中心力场与角动量

2 l l 2 2 2 l
（9 ）
（10）
边条件为
引进无量纲变量 kr ,则方程（9）变为
d R d
2 2 l
Rl (a) 0

2 dR
l
d
l (l 1) 1 R
2
l
0
(0 l )
（11）
此为球贝塞尔方程，其两个特解可取为 球贝塞尔函数 球诺伊曼函数
实际问题中出现的中心力场问题，常为二体问题. 设二粒子的质量分别为m1和m2，相互作用势为
V (| r1 r2 |)
二粒子体系的能量本征方程为
2 2 2m 1 2m 2 V (| r1 r2 |) Ψ (r1 , r2 ) ETΨ (r1 , r2 ) (13) 1 2
2 l 2
2
)
l (l 1) r
2

Rl ( r ) 0 (2)
采用自然单位，令 1 ,方程（2）化为
Rl( r ) 2 r
2 Rl( r ) 2 E r
l (l 1) r
2
Rl ( r ) 0
(3)
5.1 中心力场中粒子运动的一般性质
l (r )
r
(6)
满足
d 2 l (r ) 2 l (l 1) 2 ( E V (r )) l (r ) 0 (7) 2 2 dr r 不同的中心力场中粒子的能量本征函数的差别仅在于 径向波函数，他们由中心势V(r)的性质决定. 一般说来，中心力场中粒子的能级是（2l+1）重简并.
r r
a)
1 2
（16）

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量子力学中的角动量
在量子力学中，用另一种方法可以证明粒子在中心力 场中运动时角动量也是一个守恒量。
重复的指标表示 对指标求和。 角动量算符只与角度有关， 而势能只是径向坐标的函数
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球坐标系中的薛定谔方程
由于势能具有球对称性，采用球坐标系是方便的。
这给出恒为零的无物理意义的解。 物理上可接受的解满足：
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两体问题
考虑由两个粒子相互作用构成的两体系统：
引入质心坐标和相对坐标： 系统的总质量
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8
7
两体系统的薛定谔方程
由此得到两体系统在质心系中的薛定谔方程：
分离变量：
描写质心的自由运动， 与系统的内部结构无关 描写粒子的相对运动， 与单体方程形式相同
中
1
经典力学中的角动量
中心力场问题在粒子运动问题中占有特别重要的地位。 当粒子在中心力场中运动时，角动量守恒有重要作用。 假定质量为 的粒子在中心力场 中运动：
粒子在中心力场中运动时，对力心的角动量保持不变。 由于角动量与径矢和动量构成的 平面垂直，角动量守恒带来的结 果是，运动轨道必定是有确定法 线方向的平面曲线，轨道平面的 法线方向指向角动量的方向。
做如下变换
在不同的中心力场中，粒子的定态波函数的差别仅在 径向部分，它们由中心势的性质决定。 径向方程中不出现磁量子数，这导致能量本征值与m无 关，能级是2l+1 重简并的。
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径向波函数的渐近行为
假定势能在原点附近的行为满足 这时，径向方程渐近地表示成 原点是方程的正则奇 点，解必取以下形式 波函数的统计诠释要求在任何体积元内找到粒子的概 率有限，因此负幂 l + 1 < 1.5，这只当 l = 0 时才成立。 当 l = 0 时，将这个解代入径向方程，

Rl (r) ~ r s
则s<3/2。很显然，当l≥1时，(l+1)不满足
s具备的条件，所以取 Rl (r) ~ rl
根据
Rl (r)
(r)
r
此时 (r) 满足
lim
r 0
l
(r)
lim
r 0
rRl
(r)
0
这是个重要的条件，以后会经常用到。
26
17
3、两体问题化为单体问题
实际问题中出现的中心力场问题，常为 二体问题。
容易证明
[Lˆ, pˆ 2 ] 0
由角动量只与角度θ、φ有关，则有
[Lˆ, V (r)] 0
这样
[Lˆ, H ] 0
所以，与经典力学中一样，角动量也是守恒量
26
5
因为所研究的问题具有球对称性，故 一般采用球坐标系。此时
pˆ 2
22
pˆ r2
Lˆ2 r2
2
1 r2
r
(r 2
) r
Lˆ2 r2
第六章 中心力场
§1 中心力场中粒子运动的一般规律 例 （1）引力场中的运动
如Kepler运动： 地球同步卫星
26
1
（2）库仑场中的运动(经典理解) 如原子体系： 电子的运动
共同特点： 角动量守恒
在中心力场中角动量概念非常重要。
26
2
角动量的经典表示：
Lrp
则
dL
dr
p
r
dp
dt dt
下面我们看量子力学中的角动量问题。
1、角动量守恒与径向运动
若势场为V(r)，粒子的质量为μ，则Hamilton
量可以写为
Hˆ 1 pˆ 2 V (r) 2 2 V (r)

能量本征值由 k
2 E 及（8）给出
E nrl

2 2
2 a
x nrl
2
（13）
E n r l 是(2l+1)重简并
（2） 当球方势阱半径 a→∞时
由于
j l ( kr ) 0
r
边界条件 R ( r )
a
0 自然得到满足，对k或能量E不再有任何限制，即能量取连续谱，
1 2 ˆ ˆ2 H p V (r ) V (r ) 2 2
2
哈密顿量
ˆ ˆ L r p
对易关系
ˆ [ Li ˆ [L ˆ [L ˆ [L ˆ2 [L
ˆ ˆ L j ] i ijk L k
ˆ2 p ] 0 V ( r )] 0 ˆ H]0
d dr
ln( rh 0 ( kr ))
(1 )
ra
立即有
或
kctgka k k ctgka 0 k
2
1．无限深球方势阱
r a r a
V(r)
此种情况下，径向方程
d R dr
2

2 dR
l ( l 1) 2 2 ( E V ( r )) 2 R 0 r dr r
可写成
d R dr
2 2
2 l ( l 1) k 2 R 0 r dr r 2 dR
第二讲 中心力场
中心力场的特征：中心力场是球对称场，势V(r) 几种特殊中心力场 万有引力场 库仑场——原子结构中占有特别重要的地位 各向同性谐振子场 原子核结构中占有重要的地位 无限深球方势阱
中心力场中运动粒子的特征