绝对值不等式及十字相乘

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绝对值不等式求解方法

绝对值不等式求解方法宝子们，今天咱们来唠唠绝对值不等式的求解方法呀。

那啥是绝对值不等式呢？简单说就是不等式里有绝对值符号的式子。

比如说x - 3>5这种。

对于绝对值不等式x>a（a>0）这种类型的，它的解就是x>a或者x< - a。

就像刚刚说的x - 3>5，那咱就把x - 3看成一个整体，就得到x - 3>5或者x - 3< - 5。

解这俩小不等式，第一个得到x>8，第二个得到x< - 2，这就是答案啦。

再说说x<a（a>0）这种类型的，它的解就是 - a<x<a。

比如说2x + 1<3，那就是- 3<2x + 1<3。

咱先解左边的 - 3<2x + 1，移项得到 - 4<2x，也就是x> - 2；再解右边的2x + 1<3，移项得到2x<2，也就是x<1。

所以这个绝对值不等式的解就是 - 2<x<1。

要是遇到那种绝对值里有式子，外面还有系数的，像2x - 1>4。

咱先把系数除掉，两边同时除以2，就变成x - 1>2，然后就按照前面的方法解就好啦，得到x>3或者x< - 1。

还有那种两边都有绝对值的，比如x - 2 = 3x + 1。

这时候呢，就有两种情况，一种是x - 2 = 3x + 1，还有一种是x - 2 = - (3x + 1)。

解第一个方程，移项得到- 2x = 3，x = - 3/2；解第二个方程，x - 2 = - 3x - 1，移项得到4x = 1，x = 1/4。

这两个值就是这个等式的解啦。

宝子们，绝对值不等式其实没那么可怕，只要把这些基本的类型和方法搞清楚，多做几道题练练手，就肯定能掌握的。

加油哦，数学小天才们！。

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第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。

②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。

③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。

（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集．例1. 求不等式354x -<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x ->+的解集例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集．例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）13x x -+-＞4+x （2）|x +1|<|x －2|（3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x -< (5)578x +> 3、因式分解乘法公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）2672x x ++（3）22()x a b xy aby -++；（4）1xy x y -+-．2．提取公因式法例2.分解因式：（1）()()b a b a -+-552（2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式：（1）164+-a （2）()()2223y x y x --+4．分组分解法例4.（1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-；（2）2244x xy y +-．练习（1）256x x -- （2）()21x a x a -++ （3）21118x x -+（4）24129m m -+ （5）2576x x +- （6）22126x xy y +-（7）()()3211262+---p q q p （8）22365ab b a a +- （9）()22244+--x x （10）1224+-x x （11）by ax b a y x 222222++-+-（12）91264422++-+-b a b ab a (13)x 2－2x －1（14） 31a +；（15）424139x x -+；（16）22222b c ab ac bc ++++；（17）2235294x xy y x y +-++-第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。

2022职高数学集合与不等式知识要点

职高数学概念与公式初中基础知识：1相反数、绝对值、分数的运算；2因式分解：提公因式：xy −3x =x （y −3）十字相乘法：3x 2−5xy−2y （3x +y ）（x −2y ）配方法：22±x −3=x ±−258公式法：22222222y x y -x y x yxy 2x y -x y xy 2x y x +=⋅++-=++=+）（）（）（）（3.掌握一元一次方程（移项+变号,含未知数放一边、常数项放另一边）4.一元二次方程解法提公因式：x 2−3x =0提公因式 x （x −3）=0解得 x =0x =3（常数项为零）十字相乘法：3x 2−5x −2=03x1（3x +1）（x −2）=01x−2∴3x +1=0或x −2=03x ∙（−2）+x ∙1=−5x∴1=−13；2=2配方法：22222222244a 2b x a 2b a c a 2b x a b x ac x a b x 0a c x ab x 0c bx ax a ac b -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛++-=+=++=++示例()⎩⎨⎧-==∴±=-=-+=+-=-=--2x 4x 31x 91x 181x 2x 8x 2x 08x 2x 212222公式法：=5.二元一次方程组(1)加减消元法，将两式通过相加或相减，从而消掉某个未知数的方法。

