15. 倾斜的天平──由相等到不等(含答案)-

15.倾斜的天平──由相等到不等知识纵横现实世界既包含大量的相等关系,又存在许多不等关系,许多现实问题是很确定(有时也不需确定)具体的数值,•但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围或趋势,从而对所研究问题的全貌有一个比较清晰的认识.不等式(inequality)(组)是探求不等关系的基本工具,不等式(组)与方程(组)•在相关概念、解法上有着相似点，又有不同之处，主要体现在：等式、不等式两者都乘以（或除以）同一个数时，等式仅需考虑这个数是否为零，而不等式不但要考虑这个数是否为零，而且还需注意这个数的正负性；解方程组时，我们可以“统一思想”，即可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，解不等式组时，我们只能“分而治之”，即只能分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分，才能得出不等式组的解集。

例题求解【例1】(1)已知关于x 的不等式组5210x x a -≥-⎧⎨->⎩无解,则a 的取值范围是_____;(2)已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰是1,2,3,则a 的取值范围是_______.(2003年重庆市中考题)思路点拨 (1)从数轴上看,原不等式组中两个不等式的解集无公共部分;(2)由题意知不等式的解在x<4的范围内.解:(1)a ≥3;(2)由3≤3a <4,得9≤a<12. 【例2】(1)若不等式(ax-1)(x+2)>0的解集是-3<x<-2,那么a 等于( ). A.13 B.-13C.3D.-3 (2000年湖北省宜昌市中考题) (2)已知-1<a<0,│x-a │=a 2,则x 的取值范围是( ).A.-1<x<0B.0<x<1C.-2<x<0D.0<x<2 (2003年太原市竞赛题)思路点拨 (1)由有理数的乘法法则,将不等式转化为不等式组,•由不等式组的解集逆推出参数a的值;(2)把x用a的代数式表示,由a的范围来确定x的取值范围,•注意分类讨论.解:(1)选B 提示:由已知得1020axx->⎧⎨+>⎩或1020axx-<⎧⎨+<⎩,得1a<x<-2;(2)选C 提示:当x>a时,x=a+a,则-14<x<0;当x<a时,x=-a2+a,-2<x<0.【例3】解下列关于x的不等式(组):(1)(2mx+3)<3x+n; (2)│x-2│≤2x-10; (3)483(2)22(1)4 ax axa x a x-<-⎧⎨+->-+⎩.思路点拨与方程类似,解含字母系数的不等式(组)需要对字母系数进行讨论;解含绝对值符号的不等式(组)的关键是去掉绝对值符号,化为一般的不等式来求解,而“零点分段讨论法”是最有效的方法.解:(1)由原不等式得(2m-3)x<n-3,当2m-3>0,即m>32时,其解集为x<323nm--;当2m-3<0,•即m<32时,其解集为x>323nm--;当2m=3,即m=32时且n>3,解集为所有数;若m=32且n≤3,不等式无解;(2)由202210xx x-≥⎧⎨-≤-⎩,得x≥8;由202210xx x-<⎧⎨-≤-⎩,得x≥4,故原不等式的解集为x≥8.(3)原不等式组化为:412 36axax≤⎧⎨>⎩,当a>0时,不等式组解集为2a <x<3a; 当a<0时,不等式组的解集为3a <x<2a ; 当a=0时,原不等式组无解.【例4】已知三个非负数a 、b 、c 满足3a+2b+c=5和2a+b-3c=1,若m=3a+b-7c,•求m的最大值和最小值. (江苏省竞赛题)思路点拨 本例综合了方程组、不等式组的丰富知识,•解题的关键是通过解方程组,用含一个字母的代数式来表示m,通过解不等式组,确定这个字母的取值范围,•在约束条件下,求m 的最大值与最小值.解:提示:由已知条件得325213a b c a b c +=-⎧⎨+=+⎩ 解得73711a c b c =-⎧⎨=-⎩则m=3c-2,由000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ 得73071100c c c -≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩解得37≤c ≤711. 故m 的最大值为-111 ,最小值为-57. 【例5】求537850x yz ⋅=中的数字x 、y 、z. (全俄第19届中学生竞赛题)思路点拨 从估算3yz 值的大小,建立关于x 的不等式组入手.解:提示:因300≤3yz <400, 故7850400<5x ≤7850300,19<5x <27, 即19<10x+5<27,解得x 的正整数解为x=2, 而3yz =785025=314,所以y=1,z=4.学力训练一、基础夯实1.若关于x 的不等式组61540x xx m +⎧>+⎪⎨⎪+<⎩的解集为x<4,则m 的取值范围是________.2.若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为-1<x<1,则(a+1)(b-1)的值等于________.(2001年重庆市中考题)3.已知a<0,且│a │x ≤a,则│2x-6│-│x-2│的最小值为________.(第12届“希望杯”邀请赛试题)4.当k=_______时,方程组2693x y xy k +=⎧⎨-=-⎩有正整数解.5.已知a 为整数,关于x 的方程a 2x-20=0的根是质数,且满足│ax-7│>a 2,则a 等于( ).A.2B.2或5C.±2D.-2 (第17届江苏省竞赛题)6.若方程组4143x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解满足条件0<x+y<1,则k 的取值范围是( ).A.-4<k<1B.-4<k<0C.0<k<9D.k>-4 (2003年河南省竞赛题)7.