-，sin 6x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，()[2]g x ∴的值域为. 19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点到左、右焦点1F 、2F 的距离之和为4，且右顶点A 到右焦点2F 的距离为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)直线y kx =与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，记MNA △的面积为S ，当3S =时求k 的值. 答案：(1)221.43x y += (2)32k =±（1）根据题意得到24a =，1a c -=，再根据222a b c =+求解即可. （2）首先设()11,M x y ，()22,N x y ，再根据122121111222AMNS OA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-求解即可. (1)由题意24a =，2a =，因为右顶点A 到右焦点2F 的距离为1，即1a c -=，所以1c =，则b所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)设()11,M x y ，()22,N x y ，且2OA =根据椭圆的对称性得122121111222AMNSOA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-， 联立方程组22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得223(4)12y k +=，解得y = 因为AMN 的面积为3，可得12||3y y -==，解得32k =±. 20．设各项均为正数的数列{an }的前n 项和为Sn 满足4Sn =(an +1)2(1)证明数列{an }为等差数列，并求其通项公式； (2)求数列{}3nn a ⋅的前n 项和Tn答案：(1)证明见解析，21n a n =-(2)()1133n n T n +=-⋅+（1）直接采用作差法化简可得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，变形可得12n n a a --=，可证{an }为等差数列，结合通项公式可求n a ；（2）由（1）得()3213n nn a n ⋅=-⋅，结合错位相减法化简可求n T .(1)()()()22-1-14=14=12n n n n S a S a n +∴+≥，， ()()22114411n n n n S S a a --∴-=+-+，2211422n n n n n a a a a a --∴=-+-，()()1120n n n n a a a a --∴+--=，()10,22n n n a a a n ->∴-=≥，所以数列{}n a 为等差数列，11,1,n a == 21n a n ∴=-；(2)由（1）得()3213n nn a n ⋅=-⋅，所以()121333213=⨯+⨯++-⋅n n T n ，()()21313233213n n n T n n +=⨯++-⋅+-⋅()()2123233213n n n T n +∴-=+⨯++--⋅，()()21131323221313n n n T n -+⨯-∴-=+⨯--⋅-，()122236n n T n +∴-=-⋅-， ()1133n n T n +∴=-⋅+.21．击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花(或一小物件);另有一人背着大家或蒙眼击鼓(桌子、黑板或其他能发出声音的物体)，鼓响时众人开始传花(顺序不定)，至鼓停止为止，此时花在谁手中(或其座位前)，谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共9组，玩击鼓传花，(前五组)组号x 与组内女性人数y 统计结果如表: .(1)女性人数与组号x (组号变量x 依次为1， 2， 3， 4， 5， ... )具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数;（参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxybay bx xnx==-==--∑∑）(2)在(1) 的前提下，从9组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于5人的有X 组，求X 的分布列与期望.答案：(1)预测从第7组开始女性人数不低于男性人数 (2)分布列见解析，1.（1）根据题意，结合已知公式得0.6 1.2y x ∧=+，再解0.6 1.25x +≥即可估计得答案； （2）根据题意得X 的所有可能取值为0，1，2，3，再根据超几何分布求解即可. (1)解：由题可得()11234535x =⨯++++=，51223443,515i i i y x y =++++===∑，522222211234555i i x ==++++=∑．则51522150.6,30.63 1.25i ii ii x y x yb a y b x xx∧∧∧==-===-=-⨯=-∑∑所以0.6 1.2y x ∧=+ 当0.6 1.25x +≥时，193x ≥所以预测从第7组开始女性人数不低于男性人数． (2)解：由题可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，36395(0)21C C P X === 21633915(1)28C C C P X === 1263393(2)14C C C P X === 33391(3)84C C P X === 则X 的分布列为()1E X ∴=22．已知在平面四边形ABCD 中，1,2AB BD ==，BC =DB 为ADC ∠的角平分线 (1)若1cos 4A =，求BDC 的面积; (2)若4CD AD -=，求CD 长.