2016届高三数学考前指导(知识梳理篇)概要

2016届数学考前指导 “考前最后一眼”【知识提醒篇】谨以此献给我们所热爱的数学和你们！！！一.集合与简易逻辑1.注意区分集合中元素的形式.如：{|lg }x y x =—函数的定义域；{|lg }y y x =—函数的值域； {(,)|lg }x y y x =—函数图象上的点集.；{(,)|lg ,}x y y x x Z y Z =∈∈，——函数图象上的整数点集.2.集合的性质： ①A A ⊆；A ∅⊆（条件为A B ⊆,在讨论的时候不要忘了A =∅的情况） ②()U U U C A B C A C B =,()U U U C A B C A C B =；③AB A A B B =⇔=A B ⇔⊆④A B 元素的个数：()()()()card A B card A card B card AB =+-（()card A 表示集合A 中元素的个数）⑤n 个元素的集合的子集个数为2n ；真子集(非空子集)个数为21n -；非空真子集个数为22n -.⑥补集思想“正难则反”常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

4.原命题: p q ⇒；逆命题: q p ⇒；否命题: p q ⌝⇒⌝；逆否命题: q p ⌝⇒⌝；互为逆否的两个命题是等价的.如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件.(答：充分非必要条件)5.若p q ⇒且q p ≠>,则p （范围小）是q （范围大）的充分非必要条件(或q 是p 的必要非充分条件).6.命题“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”；“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”.二.函数与导数1.函数是“一对一或多对一“的对应；定义域和值域都是非空数集2.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.3.求定义域:使函数解析式有意义取值集合.(如:分母0≠;偶次根式被开方数非负;对数真数0>,底数0> 且1≠；零指数幂的底数0≠)；实际问题有意义；若()f x 定义域为[,]a b ,复合函数[()]f g x 定义域由()a g x b ≤≤解出的不等式解集；若[()]f g x 定义域为[,]a b ,则()f x 定义域相当于[,]x a b ∈时()g x 的值域.4.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法；③换元法(常用，要注意新元的范围).④基本不等式;⑤数形结合基本思路：定义域→解析式结构的研究→单调性→极值→最值5.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法； ⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。

6.函数的奇偶性和单调性⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；⑵若()f x 是偶函数,那么()()(||)f x f x f x =-=；定义域含零的奇函数必过原点⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或()()1(()0)f x f x f x -=±≠；⑷若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如()0f x =定义域关于原点对称即可).⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；⑹定义在R 上的函数()f x 都可以唯一地表示为一个奇函数和一个偶函数之和,即()()()()()()()()()22f x f x f x f x f x g x h x g x h x +---⎛⎫=+== ⎪⎝⎭偶函数，奇函数⑺确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法 (用于小题)等.⑻复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域） 7.函数图象的几种常见变换⑴平移变换： “左加右减”（注意是针对x 而言）； “上加下减”(注意是针对()f x 而言).⑵翻折变换：()|()|f x f x →；()(||)f x f x →.⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.②证明图像1C 与2C 的对称性,即证1C 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C 上,反之亦然.③若对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线2a b x +=对称；④若对x R ∈时, ()()2f a x f a x b ++-=，则函数()f x 图像关于点(,)P a b 对称 ⑤函数()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线2b a x -=对称(由a x b x +=-确定)；注意：③④中是函数自身的对称（如偶函数、奇函数、二次函数都是函数图象本身具有对称性），但⑤是两个函数相互的对称（如2xy =与2xy -=这两个函数关于y 轴对称） 8．函数周期性⑴若()()f x f x a =+，或()()22af x f x a +=-，则()f x 的周期T a =；⑵若()()()()()()11;;;f x a f x f x a f x a f x f x +=-+=+=-则()f x 的周期2T a =； ⑶若()f x 具有双重对称性：那么周期可以联想sin y x =的对称性和周期性 9.指数和对数式⑴1m n m na a -=，log (0,1,0)ba a N Nb a a N =⇔=>≠>，log a N a N =.