新北师大版八年级上册《勾股定理的应用》同步检测

勾股定理的应用一、选择题（每小题5分，共25分）1．直角三角形两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的高是（）．A．5 B．1 C．1.2 D．2.42．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）．A．12米B．13 米C．14米D．15米3．△ABC中，AD是高，AB=17，BD=15，CD=6，则AC的长是（）．A．8 B．10 C．12 D．134．一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（）组．A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，4 5．如果直角三角形有一直角边是11，另外两边长是连续自然数，那么它的周长是（）．A．121B．132C．120D．110二、填空题（每小题5分，共40分）6．求下列直角三角形中未知边的长度：b=______ c=______．7．△ABC中，∠C=90°，c+a=9.8，c-a=5，则b=_____．8．如图1，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸减去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为_______．图1 图2 图39．王师傅在操场上安装一副单杠，要求单杠与地面平行，杠与两撑脚垂直，如图2所示，撑脚长AB、DC为3m，两撑脚间的距离BC为4m，则AC=____m就符合要求．10．如图3，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动_____米．11．如图4是一长方形公园，如果某人从景点A走到景点C，则至少要走_____米．图4 图512．一个等腰直角三角形的面积是8，则它的直角边长为______．13．如图5，以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1、S2、S3之间的关系是______．三、解答题（14题7分，15题8分，16、17各10分）14．如图6，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要达到的B点140米，（即BC=140米），其结果是他在水中实际游了500米（即AC=500米），求该河AB处的宽度．图615．如图7，根据图上条件，求矩形ABCD的面积．图716．如图8，一艘轮船以16海里/时的速度离开港口O，向东南方向航行，另一艘船在同样同时同地以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口半小时分别到达A、B，求A、B两点的距离?图817．为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在如图9所示AB所在的直线上建一图书阅览室，本社区有两所学校所在的位置在点C和D处．CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问：阅览室E应建在距A多少㎞处，才能使它到C、D两所学校的距离相等？图9参考答案：一、1．D 2．A 3．B 4．C 5．B二、6．12，26; 7．7; 8．20cm(提示:延长AB，DC构成直角三角形); 9．5; 10．2 ; 11．370; 12．4; 13．S1+S3=S2．三、14．解：在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，所以AB2+1402=5002，解得AB=480．15．解：在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2=82+152=172，所以AD=17，所以矩形的面积是17×3=51(cm2)．16．AB2=OA2+OB2=82+62=100，所以AB=10．17．解：设阅览室E到A的距离为x㎞．连结CE、DE．在Rt△EAC和Rt△EBD中，CE2=AE2+AC2=x2+152，DE2=EB2+DB2=（25-x）2+102．因为点E到点CD的距离，所以CE=DE．所以CE2=DE2．即x2+152=(25-x)2+102．所以x=10．因此，阅览室E应建在距A10km处．。

1.3 勾股定理的应用1．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m．按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支O路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（）．A . 2mB．3mC．6mD．9m2．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2 m，坡角∠A ＝30°，∠B＝90°，BC＝6 m．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝m时，有DC2＝AE2＋BC2．3．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．4．如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为8 cm，圆柱的半径为6cm，那么最短路径AB长( )．A．8B．6C．平方后为208的数D．105．一个圆桶，底面直径为24 cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为( ) ．A．24cmB．32cmC．40 cmD．456．已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160 m，再向东直走80 m 后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少米后，他与神仙百货的距离为340 m？A．100B．180C．220D．2607. 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m,8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．．．．．．．．．．．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．8．飞机在空中水平飞行．．．．，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000 m 处，过了20秒，飞机距离这个女孩头顶5000 m ，则飞机速度是多少？ 参考答案 1.C 2. 314 3. 15 4.D 5.C 6.C 7. 周长=8+8+82=16+82． 8.150 m/s. 北师大版九年级数学上册期中测试题 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是A.1B.12 C.13D.142.关于方程x2-2＝0的理解错误的是A.这个方程是一元二次方程B.方程的解是C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解3.下列说法正确的个数是①菱形的对角线相等②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分A.1B.2C.3D.44.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是A.①②B.②③C.①③D.①②③ 6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是 7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是 A.23 B.12 C.13 D.49 8.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.24013 9.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.5B.4C.342D.34 10.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________. 12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..则菱形ABCD的周长为________.13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P，再随机摸出一张卡片，其数字记为q，则关于的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是________.14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下:由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________. 三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程: (1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-12 18.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转 (1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果;乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元? (2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由. 20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(1)求证:四边形BEDF 是平行四边形;(2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长.21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求: (1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? (2)能围成面积为200平方米的鸡场吗? 22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律. (1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式; (2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..试求该月茶叶的销售单价x. 23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证:△BDF 是等腰三角形; (2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O ①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由; ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长. 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。

北师大版八年级上《1.3勾股定理的应用》同步练习(含答案解析)北师大版八年级上《1.3勾股定理的应用》同步练习(含答案解析)勾股定理是数学中一个重要的定理，它的应用范围广泛。

