计算方法(李桂成著) 实验报告 插值问题

计算方法实验报告计算方法实验报告概述：计算方法是一门研究如何用计算机解决数学问题的学科。

在本次实验中，我们将学习和应用几种常见的计算方法，包括数值逼近、插值、数值积分和常微分方程求解。

通过实验，我们将深入了解这些方法的原理、应用场景以及其在计算机科学和工程领域的重要性。

数值逼近：数值逼近是一种通过使用近似值来计算复杂函数的方法。

在实验中，我们通过使用泰勒级数展开和牛顿迭代法等数值逼近技术，来计算函数的近似值。

这些方法在科学计算和工程领域中广泛应用，例如在信号处理、图像处理和优化问题中。

插值：插值是一种通过已知数据点来估算未知数据点的方法。

在实验中，我们将学习和应用拉格朗日插值和牛顿插值等方法，以及使用这些方法来构造函数的近似曲线。

插值技术在数据分析、图像处理和计算机图形学等领域中具有重要的应用价值。

数值积分：数值积分是一种通过将函数曲线划分为小矩形或梯形来估算函数的积分值的方法。

在实验中，我们将学习和应用矩形法和梯形法等数值积分技术，以及使用这些方法来计算函数的近似积分值。

数值积分在物理学、金融学和统计学等领域中被广泛使用。

常微分方程求解：常微分方程求解是一种通过数值方法来求解微分方程的方法。

在实验中，我们将学习和应用欧拉法和龙格-库塔法等常微分方程求解技术，以及使用这些方法来求解一些常见的微分方程。

常微分方程求解在物理学、生物学和工程学等领域中具有广泛的应用。

实验结果：通过实验，我们成功地应用了数值逼近、插值、数值积分和常微分方程求解等计算方法。

我们得到了准确的结果，并且在不同的应用场景中验证了这些方法的有效性和可靠性。

这些实验结果将对我们进一步理解和应用计算方法提供重要的指导和支持。

结论：计算方法是计算机科学和工程领域中的重要学科，它提供了解决复杂数学问题的有效工具和方法。

通过本次实验，我们深入了解了数值逼近、插值、数值积分和常微分方程求解等计算方法的原理和应用。

这些方法在科学研究、工程设计和数据分析等领域中具有广泛的应用价值。

一、实验目的1. 理解并掌握计算方法的基本概念和原理；2. 学会使用计算方法解决实际问题；3. 提高编程能力和算法设计能力。

二、实验内容本次实验主要涉及以下内容：1. 线性方程组的求解；2. 多项式插值；3. 牛顿法求函数零点；4. 矩阵的特征值和特征向量求解。

三、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.83. 科学计算库：NumPy、SciPy四、实验步骤及结果分析1. 线性方程组的求解（1）实验步骤a. 导入NumPy库；b. 定义系数矩阵A和增广矩阵b；c. 使用NumPy的linalg.solve()函数求解线性方程组。

（2）实验结果设系数矩阵A和增广矩阵b如下：A = [[2, 1], [1, 2]]b = [3, 2]解得：x = [1, 1]2. 多项式插值（1）实验步骤a. 导入NumPy库；b. 定义插值点x和对应的函数值y；c. 使用NumPy的polyfit()函数进行多项式拟合；d. 使用poly1d()函数创建多项式对象；e. 使用多项式对象计算插值点对应的函数值。

（2）实验结果设插值点x和对应的函数值y如下：x = [1, 2, 3, 4, 5]y = [1, 4, 9, 16, 25]拟合得到的二次多项式为：f(x) = x^2 + 1在x = 3时，插值得到的函数值为f(3) = 10。

3. 牛顿法求函数零点（1）实验步骤a. 导入NumPy库；b. 定义函数f(x)和导数f'(x)；c. 设置初始值x0；d. 使用牛顿迭代公式进行迭代计算；e. 判断迭代结果是否满足精度要求。

（2）实验结果设函数f(x) = x^2 - 2x - 3，初始值x0 = 1。

经过6次迭代，得到函数零点x ≈ 3。

4. 矩阵的特征值和特征向量求解（1）实验步骤a. 导入NumPy库；b. 定义系数矩阵A；c. 使用NumPy的linalg.eig()函数求解特征值和特征向量。