⑵01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log log log c a c b b a=，.log log mn a a n b b m =.（对数要注意真数大于0）10.指数、对数、幂函数⑴,log ,x a y a y x y x α===（注意这三个函数的x 的位置，01,a a R α>≠∈且）⑵指、对数函数性质的研究要注意对01,1a a <<>讨论）；对数函数要注意真数大于0. 11.方程()k f x =有解k D ⇔∈(D 为()f x 的值域)；()a f x ≥恒成立[()]a f x ⇔≥最大值, ()a f x ≤恒成立[()]a f x ⇔≤最小值.12.恒成立问题的处理方法：⑴直接分类讨论（可以先用区间端点值压缩参数取值范围）求函数最值，再解关于参数的不等式⑵分离参数法（优先考虑）（3）关于“谁”恒成立，“谁”就是主元.13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14.二次函数解析式的三种形式： ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；②顶点式： 2()()(0)f x a x h k a =-+≠； ③零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（偶尔使用） 15.一元二次方程实根分布:先画图再研究0∆>、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 16.求解抽象函数问题的常用方法是： （1）常见抽象函数模型①正比例函数型： ()()(),(1)f x y f x f y f c ±=±=.②指数函数型：()()()()()(),(1,)0f x f x y f y f x y f x f y f a -=+==≠. ③对数函数型： ()()()()()(),xf f x f y y f xy f x f y =-=+, ()10f =④幂函数型：()()(),(1)f xy f x f y f α'==,()()()x f x f yf y =.（2）利用函数的性质定义（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：（3）利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等））进行逻辑探究。

17.函数(0,)ax b cx dy c ad bc ++=≠≠的图像是双曲线：①两渐近线分别直线d cx =-(由分母为零确定)和 直线a cy =(由分子、分母中x 的系数确定)；②对称中心是点(,)d a c c-；18.函数(0,0)b xy ax a b =+>>：增区间为(,)-∞+∞,减区间为[-.19.函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是指：曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率, 即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率是0()f x ', 切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-.（要注意“过”和“在”的区别）20.常见函数的导数公式:0C '=(C 为常数)；1()()n n x nx n Q -'=∈.(sin )cos x x '=；(cos )sin x x '=-； ()ln x x a a a '=；()x xe e '=；1(log )log a a xx e '=.1(ln )xx '=21.导数的四则运算法则：()u v u v '''±=±；()uv u v uv '''=+；2()u u v uv vv''-'=.()()()''xf x f x xf x =+⎡⎤⎣⎦、()()()2''f x f x x f x x x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦、 ()()()''x xe f x e f x f x ⎡⎤=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦、()()()''x x f x f x f x e e -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦复合函数的导数：x u x y y u '''=⋅. 22.根据函数单调性求参数取值范围时，要注意单调增（减）⇒()0f x '≥（()0f x '≤） 23.求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③根据根左右的正负变换，判断单调性；④极值逆向求解时，要注意()'0f x =的根不一定是极值，要检验. 三、三角函数1.弧长公式：||l r θ=；扇形面积公式：21122||S lr r θ==扇形；1弧度(1rad )≈57.3︒.2.注意“正、余弦三兄妹 sin cos x x ±、sin cos x x ⋅”的关系.如2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±等.以及齐次式的构造（弦化切）3.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括； (注意：公式中始终视．．．α．为锐角．．．)．4.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.如：()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++-；66ππαα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 222()()αββααβ+=---等；“1”的变换：221sin cos 2sin30tan 45x x =+=︒=︒； 7.重要结论：sin cos )a x b x x ϕ+=+其中tan ba ϕ=及,ab 正负）；重要公式22cos 1sin 2αα-=；2cos α=1cos 22α+；万能公式：22tan 1tan sin 2ααα+=；221tan 1tan cos2ααα-+=；22tan 1tan tan 2ααα-=.8.