要使不等式……a 7<a 5<a 3<a<a 2<a 4<a 6<……成立,有理数a 的取值范围是( ).A.0<a<1B.a<-1C.-1<a<0D.a>1(2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛题)8.已知a 、b 为常数,若ax+b>0的解集是x<13,则bx-a=0的解集是( ).A.x>-3B.x<-3C.x>3D.x<3 (第14届江苏省竞赛题)9.解下列关于x 的不等式(组): (1)x+b>2bx+ab;(2)│2x-1│≤3; (3)│x-4│-│2x-3│≤1;(4)│ax-1│>ax-1; (5)121 x ax a>+⎧⎨<-⎩.10.已知方程组26x ymx y-=⎧⎨+=⎩,若方程组有非负整数解,求正整数m的值. (天津市竞赛题)11.如果12x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的方程(ax+by-12)2+│ax-by+8│=0的解,求不等式组131433x x a b ax x +⎧->⎪⎨⎪-<+⎩的解集.二、能力拓展12.已知不等式组111x x x k >-⎧⎪<⎨⎪<-⎩(1)当k=12时,不等式组的解集是_______;当k=3时,不等式组的解集是_______;• 当k=-2时,不等式组的解集为______.(2)由(1)知,不等式组的解集随数k 值的变化而变化,当k 为任意有理数时,•不等式组的解集为_________. (常州市中考题)13.如果关于x 的不等式(2m-n)x-m-5n>0的解集为x<107,那么关于x 的不等式mx>•n(m ≠0)的解集为_______. (哈尔滨市竞赛题)14.已知关于x 、y 的方程组325x y a x y a-=+⎧⎨+=⎩的解满足x>y>0,化简│a │+│3-a │=________.(2003年呼和浩特市中考题)15.不等式(│x │+x)(2-x)<0的解集是________.16.关于x 的不等式组23(3)1324x x x x a <-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩ 有四个整数解,则a 的取值范围是( ).A.-114<a≤-52B.-114≤a<-52C.-114≤a≤-52D.-114<a<-52(2003年泰安市中考题)17.一共有( )个整数x适合不等式│x-2000│+│x│≤9999.A.10000B.20000C.9999D.80000(第12届“五羊杯”邀请赛试题)18.已知m、n是整数,3m+2=5n+3,且3m+2>30,5n+3<40,则mn的值是( ).A.70B.72C.77D.8419.若正数a、b、c满足不等式组1126352351124c a b ca b c ab ac b⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩,则a、b、c大小关系是( ).A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.不确定(“祖冲之杯”邀请赛试题)20.已知m是整数且-60<m<-30,关于x,y的二元一次方程组23537x yx y m-=-⎧⎨--=⎩有整数解,求x2+y的值. (第13届“希望杯”邀请赛试题)21.已知x 、y 、z 是三个非负有理数,且满足3x+2y+z=5,x+y-z=2,若s=2x+y-z,求s 的取值范围.22.如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(a,b)共有多少个?请说明理由. (全国初中数学联赛试题)23.解下列不等式(组). (1)1-22x a >x a +24a; (2003年河南省竞赛题)(2)-1x<|1xx+|<2. (太原市竞赛题)三、综合创新24.求所有满足下列条件的四位数:能被111整除,且除得的商等于该四位数的各位数之和.(2000年“弘晟杯”上海市竞赛题)25.通过比较两个分数(式)9919与9919nn++(其中n为正整数)的大小,可以得出结论:99 19>9919nn++问:(1)从上面两数的大小关系,你发现了什么规律?(2)根据你自己确定的9919nn++与9919之间的正整数的个数来确定相应的正整数n的取值.答案1.m≤-42.-63.5 提示:x≤-1,原式=4-x≥54.2或35.D6.A7.B8.B9.(1)当a>b时,x>22ab ba b--;当a<b时,x<22ab ba b--(2)-1≤x≤2(3)提示:分x≤32、32<x≤4、x>4三种情况讨论,原不等式的解集为x≤0或x≥2(4)提示:ax-1<0,即ax<1,当a>0,解为x<1a;当a<0时,解为x>1a;当a=0时,解为一切数(5)当a+1≥2a-1,即a≤2时,原不等式组无解;若a+1<2a-1,即a>2时,原不等式组的解集为a+1<x<2a-1.10.m=1或m=3 提示:解方程组81621xmmym⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,由xy>⎧⎨>⎩得-1<m≤3.11.提示:由非负数性质求得a=2,b=5,原不等式组的解集为x<-3.12.(1)-1<x<12;无解;-1<x<1;(2)当k≤0时,不等式组的解集为-1<x<1; 当0<k<•2时,不等式组的解集为-1<x<1-k; 当k≥2时,不等式组的解集为空集.13.x<1345提示:(2m-n)x>m+5n,2m-n<0,51027m nm n+=-,m<0,13m=45n.14.当2<a≤3时,原式=3;当a≥3时,原式=2a-3.15.当x≤0时,│x│+x=-x+x=0,故x>0,此时(│x│+x)(2-x)=2x(2-x)<0,得2-x<0,即x>2.16.选B 提示:解得8<x<2-4a,由题意得12<2-4a≤13,故-114≤a<-52。