6.4 埃尔米特(Hermite)插值❖6.4.1两点三次埃尔米特插值❖6.4.2低阶含导数项的插值6.4.1 两点三次埃尔米特插值许多实际问题不仅要求插值函数在节点上与原来的函数相等(满足插值条件)，而且还要求在节点上的各阶导数值也相等。

满足这些条件的插值，称为埃尔米特(Hermite)插值。

本节讨论已知两个节点的函数值和一阶导数的情形。

10x ,x ()()1100y x f ,y x f ==()()11'00'm x f ,m x f ==()()()()0100''110011,,,,():x x f x y f x y fx m f x m H x ====已知函数在两个互异节点上的函数值和一阶导数值求一个三次插值多项式，使其满足⎩⎨⎧====11'00'1100m )x (H ,m )x (H y )x (H ,y )x (H ()1.4.6插值多项式。

称为三次这样的Herm ite )x (H 方法，可设：采用构造插值基函数的11001100m )x (H m )x (H y )x (h y )x (h )x (H +++=()2.4.61.4.6)x (H ),x (H ),x (h ),x (h 1010的取值如表都为插值基函数，它们其中1.4.6表基函数函数值一阶导数10100001001x 0x 1x 1x 0()h x 1()h x 0()H x 1()H x多项式，因此可设：(x)最多是一个三次，另外，h )x (x (x)中必有因子0所以h )(x h )(x (x)，由于h 先求h 02101'100-==210100x x x x ))x x (b a ()x (h ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=得：利用求导数，再，对，为确定得利用0)x (h )x (h b 1a 1)x (h 0'000===10x x 2b --=于是得：21010100)x x x x )(x x x x 21()x (h ----+=()3.4.6同理可得：2101011)x x x x )(x x x x 2(1(x)h ----+=()4.4.6'000010120100()()()0()0()()()()H x H x H x H x H x x x x x H x ===--再求，由于且，故中必有因式，另外，是一个不超过三次的多项式，于是可设：210100)x x x x )(x x (a )x (H ---=，于是得：可得求导数，再利用，对是常数，为确定其中，1a 1,)(x H (x)H a a 0'00==2100)x x x x )(x x ()x (H ---=()5.4.6同理可得：21011)x x x x )(x (x (x)H ---=()6.4.6所示：形如图这四个插值基函数的图1.4.61x 1x )x (h 01x 1x )x (h 11x )x (H 00x 1x )x (H 10x ()()式。