三角式变换主要有：三角函数名互化(切化弦、弦化切)、三角函数次数的降升(降次、升次)、运算结构的转化(和式与积式的互化). 解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角、看函数、看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切为弦,用倍角公式将高次降次. 9.三角函数的图象及性质 解析式 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 图象定义域 RR {x |x ∈R ，且x ≠k π＋⎭⎬⎫π2，k ∈Z 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期 2π 2π 2π 奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在⎣⎡ 2k π－π2，2k π＋⎦⎤π2上是增函数；在⎣⎡ 2k π＋π2，2k π＋⎦⎤32π上是减函数(k ∈Z )在[2k π－π，2k π]上是增函数；在[2k π，2k π＋π]上是减函数(k ∈Z ) 在⎝⎛ k π－π2，k π＋⎭⎫π2内是增函数(k ∈Z )对称轴 ()2x k k Z ππ=+∈ ()x k k Z π=∈对称中心(,0)()k k Z π∈(,0)()2k k Z ππ+∈ (,0)()2k k Z π∈ 勿忘三内角和等于180︒,任两边之和大于第三边 一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：sin sin sin 2a b c ABCR ===；余弦定理：22222222()222cos ,cos 1b c ab c abcbca b c bc A A +-+-=+-==-；正弦平方差公式：22sin sin sin()sin()A B A B A B -=+-；三角形的内切圆半径2ABC S a b cr ∆++=；面积公式：124sin abc RS ab C ∆==；射影定理：cos cos a b C c B =+.10.ABC ∆中,易得：A B C π++=,①sin sin()A B C =+,cos cos()A B C =-+,tan tan()A B C =-+.②22sin cosA B C +=,22cossinA B C +=,22tancotA B C +=.③sin sin a b A B A B >⇔>⇔> ④锐角ABC ∆中,2A B π+>,sin cos ,cos sin A B A B ><,222a b c +>,类比得钝角ABC ∆结论.⑤tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=.11.角平分线性质定理：若AD 是ABC ∆的角A 平分线，则有AB BD AC CD =；AB AD AC AD AB AC=四、平面向量1.设11(,)a x y =,22(,)b x y =.(1)1221//0a b x y x y ⇔-=；(2)121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=. 2.三点A B C 、、共线⇔AB AC λ=共线；与AB 共线的单位向量||AB AB ±.向量 PA PB PC 、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数x y 、使得：PA xPB yPC=+且1x y +=.3.平面向量基本定理：如果1e 和2e 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+.4.设11(,)a x y =,22(,)b x y =,则1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+；其几何意义是a b ⋅等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积；a 在b 的方向上的投影||cos ||a ba b θ⋅=. 5. ,a b 〈〉为锐角0a b ⇔⋅>,,a b 不同向；,a b 〈〉为直角0a b ⇔⋅=；,a b 〈〉为钝角0a b ⇔⋅<,,a b 不反向.7.平面向量数量积的坐标表示：⑴若11(,)a x y =,22(,)b x y =,则1212a b x x y y ⋅=+； ||(AB x =； ⑵若(,)a x y =,则222a a a x y =⋅=+. 9.三角形中向量性质：①AB AC +过BC 边的中点D ,即2AB AC AD += ②13()0PG PA PB PC GA GB GC G =++⇔++=⇔为ABC ∆的重心；③PA PB PB PC PA PC P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心； ④||||()(0)AB AC AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆内心.⑤1||||sin 2ABC S AB AC A ∆=，cos AB AC AB AC A =，即1=tan 2ABC S A AB AC ⑥若O 为ABC ∆外心，则有2211;,22OA OB OC AB AO AB AC AO AC ====五、不等式1.不等式性质 ：①若0ab >,b a >,则11ab>.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.2.掌握几类不等式(一元一次、二次、分式不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；分式不等式要注意分母不为03.111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域：两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=所成的对顶角区域（上下或左右两部分）. 