在北师大版八年级上的教材中，我们学习了如何运用勾股定理解决实际问题。

本文将结合教材中的同步练习题，以及给出答案解析，来展示勾股定理的实际应用。

1. 问题一在一个直角三角形中，已知一条直角边长度为4cm，另外一条直角边长度为3cm。

求斜边的长度。

解析：根据勾股定理可得：斜边的平方等于直角边的平方和。

则斜边的长度可以通过计算√(3²+4²)来得出。

通过计算可知，斜边的长度为√(9+16)=√25=5cm。

所以，斜边的长度为5cm。

2. 问题二一辆汽车以40km/h的速度行驶8小时后停下来。

求汽车行驶的路程。

解析：已知速度和时间，我们可以利用勾股定理来计算汽车行驶的路程。

根据勾股定理，行驶的路程等于速度乘以时间。

所以，汽车行驶的路程为40km/h × 8h = 320km。

因此，汽车行驶的路程为320km。

3. 问题三一个直角三角形的斜边长度是5cm，一直角边和斜边之间的角度是30°。

求另外一个直角边的长度。

解析：已知斜边的长度和角度，我们可以利用勾股定理来计算另外一个直角边的长度。

根据勾股定理，另外一个直角边的长度等于斜边的长度乘以sin(30°)。

sin(30°) = 1/2，所以另外一个直角边的长度为5cm × 1/2 = 2.5cm。

因此，另外一个直角边的长度为2.5cm。

4. 问题四一块长方形农田的对角线长度为13m，较短的直角边的长度为5m。

求较长的直角边的长度。

解析：已知对角线的长度和一个直角边的长度，我们可以利用勾股定理来计算另外一个直角边的长度。

根据勾股定理，较长的直角边的长度等于√(对角线的长度的平方减去已知直角边的平方)。

则较长的直角边的长度可计算为√(13²-5²)。

北师大新版八年级上学期《1.3 勾股定理的应用》同步练习卷一．选择题（共35小题）1．如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A出发，在盒子表面上爬到点G，已知AB=6，BC=5，CG=3，这只蚂蚁爬行的最短路程是（）A．14B．10C．D．2．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm3．如图，圆柱形容器的底面周长是30cm，高为17cm，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口出3cm的点F处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（）A．B．25cm C．D．30cm4．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）cm．A．25B．20C．24D．105．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（）A．13米B．12米C．5米D．米6．在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．13 m B．12 m C．4 m D．10 m7．如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD=1.5米．竹竿高出水面的部分AD长0.5米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为（）米．A．2B．2.5C．2.25D．38．如图，一个长、宽、高分别为6、3、2的长方体，一只蚂蚁从下底面长边中点P处爬向顶点Q处，在所有爬行路线中，最短的一条长度是（）A．B．3C．2D．9．一木杆在离地面5m处析断，木杆顶端落在木杆底端12m处，则木杆析断前高为（）A．18m B．13m C．17m D．12m10．一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）A．5cm＜h≤6cm B．6cm＜h≤7cm C．5cm≤h≤6cm D．5cm≤h＜6cm 11．如图，一轮船以15海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A．25海里B．30海里C．32海里D．34海里12．一艘轮船以16海里/时速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口90分钟后相距（）A．30海里B．40海里C．25海里D．45海里13．如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，此时AO=2.4m，若梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B外移了（参考数据取1.4，取1.7，取1.8）（）A．0.8m B．1.5m C．0.9m D．0.4m14．小明想做一个直角三角形的木架，以下四组木棒中，哪一组的三条能够刚好做成（）A．9厘米，12厘米，15厘米B．7厘米，12厘米，13厘米C．12 厘米，15厘米，17厘米D．3 厘米，4厘米，7厘米15．如图，长方形的高为2cm，底面长为3cm，宽为1cm，蚂蚁沿长方体表面，从点A1到C2（点A1、C2见图中黑圆点）的最短距离是（）A．B．C．D．16．一架长25dm的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7dm，如果梯子的顶端沿墙下滑4dm，那么梯足将滑（）A．9 dm B．15 dm C．5 dm D．8 dm17．如图，中俄“海上联合﹣2017”军事演习在海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A，B两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是（）A．南偏东30°B．北偏东30°C．南偏东60°D．南偏西60°18．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面．然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m．则旗杆高度为（）（滑轮上方的部分忽略不计）A．12m B．13m C．16m D．17m19．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（）A．B．2C．3D．420．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米21．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（）A．厘米B．10厘米C．8厘米D．8厘米22．如图，已知圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）cm．A．3B．6C．D．623．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是（）A．12B．13C．14D．1524．如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）厘米．A．8B．10C．12D．1325．如图，有一个圆锥，高为8cm，直径为12cm．在圆锥的底边B点处有一只蚂蚁，它想吃掉圆锥顶部A处的食物，则它需要爬行的最短路程是（）A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm26．如图，一架梯子斜靠在墙上，设梯子AB的中点为O，AB=6米，BC=2米，若梯子B端沿地面向右滑行1米，则点O到点C的距离（）A．减小1米B．增大1米C．始终是2米D．始终是3米27．如图，某小区有一块直角三角形的绿地，量得两直角边AC=4m，BC=3m，考虑到这块绿地周围还有足够多的空余部分，于是打算将这块绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC为一直角边的直角三角形，则扩充方案共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种28．国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”的重要组成部分──西成高铁于2017年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时．张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图，张明家（记作A）在成都东站（记作B）南偏西30°的方向且相距4000米，王强家（记作C）在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为（）A．6000米B．5000米C．4000米D．2000米29．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（）A．直角三角形两个锐角互补B．三角形内角和等于180°C．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方D．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形30．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm31．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A．4米B．3米C．5米D．7米32．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（）A．0.4B．0.6C．0.7D．0.833．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（）尺．A．3.5B．4C．4.5D．534．某一实验装置的截面图如图所示，上方装置可看做一长方形，其侧面与水平线的夹角为45°，下方是一个直径为70cm，高为100cm的圆柱形容器，若使容器中的液面与上方装置相接触，则容器中液体的高度至少应为（）A．30cm B．35cm C．35cm D．65cm35．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为（）A．90㎜B．100㎜C．120㎜D．150㎜二．填空题（共15小题）36．如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为8cm，底面边长为2cm，则这圈金属丝的长度至少为cm．37．如图，有一棱长为3dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少为dm．38．边长分别为4cm，3cm两正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P=，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是cm．39．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之二尺，葛生其下缠木五周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为2尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木五周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长尺．”（注：1丈等于10尺）40．如图，圆柱形玻璃杯高为13cm，底面周长为40cm，在杯内壁离底1cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁到内壁B处的最短距离为．41．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈=10尺），如果设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程：．42．如图，要在宽为10米的南浔樱花大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中轴线DO与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳．此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为米．43．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为米．44．如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西25°的方向航行8海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西65°的方向航行15海里，这时两轮船相距海里．45．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远．问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程．46．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方两丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池是边长为2丈（1丈=10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面2尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度分别是多少？”答：这个水池的深度和这根芦苇的长度分别是．47．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，在一个圆锥形状的包装盒的底部A处有一只壁虎，在侧面B处有一只小昆虫，壁虎沿着什么路线爬行，才能以最短的路线接近小昆虫？请你设计一种最短的爬行路线．下面是班内三位同学提交的设计方案：根据以上信息，你认为同学的方案最正确，理由是．48．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为．49．某园林里有两棵相距8米的树，一棵高8米，另一棵高2米．若有一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少要飞米．50．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm．北师大新版八年级上学期《1.3 勾股定理的应用》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共35小题）1．