(2)代入消元法，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程。

6.完全平方和（差）公式：()222b a b ab 2a +=++()222b a b ab 2a -=+-7.平方差公式：()()b -+=-a b a b a 228.立方和（差）公式：()()2233bab a b a b a +-+=+()()2233b ab ab a b a ++-=-第一章集合1.构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。

绝对值不等式性质及公式

综合③，④我们得到有关绝对值（absolutevalue)的重要不等式
|a|-|b|小于等于|a+b|小于等于|a|+|b|
2.|a|＜|b|可逆a&sup2;＜b&sup2;
另外
|a|-|b|小于等于|a+b|小于等于|a|+|b|，当且仅当ab小于等于0时左边等
号成立，ab≥0时右边等号成立。
|a|-|b|小于等于|a-b|小于等于|a|+|b|，当且仅当ab≥0时左边等号成
立，ab小于等于0时右边等号成立。
几何意义
1.当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹙b的距离等于它
们到原点的距离之和。2.当a，b异号时它们பைடு நூலகம்别位于原点的两边，此时a
与﹙b的距离小于它们到原点的距离之和。
(|a+b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)
绝对值重要不等式
我们知道
|a|={a，(a＞0)，a，（a=0)，﹙a，（a＜0)，}
因此，有
﹙|a|小于等于a小于等于|a|
﹙|b|小于等于b小于等于|b|
同样地
①，②相加得
﹙﹙|a|+|b|)小于等于a+b小于等于|a|+|b|
即|a+b|小于等于|a|+|b|
显而易见，a，b同号或有一个为0时，③式等号成立。
由③可得
|a|=|(a+b)-b|小于等于|a+b|+|-b|，
即|a|-|b|小于等于|a+b|
绝对值不等式性质及公式
绝对值不等式
简介
在不等式应用中，经常涉及重量、面积、体积等，也涉及某些数学对

绝对值不等式PPT课件

方法技巧
1.形如|ax+b|≤c(≥c)(c>0)的三种解法解法一:等价法 |ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c. (|ax+b|≥c⇔ax+b≤-c或ax+b≥c) 解法二:分类讨论法
|ax+b|≤c⇔aaxx
b b
0, c
或ax(axbb)0,
c.
解法三:平方法
|ax+b|≤c⇔(ax+b)2≤c2. 2.形如|x+a|+k|x+b|≤c(≥c)的解法
x
|
x
5 2
或x
7 2
.
(2)解法一:因为|x+1|+|m-x|≥|x+1+m-x|=|m+1|,
由题意得|m+1|≥6,
即m+1≥6或m+1≤-6,
解得m≥5或m≤-7,
即m的取值范围是(-∞,-7]∪[5,+∞).
2x m 1, x m,
解法二:①当m<-1时, f(x)=m 1, m x 1,
2
围.
解析令f(x)=|2x-1|+|x+2|,
易求得f(x)min=
5 2
,
依题意得a2+ 1 a+2≤ 5 ⇔-1≤a≤1 .
2
2
2
考点突破
考点一绝对值不等式的解法
典例1 解不等式:|x-1|-|x-5|<2. 解析 ①当x<1时,原不等式等价于1-x-(5-x)<2,即-4<2,不等式恒成立, ∴x<1. ②当1≤x≤5时,原不等式等价于x-1-(5-x)<2,即x<4, ∴1≤x<4. ③当x>5时,原不等式等价于x-1-(x-5)<2,即4<2,无解. 综合①②③知原不等式的解集为(-∞,4).