4、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：（1）ax by +，“截距函数”，若0b >，直线在y 轴上的截距越大，z 越大，若0b <，直线在y 轴上的截距越大，z 越小.（2）y mx n--，表示过两点()(),,,x y n m 的直线的“斜率函数”，特别y x 表示过原点和(),n m 的直线的斜率.（3）()()22x m y n -+-，表示点（x ，y ）到点（m,n ）的距离平方，也可以认为是圆心固定，半径变化的动圆 （4“点线距离函数”，表示点00(,)x y 线0Ax By C ++=距离；（5）如果可行域的边界含有曲线，需要用求导求出切线的斜率（要注意切点是否在区域内） 5.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若0,>b a ,则2a b +≥当且仅当b a =时 取等号)使用条件：“一正二定三相等 ” 常用的方法为：拆、凑、平方等；(2),,a b c R ∈，222a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时,取等号)；(3)公式注意变形如：22222()a b a b ++≥,22()a b ab +≤；(4)若0,0a b m >>>,则b b m aa m++<(真分数的性质)；（5）有时也会用到()20a b +≥，即222a b ab +≥-6.证明不等式常用方法：⑴比较法：作差比较：0A B A B -≤⇔≤.注意：若两个正数作差比较有困 难,可以通过它们的平方差来比较大小；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索因.基本步骤：要证… 需证…,只需证…； ⑷反证法：正难则反；⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有：①添加或舍去一些项,||a >；n .②将分子或分母放大(或缩小) ③利用基本不等式,(1)2n n ++<.④利用常用结论：0111；02211111111(1)(1)1kk k kkk kk k++---=<<=-；⑹换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元 代数换元.如：知222x y a +=,可设cos ,sin x a y a θθ==；知221x y +≤,可设cos x r θ=,sin y r θ=(01r ≤≤)； （7）“1”的代换：如1a b xy+=，求ma nb +的最小值7.分式函数利用不等式求最值①2b y k x =+型，可直接用不等式性质；②2bxy x mx n =++型，先化简，再用均值不等式； ③22x m x n y x mx n''++=++型，分离变量后，转化为第（2）中类型④2x m x n y mx n''++=+型，可先换元后用均值不等式法；（如果等号不成立可以用求导解决）8.多元问题：①消元：要注意消元比限元；②构造齐次后整体处理；③条件为不等式组考虑线性规划（用图形来解决） 六、数列 1.由n S 求n a ,1*1(1)(2,)n n n S n a S S n n N -=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩ 注意验证1a 是否包含在后面n a 的公式中 2.等差数列1{}n n n a a a d -⇔-=(d 为常数)112(2,*)n n n a a a n n N +-⇔=+≥∈21122(,)(,)n n dda anb a d b a d S An Bn A B a ⇔=+==-⇔=+==-；（注意：证明只能用定义法和中项法）3.等差数列的性质： ①()n m a a n m d =+-,m n a a m nd --=；②m n l k m n l k a a a a +=+⇒+=+(反之不一定成立)；特别地,当2m n p +=时,有2m n p a a a +=；③若{}n a 、{}n b 是等差数列,则{}n n ka tb +(k 、t 是非零常数)是等差数列； ④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 232,,,m m m m m S S S S S --仍是等差数列；⑤等差数列{}n a ,当项数为2n 时,S S nd -=偶奇,1n n S a S a +=奇偶；项数为21n -时,(*)n S S a a n N -==∈偶中奇,21(21)n n S n a -=-,且1S n S n =-奇偶；()(21)n n nnA aB b f n f n =⇒=-.⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n 项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式 ：100n n a a +≥⎧⎨≤⎩(或100n n a a +≤⎧⎨≥⎩).也可用2n S An Bn =+的二次函数关系来分析.4.等比数列121111{}(0)(2,*)n nn n n n n n a a a q q a a a n n N a a q +--+⇔=≠⇔=≥∈⇔=.5.等比数列的性质①n mn m a a q -=,②若{}n a 、{}n b 是等比数列，则{}n ka 、{}n n a b 等也是等比数列；③111111(1)1111(1)(1)(1)(1)n n n n q q a a a a a q q q q na q na q S q q q ------==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨-+≠=≠⎪⎪⎩⎩；④m n l k m n l k a a a a +=+⇒=(反之不一定成立)；m n m n m n n m S S q S S q S +=+=+. ⑤等比数列中232,,,m m m m m S S S S S --(注：各项均不为0)仍是等比数列. ⑥等比数列{}n a 当项数为2n 时,S S q =偶奇；项数为21n -时,1S a S q -=奇偶.6.