如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A出发，在盒子表面上爬到点G，已知AB=6，BC=5，CG=3，这只蚂蚁爬行的最短路程是（）A．14B．10C．D．【分析】将长方体盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．【解答】解：如图（1），AG=；如图（2），AG=．故选：B．【点评】此题考查了平面展开﹣最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．2．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2=82+[（2+3）×3]2=172，解得x=17．故选：B．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．3．如图，圆柱形容器的底面周长是30cm，高为17cm，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口出3cm的点F处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（）A．B．25cm C．D．30cm【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理求出SF'的长即可．【解答】解：如图所示，SF'=（cm）．故选：B．【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．4．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）cm．A．25B．20C．24D．10【分析】分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1；把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2；把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较．【解答】解：把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1，AB===5（cm）把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2，AB==25（cm）；把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3，AB===5（cm）．∵＞＞25所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为25cm．故选：A．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．5．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（）A．13米B．12米C．5米D．米【分析】根据题意画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．【解答】解：如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E，∵AB=13，CD=8，又∵BE=CD，DE=BC，∴AE=AB﹣BE=AB﹣CD=13﹣8=5，∴在Rt△ADE中，DE=BC=12，∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169，∴AD=13（负值舍去），答：小鸟飞行的最短路程为13m．故选：A．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．6．在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．13 m B．12 m C．4 m D．10 m【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【解答】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m．在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，∴x2+52=（x+1）2，解得x=12，∴AB=12．∴旗杆的高12m．故选：B．【点评】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理求得AB的长．7．如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD=1.5米．竹竿高出水面的部分AD长0.5米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为（）米．A．2B．2.5C．2.25D．3【分析】设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.5）m，根据勾股定理构建方程即可解决问题；【解答】解：设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.5）m，在Rt△CDB中，1.52+x2=（x+0.5）2，解得x=2．故选：A．【点评】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．8．如图，一个长、宽、高分别为6、3、2的长方体，一只蚂蚁从下底面长边中点P处爬向顶点Q处，在所有爬行路线中，最短的一条长度是（）A．B．3C．2D．【分析】画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：如图①，把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个矩形的边长为6和5，∴PQ==，如图②，把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个矩形的边长为9和2，∴PQ==2，∵＜2，∴在所有爬行路线中，最短的一条长度是，故选：A．【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键．9．一木杆在离地面5m处析断，木杆顶端落在木杆底端12m处，则木杆析断前高为（）A．18m B．13m C．17m D．12m【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．【解答】解：∵一木杆在离地面5米处折断，木杆顶端落在木杆底端12m处，∴折断的部分长为=13，∴折断前高度为5+13=18（米）．故选：A．【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．10．一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）A．5cm＜h≤6cm B．6cm＜h≤7cm C．5cm≤h≤6cm D．5cm≤h＜6cm 【分析】根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．【解答】解：∵将一根长为18cm的牙刷，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，x=12，最长时等于牙刷斜边长度是：x==13，∴h的取值范围是：（18﹣13）≤h≤（18﹣12），即5≤h≤6．故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．11．如图，一轮船以15海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A．25海里B．30海里C．32海里D．34海里【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了30，16．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，两小时后，两艘船分别行驶了15×2=30海里，8×2=16海里，根据勾股定理得：（海里）．故选：D．【点评】此题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算是关键．12．一艘轮船以16海里/时速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口90分钟后相距（）A．30海里B．40海里C．25海里D．45海里【分析】根据已知条件，构建直角三角形，利用勾股定理进行解答．【解答】解：如图，由已知得，OB=16×1.5=24海里，OA=12×1.5=18海里，在△OAB中∵∠AOB=90°，由勾股定理得OB2+OA2=AB2，即242+182=AB2，AB==30海里．故选：A．【点评】此题考查勾股定理的应用，解答此题要明确方位角东南，西南是指两坐标轴夹角的平分线．13．如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，此时AO=2.4m，若梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B外移了（参考数据取1.4，取1.7，取1.8）（）A．0.8m B．1.5m C．0.9m D．0.4m【分析】先根据勾股定理求出OB的长，再根据梯子的长度不变求出OD的长，根据BD=OD﹣OB即可得出结论．【解答】解：∵Rt△OAB中，AB=2.6m，AO=2.4m，∴OB===1m；同理，Rt△OCD中，∵CD=2.6m，OC=2.4﹣0.5=1.9m，∴OD===≈1.8m，∴BD=OD﹣OB=1.8﹣1=0.8（m）．故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．14．小明想做一个直角三角形的木架，以下四组木棒中，哪一组的三条能够刚好做成（）A．9厘米，12厘米，15厘米B．7厘米，12厘米，13厘米C．12 厘米，15厘米，17厘米D．3 厘米，4厘米，7厘米【分析】欲求证是否为直角三角形，根据给出三边的长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可，如果相等就是直角三角形，如果不等就不是直角三角形．【解答】解：A、92+122=152，能构成直角三角形，故此选项符合题意；B、72+122≠132，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C、122+152≠172，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；D、32+42≠72，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用．关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．15．如图，长方形的高为2cm，底面长为3cm，宽为1cm，蚂蚁沿长方体表面，从点A1到C2（点A1、C2见图中黑圆点）的最短距离是（）A．B．C．D．【分析】根据两点之间线段最短，把立体图形展开为平面图形，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：∵长方体的高为2cm，底面长为3cm，宽为1cm，将长方体的两个侧面展开如图，连接A1、C2，根据两点之间线段最短，A1C2=cm．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及平面展开图最短路径问题，利用勾股定理得出A2C2的长是解题关键．16．一架长25dm的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7dm，如果梯子的顶端沿墙下滑4dm，那么梯足将滑（）A．9 dm B．15 dm C．5 dm D．8 dm【分析】梯子和墙面、地面形成的直角三角形，如下图所示可将该直角三角形等价于△ABC和△EFC，前者为原来的形状，后者则是下滑后的形状．由题意可得出AB=CD=25分米，OB=7分米，AC=4分米，在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB2=AO2+BO2，将AB、OB的值代入该式求出AO的值，OC=AO﹣AC；在Rt△COD中，求出OD的值，BD=OD﹣OB=15﹣7=8分米，即求出了梯脚移动的距离．【解答】解：如下图所示：AB相当于梯子，△ABO是梯子和墙面、地面形成的直角三角形，△OCD是下滑后的形状，∠O=90°，即：AB=CD=25分米，OB=7分米，AC=4分米，BD是梯脚移动的距离．在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB2=AO2+BO2，AO==24分米．∴OC=AO﹣AC=24﹣4=20分米，在Rt△COD中，由勾股定理可得：CD2=OC2+OD2，OD=15分米，BD=OD﹣OB=15﹣7=8分米，故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．17．如图，中俄“海上联合﹣2017”军事演习在海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A，B两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是（）A．南偏东30°B．北偏东30°C．南偏东60°D．南偏西60°【分析】直接利用已知得出AO，BO，AB的长，再利用勾股定理的逆定理得出∠BOA的度数，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：BO=16×1.5=24（海里），AO=12×1.5=18（海里），AB=30海里，则此时：AO2+BO2=AB2，故△AOB是直角三角形，则∠BOA=90°，∵∠AOD=30°，∴∠DOB=60°，∴2号舰的航行方向是：南偏东60°．故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出△AOB是直角三角形是解题关键．18．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面．然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m．则旗杆高度为（）（滑轮上方的部分忽略不计）A．12m B．13m C．16m D．17m【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【解答】解：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，解得：x=17，即旗杆的高度为17米．故选：D．。