答案： (2)6（1）根据题意，在三角形ABD 中由正弦定理得sin ADB ∠=，进而结合题意，在三角形BCD 中由余弦定理解得6CD =，在根据三角形面积公式计算即可；（2）设CD x =，由于cos cos ADB CDB ∠=∠，故在三角形ABD 和三角形CDB 中，结合余弦定理解方程得6x =. (1)解：在三角形ABD 中，由1cos 4A =得sin A 由正弦定理可得sin sin BD ABA ADB =∠，即21sin sin A ADB=∠所以1sin sin 2ADB A ∠==因为DB 为ADC ∠的角平分线，所以sin sin CDB ADB ∠=∠=， 因为AB BD <，故ADB ∠为锐角，故CDB ∠为锐角，故27cos 1sin 8CDB CDB ∠=-∠=在三角形BCD 中由余弦定理得2222cos BC CD DB CD DB CDB =+-⋅⋅∠ 所以227300CD CD --=，解得6CD =或52CD =-（舍） .所以1115315sin 622284BDCS DC DB CDB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=(2)解：设CD x =，则4AD x =-在三角形ABD 中由余弦定理可得22224)41cos 24(4)DA DB AB x ADB DA DB x +--+-∠==⋅-（在三角形CDB 中由余弦定理可得2222419cos 24DC DB CB x CDB DC DB x+-+-∠==⋅因为cos cos ADB CDB ∠=∠所以22(4)414194(4)4x x x x -+-+-=-，解得6x =或52x =（舍）综上所述CD 的长为6.23．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面为矩形，平面11AA D D ⊥平面11C CDD ，且1111122CC CD DD C D ====.(1)证明:11A D ⊥面11CC D D (2)若1A C 与平面11CC D D 所成角为3π，求锐二面角1C AA D --的余弦值. 答案：(1)证明见解析； 3【解析】(1)如图在梯形11CC D D 中，因为1111122CC CD DD C D ====，作11DH D C ⊥于H ，则11D H =，所以11cos 2DD H ∠=， 所以113DD C π∠=，连结1DC ，由余弦定理可求得123DC =，因为2221111DC DD D C +=，所以11DC DD ⊥，因为平面11AA D D ⊥平面11CC D D 且交于1DD ，1DC ⊂面11CC D D 所以1DC ⊥平面11AA D D ，因为AD ⊂平面11AA D D ，所以1AD DC ⊥，因为AD DC ⊥，1DC DC D ⋂=，1,DC DC ⊂面11CC D D ， 所以AD ⊥平面11CC D D . (2)连结11A C ，由（1）可知，11A D ⊥平面11CC D D ， 以1D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为11A D ⊥平面11CC D D ，所以1A C 在平面11CC D D 内的射影为1D C ， 所以1A C 与平面11CC D D 所成的角为11ACD ∠，即113ACD π∠=，在△1D DC 中，由余弦定理可得：2221112cos120D C DD DC DD DC =+-⨯⨯︒，即21144222122D C ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得1DC =在11Rt A CD中，因为1DC =116A D =， 则()10,0,0D ，()16,0,0A，(D，(C ，()10,4,0C ，所以(1D D =，()116,0,0D A =，()116,4,0AC =-，(1AC =- 设平面11AA D D 的法向量为(),,m x y z =， 则有11100m D D m D A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即060y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令3y =，则0x =，z =(0,3,m =， … 设平面11AAC C 的法向量为(),,n a b c =， 则有11100n A C n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即640630a b a b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令2a =，则3b =，c =(2,3,3n =，所以6cos ,23m n m n m n⋅===⨯故锐二面角1C AA D --24．己知函数()e mxf x x =(其中e 为自然对数的底数)(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当1m =时，若()ln 1f x x ax ≥++恒成立，求实数a 的取值范围. 答案：(1)答案见解析 (2)(],1-∞（1）()()'1mxf x mx e =+，进而分0m =，0m >，0m <三种情况讨论求解即可；（2）由题意知ln 1xx a e x+≤-在()0+∞，上恒成立，故令ln 1()x x g x e x +=-，再根据导数研究函数的最小值，注意到01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()'00g x =，进而结合函数隐零点求解即可.(1)解：()()'1mxf x mx e =+①0m =，()f x 在R 上单调增；②0m >，令()'10f x x m ==-，，()()'1,,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞-< ⎪⎝⎭单调减()()'1+,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞> ⎪⎝⎭，单调增； ③0m <，()()'1,,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞-> ⎪⎝⎭单调增()()'1+,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞< ⎪⎝⎭，单调减. 