①如果数列{}n a 是等差数列,则数列{}n aA (n a A 总有意义)是等比数列；如果数列{}n a 是等比数列,则数列{log ||}(0,1)a n a a a >≠是等差数列；②若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列； ③三个数成等差的设法：,,a d a a d -+；四个数成等差的设法：3,,,3a d a d a d a d --++； 三个数成等比的设法：,,aq a aq ；7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.⑵已知n S (即12()n a a a f n +++=)求n a 用作差法：11,(1),(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.⑶已知12()n a a a f n ⋅⋅⋅=求n a 用作商法：()(1)(1),(1),(2)n f n f n f n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩.⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用迭加法. ⑸已知1()n na af n +=,求n a 用迭乘法.⑹已知数列递推式求n a ,用构造法(构造等差、等比数列)：①形如1n n a ka b -=+,1nn n a ka b -=+,(,k b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后,再求n a .②形如11n n n a ka ba --+=的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位相减；⑤分裂通项法.常见裂项公式111(1)1n n nn ++=-；1111()()n n k k nn k++=-；常见放缩公式：<=.9、分类讨论的思想：（1）由n n a s 求.11(1)(2)≥n nn s n a S S n -=⎧=⎨-⎩（2）等比数列的求和公式：11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩，或11(1)(1)1n n na q s a a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（3）项数n 分奇数、偶数讨论.如含有()1n- 10、从特殊到一般的思想（“归纳、猜想”）从一般到特殊的思想：*n N ∈时成立，则n=1,2也应该均成立，再将所求参数值回代检验.11、解方程组思想：①n d s a a n n 、、、、1五个变量“知三求二”.②等差（比）数列含有三项…构成一个新数列，即转化为多字母的方程是否有正整数解.七.直线和圆的方程1.直线的倾斜角α的范围是[0,π）；2.直线的倾斜角与斜率的变化关系2tan ()k παα=≠(如右图)：3.直线方程五种形式：①()00y y k x x -=-与0x x =同时考虑；②0x my x =+与0y =③1x ya b+=与y kx =同时考虑 4.直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系： ⑴平行⇔12210A B A B -=(斜率)且12210B C B C -≠(在y 轴上截距)；⑵相交⇔12210A B A B -≠；(3)重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=.5.直线系方程：①过两直线1l ：1110A x B y C ++=,2l ：2220A x B y C ++=.交点的直线系方程可设 为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=；②与直线:0l Ax By C ++=平行的直线系方程可设为0()Ax By m m c ++=≠；③与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线系方程可设为0Bx Ay n -+=.6.点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式d ；两条平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离是d =.7.⑴圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=. ⑵圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->.特别提醒：只有当2240D E F +->时,方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为22(,)DE --,的圆(二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆0A C ⇔=≠,且220,40B D E AF =+->).⑶圆的第二定义：若,A B 为定点，P 为动点，且满足()1PA PB λλ=≠，则P 点轨迹为圆且圆心在直线AB 上.⑷以11(,)A x y 、22(,)B x y 为直径的圆的方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--=；11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点00(,)P x y 及圆的方程222()()x a y b r -+-=.①22200()()x a y b r -+->⇔点P 在圆外；②22200()()x a y b r -+-<⇔点P 在圆内；③22200()()x a y b r -+-=⇔点P 在圆上. 12.圆上一点的切线方程：点00(,)P x y 在圆222x y r +=上,则过点P 的切线方程为：200x x y y r +=（填空题直接用）13.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么要考虑斜率不存在.14.