1.3 勾股定理的应用课时同步练习北师大版八年级数学上册一、选择题1．近年来，作为规模较小的城市绿色敞开空间，口袋公园改善了城市生态环境，方便了市民健身休闲．如图，某口袋公园内有两条互相垂直的道路OA，OB，若OA长40m，OB长20m，当小明从A点沿公园内小路（图中箭头所示路线）走到B点时，小明所走的路程可能是（ ）A．35m B．42m C．44m D．52m2．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( )A．4米B．3米C．5米D．7米3．用梯子登上20m高的建筑物，为了安全要使梯子的底面距离建筑物15m，至少需要（ ）m长的梯子.A．20B．25C．15D．54．在直角坐标系中，点P（﹣2，3）到原点的距离是（ ）A．5B．3C．2D．135．如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得∠BAC=90°，又量得AC=9m，BC=15m，则A、B两点之间的距离为（ ）A．10m B．11m C．12m D．13m6．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的斜边长为5，较短直角边长为3，则图中小正方形（空白区域）的面积为（ ）A．1B．4C．6D．97．如图，校园内的一块草坪是长方形ABCD，已知AB=8m，BC=6m．从A点到C点，同学们为了抄近路，常沿线段AC走．这样做会踩坏草坪，而实际上只少走了（ ）A．10m B．4m C．6m D．8m8．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）A．26尺B．24尺C．17尺D．15尺9．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离AC为（ ）A．3米B．5米C．7米D．9米10．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ）A．12海里B．13海里C．14海里D．15海里二、填空题11．一艘轮船以16km/ℎ的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/ℎ的速度向东南方向航行，它们离开港口1 小时后相距 ．12．如图，将两个边长为1的小正方形，沿对角线剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长是 .13．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”.已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为 .14．我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题”：一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度为 尺．（一丈=10尺）15．一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距 海里．16．如图，在一只底面半径为3cm，高为8cm的圆柱体状水杯中放入一支13cm长的吸管，那么这支吸管露出杯口的长度是 ．三、解答题17．八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面.你能将旗杆的高度求出来吗？18．如图，强大的台风使得一根旗杆BC在离地面3m的A点处折断倒下，旗杆顶部C点落在离旗杆底部B点4m处，旗杆BC折断之前有多高?19．如图，一根竹子AB原高1丈（1丈=10尺），在点C处折断，竹稍A触及地面D处时，点D离竹根B 有3尺，试问折断处离地面有多高？20．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？21．如图，一艘小船停留在点A处，在离水面高度为8米的台阶上有一根绳子连接小船，用绳子拉小船移动到点D处，已知开始时绳子的长AC=17米，停止后绳子的长CD=10米，求小船移动的距离AD的长．22．某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱AB⊥BC，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长度为8尺，求：绳索AC的长度．23．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．24．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，若DA=10km，CB=15km，现要在AB上建一个周转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则周转站E 应建在距A点多远处？答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：∵两点之间线段最短，∴小明从A点沿公园内小路（图中箭头所示路线）走到B点时的最短距离即为AB的长，∵OA⊥OB，OA=40m，OB=20m，∴AB=OA2+OB2=205m，∵352<422<442<A B2=2500<522，∴小明所走的路程可能为52m，故答案为：D．【分析】根据勾股定理求出AB的长，再比较大小即可。