《计算方法》实验报告材料引言：计算方法是一门应用数学的基础课程，通过实验教学，能够帮助学生更好地理解和掌握各种数值计算的方法和技巧。

本次实验旨在通过编程实现一些常用的数值计算方法，并通过对比分析实验结果，验证方法的有效性和可行性。

实验一：插值算法插值算法是利用已知的数据点，构建一个连续函数以逼近数据的方法。

本次实验中使用的插值算法为拉格朗日插值和牛顿插值。

通过编程实现这两种算法，并选取若干个数据点进行测试，得到插值函数的结果。

通过比较原始数据和插值函数的结果，可以验证插值算法的准确性和可行性。

实验二：方程求解方程求解是数值计算中的一个重要问题，求解非线性方程、线性方程组和特征值问题等都需要采用相应的迭代方法。

本次实验中，我们实现了常用的牛顿迭代法和二分法，并选择数学问题进行求解。

通过比较实验结果和理论值的误差，可以验证求解方法的精确性和可行性。

实验三：数值积分数值积分是利用数值方法对定积分进行近似求解的过程。

本次实验中，我们实现了矩形法、梯形法和辛普森法等常用的数值积分方法，并选取若干函数进行数值积分的计算。

通过比较数值积分的结果和解析解或数值解的误差，可以验证数值积分方法的准确性和可行性。

实验四：常微分方程求解常微分方程求解是数值计算中的一个重要问题，常常涉及到物理、化学、生物等科学领域。

本次实验中，我们实现了欧拉方法和龙格-库塔方法等常用的常微分方程求解算法，并选取若干常微分方程进行求解。

通过比较数值解和解析解或数值解的误差，可以验证常微分方程求解方法的精确性和可行性。

实验五：线性方程组求解线性方程组求解是数值计算中的一个重要问题，常常涉及到矩阵的运算和迭代方法。

本次实验中，我们实现了高斯消元法和追赶法等常用的线性方程组求解算法，并选择一些矩阵进行求解。

通过比较数值解和解析解或数值解的误差，可以验证线性方程组求解方法的精确性和可行性。

结论：通过本次实验，我们掌握了插值算法、方程求解、数值积分、常微分方程求解和线性方程组求解等常用的计算方法。

第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。

2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。

3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。

4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。

二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。

它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。

常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。

1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。

其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。

2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。

其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。

三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。

《计算方法》实验报告专业班级：学生姓名：学生学号：实验名称：实验一：非线性方程求根迭代法实验二：求解线性方程组(1) 实验三：求解线性方程组（2）实验四：数值积分实验五：数值微分实验一：一、实验名称非线性方程求根迭代法二、实验目的(1)熟悉非线性方程求根简单迭代法，牛顿迭代及牛顿下山法 (2)能编程实现简单迭代法，牛顿迭代及牛顿下山法 (3)认识选择迭代格式的重要性 (4) 对迭代速度建立感性的认识；分析实验结果体会初值对迭代的影响三、实验内容用牛顿下山法解方程013=--x x （初值为0.6）输入：初值，误差限，迭代最大次数，下山最大次数输出：近似根各步下山因子四、基本原理（计算公式）求非线性方程组的解是科学计算常遇到的问题，有很多实际背景．各种算法层出不穷，其中迭代是主流算法。

只有建立有效的迭代格式，迭代数列才可以收敛于所求的根。

因此设计算法之前，对于一般迭代进行收敛性的判断是至关重要的。

牛顿法也叫切线法，是迭代算法中典型方法，只要初值选取适当，在单根附近，牛顿法收敛速度很快，初值对于牛顿迭代 至关重要。

当初值选取不当可以采用牛顿下山算法进行纠正。

一般迭代：)(1k k x x φ=+ 0)()(=⇔=x f x x φ 牛顿公式：)()(1k k k k x f x f x x '-=+ 牛顿下山公式：)()(1k k k k x f x f x x '-=+λ下山因子 ，，，，322121211=λ 下山条件|)(||)(|1k k x f x f <+五、算法设计与实现（流程图）牛顿下山算法见流程图：六、个人理解：这个问题的关键之处不是公式的复杂性，而是如何对算法的实现提供一个条理清晰且方法合理的if 嵌套，这个算法中运用了许多判断，如何进行其判断结果的返回将是解决这个问题的重中之重。

把这个问题弄清楚，再结合本身并不复杂的算法公式，这个问题就可解了。

这个程序开始花费了我很长时间搞清楚如何进行判断返回的运算来解决if 语句嵌套。

插值法综述《计算方法》学习报告一、引言计算方法是计算机科学与技术专业的一门重要基础课程，主要介绍了插值法在数值计算中的应用。

插值法是一种用已知的离散数据拟合出连续函数的方法，广泛应用于数据分析、数据处理以及图像处理等领域。

本学期我在学习《计算方法》过程中，对插值法进行了深入学习与研究，现将所学内容进行总结。

二、插值法的基本概念插值法是指在给定的有限数据点集上，通过构造插值多项式来拟合出一个连续的函数，从而可以用于求解数据点之间的未知函数值。

插值法的基本思想是利用已知的数据点，通过构造插值函数来拟合这些数据点，并且能够满足特定的插值条件。

常见的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。

三、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是由法国数学家拉格朗日在18世纪中叶提出的，它利用了多项式的唯一性和插值条件，通过巧妙选择权重系数来构造插值多项式。

拉格朗日插值法的优点是简单易懂，易于计算，而且适用于实际问题中的绝大多数情况。

四、牛顿插值法牛顿插值法是由英国物理学家牛顿在17世纪提出的，它通过不断增加插值点，逐步逼近所需插值函数。

牛顿插值法的优点是计算过程简单直观，当新增一个数据点时，只需重新计算差商即可，不需要重新计算整个插值多项式。

五、埃尔米特插值法埃尔米特插值法是由19世纪德国数学家埃尔米特提出的，它是拉格朗日插值法和牛顿插值法的推广和扩展。

埃尔米特插值法在插值点不仅给定数据值，还给定导数值的情况下，构造一个既满足插值条件又满足切线条件的插值多项式。

埃尔米特插值法的优点是在一定程度上提高了插值函数的光滑性和拟合精度。

六、插值法的应用插值法在计算机科学与技术中有广泛的应用，例如在数据处理与分析中，可以利用插值法来填补缺失数据、修复损坏数据和平滑噪声数据；在图像处理中，可以利用插值法来实现图像的放大缩小、旋转变换和形状重建等操作。