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.①d r >⇔相离 ②d r =⇔相切 ③d r <⇔相交15.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为d ,两圆的半径分别为,r R ：d R r >+⇔两圆相离；d R r =+⇔两圆相外切； ||R r d R r -<<+⇔两圆相交；||d R r =-⇔两圆相内切； ||d R r <-⇔两圆内含；0d =⇔两圆同心.16.过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=,2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆(相交弦)系方程为2222111222()()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=.1λ=-时为两圆公共弦所在直线方程.17.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理). 八、圆锥曲线方程1.圆锥曲线的两个定义，及其“括号”内的限制条件，在圆锥曲线问题中，如果涉及到其两焦点(两相异定点)，那么将优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其焦点、准线(一定点和不过该点的一定直线)或离心率，那么将优先选用圆锥曲线第二定义；涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用.(1)注意：①圆锥曲线第一定义与焦点三角形结合的使用②圆锥曲线第二定义是：“点点距为分子、点线距为分母”，椭圆⇔点点距除以点线距商是小于1的正数，双曲线⇔点点距除以点线距商是大于1的正数，抛物线⇔点点距除以点线距商是等于1.③圆锥曲线的焦半径公式如下图：2.圆锥曲线的几何性质：圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势.其中c e a =，椭圆中b a =、双曲线中b a=.重视“特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其‘顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质’”3.椭圆焦半径公式：设00(,)P x y 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上任一点,焦点为1(,0)F c -,2(,0)F c ,则1020,PF a ex PF a ex =+=-(“左加右减”)（解答题用统一定义推导、双曲线、抛物线的焦半径公式用定义推导即可不需要记忆）4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB 或12|AB x x =- 12y -（要注意弦所在直线是否过焦点、定点、中心）5.轨迹求解方法⑴直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成(,)0F x y =，是求轨迹的最基本的方法. ⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可.⑶代入法（相关点法或转移法）. ⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则由曲线的定义直接写出方程.6.设而不求已知椭圆22221x y a b +=，过中线的直线交椭圆于,A B ，P 为椭圆上任意一点，若斜率存在的情况下有：22PA PB b k k a =-,若M 为线段PA 的中点，则22MO PB b k k a=-九、立体几何1. 常用定理:①线面平行ααα////a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂;αββα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂;②线线平行:b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα;b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα;b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα;b c c a b a //////⇒⎭⎬⎫ 平几方法（相似比、中位线）,,,,//a b a c a b c b c α⊥⊥⊂⇒③面面平行:βαββαα////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂⊂b a O b a b a ;④线线垂直:b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα;所成角900；PA a AO a a PO ⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂⊥αα ⑤线面垂直:ααα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l b l a l Ob a b a ,,;βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l ,;⑥面面垂直：二面角900;βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a ; 2.圆锥的侧面展开图是扇形（弧长l r θ=）；侧面展开图求距离最小值问题3.柱体和椎体体积公式的不同；正六棱锥、正棱柱底面为正六边形.(直棱柱：侧棱垂直于底面；正棱柱是特殊的直棱柱，底面是正多边形；正棱锥顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心)4.侧面或底面复杂时，应该将其重新画成平面图形单独研究，可以建系或用解三角形的知识（如余弦定理）5.若点（线）…，有线面平行或垂直，此时应该先找出点再证明；如果找不到，应该用反证法（假设有平行或垂直得到矛盾）6.