北师大版八年级数学上册《1.3勾股定理的应用》同步测试题一、单选题1．如图，一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前的高度为（）A．10m B．12m C．14m D．16m2．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（）A．5米B．12米C．13米D．18米3．一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面半径为4cm，高为5cm（π取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（）A．15cm B．13cm C．12cm D．10cm尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺4．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：一根竹子高1丈（1丈10处，折断处离地面的高度是多少？（）A．3.2B．4.2C．5D．85．有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为10cm，高为12cm，在杯子内壁离容器底部3.5cm的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿3.5cm的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（）A．13cm B．10cm C．73cm D．17cm6．要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯（）米．A．17B．13C．12D．57．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距 为1.5m，则小巷的宽为（）．离A DA．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m8．如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（）A．9海里B．10海里C．11海里D．12海里9．如图，要从电线杆离地面3.6m处向地面拉一条长为4.5m的钢缆．则地面钢缆固定点A到电线杆底部点B的距离是（）A．2m B．2.2m C．2.4m D．2.7m10．M 城气象中心测得台风中心在M 城正北方向240km 的P 处，以每小时45km 的速度向南偏东30°的PB 方向移动，距台风中心150km 的范围内是受台风影响的区域，则M 城受台风影响的时间为（）小时．A．4B．5C．6D．7二、填空题11．在一个长AB为2米，宽AD为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，三棱柱的上底面与下底面是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点A处爬行翻过三棱柱到C处需要走的最短路程是米．12．如图，圆柱体的底面圆周长为16cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为．13．如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M 的最短路程的平方是 .14．小丽从家出发先向正东方向直线前进了40米，接着又向正北方向直线前进了9米，此时小丽若以20米/分钟的速度回家，最少需要分钟.15．如图，有一圆柱，其高为14cm，它的底面周长为10cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，其中B离上沿2cm，则蚂蚁经过的最短路程为．16．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．三、解答题17．如图，点O是位于东西海岸线的一个港口，A，B两艘客轮从港口O同时出发，A客轮沿北偏东75°航行，航速是每小时18海里，B客轮沿北偏西15°方向航行，航速是每小时24海里，请计算3小时之后两客轮之间的距离．18．如图，两艘轮船M和N分别从港口A出发，轮船M以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船N以3海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，行驶5个小时后，MN两船的距离多少海里？19．如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C 两点，且B ，C 相距120米．(1)现在想修一条从公路l 到A 中学的新路AD （点D 在l 上），使得学生从公路l 走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路AD 长度是多少？(2)为了行车安全，在公路l 上的点B 和点E 处设置了一组区间测速装置，其中点E 在点B 的北侧，且距A中学170米．一辆车经过BE 区间用时5秒，若公路l 限速为60km/h （约167m/s ．），请判断该车是否超速，并说明理由．20．如图，为修通铁路凿通隧道AC ，量出43A ∠=︒ 47B ∠=︒ 5AB km = 4BC km = 若每天凿隧道0.3km ，问几天才能把隧道AC 凿通？21．在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C 处需要爆破，已知点C 与公路上的停靠点A 的距离为800米，与公路上另一停靠点B 的距离为600米，且CA CB ⊥，如图，为了安全起见，爆破点C 周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB 段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明．22．如图，某海滨浴场岸边A 处救生员发现海中的B 处有人求救，救生员没有直接从A 处游向B 处，而是沿岸边自A 处跑到离B 处最近的点C ，然后从点C 游向B 处，经测量400m AC = 300m BC = 若救生员在岸边行进的速度是5m/s ，在海中行进的速度是2m/s ，请分析救生员的选择合理吗？。

北师大版八年级数学上册《1.3 勾股定理的应用》同步练习题-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．一艘轮船以16nmile/h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一艘轮船以12nmile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行，则离开港口2h后，两船相距（）A．25nmile B．30nmile C．35nmile D．40nmile2．如图所示，ABCD是长方形地面，长20MN=m，一只AB=m，宽10AD=m．中间竖有一堵砖墙高2蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（）的路程．A．27cm B．26cm C．25cm D．24cm3．如图是一个长方体包装盒，高为5cm，底面是正方形，边长为6cm，现需用绳子装饰，绳子从A出发，沿长方体表面绕到C处，则绳子的最短长度是（）A．10B．11C．12D．134．如图是一个长为12cm，宽为5cm，高为8cm的长方体，一只蜘蛛从一条侧棱的中点A沿着长方体表面爬行到顶点B去捕捉蚂蚁，此时蜘蛛爬行的最短距离是（）A．13 cm B．15 cm C．21 cm D．25cm5．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，要爬行的最短路程（π取3）是（）A ．20cmB ．10cmC ．14cmD ．无法确定6．如图，一棵大树在一次强台风中在距地面5m 处折断，倒下后树顶着地点A 距树底B 的距离为12m ，则这棵大树在折断前的高度为（ ）A ．10B ．17C ．18D ．207．如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离OB 为1.5米，梯子顶端到地面距离AB 为2米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离CD 为2.4米，则小巷的宽度BD 为（ ）A ．2.2米B ．2.3米C ．2.4米D ．2.5米8．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x 尺，根据题意，可列方程为（ ）A ．222610x +=B ．22210)6x x -+=（C ．222(10)6x x +-=D ．2226(10)x x +=-9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈10=尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是（ ）A ．53B ．6.25尺C ．4.75尺D ．3.75尺10．以下列三条线段的长度为边，其中能组成直角三角形的是（ ）A ．7，2，9B ．4，5，6C ．3，4，5D ．5，10，13二、填空题11．如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和3木棒露在盒外面的最短长度是 ㎝．12．《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，25AB AC +=尺，5BC =尺，则AC = 尺．13．如图，一个圆柱形水杯，底面直径为8cm ，高为9cm ，则一只小虫从下底点A 处爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3） cm ．14．如图，在一个长方形草坪ABCD 上，放着一根长方体的木块．已知6AD =米，4AB =米，该木块的较长边与AD 平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A 爬过木块到达C 处需要走的最短路程是 米．15．如图，有一圆柱，它的高等于2，底面直径等于()4π3=，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程为 ．16．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是 ．17．要将一根笔直的细玻璃棒放进一个内部长、宽、高分别是504030cm cm cm 、、的木箱中，这根细玻璃棒的长度至多为 cm ．18．有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距3米，小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米.19．学习完《勾股定理》后，张老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为2米，将绳子拉直，且绳子底端与地面接触，此时绳子端点距离旗杆底端5米，则旗杆的高度为 米．20．已知7x y +=，且x ，y 2291x y ++的最小值是 ．三、解答题21．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1米，如图1；①把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离4AC =米，如图2．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点D 处()BD BC =，作DF 垂直AC 于点,F DF EC =．(1)请你按小明的方案求出旗杆的高度BC ；(2)在（1）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离 4.5DE =米，求此时绳结到地面的高度DF ．22．如图，明明在距离河面高度为8m 的岸边C 处，用长为17m 的绳子拉点B 处的船靠岸，若明明收绳7m 后，船到达D 处，则船向岸A 移动了多少米？23．如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱高为15cm，底面半径为8cm，蚂蚁爬行的最短路线长为多少？24．某中学计划翻修学校体育馆，有一条从楼顶垂下的绳子，绳子顶端A固定在楼顶部，绳子自然垂下至楼底还余2米，当绳子的下端从点C拉开6米至点B时，发现绳子下端刚好接触地面．求体育馆楼高AC的值．25．三月草长莺飞，万物复苏，在一个阳光明媚的周末，李明与同学相约公园放风筝，如图所示风筝线断了、风筝被挂在了树上A点处，他想知道此时风筝距地而的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上B点、发现风筝线多出2米，然后把风筝线沿直线向后拉开6米，发现风筝线末端刚好接触地而C点（如图所示），请你帮李明求出风筝距离地面的高度AB．参考答案1．D2．B3．D4．B5．B6．C7．A8．D9．D10．C11．512．1213．1514．1015．1016．13m/13米17．50218．519．214206521．(1)旗杆的高度为7.5米DF 米(2) 1.522．向岸A移动了9米23．蚂蚁爬行的最短路线长为17cm．24．体育馆楼高AC的值为8米25．风筝距离地面的高度AB为8米。

