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直线与椭圆的位置关系教案高三数学二轮复习专题教学目标：1.通过数形结合与代数运算弄清直线与椭圆位置关系的判断方法。
2.掌握直线与与椭圆相交、相离、相切时各自特点与相关题型。
3.掌握解决直线与椭圆综合问题的方法（联立设而不求用韦达定理解参数，重运算、巧设、巧算、巧解、特殊情况）高考中直线与圆锥曲线的综合应用压轴试题，具体表现为弦长与面积问题，最值与范围问题、定点与定值问题、存在性问题等。
教学方法：充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识，提升运算能力。
教学过程：一、复习回顾直线与椭圆的位置关系及其判断1.位置关系：相交、相切、相离2.判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程消元得到一元二次方程组(1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点；(2)△=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点；(3)△<0直线与椭圆相离无公共点．3.直线与椭圆相交时弦长公式设直线方程y ＝kx ＋m ，椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2=x x kx m kx m ⎡⎤-++-+⎣⎦221212（)()() ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 4.对于中点弦问题，常用的解题方法是点差法，步骤为： ①设点：即设出弦的两端点坐标；②代入：即代入椭圆方程；③作差：即两式相减，再用平方差公式展开；④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 二、题型设计及其讲解例 1.已知椭圆221259x y +=,直线l :45400x y -+=,椭圆上是否存在一点,到直线l 的距离最小?最小距离是多少?点拨分析：法一：数形结合、切线求解法二：椭圆上设点，运用点到直线的距离公式强调运算法三：运用椭圆的参数方程思考：最大距离为多少？例2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3 。
课 题：椭圆与直线的位置关系教学目的：使学生理解并掌握椭圆与直线的相互位置关系及两者方程之间的相互联系，能利用两者方程之间的相互关系解决有关椭圆与直线位置关系的问题.从而培养学生的运用知识能力、相互转化能力、理解能力及分析问题解决问题能力.教材分析：重点：利用判别式、弦中点坐标、弦长公式及弦所在直线斜率等的相互关系解题。
重点是掌握利用弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系解题. 难点：有选择地运用适当技巧解题.教学过程：一、课引1.在圆的单元中，我们研究了圆与直线的位置关系，它们的关系是：相离、相切、相交，在分析这类问题时，其关键（或者说是解题的切入点）是分析直线与圆的公共点的个数及圆心到直线的距离.通过这两点可以较清楚地分析出直线与圆的相互关系，并由此作为切入点进行解题.圆①.求直线方程（如切线方程、弦所在直线方程等）或圆方程； ②.把圆（一条封闭曲线）看成一个“区域”，利用线性规划的思想求最值； ③.求解与弦有关的一些问题（如弦长、弦中垂线等）。
这里有一个弦长公式： |P 1P 2|＝()()||11||1212121221222yy kx x k y y x x -+=-+=+--2.椭圆与圆有很多相似之处.当椭圆长短轴的长相等（离心率为0）时，椭圆即为圆.因此，在椭圆的这部分内容中也有此类问题，事实上，对于其他二次曲线（包括以后学习的双曲线和抛物线）均有此类问题，而且这类问题很有共性.当然，由于椭圆（包括以后学习的双曲线和抛物线等）有其本身的特殊性，在解题时也应注意研究分析各自的不同之处（比如相切问题，过切点的半径与圆的切线垂直，而椭圆中就没有这个性质，即切点与椭圆中心的连线不一定垂直于切线）.3.直线与二次曲线相互位置关系的问题，是解析几何的一个重点内容，也是高考的重点考查的内容之一，纵观历年高考，这部分的内容必考无疑！因此请大家务必引起充分重视.下面略举几例来说明此类问题的分析与解答.二、讲解新课例1：在椭圆x 2+4y 2=16中，求通过点M （2，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程. 解一：（显然，只须求出这条直线的斜率即可）如果弦所在的直线的斜率不存在， 即直线垂直于x 轴，则点M （2，1故可设弦所在的直线方程为y=k(x-2)+1， 代入椭圆方程得x 2+4[k(x-2)+1]2=16即得(1+4k 2)x 2-(16k 2-8k)x+16k 2-16k-12=0∵直线与椭圆有两个交点,故 △=16(k 2+4k+3)>0又4418162221=+-=+kk x x k两式联立解得k=21-，∴直线方程为x+2y-4=0. 评：※.本例在解题过程中，充分考虑了椭圆与直线相交有两个交点这一事实，由此得出△=16(k 2+4k+3)>0，又利用了中点坐标，列出了方程，从而使问题得到解决.这种方法是常用的方法，大家务必掌握.但是，这种解法显得较繁（特别是方程组 16(k 2+4k+3)>044181622=+-kk k显得较繁）。