翻折问题要注意折痕两侧的长度和角度的变换. 十、算法1. 选择结构的流程图多与分段函数有关；循环结构的流程图多与累加或累乘问题有关2. 循环结构的流程图或伪代码要注意：S S I ←+与1I I ←+先后顺序不同，对最后结果的影响3. 循环结构的流程图或伪代码要注意退出循环时的S 和I 的值以及题目最后输出的是S 还是I ？ 十一、统 计1.抽样方法：(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取.(2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（n N）2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).公式如下：222211111111,()()(),n n n n i i i i i i i i x x S x x x x S n n n n ======-=-=∑∑∑∑标准方差)样本数据做如下变换'i i x ax b =+，则'x ax b =+，222()S a S '=.总体估计还要掌握：(1)一“表”(频率分布表)一“图”(频率分布直方图).注意：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商 (而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率. 十二、概率1.古典概型和几何概型：基本事件都是等可能的；古典基本事件有限个、几何基本事件无限个.2.几何概型：一元问题测度是长度或角度；二元问题测度是面积（与线性规划有关）3.事件的理解是关键；前160的填空题中多用树形图或列举法；复杂事件可以用互斥事件分类或对立事件转化. 十三、复数1. 复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ⇔=且0(,)b a b R ≠∈； ②z 是纯虚数 0(0)z z z ⇔+=≠(其中z a bi =-)2. 11121222;z z z z z z z z ==、12z z -的几何意义为这两个复数终点的距离 3.注意以下结论：⑴2(1)2i i ±=±；⑵11i ii +-=,11i ii -+=-；⑶1230()n n n n i i i i n N ++++++=∈；十四.推理与证明1.类比推理：等差与等比、平面几何与立体几何、圆与椭圆、椭圆与双曲线等.2.证明方法：用分析法和反证法要注意证明的格式.特别提醒：要注意填空题的答案的表述要规范！解答题过程要全面而严谨！“考前最后一眼”【附加篇】一、矩阵1.旋转矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ（逆时针转）； 2.切变变换：（1）点的终坐标不变，横坐标变成原来的k 倍，故矩阵 00 1k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示x 轴方向上的切变变换 （2）点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k 倍，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k 表示y 轴方向上的切变变换3. 二阶矩阵与二阶矩阵的乘法111211121111122111121222212221222111222121122222 + + + +a a b b a b a b a b a b a a b b a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 4. 逆矩阵：（1）基本公式1- - db ad bc ad bc c a ad bc ad bc -⎡⎤⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A .（2）若二阶矩阵A 、B 存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，其中()111---AB =B A ，()111---BA =A B . 5. （1）对于给定矩阵M ，如果存在一个非零向量a 和实数λ，使得Ma ＝λa ，则称λ是矩阵M 的特征值，a 是矩阵M 的属于特征值λ的特征向量．（2）()()()121212n n n n n n M M m n m M n M m n βααααλαλα=+=+=+ 二、参数方法及极坐标1.互化公式：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩；222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩；极坐标(),A ρθ 2. 直线的极坐标方程：①过极点且与极轴成α角：θα=；②平行于极轴，和极轴的距离为a ：sin a ρθ=； ③垂直于极轴，和极轴的距离为a ：cos a ρθ=；3. 圆的极坐标方程：①圆心在极点，半径为r ：r ρ=；②圆心(,0)r ，半径为r ：2cos r ρθ=； ③圆心(,)2r π，半径为r ：2sin r ρθ=4.常见曲线的参数方程：（1）过点00(,)M x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（2）圆心在1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程为 ()cos sin x a r y b r θθθ⎧⎨⎩=+=+为参数.（3）椭圆22221y x a b +=的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.三、不等式选讲1.柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|（等号成立条件为：两个向量共线时） （a 2+b 2）(c 2+d 2)≥(ac +bd )2(等号成立条件为：ad=bc)2. 设12,,...,n a a a 为正数，则有12...n a a a n+++12...n a a a ===时等号成立）四、空间向量 >。