真情提示：题号得分A.12cm4短路程是（A.6cm425dm3dm3dm A B11 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为、、，和是A B这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶B面爬到点最短路程是________．（结果保留根号）80m60m100m12. 小强在操场上向东走后，又走了，再走回到原地．小强在操场上向东80m60m走了后，又走的方向是________．2.5m0.7m13. 一架长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底端，如果梯子0.4m m的顶端沿墙下滑，那么梯子底端将滑动了________．20cm AB4cm BC14. 如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径．一只蚂蚁从A C cm点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，爬行的最短路程是________．12cm4cm3cm15. 有一个长为，宽，高的长方形铁盒，在其内部要放一根笔直的铁丝，cm则铁丝最长是________．O O50m16 某市区南北走向的路与东西走向的路交于点，甲在点处，乙在甲的北边处，4m/s3m/s s85m甲以的速度向东走，乙以的速度向北走，则________后两个人相距．8cm30cm A17. 如图所示，圆柱形玻璃容器，高，底面周长为，在外侧下底的点处有一B只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧的点处有食物，蚂蚁要吃到食物所走的最cm短路线长度是________．8cm6cm5cm A18. 如图是一个长、宽、高的封闭长方体纸盒，一只小虫从（长的四等分B cm点）处爬到（宽的三等分点）处，那么这只小虫爬行的最短距离是________．3m419 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部在根部米处，m这棵大树在折断前的高度为________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）1.6CE BD20. 身高米的小明想利用“勾股定理”测得下图风筝的高度，于是他测得的长度25BC65CE为米，并根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米．求风筝的高度．3A B21 如图，一只蚂蚁沿边长是的正方体表面从顶点爬到顶点，求它走过的最短路程，并画出示意图．AB 2.5m A OB A O22. 如图，一个梯子长，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角距离为0.7m A'B'BB'0.4m A，梯子滑动后停在的位置上，测得长为，求梯子底端滑动了多少米．23. 为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动广播的形式进行宣传动员.如图，MN A A MN AB=800P MN公路的一侧有一村庄，村庄到公路的距离米，宣讲车沿公路从西P1000P200到东行驶，宣讲车周围米以内能听到广播宣传.若宣讲车的速度是米/分钟，那A么村庄的村民能听到广播宣传的时间是多少分钟？8cm8cm12cm24. 一个无盖长方体盒子的长、宽、高分别是，，．A B（1）一只蚂蚁想从盒底的点沿长方体的表面爬到盒顶的点，有很多种走法．你能帮助小蚂蚁设计一条最短路线吗？并计算最短路程为多少？（2）若给长方体盒子加上盖子能放入木棒的最大长度是多少？A B25. 一只螳螂在松树树干的点处，发现它的正上方点处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干的半10cm A B40cmπ3径为，、两点的距离为．（其中取）B（1）若螳螂想吃掉在点的小虫子，求螳螂绕行的最短距离．（要求画图）C A（2）螳螂得知又有一只虫子在点处被松树油粘住不能动弹，这时螳螂还在点，螳螂想吃掉虫子，求螳螂爬行的最短距离．（要求画图）A E E CD（3）如果螳螂在点处时，虫子在点处不动，其中点是的中点那么螳螂吃掉虫子的cm最短距离是多少？（要求画图）。