插值法还可以应用于科学计算中的数值积分、数值微分以及数值解常微分方程等问题的求解。

实验一 牛顿插值公式求函数值一、实验目的理解插值的基本概念，掌握牛顿插值计算函数值的方法及程序实现。

二、实验内容给定n i y x i i ,,1,0),,( =，构造牛顿插值多项式)(x N n ，使得n i y x N i n ,,1,0,)( ==并用所构造的牛顿插值多项式)(x N n ，对给定的x 计算出)(x N n 的值。

算法描述输入n 值，及n i y x i i ,,1,0),,( =；记i y x f =)(。

for k=0,1,…,n计算差商01102110],,,[],,,[],,,[x x x x x f x x x f x x x f k k k k --=-对给定的x ，由],,,[)())(( ],,[))((],[)()()(10110210101000n n n x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x f x x x f x N ----++--+-+=计算出)(x N n 的值。

输出)(x N n 。

计算实例给定sin11o =0.190809，sin12o =0.207912，sin13o =0.224951，构造牛顿插值函数并计算sin11o 30’。

三、实验要求1.独立编写较为通用的用牛顿插值公式求函数值的程序，并上机调试和运行。

至少用编制的程序验证两个函数，各函数节点数n>4。

记录所用的函数，及程序的输入输出数据并分析误差，2.将调试好的程序及有关记录分析存盘，交给任课老师。

四．程序流程图五．源程序#include <iostream.h>main(){float x[10],y[10],ne[10][10];int i,j,n;float newton,xk,t;cout<<"Å£¶Ù²åÖµ¹«Ê½Çóº¯ÊýÖµ"<<endl;cout<<"input x(n)";cin>>n ;for (i=0;i<n;i++){cout<<"x["<<i<<"]";cin>>x[i];}for (i=0;i<n;i++){ cout<<"y["<<i<<"]";cin>>y[i];ne[i][0]=y[i];}for (j=1;j<n;j++)for(i=j;i<n;i++)ne[i][j]=(ne[i][j-1]-ne[i-1][j-1])/(x[i]-x[i-j]);for (i=0;i<n;i++)cout<<"COE("<<i<<")"<<ne[i][i]<<endl;cout<<"XK=";cin>>xk ;newton=ne[0][0];t=1;for (i=1;i<n;i++){t=t*(xk-x[i-1]);newton=newton+ne[i][i]*t;}cout<<"N("<<xk<<")"<<newton;}六、计算实例1、给定sin11o=0.190809，sin12o=0.207912，sin13o=0.224951，构造牛顿插值函数并计算sin11o30’。

《计算方法》课内实验报告学生姓名:张靖2012309010111及学号：学院:理学院班级:信计121课程名称：计算方法实验题目:插值法与函数逼近指导教师周硕教授姓名及职称：朱振菊实验师2014年11月03日目录一、实验题目 (1)二、实验目的 (1)三、实验内容 (1)四、实验结果 (2)五、实验体会或遇到问题 (8)一、实验题目1．熟悉matlab 编写及运行数值计算程序的方法。

2．进一步理解数值积分的基础理论。

3．进一步掌握应用不同的数值积分方法求解给定的积分并给出数据结果及误差分析。

二、实验目的1．熟悉matlab 编写及运行数值计算程序的方法。

2．进一步理解插值法及函数逼近方法的理论基础。

3．进一步掌握给定数据后应用插值法及函数逼近方法进行数据处理并给出图示结果的实际操作过程。

三、实验内容1．分别用复合梯形求积公式及复合辛普森求积公式计算积分xdx x ln 1⎰,要求计算精度达到410-,给出计算结果并比较两种方法的计算节点数. 2．用龙贝格求积方法计算积分dx x x ⎰+3021,使误差不超过510-.3．用3=n 的高斯-勒让德公式计算积分⎰31sin x e x ,给出计算结果.4．用辛普森公式 (取2==M N ) 计算二重积分.5.005.00dydx e x y ⎰⎰-四、 实验结果1．问题1：计算结果如下表表1问题1求解表复合梯形求积公式：取1210-，n=，n为迭代次数，当迭代12次后，精度达到4 n-；节点数为21=4095复合辛普森求积公式：取1000010-，节点数为n=，n为区间数，取精度为4n+=。

1100012．问题2：计算结果如下表表2问题2求解表龙贝格数值积分：给定被积函数0，被积上限3，精度为510-，龙贝格积分表中行的最大数目13，计算出龙贝格数值积分近似解为10.20759362。

