1-第1讲集合与映射
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第一章集合与函数概念一:集合的含义与表示1、集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称为集。
2、集合的中元素的三个特性:(1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属于。
(2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。
(3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合3、集合的表示:{…}(1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
a、列举法:将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}b、描述法:①区间法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}②语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}③Venn图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。
4、集合的分类:(1)有限集:含有有限个元素的集合(2)无限集:含有无限个元素的集合(3)空集:不含任何元素的集合5、元素与集合的关系:(1)元素在集合里,则元素属于集合,即:a∈A(2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a¢A注意:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集 N*或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R6、集合间的基本关系(1).“包含”关系(1)—子集定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的A⊆(或B⊇A)子集。
记作:BA⊆有两种可能(1)A是B的一部分;注意:B(2)A与B是同一集合。
⊆/B或B⊇/A反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A(2).“包含”关系(2)—真子集A⊆,但存在元素x∈B且x¢A,则集合A是集合B的真子集如果集合B如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)读作A真含与B(3).“相等”关系:A=B “元素相同则两集合相等”如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B(4). 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
第1章 集合与映射 █ █1《数学分析Ⅰ》第1讲 教学内容:数学分析总概第1章 集合与映射一、数学分析总概牛顿(Newton.I 1642-1727)英国数学物理学家,在1665-1666年间发表著名公式()()()baf x dx F b F a =-⎰。
莱布尼兹(Leibniz.G.W 1646-1716)德国数学家,在1673-1676年间发表著名公式()()()b af x dx F b F a =-⎰。
二、集合 §1.1集合概念:一些事物所汇聚的总体通常称为一个集合,总体中的每一个成员,叫做该集合的元素。
一般用大写英文字母表示集合,小写英文字母表示集合中的元素,例如:,,...A B C 通常表示集合;,,...,...a b c x y 等表示集合中的元素。
-自然数集; -整数集; -有理数集; -实数集; {|0}x x +==>▇ ▇ 数学分析2有限集 可列集 无限极 空集 子集 ∙集合的运算:(1)并集:A B{|A B x x A =∈ 或}x B ∈见(图1-1)(2)交集:A B{|A B x x A =∈ 且}x B ∈见(图1-2)(3)差集:A B -{|A B x x A -=∈且}x B ∉见(图1-3)(4)设 A X ⊂,即A 为X 的子集,补集:CA X A =-称为A 的补集。