十字相乘法完整版

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十字相乘法完整版
目录
01
添加目录标题
02
十字相乘法的基本原理
03
十字相乘法的应用
04十字相乘法ຫໍສະໝຸດ 注意事项05十字相乘法的扩展应用
01
添加章节标题
02
十字相乘法的基本原理
定义与公式
定义：十字相乘法是一种解一元二次方程的方法，通过将方程的系数分解为两个因数的乘积，从而找到方程的解。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有括号时。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有分数时。
分解因式时要注意完全平方数的问题
分解因式时要注意完全平方数的问题，避免出现错误的结果。
分解因式时要注意符号问题，确保结果的正确性。
分解因式时要注意因式的分解是否彻底，避免出现不必要的错误。
应用场景：求解一元二次不等式时，当不等式的系数较大或较为复杂时，使用十字相乘法可以简化计算过程
注意事项：在使用十字相乘法时，需要确保分解后的两个一次项的乘积为正，否则会导致不等号方向错误
举例说明：通过具体的一元二次不等式实例，展示十字相乘法的应用和求解过程
求解一元二次函数极值
定义：一元二次函数极值是指函数在某点的导数为零，且该点两侧的函数值异号
代数方程：十字相乘法可用于解二次方程和一元高次方程
矩阵运算：十字相乘法在矩阵的乘法中也有应用
分式化简：十字相乘法可以用于化简分式，简化计算过程
在物理和工程领域的应用
线性代数方程组的求解
工程中的结构分析、流体动力学等领域
物理中的动力学方程求解
矩阵运算中的分块矩阵相乘

绝对值不等式

解：因为|2x＋3y＋1|＝|2(x－1)＋3(y＋1)| ≤2|x－1|＋3|y＋1|≤7，所以|2x＋3y＋1|的最大值为 7.
考点三含绝对值不等式的综合问题 [师生共研过关]
[例 1] (2018·辽宁五校联合体模拟)已知函数 f(x)＝|x－
a|＋|2x－a|(a∈R ).
(1)若 f(1)＜11，求 a 的取值范围； (2)若∀a∈R ，f(x)≥x2－x－3 恒成立，求 x 的取值范围.
绝对值不等式
基础——在批注中理解透
单纯识记无意义，深刻理解提能力
1.绝对值三角不等式定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立.❶ 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立.
3x＋2，x＞1，
∴f(x)＞4⇔x＜－32，
或－32≤x≤1，
－3x－2＞4 x＋4＞4
或3xx＞＋12，＞4 ⇔x＜－2 或 0＜x≤1 或 x＞1. 综上，不等式 f(x)＞4 的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞).
(2)存在 x∈－32，1 使不等式 a＋1＞f(x)成立⇔a＋1＞ f(x)min，x∈－32，1.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若|x|＞c 的解集为 R ，则 c≤0.
(×)
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2 的解集为∅.
(√)
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当 a＞b＞0 时等号成立. ( × )
(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立. ( × )
3－2a，a≤1， [解] (1)f(1)＝|1－a|＋|2－a|＝1，1＜a＜2，

初升高数学衔接教材(完整)

第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数a和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0), 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。

② f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。

③ 2 2f (x) g(x) f (x)g (x)。

（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例1. 求不等式3x 5 4的解集例2. 求不等式2x 1 5的解集例3. 求不等式x 3 x 2 的解集例4. 求不等式| x＋2| ＋| x－1| ＞3 的解集．1例5. 解不等式| x－1| ＋|2 －x| ＞3－x．例6. 已知关于x 的不等式| x－5| ＋| x－3| ＜a 有解，求 a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x 1 x 3 ＞4+x（2）| x+1|<| x－2|（3）| x－1|+|2 x+1|<4（4）3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式（1）平方差公式 2 2(a b)( a b) a b（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2ab b（3）立方和公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（4）立方差公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（5）三数和平方公式 2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ac)（6）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b2（7）两数差立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2（1）x －3x＋2；（2）26x 7x 2（3） 2 ( ) 2x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2．提取公因式法例2. 分解因式：2 （2）x3 9 3x2 3x （1）ab 5 a 5 b3．公式法例3. 分解因式：（1）a4 16 （2） 23x 2y x y2 4．分组分解法2例4. （1）x xy 3y 3x （2）2 22x xy y 4x 5y 65．关于x 的二次三项式ax2+bx+c( a≠0) 的因式分解．若关于x 的方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是x1 、x2 ，则二次三项式2 ( 0)ax bx c a 就可分解为a(x x )(x x ).1 2例5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1） 2 2 1x x ；（2）2 4 4 2 x xy y ．3练习（1） 25 6xx （2） 21 x ax a（3） 2 11 18xx （4）24m 12m 9（5）25 7x 6x（6） 2212xxy 6y2q p （ 7） 6 2p q 1123（ 8 ）35a 2b 6ab2a（ 9 ）24 2 4 xx2（10） x 42x 2 1 （11） x 2 y 2 a 2 b 2 2ax 2by（12） a 24ab 4b 2 6a 12b 9(13) x 2－2x －1（14） 31a；（15）4 24x 13x 9 ；（16）2 22 2 2b cab ac bc ；（17）2 23x 5xy 2y x 9y 4第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1) 根的判别式2对于一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1）当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝，2＝24 bbac 2a；（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ b 2a；（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是 x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝b a ，x 1· x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb 2a，顶点坐标为 2b4ac b ，。

绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法什么是绝对值不等式？绝对值不等式是数学中一类常见的不等式类型，它涉及到绝对值函数(|x|)。

绝对值函数定义了一个实数的非负值，即对于实数x，|x|的值总是与x的符号无关，而只与x的大小有关。

绝对值不等式的一般形式为：|f(x)| ≤ a 或|f(x)| ≥ a，其中f(x)是一个函数，a是一个正实数。

绝对值不等式的求解方法当遇到绝对值不等式时，我们需要找到使得不等式成立的x 的范围，也就是求解不等式的解集。

下面将介绍几种常见的绝对值不等式的解法。

1. 图形法图形法是解决绝对值不等式的直观方法。

我们可以通过绘制函数y = f(x)的图像来分析绝对值不等式。

对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以绘制函数y = f(x)的图像，并考察函数值在y轴上的绝对值是否小于等于a。

如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值小于等于a，则该范围内的x属于解集。

对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以绘制函数y = f(x)的图像。

但在该情况下，我们需要考察函数图像位于y轴上的绝对值是否大于等于a。

如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值大于等于a，则该范围内的x属于解集。

2. 分情况讨论法绝对值不等式的另一种解法是通过分情况讨论来找到解集的范围。

对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以将绝对值函数分为两种情况进行讨论： - 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≤ a。

- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≤ a，进一步化简为f(x) ≥ -a。

上述两种情况分别给出了绝对值不等式的解集范围。

我们需要根据具体函数f(x)和给定的a值来确定最终的解集。

对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以采用类似的分情况讨论法：- 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≥ a。

- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≥ a，进一步化简为f(x) ≤ -a。

绝对值不等式课件

注重实践
在学习的过程中，要注重实践，通过实际问题的解决来加深对知
识点的理解。
THANKS
感谢观看
在物理学中，绝对值不等式可以用来描述物理量的范围和限制，如速度、加速度等。
工程中的应用
在工程中，绝对值不等式可以用来描述误差范围和控制精度，如测量误差、加工精度等。
05
练习与巩固
基础练习题
绝对值不等式的定义和性质
通过简单的题目，让学生理解绝对值不等式的定义和性质，包括绝对值不等式的性质、绝对值不等式的几何意义等。
04
绝对值不等式的扩展知识
绝对值的几何意义
绝对值的定义
对于任意实数x，其绝对值|x|表示 x到0的距离。
绝对值的几何意义
|x|表示数轴上点x到原点的距离，即数轴上点x与原点的距离。
绝对值的性质
|x|≥0，当且仅当x=0时取等号； |x|=|−x|；|x+y|≤|x|+|y|。
绝对值不等式的推广形式
是实数。
绝对值不等式描述了两个数之间的绝对值大小关系。
绝对值不等式的性质
绝对值不等式具有非负性，即对于任意实数 a 和 b，有 |a| ≥ 0 和 |b| ≥ 0。
绝对值不等式具有三角不等式性质，即 |a + b| ≤ |a| + |b|。
绝对值不等式具有对称性，即 |a| > |b| 等价于 |b| < |a|。
绝对值不等式的解法
通过一些简单的题目，让学生掌握绝对值不等式的解法，包括绝对值不等式的转化、分类讨论等。
进阶练习题
绝对值不等式的综合应用
通过一些稍微复杂的题目，让学生学会如何将绝对值不等式与其他知识点结合，如函数、数列等，提高解题的综合能力。

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