3．问题3：计算结果如下表表3问题3求解表高斯-勒让德积分公式：取3n = ，节点横坐标k x 取,n k A 取585999，，，2n 阶导数e sin x x -,求得高斯-勒让德积分近似解为10.94840256。

计算方法报告——插值1.原理简介插值法是利用函数f (x)在某区间中已知的若干点的函数值，作出适当的特定函数，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

根据算法和插值要求的不同，有多种插值方法。

拉格朗日插值：有平面上点集{（x i,y i）}共n个点，现作函数f(x)图像使其过这n个点P i(x)=∏x−x j x i−x jnj=0 j≠i L n(x)=∑P i(x)×y ini=1则f(x)=L n(x)牛顿插值：同样点集，用不同方法构造插值多项式。

定义差商：f[x0，x1]=f(x0)−f(x1) x0−x1f[x0，x1……x k]=f[x0，x1……x k−1]−f[x1，x2……x k]x0−x k则有：N(x)=f[x0]+∑f[x0，x1……x k](x−x0)(x−x1)…（x−x k−1）nk=1理论上牛顿插值与拉格朗日插值所得插值多项式完全相同，只是不同写法。

2.算法描述分析函数：homework1.C 画图函数：DrawPlot.cpp为简化程序，将Lagrange插值与Newton插值算法作为子函数调用。

子函数Lagrange()中，输入插值点个数n，插值点集x[n]，y[n]，即可得到x点的Lagrange插值函数值L(x)。

同样，Newton()中输入相同信息可得到x点Newton插值函数值N(x)。

主函数main()中，先根据设定选择样点为等距分割还是Chebyshev分割，取得点集point_x[n+1]和point_y[n+1]，取点范围（-1，1）。

再调用子函数分别计算各x[i]点下的真实函数值，牛顿插值函数值，拉格朗日插值函数值及各种误差，在循环结束后将需要的误差L_inf 和L1输出到屏幕。

最后利用root TGraph把计算得到的数组画出函数图像，并存到rootfile 中。

在误差计算中只用了-1~0上的点，画图时扩大范围画到-1~1全部点DrawPlot函数中读取了homework1.C中画的函数图像，将其整合到一起，设置线条颜色及宽度，加上一个图例，重新生成一张图像。

插值法综述一、插值法及其国内外研究进展1.插值法简介在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是由观察与测试得到一些离散数值。

有时，即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，不仅使用不便，而且不易于进行计算与理论分析。

解决这类问题的方法有两种：一种是插值法,另一种是拟合法。

插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践，早在一千多年前，我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机软件中，许多库函数，如cosx,sinx等的计算实际上归结于它的逼近函数的计算。

逼近函数一般为只含有算术运算的简单函数，如多项式、有理分式（即多项式的商）。

在工程实际问题当中，我们也经常会碰到诸如此类的函数值计算问题。

被计算的函数有时不容易直接计算，如表达式过于复杂或者只能通过某种手段获取该函数在某些点处的函数值信息或者导数值信息等。

因此，我们希望能用一个“简单函数”逼近被计算函数，然后用该简单函数的函数值近似替代被计算函数的函数值。

这种方法就叫插值逼近或者插值法。

插值法要求给出函数的一个函数表，然后选定一种简单的函数形式，比如多项式、分段线性函数及三角多项式等，通过已知的函数表来确定一个简单的函数P(x)作为f(x)的近似，概括地说，就是用简单函数为离散数组建立连续模型。

2.国内外研究进展插值理论是在17世纪微积分产生以后才逐步发展的，牛顿的等距节点插值公式及均差插值公式都是当时的重要成果。

拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后（1783年）由莱昂哈德·欧拉再次发现。

1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起。

近半世纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展，尤其是20世纪40年代后发展起来的样条插值，更获得广泛应用，成为计算机图形学的基础。

《计算方法》实验报告一、实验目的本次《计算方法》实验的主要目的是通过实际操作和编程实现，深入理解和掌握常见的计算方法在解决数学问题中的应用。

通过实验，提高我们运用数学知识和计算机技术解决实际问题的能力，培养我们的逻辑思维和创新能力。

二、实验环境本次实验使用的编程语言为 Python，使用的开发工具为 PyCharm。

实验运行的操作系统为 Windows 10。

三、实验内容与步骤1、线性方程组的求解实验内容：使用高斯消元法和LU分解法求解线性方程组。

实验步骤：首先，定义线性方程组的系数矩阵和常数向量。

对于高斯消元法，通过逐步消元将系数矩阵化为上三角矩阵，然后回代求解。

对于 LU 分解法，将系数矩阵分解为下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U，然后通过向前和向后代换求解。