第03讲勾股定理的应用1.利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题（梯子滑动、风吹莲动、折竹抵地、台风和爆破、航行和信号塔、速度等问题）.2.解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题.知识点01勾股定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．题型01求梯子滑落高度【典例1】（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，∠=︒，这时，梯子的底端B到墙底C的距离BC为1m．90C(1)求此时梯子的顶端A距地面的高度AC．(2)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B外移0.5m吗？通过计算说明你的结论．【变式1】（2023春·宁夏吴忠·八年级校考期中）如图，将长为25米长的云梯AB斜靠在建筑物的侧墙上，BE长7米．(1)求梯子上端到墙的底端E的距离AE的长；(2)如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，则梯脚B将外移多少米？【变式2】（2023·全国·八年级假期作业）如图梯子斜靠在竖直的墙AO，AO长为24dm，OB为7dm．(1)求梯子AB的长．(2)梯子的顶端A沿墙下滑4dm到点C，梯子底端B外移到点D，求BD的长．题型02求旗杆高度【典例1】（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如图，某攀岩中心攀岩墙AB的顶部A处安装了一根安全绳AC，让它垂到地面时比墙高多出了1米，教练把绳子的下端C拉开5米后，发现其下端刚好接触地面（即⊥，求攀岩墙AB的高度．BC=米），AB BC5【变式1】（2022春·八年级单元测试）思源中学八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：（1）测得BD的长度为25米；（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米；（3）牵线放风筝的小明身高1.68米，求风筝的高度CE．【变式2】（2023春·江西宜春·八年级统考期中）一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A后，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．(1)求旗杆的高度OM；(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．题型03求小鸟飞行距离【典例1】（2023春·广西贵港·八年级统考期中）有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？【变式1】（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是________．【变式2】（2023春·广西防城港·八年级统考阶段练习）如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？题型04求大树折断前的高度【典例1】（2023春·江西南昌·八年级南昌市外国语学校校考期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处地，去根四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈(1丈10离竹根4尺，试问折断处离地面多高？【变式1】（2023春·湖南娄底·八年级统考阶段练习）如图，一棵大树在一次强台风中在离地某处折断倒下，树尖落在离树底部12米处，已知原树高是18米，你能求出大树在离地多少米的位置折断吗？【变式2】（2023春·全国·八年级期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高8m ，因刮大风旗杆从点C 处折断，顶部B 着地且离旗杆底部的距离4m AB =．(1)求旗杆折断处C 点距离地面的高度AC ；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C 的下方1.25m 的点D 处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点D 处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的B '处，形成一个直角ADB ' ，请求出AB '的长．题型05解决水杯中筷子问题【典例1】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm 的直吸管露在罐外部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A ．45a <<B ．34a ≤≤C ．23a ≤≤D ．12a ≤≤【变式1】（2023·江苏·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈10=尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（）A．10尺B．12尺C．13尺D．15尺【变式2】（2023春·内蒙古通辽·八年级校考期中）如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高h，则h的取值范围是________．为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是cm题型06解决航海问题【典例1】（2023·宁夏吴忠·统考二模）如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60︒方向上，继续向东航行20海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东15︒方向上，此时轮船与小岛C的距离为____海里．【变式1】（2023春·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，有甲，乙两艘轮船同时离港，各自沿着一固定方向航行，甲船沿北偏西40︒方向航行，每小时30海里，乙船沿北偏东50︒方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A，B处，此时两船相距多少海里？【变式2】（2022秋·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东60︒的方向航行100km到达B港口，然后再沿北偏西30︒方向航行100km到达C港口．(1)求A ，C 两港口之间的距离；（结果保留根号）(2)C 港口在A 港口的什么方向．题型07求台阶上地毯长度【典例1】（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，5AC =米，13AB =米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）A ．652mB ．852mC ．902mD ．1502m 【变式1】（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）如图所示的一段楼梯，高BC 是3米，斜边AB 长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（）A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米【变式2】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）某会展中心在会展期间准备将高5m 、长13m 、宽2m 的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道需要_______________元．题型08判断汽车是否超速【典例1】（2023春·广东汕头·八年级统考期末）某条道路限速80km/h，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m．(1)求BC的长；(2)这辆小汽车超速了吗？【变式1】（2023春·八年级课时练习）如图，一辆小汽车在一条限速70km/h的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方60m处的C点，过了5s后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100m．(1)求B，C间的距离．(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．(1)求小汽车6秒走的路程；(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？题型09判断是否受台风影响【典例1】（2023·全国·八年级假期作业）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB 由A 向B 移动，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上的两点A 、B 的距离分别为300km AC =，400km BC =，又500km AB =，经测量，距离台风中心260km 及以内的地区会受到影响．(1)海港C 受台风影响吗？为什么？(2)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，某沿海城市A 接到台风警报，在该市正南方向150km 的B 处有一台风中心正以20km /h 的速度向BC 方向移动，已知城市A 到BC 的距离90km AD =，那么：(1)台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？(2)如果在距台风中心30km 的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D 点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为6km /h ）最好选择什么方向？【变式2】（2023春·湖南郴州·八年级校考阶段练习）如图，有一辆环卫车沿公路AB 由点A 向点B 行驶，已知点C 为一所学校，且点C 与直线AB 上两点A ，B 的距离分别为200m 和150m ，250m AB =，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域.(1)学校C 会受噪声影响吗？为什么？(2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min ，求环卫车的行驶速度为多少？题型10求最短路径【典例1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考阶段练习）有一圆柱形油罐，如图，要从点A 环绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方点B ，问梯子最短要多少米？（已知油罐底面周长是12米，高AB 是5米）【变式1】（2023春·八年级单元测试）如图，在长方体''''ABCD A B C D -中，点E 是棱''B C 的中点，已知3AB =cm ，4BC =cm ，'5AA =cm ．一只小虫从A 点出发沿长方体的表面到E 点处觅食，求小虫爬行的最短距离．【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm ，宽为50cm 的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽AD ，木块从正面看是一个边长为20cm 的等边三角形．求一只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程．(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过．．．的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接AC ．(2)线段AC 的长即蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程，依据是_____．(3)问题解决：如图②，展开图中AB =_____，BC =_____．(4)这只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程是_____．题型11选址使到两地距离相等【典例1】（2023春·江西赣州·八年级校考期中）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中AB 所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，分别在点C 和点D 处，CA AB ⊥于点A ，DB AB ⊥于点B ，已知25km 15km 10km AB CA DB ===，，，问：图书室E 应建在距点A 多少千米处，才能使它到两所学校的距离相等？【变式1】（2023春·上海·八年级专题练习）如图，笔直公路上A 、B 两点相距10千米，C 、D 为两居民区，DA AB ⊥于A ，CB AB ⊥于B ，已知6DA =千米，8CB =千米，现要在公路AB 段上建一超市E ，使C 、D 两居民区到E 的距离相等，则超市E 应建在离A 处多远处．【变式2】（2023春·八年级课时练习）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB 所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C 和点D 处，CA AB ⊥于A ，DB AB ⊥于B ，已知，2.5km AB =， 1.5km CA =， 1.0km DB =，试问，图书室E 应该建在距点A 多少km 知处．才能使它到两所学校的距离相等？1．（2023春·广东云浮·八年级统考期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m 处折断，倒下后树顶端着地点A 距树底端B 的距离为12m ，这棵大树在折断前的高度为（）A ．10mB ．15mC ．18mD ．20m2．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，点P 为观测站，一艘巡航船位于观测站P 的南偏西34︒方向的点A 处，一艘渔船在观测站P 的南偏东56︒方向的点B 处，巡航船和渔船与观测站P 的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（）A ．1.5小时B ．2小时C ．2.5小时D ．4小时3．（2023春·福建莆田·八年级统考期中）如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为8cm 和6cm ，高为10cm ，将一支长为18cm 的签字笔放入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的的长度最少为（）A ．10cmB ．()18102cm -C ．8cmD ．102cm4．（2023·贵州贵阳·统考二模）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具，也是数形结合的纽带之一．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE =1m ，将它往前推6m 至C 处时（即水平距离CD =6m ），踏板离地的垂直高度CF =4m ，它的绳索始终拉直，则绳索AC 的长是（）A ．152mB ．92mC ．6mD ．212m 5．（2023春·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）如图，长方体的长15cm BE =，宽10cm AB =，高20cm AD =，点M 在CH 上，且5cm CM =，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点M ，需要爬行的最短距离是（）A ．22cmB ．25cmC ．529cmD ．537cm6．（2023春·天津滨海新·八年级校考期中）如图，从电杆上离地面5m 的C 处向地面拉一条长为7m 的钢缆，则地面钢缆A 到电线杆底部B 的距离是______．7．（2023春·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高3米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行______米．8．（2023春·八年级课时练习）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A 处偏离欲到达地点B 处40m ，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m ．该河的宽度BC 为_____米．9．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，30QON ∠=︒，公路PQ 上A 处距离O 点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿MN 方向以72千米/小时的速度行驶时，A 处受到噪音影响的时间为________秒．10．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm ，底面周长为16cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm ，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所走的最短路程为___________cm ．（杯壁厚度不计）11．（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）如图，在一棵树的10米高B 处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C ，而另一只爬到树顶D 后直扑池塘C ，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？12．（2023春·黑龙江大庆·七年级校联考期中）如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA AB ⊥于点A ，CB AB ⊥于点B ，已知15km DA =，10km CB =，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？13．（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域．(1)A 城是否受到这次台风的影响？为什么？(2)若A 城受到这次台风影响，则A 城遭受这次台风影响有多长时间？14．（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，A 、B 两个村子在笔直河岸的同侧，A 、B 两村到河岸的距离分别为2km AC =，5km BD =，6km CD =，现在要在河岸CD 上建一水厂E 向A 、B 两村输送自来水，要求水厂E 到A 、B 两村的距离之和最短．(1)在图中作出水厂E 的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求水厂E 到A 、B 两村的距离之和的最小值．15．（2023·全国·八年级假期作业）如图，一架长10米的梯子AB ，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙()BO 6米(1)此时梯子顶端A 离地面多少米?(2)若梯子顶端A 下滑3米到C 处，那么梯子底端B 将向左滑动多少米到D 处?16．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C 移动到点E ，同时小船从点A 移动到点B ，且绳长始终保持不变，回答下列问题：(1)根据题意，可知AC ________BC CE +（填“>”“<”“=”）；(2)若5CF =米，12AF =米，4AB =米，求男孩需向右移动的距离CE （结果保留根号）．17．（2023·江苏·八年级假期作业）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN 的一侧点A 处有一村庄，村庄A 到公路MN 的距离AB 为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN 上沿MN 方向行驶．(1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？18．（2023春·全国·八年级专题练习）吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路径长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表而爬到点C1处；（3）如图3，是一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体侧面爬到点C处．。