综上，当0m =时，()f x 在R 上单调增；当0m >时，()f x 在1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在1+m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；当0m <时，()f x 在1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，在1+m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递减. (2)解：由题意知ln 1xx a e x+≤-在()0+∞，上恒成立 ()2'2ln 1ln (),x xx x e xg x e g x x x ++=-=，令()2ln x h x x e x =+，()()'212xh x x x e x=++， ()()()'0,,0,x h x h x ∈+∞>单调递增∵()121110,10e h e h e e e⎛⎫=⨯-<=> ⎪⎝⎭，∴01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得()00h x =，即()'00g x =()()()'00,,0,x x g x g x ∈<单调递减；()()()'0,,0,x x g x g x ∈+∞>单调递增()()000min 0ln 1x x g x g x e x +∴==-， 0020000011ln 0,ln x x x e x x e x x +=∴=令()xm x xe =，则111ln ln m x x x⎛⎫= ⎪⎝⎭()m x 在()0+∞，上单调增 000011ln,x x e x x ∴=∴=， 0000000ln 111()=1x x x g x e x x x +-+∴=--= 1a ∴≤∴实数a 的取值范围是(],1-∞。

江苏省高邮市2020届高三12月阶段性学情联合调研数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．己知全集U ＝{﹣1，0，2}，集合A ＝{﹣1，0}，则U A ð＝ ． 答案：{2}考点： 补集及其运算解析：∵全集U ＝{﹣1，0，2}，集合A ＝{﹣1，0}， ∴U A ð＝{2}． 2．己知复数3iz i=+(i 为虚数单位)，复数z 虚部为 ． 答案：34考点：复数 解析：(3)13134443(3)(3)i i i i z i i i i -+====+++-，故虚部为34． 3．设向量a r ＝(l ，k )，b r ＝(﹣2，k ﹣3)，若a r ∥b r，则实数k 的值为 ．答案：1考点：向量平行的坐标运算解析：∵向量a r ＝(l ，k )，b r ＝(﹣2，k ﹣3)，且a r ∥b r，∴3(2)0k k ---=，解得k ＝1．4．函数()f x ＝2ln x x -的单调减区间为 ．答案：(22，+∞) 考点：利用导数研究函数的单调性解析：∵()f x ＝2ln x x -，∴2112()2x f x x x x-'=-=，当()0f x '<时，22x >，故原函数的单调减区间为(22，+∞)．5．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线的倾斜角为45º，且过点(3，1)，则双曲线的焦距等于 ．答案：8考点：双曲线及其性质解析：由题意知：221911b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得228a b ==，故216c =，∴焦距2c ＝8．6．己知偶函数()f x 在[0，＋∞)单调递减，5()2f ＝0，若(21)f x -＞0，则x 的取值范围是 ． 答案：(34-，74) 考点：函数的单调性与奇偶性解析：由于函数()f x 是偶函数，且5()2f ＝0，则5()2f -＝0，又()f x 在[0，＋∞)单调递减，故()f x 在(﹣∞，0]单调递增，∴当5522x -<<时，()0f x >， 要使(21)f x -＞0，则552122x -<-<，解得3744x -<<，故x 的取值范围是(34-，74)． 7．如图，己知棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CC 1的中点，则三棱锥M —A 1AB 的体积 ．答案：43考点：棱锥的体积 解析：1M A AB 114222323V =⨯⨯⨯⨯=—． 8．在△ABC 中，如果sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，则sin C ＝ ． 答案：154考点：正弦定理、余弦定理解析：∵sin A：sin B：sin C＝2：3：4，∴a：b：c＝2：3：4，设a＝2x，b＝3x，c＝4x，∴22222249161 cos C22234a b c x x xab x x+-+-===-⋅⋅，∴sinC＝21151()4--=．9．己知等比数列{}n a的前n项和为n S，若3S＝7，6S＝63，则789a a a++＝．答案：448考点：等比数列的性质解析：∵3S＝7，6S＝63，则6356S S-=，∴2263963()564487S SS SS--===，即789a a a++＝448．10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在如图所示的直角坐标系xOy中，设军营所在平面区域的边界为x2＋y2＝4，河岸线所在直线方程为x＋y﹣6＝0，假定将军从点P(3，﹣2)处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军行走的最短路程为．73 2考点：对称点求法，两点间距离公式的计算解析：设点Q与点O关于直线x＋y﹣6＝0对称，连接PQ，则PQ﹣2即为所求最小值，首先求得点Q(6，6)，则PQ22(63)[6(2)]73-+--=∴PQ﹣2732732．l1．在平行四边形ABCD中，己知AB＝6，AD＝5，CP2PD=u u u r u u u r，AP CPu u u r u u u rg＝﹣18，则AD BPu u u r u u u rg ＝．