安徽省宣城市2019-2020学年高二期末考试理科数学试题 含答案

安徽省宣城市2020年高二第二学期数学期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．过点(,)e e -作曲线x y e x =-的切线，则切线方程为（ ）A ．2(1)y e x e =--+B ．2(1)y e x e =--C ．12(1)e e y e x e ++=--D ．1(1)e e y e x e +=--【答案】C【解析】【分析】 设出切点坐标00x x e （，），求出原函数的导函数，得到函数在0x x =时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得切线方程，代入已知点的坐标后求出切点的坐标，则切线方程可求．【详解】由x y e x =-，得1xy e '=-， 设切点为00x x e （，）， 则00|1x x x y e -'＝＝ ，∴切线方程为()0001()x x y e e x x ---＝ ，∵切线过点(),e e -，∴−e x 0＝e x 0(1−x 0)，解得：0e 1x =+ ．∴切线方程为111e e y ee x e ++-=--（） ，整理得：()121e e y e x e ++=--. 故选C.．【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．2．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( )A ．cos 2y x =，x ∈RB ．2log y x =，x ∈R 且x≠0C ．2x xe e y --=,x ∈R D ．3+1y x =，x ∈R【答案】B【解析】【分析】【详解】首先判断奇偶性：A,B为偶函数，C为奇函数，D既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C、D，对于先减后增，排除A，故选B.考点：函数的奇偶性、单调性.3．若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为( )A．( )B．()C．D．【答案】C【解析】【分析】由f（x）为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式．【详解】∵f（x）=是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）即整理可得，∴1﹣a•2x=a﹣2x∴a=1，∴f（x）=∵f（x））=＞3∴﹣3=＞0，整理可得，，∴1＜2x ＜2解可得，0＜x ＜1故选C ．【点睛】本题主要考查了奇函数的定义的应用及分式不等式的求解，属于基础试题．4．设集合{}12345U =，，，，，{}123A =，，， {}24B =，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{}4B ．{}24，C ．{}45，D ．{}1,34，【答案】A【解析】【分析】 阴影部分所表示的集合为：()B C A B I .【详解】由已知可得，阴影部分所表示的集合为：(){}4B C A B ⋂=.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的运算，属基础题.5．一位母亲根据儿子 39-岁身高的数据建立了身高()y cm 与年龄x (岁)的回归模型7.1973.93y x =+，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）A ．身高在145.83cm 左右B ．身高一定是145.83cmC ．身高在145.83cm 以上D ．身高在145.83cm 以下【答案】A【解析】【分析】由线性回归方程的意义得解.【详解】将10x =代入线性回归方程求得()7.191073.145.9383,cm y =⨯+=由线性回归方程的意义可知145.83cm 是预测值，故选A ．【点睛】本题考查线性回归方程的意义，属于基础题.6．已知n ，*m N ∈，n m ≥，下面哪一个等式是恒成立的（ ）A ．!!m n n C m =B ．!()!A m n n n m =- C ．111m m m n n n C C C --++= D ．111m m m n n n C C C -+++=【答案】B【解析】【分析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.【详解】由组合数的定义可知()!!!m n n C m n m =-，A 选项错误； 由排列数的定义可知()!!m n A n n m =-，B 选项正确； 由组合数的性质可知111r r r n n n C C C ++++=，则C 、D 选项均错误.故选B.【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.7．用数学归纳法证明11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 【答案】B【解析】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果.详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++,所以左边需添加的项是 11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.8．二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项等于（ ） A ．60B ．﹣60C ．15D ．﹣15 【答案】A【解析】【分析】化简二项式展开式的通项公式，由此计算0x 的系数，从而得出正确选项.【详解】 ()()6366216622r r r r r r r T Cx C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 当3602r -=时，即4r =，故常数项为()2456260T C =-=，选A. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题.9．已知曲线()y f x =在点()5(5),f 处的切线方程是80x y +-=，且()f x 的导函数为()f x '，那么()5f '等于A ．3B ．1C ．8-D ．1-【答案】D【解析】【分析】求出切线的斜率即可【详解】由题意切线方程是x+y ﹣8＝0，即y ＝8﹣x ，f'（5）就是切线的斜率，f′（5）＝﹣1，故选：D ．【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了某点处的切线斜率的求法，属于基础题．10．点的直角坐标为，则点的极坐标可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】 先判断点的位置，然后根据公式：，求出 ，根据点的位置，求出.