《直线与椭圆的位置关系》教学设计
一、教学内容：类比直线与圆的位置关系，探究直线与椭圆的位置关系，并探
究直线被椭圆截得弦长公式。
二、教学目标：理解直线与椭圆位置关系的代数表达，掌握直线被椭圆截得弦长公式。
三、教学过程
1. 问题引入，提出概念
问题1:直线与椭圆位置关系有哪些？
【设计意图】通过问题，引导学生思考，然后经历由图形直观到严格的逻辑推理证明，激活学生已有学习经历和知识储备，在证明过程中发现本质。
2.深入探究，辨析概念
问题2：当直线与椭圆相交于不同两点时如何求相交弦长？
【设计意图】通过例题和跟进训练让学生巩固对直线被椭圆截得弦长的理解，达到能够熟练的利用渐近线方程解决问题水平，培养学生的数学运算、逻辑推理核心素养。
4. 归纳总结，作业巩固
4.1知识、方法、思想
4.2学习感悟
4.3课后作业
1。
直线和椭圆的位置关系一、知识点：1.直线和椭圆的位置关系（1）位置关系： _______、_______、________.（2）位置关系的判断（代数法）：已知直线:0l ax by c ++=，椭圆方程:(,)0M f x y =. 联立方程组0,(,)0,ax by c f x y ++=⎧⎨=⎩消元（消x 或y ），整理得20Ax Bx C ++=. ①当_________时，直线和椭圆M 相交，有两个不同的公共点；②当_________时，直线和椭圆M 相切，只有一个公共点；③当_________时，直线和椭圆M 相离，没有公共点.2.直线被椭圆所截弦长设直线l 与椭圆M 相交于11(,)A x y 、22(,)B x y ，则所得弦长AB =________ 二、例题与练习1.直线与椭圆的位置关系例.已知直线42:-=x y L 与椭圆112322=+y x 1)判断它们的位置关系；练习1：若直线m x y +=与椭圆1422=+y x相交，求m 的取值范围。
2．弦长问题例.已知直线42:-=x y L 与椭圆112322=+y x2)若相交于A 、B 两点，求弦AB 的长；练习2：已知斜率为1的直线过椭圆1422=+y x 的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．例.已知直线42:-=x y L 与椭圆112322=+y x3)若相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求ΔOAB 的面积。
三、课后巩固1．当m 为何值时，直线y=x+m 与椭圆1422=+y x 相交？相切？相离？2. 求直线x －y ＋1=0被椭圆141622=+y x 截得的弦长.3. 若直线y=x+m 被椭圆1422=+y x 所截得的线段长为258，求m 的值.4. 已知直线1:+=x y L 与椭圆12422=+y x 相交于P 、Q 两点，椭圆的右顶点为A ，求ΔAPQ 的面积.5.已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为21离心率,与过点A （0，1）且斜率为2的直线有且只有一个公共点，求椭圆方程.。
教学设计直线和椭圆的位置关系教学目标：1. 理解直线和椭圆的基本概念。
2. 掌握直线和椭圆的位置关系的判定方法。
3. 能够应用直线和椭圆的位置关系解决实际问题。
教学内容：第一章：直线和椭圆的基本概念1.1 直线的定义和性质1.2 椭圆的定义和性质第二章：直线和椭圆的位置关系的判定2.1 直线与椭圆相交的判定2.2 直线与椭圆相切的判定2.3 直线与椭圆相离的判定第三章：应用直线和椭圆的位置关系解决实际问题3.1 直线与椭圆的位置关系在几何中的应用3.2 直线与椭圆的位置关系在物理中的应用3.3 直线与椭圆的位置关系在计算机图形学中的应用第四章：直线和椭圆的位置关系的综合练习4.1 判断直线与椭圆的位置关系4.2 解决实际问题第五章：总结和复习5.1 直线和椭圆的位置关系的总结5.2 复习直线和椭圆的基本概念教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究和实践来理解和掌握直线和椭圆的位置关系。
2. 使用多媒体辅助教学，通过动画和图形来直观展示直线和椭圆的位置关系。
3. 提供丰富的练习题，让学生通过实践来巩固所学知识。
教学评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确性和解题思路。
3. 综合练习：评估学生在综合练习中的表现，包括判断直线与椭圆的位置关系和解决实际问题。
教学资源：1. 教学PPT：提供直线和椭圆的基本概念、位置关系判定和应用实例。
2. 练习题：提供丰富的练习题，包括判断题、选择题和解答题。
3. 综合练习：提供实际问题案例，让学生应用直线和椭圆的位置关系进行解决。