北师大版八年级上册1.3 勾股定理的应用一、选择题A．20厘米B．18厘米C．22厘米D．24厘米2. 如图一棵高为18的大树被台风刮断．若树在离地面5处折断，则树顶端落在离树底部（）远处．A．10B．11C．12D．13A．B．C．D．5. 如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2m，则树高为（）米A．B．C．+1 D6. 如图，长方体的长，宽，高分别为，，，蚂蚁在长方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（）A．5 B．C．D．77. 海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为，这棵大树在折断前的高度为（）A．B．C．D．8. 如图，梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端也外移，则梯子的长为（）A．24 B．25 C．15 D．209. 现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（）A．B．C．D．10. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于，和，和是这个台阶的两个相对的端点，点上有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从点出发，沿着台阶面爬到点，最短线路是（）A．B．C．D．A．5.45尺B．4.55尺C．5.8尺D．4.2尺12. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．B．C．D．二、填空题13. 如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树数断裂之前的高度为______．14. 如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，于A，于D，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得B、C两村到站的距离相等，则站应建在距点A____________千米．15. 小明从A处出发沿北偏东的方向走了30米到达B处：小军也从A处出发，沿南偏东的方向走了40米到达C处，若B、C两处的距离为50米，则______．16. 如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是_____．三、解答题17. 如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引素却行，去本八尺而索尽，问素长几何?译文：今有一整直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳子比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处时而绳索用尽，求木柱的长．18. 一个25米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时的距离为24米，如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，那么梯子底端B外移多少米？19. 如图，圆柱形容器的高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离．（1）求梯子底端B外移距离BD的长度；（2）猜想CE与BE的大小关系，并证明你的结论．。