见(图1-4)(5)无限并:设12,,...,...n A A A 是一 列集合,定义1{|,}nn n x n x A ∞=A=∃∈∈(6)无限交:设12,,...,...n A A A 是一 列集合,定义1{|,}nn n Ax n x A ∞==∀∈∈设Γ是任意的一个非空集合(拓扑集),α∀∈Γ,对应有集合A α, {:}A αα∈Γ称为集合族,无论Γ是有限集、可列集、还是不可列集(不可数集),都可定义(1) 不可数并:{|,}A x x A αααα∈Γ=∃∈Γ∈ (2) 不可数交:{|,}A x x A αααα∈Γ=∀∈Γ∈第1章 集合与映射 █ █3命题1.1 设{ A α:α∈Γ}中每一个集合都是某个大集合X 的子集,记 A C=X -A ,其中A ⊂X ,则 (3) ()c αα∈ΓA =c αα∈ΓA (4)()c αα∈ΓA =c αα∈ΓA 上面公式(9)和(10)通常称为DeMorgan 公式(隶末根定理)。
集合与映射【高考要求】【知识精讲】板块一:集合的含义与表示(一)知识内容1•集合的有关概念⑴ 集合的含义:一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)•构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)•⑵元素用小写字母a,b,c,…表示;集合用大写字母A,B,C,… 表示•⑶ 不含任何元素的集合叫做空集,记作.一.⑷集合的分类:有限集、无限集⑸集合元素的性质:确定性、互异性、无序性2•元素与集合间关系:属于•;不属于■'•3•集合表示法⑴列举法:把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表,其它元素用省略号表示,并写在大括号“ {}内'的表示集合的方法•例如:{1, 2,3 , 4 , 5},{1, 2,3, 4, 5;"}⑵描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,形如{x|描述特点}例如:大于3的所有整数表示为:{x. Z|x 3}方程x 2 _2x _5 =0的所有实数根表示为:{x 三R | x 2「2x 「5 = 0 } ⑶常用集合及符号: 自然数集N非零自然数集N*或N + 整数集Z 有理数集Q 实数集R(二)典例分析:1•集合的有关概念【例1】以下元素的全体不能够构成集合的是()•A.中国古代四大发明B.地球上的小河流C.方程x 2 -1 0的实数解D.周长为10cm 的三角形垂A 1 :判断下列元素的全体能否构成集合,并说岀理由。
1、 所有的老人2、 所有的正方形3、 5~8岁的所有人4、 很小的实数可以构成集合【例2】已知x • R ,则集合{ _1,x 2 _2x }中元素x 所应满足的条件为 _________________ .绘三2:已知x • R ,则集合{3, x,x 2 -2x }中元素x 所应满足的条件为 ___________________ .2. 集合与元素间的关系【例3】用“ ”或填空:⑴ 若 A ={ x | x 2 _3x _4 =0},贝U -1 A ; -4 ___________ A ;⑵ 0—0 ;⑶ 0 _{0}.的」 3:用符号“ ”或“”填空⑴ 0 ________ N , 丘 ____________ N , 716 ______ N⑵—— Q , n Q3•集合的表示方法【例4】下列命题正确的有( )⑴集合 込| y =x 2 -门与集合1 x,y | y =x 2 -心是同一个集合; ⑵-丄,0.5这些数组成的集合有5个元素;2 42⑶集合〈x , y | xy < 0 , x, y • R [是指第二和第四象限内的点集.A . 0个B . 1个C. 2个D . 3个2练債4:用列举法表示下列集合⑴方程2x2 x -6 =0的根;⑵ 不大于8且大于3的所有整数;⑶ 函数y =3x • 2与y =丄的交点组成的集合.x板块二:集合间的基本关系(一)知识内容1•子集:对于两个集合A,B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说集合A为集合B的子集,记作A §B (或B二A),读作“A包含于B ”(或’B包含A ”. 规定:;:二是任意集合的子集.2•真子集:如果集合A B,但存在元素x• B,但x - A,我们称集合A是集合B的真子集,记作A二B (或B耳A).-是任意非空集合的真子集.3.相等:如果集合A是集合B的子集(A B),且集合B是集合A的子集(B二A),此时,集合A与集合中的元素是一样的,我们说集合A与集合B相等,记作A =B .(二)典例分析【例5】用适当的符号填空:⑴■ _____ {0}⑵ 2_{(1, 2)}⑶ 0{x | x2 -2x +5 =0}⑷{3, 5} ______ {x | x2 -8x +15 =0}⑸{3, 5} ______ N⑹{x | x =2n +1, n W Z} ___{ x | x =4k ±1, k € Z}⑺{(2 , 3)} —{(3 , 2)}【例6】已知 A ={ x _2 _x _5} , B ={ x m • 1 _ x _2m _1}, B 二A,求m 的取值范围.