答案：15考点：平面向量的数量积解析：∵21222AP CP (AD DP)CP (AD AB)(AB)AB AD AB 3339⋅=+⋅=+⋅-=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r又AP CP u u u r u u u rg＝﹣18，AB ＝6，AD ＝5， ∴222AB AD 61839-⋅-⨯=-u u u r u u u r ，故2AB AD 103⋅=u u ur u u u r ，∴222AD BP AD (BC CP)AD (AD AB)AD AB AD 33⋅=⋅+=⋅-=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r251015=-=． 12．己知x ∈(0，3)，则28132x y x x-=+-的最小值为 ． 答案：72考点：基本不等式解析：2812123232x y x x x x-=+=++--， ∵(3)3x x -+=，∴3133x x-+= ∴2812121322()()32323233x x xy x x x x x x --=+=++=+++---1732177663(3)62x x x x -=++≥+=-， 当且仅当x ＝1时，取“＝”．13．己知△ABC ＋1，AC ＝且43tan A tan B+＝1，则tanA 的值为 ．答案：1-考点：三角恒等变换、正弦定理解析：∵43tan A tan B +＝1， ∴4cos A 3cos B1sin A sin B+=， ∴4cosAsinB ＋3cosBsinA ＝sinAsinB ， ∴3sinC ＝sinB(sinA ﹣cosA)，故3cb＝sinA ﹣cosA ，∵△ABC ＋1，则1)sin Ac b =，代入上式得：sin A cos A =-，∵b ＝AC ＝，∴21sin A sin A cos A 2=-，即221tan A tan A 2tan A 1-=+，解得tan A 1=．14．己知函数2ln 20()504x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y ＝﹣2的对称点在kx ﹣y ﹣3＝0的图象上，则实数k 的取值范围是 ． 答案：(-∞，34)U (1，+∞) 考点：函数与方程解析：直线kx ﹣y ﹣3＝0关于直线y ＝﹣2的对称直线为y ＝﹣1﹣kx ，故可将题意转化为直线y ＝﹣1﹣kx 与函数()y f x =有且仅有两个交点， 当x ＝0时，显然不符合题意，当x ≠0时，参变分离得：1()f x k x--=， 即方程1ln 201504x x xk x x x ⎧--+>⎪⎪=⎨⎪---<⎪⎩，，有两个不相等的实数根，通过数形结合即可求得实数k 的取值范围是k ＞1或k ＜34，即(-∞，34)U (1，+∞)． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）若函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，0＜ϕ＜2π)的图象经过点(0，且相邻的两条对称轴之间的距离为6．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数()g x 的图象，当x ∈[﹣1，5]时，()g x 的值域．解：(1)Q 函数()f x 图像的两条相邻对称轴之间的距离为6， 记()2sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的周期为T ，则62T=，又2T πω=，6πω∴=.()2sin()(0)62f x x ππϕϕ∴=+<<;()f x Q 的图象经过点(0,3)，(0)2sin 3(0)2f πϕϕ∴==<<，3πϕ∴=，∴函数()f x 的解析式为()2sin()63f x x ππ=+(2) Q 将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数g()x 的图象，由(1)得，()2sin()63f x x ππ=+，∴函数g()x 的解析式为g()2sin[(3)]2sin()6366x x x ππππ=-+=-；当[1,5]x ∈-时，2,6633x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则2sin()[3,2]66x ππ-∈-. 综上，当[1,5]x ∈-时，g()x 的值域为[3,2]-.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：PB //平而AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA ＝AD ，求证：AE ⊥平面PCD ．证明:（1）连接BD 交AC 于O ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 是BD 的中点， 因为E 为PD 的中点，所以OE //PB 又因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC 所以PB //平面AEC（2）因为PA AD =且E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥因为四边形ABCD 是矩形，所以CD ⊥AD ，因为,PA AD ⊂平面PAD 且PA AD A =I 所以CD ⊥平面PAD 又因为AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥ ,PD CD ⊂平面PDC 且PD CD D =I 所以AE ⊥平面PCD 17．（本题满分14分）如图①，某半径为lm 的圆形广告牌，安装后其圆心O 距墙壁1.5m.为安全起见，决定对广告牌制作一合金支架．如图②，支架由广告牌所在圆周上的劣弧MN ，线段PA ，线段PB 构成．其中点P 为广告牌的最低点，且为弧MN 中点，点A ，B 在墙面上，PA 垂直于墙面．兼顾美观及有效支撑，规定弧、所对圆心角及PB 与墙面所成的角均为θ，θ∈[12π，512π]．经测算，PA 、PB 段的每米制作费用分别为a 元、2a 元，弧MN 段侮米制作费用为3a 元．（1）试将制作一个支架所需的费用表示为θ的函数； （2）求制作支架所需费用的最小值．