教学安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：3课时4. 第四章：2课时5. 第五章：1课时六章：直线和椭圆的位置关系的深入探究6.1 直线与椭圆的交点个数的判定6.2 直线与椭圆的交点坐标的计算方法七章：直线和椭圆的位置关系的几何性质7.1 直线与椭圆的切线性质7.2 直线与椭圆的割线性质八章：直线和椭圆的位置关系在实际问题中的应用8.1 直线与椭圆的位置关系在工程中的应用8.2 直线与椭圆的位置关系在设计中的应用九章：直线和椭圆的位置关系的综合练习9.1 判断直线与椭圆的位置关系及交点个数9.2 解决实际问题十章：总结和复习10.1 直线和椭圆的位置关系的总结10.2 复习直线和椭圆的基本概念及位置关系的判定方法教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究和实践来理解和掌握直线和椭圆的位置关系。
2.2.2直线与椭圆的位置关系教案教学目标知识与技能目标: 1.理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；过程与方法目标进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想情感态度价值观 通过椭圆的学习，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．教学重点：利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系 教学难点：利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系 教学方法：学导式例1、判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416322y x kx y 可得02024)14(22=+++kx x k )516(162-=∆∴k （1）当45450)516(162-<>>-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相交 （2）当45450)516(162-===-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相切 （3）当45450)516(162<<-<-=∆k k 即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相离 例2、已知椭圆11222=+y x 的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求|AB|解: ⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 可得061692=++x x ，又92101212=-+=x x k AB 例3、已知椭圆195222=+y x , 直线:45400l x y -+=,椭圆上是否存在一点,它到直线的距离最小?最小距离是多少?解: 22450{1259x y k x y -+=+= 消y 得 222582250x kx k ++-= 当0∆=时,得:2264100(225)0k k --= 得: 125k =225k =-当25k =时,直线与椭圆的交点到直线L 的距离最近,此时直线m 的方程为45250x y -+=d = 例4、已知中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆,c a 32=，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是32-，求椭圆的方程 解法一：令椭圆方程为)(122n m ny mx <=+，),(),,(2211y x B y x A 由题得：32221-=+x x ，31221-=+y y 由⎩⎨⎧=+--=1122ny mx x y 可得012)(2=-+++n nx x n m ，m n n m n x x 234221=-=+-=+即 又c a 32=即2221131n m m -=34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 解法二：（点差法）令椭圆方程为)(122n m ny mx <=+，),(),,(2211y x B y x A 由题得：32221-=+x x ，31221-=+y y 由⎩⎨⎧=+=+1122222121ny m x ny m x 作差得)()(21212121y y x x y y x x n m +--=+- m n 2=∴ 又c a 32=即2221131nm m -=34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 小结：理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；作业：板书设计：教学反思。
直线与椭圆的位置关系
高三级：罗怀军
一、教学目标：
1、掌握判断直线与椭圆位置关系的方法，体会曲线方程的解与曲线上点的坐标之间的关系；
2、领会中点坐标公式和弦长公式及韦达定理在解题中的灵活应用；
3、理解“点差法”在解决直线与圆锥曲线位置关系中的解题技巧；
4、培养学生运用方程思想、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力，激发提出问题和解决问题的勇气。
二、重点难点：
重点：直线与圆锥曲线的位置关系的判定及方程思想、分类讨论思想、数形结合思想运用；
难点：等价转换、“点差法”设而不求在解题中的灵活应用。
三、教学方法
导学——讨论式，多媒体课件辅助教学.