2、插值与拟合实验内容：使用拉格朗日插值法、牛顿插值法进行插值计算，并使用最小二乘法进行曲线拟合。

实验步骤：对于拉格朗日插值法和牛顿插值法，根据给定的节点数据计算插值多项式。

对于最小二乘法，根据给定的数据点和拟合函数形式，计算拟合参数。

3、数值积分实验内容：使用矩形法、梯形法和辛普森法计算定积分。

实验步骤：定义被积函数和积分区间。

对于矩形法，将积分区间等分为若干小区间，每个小区间用矩形面积近似积分值。

梯形法通过构建梯形来近似积分值。

辛普森法利用抛物线来近似积分值。

4、常微分方程的数值解法实验内容：使用欧拉法和改进的欧拉法求解常微分方程。

实验步骤：给定常微分方程和初始条件。

按照欧拉法和改进的欧拉法的公式进行迭代计算，得到数值解。

四、实验结果与分析1、线性方程组的求解高斯消元法和 LU 分解法都能成功求解线性方程组，但在计算效率和数值稳定性上可能存在差异。

对于规模较大的线性方程组，LU 分解法通常更具优势。

实验中通过对比不同方法求解相同线性方程组的结果，验证了算法的正确性。

2、插值与拟合拉格朗日插值法和牛顿插值法在给定节点处能够准确插值，但对于节点之外的区域，可能会出现较大偏差。

插值法综述一、插值法及其国内外研究进展1.插值法简介插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践,早在一千多年前,我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值,但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多,特别是在计算机广泛使用之后，由于航空、机械加工、自动控制等实际问题的需要，使插值法在实践和理论上都显得更为重要,并得到了空前的发展。

2.国内外研究进展● 插值法在预测地基沉降的应用● 插值法在不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法的应用 ● 拉格朗日插值法在地震动的模拟研究中的应用 ● 插值法在结构抗震可靠性分析中的应用● 插值法在应力集中应变分布规律实验分析中的应用 3．代表性文献● 不等时距ＧM （1%2c1)模型预测地基沉降研究 秦亚琼 武汉理工大学学报(交通科学与工程版) ２00８.2● 不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法 牛志伟 岩土力学 2００８．３● 基于拉格朗日插值法的地震动的模拟 白 可 山西建筑201０.10● 响应表面法用于结构抗震可靠性分析 张文元 世界地震工程1997● 小议应力集中应变分布规律的实验方法 查珑珑 淮海工学院学报(自然科学版)200４.6二、插值法的原理【原理】设有n+1个互不相同的节点（i x ,i y ) （i=0,1,2，...n ）则存在唯一的多项式:2012()...(1)nn n L x a a x a x a x =++++ 使得()(0,1,2,...)(2)n j j L x y j n ==证明：构造方程组20102000201121112012......(3)...n n nn n nn n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩令:0011111nn n n n x x x x A x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦01n a a X a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦01n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 方程组的矩阵形式如下：(4)AX Y=由于110()0nn i j i j A x x -===-≠∏∏所以方程组（４）有唯一解。

实验一：插值法一、实验目的通过本次上机实习，能够进一步加深对各种插值算法的理解；学会使用用三种类型的插值函数的数学模型、基本算法，结合相应软件（如VC/VB/Delphi/Matlab/JAVA/Turbo C）编程实现数值方法的求解。

并用该软件的绘图功能来显示插值函数，使其计算结果更加直观和形象化。

二、实验内容先在屏幕上用随机函数按适当比例画出若干个点（至少7～9），分别用拉格朗日插值，牛顿插值，三次样条插值对上述离散点进行拟和，并用该软件的绘图功能来显示其插值函数。