解：（1）在扇形OMN 中，劣弧MN 的长度为θ在Rt PAB V 中，3sin 2sin PA PB θ==， 所以所需费用()332322sin a a f a θθθ=++，5,1212ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）()232cos 2sin cos '332a f a a θθθθ-=-=⎝⎭()()222cos 1cos 122cos cos 32322sin θθθθθ-⋅+--==-⎭当124ππθ≤<时，()'0f θ<，()f θ在区间,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；当7412ππθ<≤时，()'0f θ>，()f θ在区间7,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；所以当4πθ=时，()f θ有最小值9324a a π+答：所需费用的最小值9324a a π+元．18．（本题满分16分）如图，己知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点(1，32)，离心率为12，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线线l 与椭圆相交于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记△AFM ，△BFN 的而积分别为S 1，S 2，若1265S S =，求k 的值；（3）己知直线AM 、BN 的斜率分k 1，k 2，求21k k 的值．解:（1）设椭圆的焦距为2c .312Q 椭圆过点（，），离心率为12∴229141a b +=，12c a = 解得2,3a b ==则椭圆的方程为22143x y +=.(2) 设点1122(,),(,)M x y N x yQ 1265s s = ∴12162152AF y BF y ⨯⨯=⨯⨯，整理可得M N 3|y |6|y |5= 即2||||5M N y y =，25FM NF ∴=u u u u r u u u r代入坐标，可得121221(1)525x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即1212725525x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又Q 点,M N 在椭圆C 上22222222722()()555143143x y x y ⎧--⎪+=⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，解得2254313x y ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∴直线l 的斜率313138514k =-- （3）Q 直线l 的方程为(1)y k x =-由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=221212228412,3443k k x x x x k k -∴+=⋅=++又22221211221111212121212(2)(1)(2)22(2)(1)(2)222y k x y x k x x x x x x y k y x k x x x x x x x -+-++--====-----++ 222222222222222222412812182()234343434128462()2434343k k k x x x k k k k k k x x x k k k ---+---++++==------+++++ 222222463()4334643k x k k x k --++==--++ 213kk ∴= 19．（本题满分16分）己知函数2()ln 2x f x a x ax =-+．（1）当a ＝1时，求()f x 在x ＝1处的切线方程： （2）当a ＞0时，讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有两个极值点1x ，2x (1x ≠2x )，且不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围．解：（1）当1a =时，()2ln 2x f x x x =-+，()112f =- ()1'1f x x x=-+，()'11f =所以()f x 在1x =处的切线方程为112y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即2230x y --=（2）()f x 定义域为()0,+∞，()2'a x ax af x a x x x-+=-+=①若04a <<时，240a a -<，()'0f x >，所以()f x 单调递增区间为()0,+∞，无减区间；②若4a =，则()()22244'x x x f x x x--+==当02x <<时，()'0f x >；当2x >时，()'0f x >所以()f x 单调递增区间为()0,+∞，无减区间；③若4a >时，由()2'0x ax a f x x-+==，得x =或x =当0x <<x >时，()'0f x >x <<时，()'0f x <所以()f x 单调递增区间为240,a a a ⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭，24,a a a ⎛⎫+-+∞ ⎪⎪⎝⎭单调递减区间为2244,a a a a a a ⎛⎫--+-⎪⎝⎭ （3）由（1）知，4a >，且1212x x ax x a +=⎧⎨=⎩，不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立等价于121212()()()()f x f x f x f x x x aλ++>=+恒成立 又221211122211()()(ln )(ln )22f x f x a x x x a x x x +=-++-+ 221212121(ln ln )()()2a x x a x x x x =+-+++2121212121ln ()[()2]2a x x a x x x x x x =-+++-221ln (2)2a a a a a =-+- 21ln 2a a a a =--所以1212()()1ln 12f x f x a a x x +=--+，令1ln 12y a a =--（4a >），则11'02y a =-<，所以1ln 12y a a =--在(4,)+∞上单调递减，所以2ln 23y <-，所以2ln23λ≥-20．