四、教学过程
（一）设置情境 导入新课
直线与圆锥曲线联系在一起的综合问题在高考中多以中、高档题出现，主要涉及位置关系的判定、弦长问题、对称问题、最值问题、轨迹问题、定点定值问题等。
突出考察了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法。
其中，直线与椭圆的位置关系又是重中之重。
本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》的第一节课，着重是教会学生如何判断直线与椭圆的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。
这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。
所以是承上启下的一节课。
（二）探索研究
问题1：前面我们预习了圆锥曲线，其中椭圆是最基础的，那么直线与椭圆有哪些位置关系呢？
师生合作交流：
结论： 相交⇔有两个公共点； 相切⇔有一个公共点； 相离⇔没有公共点。
问题2：如何具体判定直线与椭圆的三种位置关系？有什么样的方法？请大家完成学案第一题。
题1：直线1y kx k =-+ 与椭圆22
194
x y +=的位置关系是( A ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
师生合作探讨：
方法总结：
①：代数法（方程思想）
联立方程组，消元，得到一个一元二次方程，
即00
),(02=++⇒⎩⎨⎧==++C Bx Ax y x f c by ax 曲线：直线：)0'''(2=++C y B y A 或 0∆>，方程有两个不等的实数根⇔有两个公共点⇔相交；
0∆=，方程有两个相等的实数根⇔有一个公共点⇔相切；
0∆<，方程没有实数根⇔没有公共点⇔相离。
②：几何法（数形结合思想）
变式应用：直线1y kx =+ 与椭圆（或圆）22
19x y m
+=恒有公共点，则m 的取值范围是（ C ） A.(0,)k B. (0,9] C. [1,)+∞ D. [1,9]
学生先训练、讨论后个别展示，教师总结：
问题3：（学案第3题）已知斜率为2的直线经过椭圆22
154
x y +=的右焦点2F ,与椭圆交于,A B 两点，求弦AB 的长。
分析：①：利用弦长公式12AB x =-=②：充分利用“韦达定理”，体会解析几何中“设而不求，整体代换”的思想。
问题4：过椭圆14
162
2=+y x 内一点M(2，1)作椭圆的弦，点M 恰为该弦的中点，求该弦所在直线l 的方程。
师生合作探讨：
方法一：（常规法）
设l ：y -1=k(x -2)交椭圆于点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，
将直线方程代入椭圆方程化为 x 2-8(2k 2-k)x
则由韦达定理得……，故所求直线方程为x +2y -4=0.
结论：这个方法是最基本、最常规、最通用，也是最重要的方法，必须熟练掌握.韦达定理在这里发挥出很大的作用，以后我们还可以发现它的更大的作用.知识就是要做到前后连贯，并组成一个有机的整体.
方法二：（点差法）
同上所设，因为点A 、B 都在椭圆上，则得 1642121=+y x ①
1642222=+y x ②
经观察知这两个式子除了字母的下标不同外，其余都相同，将两式相减，看能得到什么结果：
(x 1+x 2) (x 1-x 2)+4(y 1+y 2) (y 1-y 2)=0
可以知道式中的 x 1+ x 2=4，y 1+y 2=2，那么得4 (x 1-x 2)+8 (y 1-y 2)=0.
根据上式能得到什么呢？得到直线l 的斜率，则…….
①、②两式被称为同构式，就是除了字母的下标不同外，其余的结构都相同.第一次用同构式来解题，觉得非常新颖和奇妙，甚至觉得不可思议，怎么想起来的呢？这是探索尝试的结果.可是当你掌握了这个方法，并熟练地解决了几道题后，你就会觉得不新鲜了.许多技能技巧都是这样，一个生，二回熟，熟能生巧嘛！
方法三：（公共弦的思想）
设A(x ，y )，则得 x 2+4y 2
=16 ③
又M(2，1)是AB的中点，所以B(4-x，2-y)，又点B也在椭圆上，
则得 (4-x)2+4(2-y)2=16 ④
③、④两式当然不是同构式，怎么办？回顾在研究求相交两圆的公共弦所在直线方程时，用过什么方法，那么在这里能不能用呢？大胆尝试！
③-④化得……
没有想到在圆中曾用过的技巧在这里又发挥了它的威力。
方法四：（特殊法）
椭圆的上顶点和右顶点分别是(0，2)、(4，0)，M(2，1)恰为连结这两点的线段的中点，故所求直线即为连结这两点的直线……
由巧妙的发现得到巧妙的解法.虽然这里有一定的偶然性，但这是一种机遇，解数学题时若发现和利用题中的某些隐含条件，充分题目给的机遇，可使解答大大简捷.不过，这到底不是一种通用的常规解法. （三）课堂练习：见学案2、3.
（四）提炼总结：（学生总结，教师补充）
1、直线和椭圆的位置关系及判定方法（两种方法）；
2、与弦长有关的知识：弦长公式及中点弦问题（点差法）；
3、“数”与“形”之间的互相转换思想；
4、做到“细”字当头。
（五）作业布置：
书面作业：见学案7、8题。
预习：直线与双曲线、抛物线的位置关系（类比“直线与椭圆的位置关系”）。