【详解】 因为点的直角坐标为，所以点在第二象限. ，因为点在第二象限， 所以，故本题选D.【点睛】本题考查了点的直角坐标化为极坐标，关键是要知道点的具体位置.11．已知圆22(2):1E x y -+=与双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线相切，则C 的离心率为（ ）A 3B 23C 3D ．2【答案】B【解析】【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，根据圆心到切线的距离等于半径，求出,a b 的关系，进而得到双曲线的离心率，得到答案．【详解】 由题意，根据双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=． 根据圆22(2):1E x y -+=的圆心(2,0)到切线的距离等于半径1，可得221a b =+，整理得3b a =，即223b a =，又由222c a b =+，则2234c a =， 可得233c e a == 即双曲线的离心率为233． 故选：B ．【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．12．在平面直角坐标系中，不等式组 (r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝的最小值为( )A ．－1B ．－C ．D ．－【答案】D【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意，知，解得．因为目标函数表示区域内上的点与点连线的斜率加上1，由图知当区域内的点与点的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为，即，则有，解得或（舍），所以，故选D ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在全运会期间，4名志愿者被安排参加三个不同比赛项目的接待服务工作，则每个项目至少有一人参加的安排方法有____________．【答案】36【解析】【分析】由题意结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果.【详解】每个项目至少有一人参加，则需要有一个项目2人参加，其余的两个项目每个项目一人参加， 结合排列组合公式可知，满足题意的安排方法共有：()()12234236236C C A ⨯⨯=⨯⨯=种. 【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．14．已知32()3f x x x a =++（a 为常数），在[33]-，上有最小值3，那么在[33]-，上()f x 的最大值是 【答案】57【解析】试题分析：()()322()33632f x x x a f x x x x x =++∴=+=+'单调增区间为[][]3,2,0,3--减区间为[]2,0-，最大值为()32727357f =++=考点：函数导数与最值 15．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分別是,,a b c ，已知22,2(1sin )a b c b C ==-，则 C =_______.【答案】4π 【解析】化简已知等式可得sinC ＝1222c b-，又a ＝b ，由余弦定理可得：cosC ＝sinC ，利用两角差的正弦函数公式（C 4π-）＝0，结合范围C 4π-∈（4π-，34π），可求C 的值． 【详解】∵c 2＝2b 2（1﹣sinC ）， ∴可得：sinC ＝1222c b-， 又∵a ＝b ，由余弦定理可得：cosC 2222a b c ab+-==1222c b -=sinC ， ∴sinC ﹣cosC ＝0sin （C 4π-）＝0， ∵C ∈（0，π），可得：C 4π-∈（4π-，34π）， ∴C 4π-=0，可得：C 4π=． 故答案为4π 【点睛】本题主要考查了余弦定理，两角差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题．16．向量23⎛⎫⎪⎝⎭经过矩阵1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭变换后的向量是________ 【答案】13-⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ax by cx dy +⎛⎫= ⎪+⎝⎭即可求解。

2019-2020年高二下学期期末考试理数试题 含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面上表示的点位于 （ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知()(){}3,3,,202y M x y N x y ax y a x ⎧-⎫===++=⎨⎬-⎩⎭且，则 （ ）A ．-6或-2B ．-6C ．2或-6D ．2【答案】 【解析】试题分析：，若,则两直线平行，或直线过点两种情况，当平行时，，当过点时，代入，解得：，故先A.考点：1.集合的运算；直线的位置关系.3.已知具有线性相关的两个变量x,y 之间的一组数据如下：0 1 2 3 42.24.3t4.86.7且回归方程是,则t= （ ） A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.54.设是两个单位向量,其夹角为,则“”是“”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设集合,,从集合中任取一个元素,则这个元素也是集合中元素的概率是( )A. B. C. D.【答案】【解析】试题分析：，，，所以考点：1.解不等式；2.几何概型.6.下列四个结论：①若，则恒成立；②命题“若”的逆命题为“若”；③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；④命题“”的否定是“”.其中正确结论的个数是 ( )A.1个B.2个C.3个 D.4个7.已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴是( ) A． B． C． D．8.设随机变量X服从正态分布，则成立的一个必要不充分条件是（）A．或2 B．或2 C． D．【答案】【解析】试题分析：若等式成立，那么，解得，解得或，所以必要不充分条件是.考点：1.正态分布；2.必要不充分条件.9.用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…·（n+n）=2n·1·3·…·（2n－1）”，从“k到k+1”左端需增乘的代数式为（）A.2k+1B.2（2k+1）C.D.10.设，则的最小值为（）A. 2B.3C.4D.11.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标，若是3的倍数，则满足条件的点的个数为（）A．