（本题满分16分）若数列{}n b 满足21212n n n b b b +->=(n N *∈)，则称{}n b 为“螺旋递增数列”．（1）设数列{}n c 是“螺旋递增数列”，且12c =，21214n n c c +-=(n N *∈)，求2020c ；（2）设数列{}n a 是“螺旋递增数列”，其前n 项和为n S ，求证：{}n S 中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；（3）设数列{}n d 是“螺旋上升数列”，且11d =，21212n n d d +-=+(n N *∈)，记数列21n n d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的n 项和为nT ．问是否存在实数t ，使得1()()0n nt T t T -+<对任意的n N *∈恒成立？若存在，请求出实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）12124-+=n n c c Θ，21=c ，}{12-n c 是以21=c 为首项4为公比的等比数列，12111224---=⨯=∴n n n c c ，201920192=∴c ，∵数列{}n c 是“螺旋递增数列”，2019201920202==∴c c（2）由数列{}n a 是“螺旋递增数列”得n n a a 212=-，故2122221n n n n S S S S ----=-，∴{}n S 中存在连续三项()22212,,2n n n S S S n --≥成等差数列；（注：给出具体三项也可）假设{}n S 中存在连续四项123,,,,k k k k S S S S +++成等差数列， 则12132k k k k k k S S S S S S +++++-=-=-，即321+++==k k k a a a ，当*21,k m m N =-∈时，22122++==m m m a a a ，① 当*2,k m m N =∈时，322212+++==m m m a a a ，②由数列{}n a 是“螺旋递增数列”得3222122+++<=<m m m m a a a a ，③ ①②与③都矛盾，故假设不成立，即{}n S 中不存在连续四项成等差数列. （3）∵21212n n d d +-=+，11d =，{}21n d -∴是以11d =为首项2为公差的等差数列，()2111221n d d n n -∴=+-⨯=-，又数列{}n d 是“螺旋递增数列”， 故21221n n d d n -==-，()()2222121111111212122121k k k k d d d d k k k k +-+⎛⎫∴===- ⎪-+-+⎝⎭，①当()*2n k k N =∈时，2132435462121222111111n k k k k k T T d d d d d d d d d d d d -++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L133521211112k k d d d d d d -+⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭L11111111221,1213352121213k k k ⎛⎫⎡⎫=⨯-+-++-=-∈ ⎪⎪⎢-++⎝⎭⎣⎭L ，13,12n T ⎡⎫∴-∈--⎪⎢⎣⎭， 又()10n nt T t T ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立，1n n t T T ∴-<<恒成立，213t ∴-≤<.②当()*21n k k N =-∈时，2122222221211111122121n k k k k k k k k T T T T T d d d d k k -+-+⎛⎫==-=-=-- ⎪-+⎝⎭1111,142423k k ⎡⎫=--∈⎪⎢-+⎣⎭，[)13,1nT ∴-∈--， 又()10n nt T t T ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立，1n n t T T ∴-<<恒成立，113t ∴-≤<.综上①②，存在满足条件的实数t ，其取值范围是11,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.数学附加试卷（满分40分，考试时间30分钟） 21A ．（本小题满分10分） 己知矩阵，其中，点P(2，2)在矩阵的变换下得到的点Q(2，4)·（1)求实数a ，b 的值： （2）求矩阵A 的逆矩阵．解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-422211b a ， 所以⎩⎨⎧=+=-422222b a 所以⎩⎨⎧==12b a ．（2）31112)det(=-=A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-32313131323131311A ．21B.（本小题满分10分）己知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合若直线l 的极坐标方程sin()4πρθ-=(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)己知P 为曲线C:4cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上点，求P 到直线l 的距离的最小值．解：(1) 直线l 的极坐标方程ρsin )4(πθ-＝22，则 22ρsinθ－22ρcosθ＝22，即ρsinθ－ρcosθ＝4， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋4＝0.(2) 因为P 为曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cosθ，y ＝3sinθ上一点，所以P 到直线l 的距离24)cos(524sin 3cos 4++=+-=ϕθθθd所以当cos(θ＋φ)＝1时，d 的最大值为22922．