録壬 5:设A ={ x| _仁:x :::3}, B ={ x I x .a},若A二B,则a的取值范围是 ____________ 【例7】{a , b, c} 4 A 4{ a , b , c , d , e , f},求满足条件的A的个数.【例8】求集合{a,b}的子集的个数,真子集的个数,非空真子集的个数,并推导出{1, 2, 3, 4, 5/ ' , 100}的子集和真子集的个数.(推导结论)板块三:集合的基本运算(一)知识内容1.相关概念:⑴ 并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A U B (读作’A 并 B ”,即A U B ={x |x€ A,或x€ B}.⑵ 交集:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作 A ^B (读作“A 交 B ”,即A^B ={x |x€ A,且x€ B}.⑶全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U .补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作ej A,即q A ={ x | x • U ,且x '' A}.(二)典例分析【例9】已知全集U ={ 1 , 2,3, , A 二{1, 2, 3, 4,5} , B ={4 , 5, 6, 7, 8},C ={3 , 5 , 7,9}求:A B , AB , A(e U B), q A B , A (B C)粽习6:已知全集U =R , A ={ x 3x +2 a—1} , B ={ x x £/} , C ={ x _x —4 >0} 求:A B , AB , A (e U B) , Qj A B , A (B C)圾「:’7 :设全集U =R , M =fm |方程mx2 _x 一1 =0有实数根],N -「n |方程x2-x - n =0有实数根[,求ej M N .【例10】若U为全集,下面三个命题中真命题的个数是()⑴若A B =_,则熔A心U B二U⑵若 A B =U,贝V 熔 A [U B⑶若 A B =._,贝V A =B =,A . 0个B . 1个C. 2个D . 3个【例11】已知集合A =fa2,a • 1,七〉B =「a _3,2a _1,a2• 1?,若A B 亠3?,求实数a的值.離习8 :设全集I ={ x | x < 20 且x 为质数}.若 A 口^B ={3 , 5} , ]B = {7 ,19}且痧A ^={2,17求集合A,B .【例12】若集合A ={ -1,1} , B ={x| mx =1},且A B二A,则m的值为(A. 1B. -1C. 1 或-1D. 1 或-1 或0统习9:设集合 A - ;x | x2-3x * 2 =0 ' B - ;x | x22( a ' 1)x ' (a^5^^。
映射 · 数学定义设A 、B 是两个非空集合,如果存在一个法则f ,使得对A 中的每个元素a ,按法则f ,在B 中有唯一确定的元素b 与之对应,则称f 为从A 到B 的映射,记作f :A→B。
其中,其中,b b 称为元素a 在映射f 下的象,记作:,记作:y=f(a); a y=f(a); a称为称为b 关于映射f 的原象。
集合A 中多有元素的像的集合记作f(A)f(A)。
映射,或者射影,在数学及相关的领域还用于定义函数。
在数学及相关的领域还用于定义函数。
函数是从非空数集到非空数集函数是从非空数集到非空数集的映射,而且只能是一对一映射或多对一映射。
在很多特定的数学领域中,这个术语用来描述具有与该领域相关联的特定性质的函数,例如,在拓扑学中的连续函数,线性代数中的线性变换等等。
如果将函数定义中两个集合从非空集合扩展到任意元素的集合如果将函数定义中两个集合从非空集合扩展到任意元素的集合(不限于数)(不限于数),我们可以得到映射的概念:映射是数学中描述了两个集合元素之间一种特殊的对应关系的。
按照映射的定义,下面的对应都是映射。
⑴设A={1,2,3,4}A={1,2,3,4},,B={3,5,7,9}B={3,5,7,9},集合,集合A 中的元素x 按照对应关系“乘2加1”和集合B 中的元素2x-1对应,这个对应是集合A 到集合B 的映射。
⑵设A=N*A=N*,,B={0,1}B={0,1},集合,集合A 中的元素按照对应关系“x 除以2得的余数”和集合B 中的元素对应,这个对应是集合A 到集合B 的映射。
⑶设A={x|x 是三角形是三角形}},B={y|y>0}B={y|y>0},,集合A 中的元素x 按照对应关系“计算面积”和集合B 中的元素对应,这个对应是集合A 到集合B 的映射。
⑷设A=R ,B={B={直线上的点直线上的点直线上的点}},按照建立数轴的方法,是A 中的数x 与B 中的点P 对应,这个对应是集合A 到集合B 的映射。