三、源程序⒈拉格朗日插值：（Lagrange）#include<iostream.h>void main(){float x[3];float y[3];for(int m=0;m<3;m++)cin>>x[m];for(int n=0;n<3;n++)cin>>y[n];for(int k=0;k<3;k++){float s=0;for(int i=0;i<3;i++){float p=1;for(int j=0;j<3;j++)if(i!=j)p=p*((x[k]-x[j])/(x[i]-x[j]));s=s+y[i]*p;}cout<<"("<<x[k]<<","<<s<<")"<<'\n';}}2.牛顿插值：#include<iostream.h>void main(){float x[5];float y[5];float f[5];for(int m=0;m<3;m++)cin>>x[m];for(int n=0;n<3;n++)cin>>y[n];float t=1;for(int k=0;k<5;k++){f[k]=y[k];for(int j=0;j<5;j++)t=t*(x[k]-x[j-1]);for(int i=0;i<(5-j);i++)f[i]=(f[i+1]-f[i])/(x[j+i]-x[i]);y[k]=f[k]+t*f[k];cout<<"y="<<y[k]<<'\n';}}四、实验结果五、实验心得通过此次实验编程，更好的掌握了拉格朗日插值算法，但对于应用上还有很多欠缺，对于牛顿插值更是不熟悉，需要多加练习。

《计算方法》实验报告二级学院：计算机学院专业：指导教师：班级学号：姓名：实验二插值法1、实验目的1、掌握直接利用拉格郎日插值多项式计算函数在已知点的函数值；观察拉格郎日插值的龙格现象。

2、了解Hermite插值法、三次样条插值法原理，结合计算公式，确定函数值。

2、实验设备PC机一台，C语言、PASCAL语言、Matlab任选3、实验要求1）认真分析题目的条件和要求，复习相关的知识，选择适当解决方案和算法；2)编写上机实验程序，作好上机前的准备工作；3）上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）； 4）分析和解释计算结果；5)按照要求书写实验报告；4、实验内容1）已知函数表：（0.56160,0.82741）、（0.56280,0.82659）、（0.56401,0.82577）、（0.56521,0.82495）用三次拉格朗日插值多项式求 x=0.5635时函数近似值。

2)给出函数y=f(x)=shx在x属于[0.5,0.8]的部分函数值（0.50,0.521095）, (0.55,0.578152),(0.60,0.63654),(0.65,0.696748),(0.70 ，0.758584), (0.75,0.822317),(0.80,0.888106)用等距结点差值来计算 x=0.52处的值。

5、原理：拉格朗日法求解原理：通过给出的4个点，根据拉格朗日的基函数构造拉格朗日函数，然后把 x=0.5635代入函数求出函数值。

差分的原理：通过给的点构造差分表，然后根据差分表写出差分函数，把x=0.52代入差分公式求出函数值。

6、设计思想：1)通过拉格朗日函数的构造，把x的值代入函数。

2)写出差分函数，然后把x的只代入函数求值。

7、对应程序：拉格朗日法求解#include<stdio.h>#include<math.h>void main(void){float x=0.5635;float x0=0.56160,x1=0.56280,x2=0.56401,x3=0.56521;float y0=0.82741,y1=0.82659,y2=0.82577,y3=0.82495;float L0=((x-x1)*(x-x2)*(x-x3)) /((x0-x1)*(x0-x2)*(x0-x3));float L1=((x-x0)*(x-x2)*(x-x3)) /((x1-x0)*(x1-x2)*(x1-x3));float L2=((x-x0)*(x-x1)*(x-x3)) /((x2-x0)*(x2-x1)*(x2-x3));float L3=((x-x0)*(x-x1)*(x-x2)) /((x3-x0)*(x3-x1)*(x3-x2));float L=L0 * y0+L1*y1+L2*y2+L3*y3;printf("%.3f\n",L);}差分法求解#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){float x=0.52;float t=0.4;float y0=0.521095,y1=0.578152,y2=0.636654,y3=0.696748;float m0=y1-y0;float m1=y2-2*y1+y0;float m2=y3-3*y2+3*y1-y0;float N=y0+t*m0+t*(t-1)*m1/(2*1)+t*(t-1)*(t-2)*m2/(3*2*1);printf("%.4f\n",N);}8、实验结果：拉格朗日法的结果：0.826；差分的结果：0.5438;9、图形（如果可视化）拉格朗日截图：差分截图：10、实验体会通过上机对拉格朗日和差分的进一步理解，更好地把实验与实际计算相结合。

重庆大学学生实验报告实验课程名称计算方法开课实验室DS1421学院年级专业学生姓名学号开课时间至学年第学期1．实验目的：（1） 学会拉格朗日插值、牛顿插值等基本方法（2） 设计出相应的算法，编制相应的函数子程序（3） 会用这些函数解决实际问题2．实验内容（1）设计拉格朗日插值算法，编制并调试相应的函数子程序（2）设计，编制并调试相应的函数子程序试用拉格朗日插值确定函数在x=2.101，4.234处的函数值。