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面△ABC 是直角三角形，AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，点P 是棱BB 1上点，满足1(01)BP BB λλ=≤≤u u u r u u u r（l ）若14λ=，求直线PC 与平面A 1BC 所成角的正弦值； (2)若二面角P 一A 1C －B 的余弦值为7618，求λ的值．解：以A 为坐标原点O ，分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz.因为AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A 1(0，0，2)，B 1(1，0，2)，P(1，0，2λ)． (1) 由λ＝41得，CP →＝），，（2111-，A 1B →＝(1，0，－2)，A 1C →＝(0，1，－2)，设平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B ，→＝0，n 1·A 1C ，→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2z 1＝0，y 1－2z 1＝0.不妨取z 1＝1，则x 1＝y 1＝2，从而平面A 1BC 的一个法向量为n 1＝(2，2，1)． 设直线PC 与平面A 1BC 所成的角为θ，则sinθ＝|cos 〈CP →，n 1〉|＝|CP ，→·n 1|CP ，→|·|n 1||＝91，所以直线PC 与平面A 1BC 所成的角的正弦值为91. (2) 设平面PA 1C 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， A 1P →＝(1，0，2λ－2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1C ，→＝0，n 2·A 1P ，→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2－2z 2＝0，x 2＋（2λ－2）z 2＝0.不妨取z 2＝1，则x 2＝2－2λ，y 2＝2，所以平面PA 1C 的法向量为n 2＝(2－2λ，2，1)．则cos 〈n 1，n 2〉＝9－4λ34λ2－8λ＋9. 因为二面角PA 1CB 的余弦值为1867， 所以9－4λ34λ2－8λ＋9＝1867，化简得20λ2＋8λ－9＝0，解得λ＝21或λ＝109- Θ0≤λ≤1 21=∴λ23．（本小题满分10分）如图，F 是抛物线y 2＝2px(p > 0)的焦点，过点F 且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于两点，交抛物线的准线于点H ，其中．过点H 作y 轴的垂线交抛物线于点P ，直线PF 交抛物线于点Q. （1)求p 的值；（2)求四边形APBQ 的而积S 的最小值．解答：（1）设AB 方程为2px Ay =+，与22y px =联立，消去x 整理得2220y pAy p --=所以2124y y p =-=-，得2p =-（舍去）或2p =（2）由（1）知抛物线方程为24y x =，()1,0F ，准线方程为1x =-因为直线AB 与坐标轴不垂直，所以设AB 方程为1x Ay =+0A ≠，()33,Q x y由214x Ay y x=+⎧⎨=⎩得2440y Ay --=， 12124,4y y y y A =-+=所以()212|41AB y y A =-=+ 令1x =-，则2y A =-，所以21,H A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，212,P AA ⎛⎫- ⎪⎝⎭PF 方程为2112A x y A-=+ 由221124A x y Ay x⎧-=+⎪⎨⎪=⎩得()222140A y y A ---=， 所以324y A-=-，32y A =，代入24y x =，得23x A = 所以()2,2Q A A Q 到直线AB的距离为21d =P 到直线AB的距离为22d =所以四边形APBQ 的面积()5321221122A S AB d d A +=+==令20A t =>，则()52241t S t +=()()()432132't t S x t +-=当23t<<时，()'0S x<，()S x单调递减当23t>时，()'0S x>，()S x单调递增所以，当23t=时，()2S x有最小值5527，()S x。

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江苏省扬州高邮市2020届高三数学上学期开学考试试题理（扫描版）2020届高三年级阶段性学情调研数 学 试 题（参考答案） 2019。

09一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案写在答题纸相应位置．．．．．．．． 1． {2,4，6，8｝ 2．1x ∃>，有212x +≤ 3．必要不充分 4． 3和1 5．（1，3］6． 32 7．6π 8．(],3-∞ 9． 错误! 10． 53 11．1(1,)2- 12．1513． 3 14．5,1{0}7⎛⎫ ⎪⎝⎭二、解答题：本大题共6小题,共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：(1) 角α的终边上有一点5551cos ,55252sin ====∴αα ……2分 54555522cos sin 22sin =⨯⨯==∴ααα ……4分 5315521cos 22cos 22-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-=αα ……6分 5153542cos 2sin =-=+∴αα ……7分(2) 由)2020πβπα，（），，（∈∈得)2,2(ππβα-∈- ……8分 1010)sin(=-βα 10103)1010(1)(sin 1)cos(22=-=--=-∴βαβα……10分 则sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---=-= ……12分 因π(0)2β∈，，则π4β=。