（4）已知，，，392411===用牛顿插值公式求5的近似值。

3.实验过程解：(1) 拉格朗日插值算法如下：function s=Lagrange(x0,y0,x)format long;%输入初始数据x0,y0%插值点xn=length(x0);s=0;%进入迭代计算过程for j=0:(n-1)t=1;for i=0:(n-1)if i~=jt=t*(x-x0(i+1))/(x0(j+1)-x0(i+1));endends=s+t*y0(j+1);endformat short;(2) 牛顿插值算法如下：function y=Newton(x0,y0,x)format long;%显示15位%插值点x, 迭代初始值：x0,y0n=max(size(x0));y=y0(1);%迭代初始值disp(y);s=1;dx=y0;for i=1:n-1%构造差商表dx0=dx;for j=1:n-idx(j)=(dx0(j+1)-dx0(j))/(x0(i+j)-x0(j));enddf=dx(1);s=s*(x-x0(i));y=y+s*df;%计算disp(y);end（3）用拉格朗日插值确定函数在x=2.101，4.234处的函数值输入：x0=[1.1,2.3,3.9,5.1];y0=[3.887,4.276,4.651,2.117];x=2.101; Lagrange(x0,y0,x)结果为：输入：x=4.234; Lagrange(x0,y0,x)结果为：所以x=2.101处的函数值为4.1457，x=4.234处的函数值为4.3007。

实验报告名称班级：学号：姓名：成绩：1实验目的1）熟悉拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，注意其不同特点；2）会用三次样条插值解决一些实际问题；2 实验内容做二次插值，并求x1=-2，x2=0，x3=2.75时的函数近似值。

采用拉格朗日分段插值算法。

2）按下列数据做五次插值，并求x1=0.46，x2=0.55，x3=0.60时的函数近似值。

采用拉格朗日五次插值多项式3）编写一个用牛顿前插公式计算函数值的程序，要求先输出差分表，再计算x点的函数值，采用牛顿前插公式的算法。

3实验步骤1）根据插值公式的算法编写相应的函数程序；2）将题目中所给参数带入到插值函数中得出结果；3 程序设计1）2）拉格朗日插值算法function yi=Lagran(x,y,xi)m=length(xi);n=length(x);for i=1:mz=xi(i);s=0;for k=1:np=1;for j=1:nif j~=kp=p*(z-x(j))/(x(k)-x(j));endends=p*y(k)+s;endyi(i)=s;endend分段插值clcclearx=[-3.0 -1.0 1.0 2.0 3.0];y=[1.0 1.5 2.0 2.0 1.0];yi1=Lagran(x(1,1:3),y(1,1:3),-2);yi2=Lagran(x(1,2:4),y(1,2:4),0);3）function N=forwardchafennewton(x,y,xi)%Newton»ù±¾²åÖµ·½·¨format longn=length(x);m=length(y);t=ff(x,xi);if m~=nerror('x or y ÊäÈëÓÐÎó£¬ÔÙÀ´~');endA=zeros(n);Z=1.0;A(:,1)=y; %AµÚÒ»ÁÐÊÇyN=A(1,1);for k=2:n % k ΪÁбêfor i=k:n % i ΪÐбêA(i,k)=A(i,k-1)-A(i-1,k-1); %±ØÐëÊǺó-Ç°endZ=Z*(t-(k-2))/(k-1);N=N+Z*A(k,k);enddisp('²îÉ̱í');disp(A);fprintf('t=%d',t);fprintf('Newton²åÖµµÄ½á¹û±£Áô6λСÊýÊÇ %10.6f\n',N); %function ni=ni(k)%ni=1;%if k==0% ni=1;%else if k<0% disp('error');% else% for i=1:k% ni=ni*i;% end% end%endfunction t=ff(x,xi)h=x(2)-x(1);t=(xi-x(1))/h;4实验结果及分析1）2）Lagran(x,y,[0.46 0.55 0.60])ans =1.1007 1.1413 1.16623）5总结通过本实验我掌握了拉格朗日和牛顿插值多项式的算法，拉格朗日插值多用于理论推导，而牛顿插值算法计算比较方便，特别对于等距节点。