252 B．216 C．72 D．42【答案】【解析】试题分析：将集合分为：,,,若是3的倍数，那么3个集合各取3个数，共有,或各取1个，共,所以考点：排列12.设函数，则函数的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 7第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中，含项的系数为_________.（用数字作答）14.已知函数是上的奇函数，且为偶函数．若，则__________ 【答案】 【解析】试题分析：因为是偶函数，所以，所以函数关于对称，那么，所以函数满足，所以函数是的周期函数，所以 考点：函数的性质15.函数的图象存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是______.据此规律，第个等式可为____________________________________. 【答案】nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+- 【解析】试题分析：根据归纳推理，观察所得，等号左边，第行有个数字加减，等号有边，第行有个数字相加，并且是后个，所以，猜想第个等式是nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+-.考点：归纳推理三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题共10分）已知函数 （1）解关于的不等式;（2）若的解集非空，求实数的取值范围.考点：1.含绝对值不等式的解法；2.含绝对值不等式的性质.18.（本小题共12分）在极坐标系中，曲线23)3cos(:),0(cos 2=->=πθρθρl a a C ：,曲线C 与有且仅有一个公共点. （1）求的值；（2）为极点，A ，B 为C 上的两点，且，求的最大值.1 9.（本题满分12分）某中学一名数学老师对全班名学生某次考试成绩分男女生进行了统计（满分分），其中分（含分）以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：（I）根据以上两个直方图完成下面的列联表：（II）根据中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？（Ⅲ）若从成绩在的学生中任取人，求取到的人中至少有名女生的概率．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）【解析】试题分析：(Ⅰ)每一个小矩形的面积，表示此分数段的频率，频率=人数，将不同等级的燃烧，填入表格；（Ⅱ）根据表格，计算相关系数，根据表，得到结论；（Ⅲ）根据频率分布直方图得到成绩在的学生共有男生4人，女生2人，取到2人至少有1名女生的对立事件是2人都是男生，所以可以先按对立事件计算概率，然后用1减.试题解析：解：(1)成绩性别优秀不优秀总计男生13 10 23女生7 20 27总计20 30 50……………4分20.（本小题满分12分）如图，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，∥，，，．⑴证明：平面平面；⑵当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．【答案】(1)详见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)根据面面垂直的判定定理，线面垂直，则面面垂直，，所以证明平面,又可证明,得证；（2）第一步，要先证明点在什么位置时，体积最大，首先根据上一问的垂直关系，和即，可以判断与二面角的平面角互补二面角的余弦值为.…………………12分考点：1.面面垂直的判定定理；2.空间向量求二面角；3.基本不等式求最值.21.已知中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆过点,且它的离心率.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)与圆相切的直线交椭圆于两点,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(Ⅱ) 因为直线:与圆相切22.（本小题满分12分）已知函数，（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若k为正常数，设，求函数的最小值；（Ⅲ）若，证明：.【答案】(Ⅰ)的单调递增区间是，单调递减区间是;(Ⅱ)；（Ⅲ）详见解析.【解析】试题分析：利用导数考察函数的综合问题，（Ⅰ）第一步，求函数的导数，定义域，第二步，求函数的极值点，并判断导数的正负区间，即单调区间；（Ⅱ）首先求函数和函数的定义域，然后求函数的导。

2019-2020年高二期末考试数学（理科）注意事项：1．本试卷分为必答部分与选答部分．考试时间120分钟．2．必答部分分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分120分．3．请将必答部分中的第Ⅰ卷的答案填涂在答题卡上，第Ⅱ卷的解答写在答题卷上．在本试卷上答题无效．4．选答部分在四个模块中选两个模块作答．共2页，满分40分．必答部分 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 复数的共轭复数是 A ． B ． C ． D ．2． 下面是一个算法的伪代码．如果输入的x 的值是20，则输出的y 的值是A ．200B ．150C ．20D ．15 3． 已知向量a = (2，-1，3)，b = (-4，2，x )，且，则实数x 的值为A ．-2B ．2C ．D ． 4． 已知m ，n ∈R ，则“”是“方程表示双曲线”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 5． 用0，1，2，3，4五个数字，可组成无重复数字的三位偶数的个数是A ．48B ． 30C ．18D ．12 6． 已知，，若向区域内随机投一点， 则点落入区域的概率为A ．B ．C ．D ． 7． 设 则等于A ．B ．C ．D ．8． 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若1A A点P到直线BC的距离等于点P到直线C1D1的距离，则动点P的轨迹是A．线段B．圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分第Ⅱ卷（非选择题，共80分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷相应位置上．9．命题“R，”的否定是▲．10．在的展开式中，项的系数是▲．（用数字作答）11．观察下列等式：1 = 12，2 +3 +4 = 32，3 +4 +5 +6 +7 = 52，4 +5 +6 +7 +8 +9 + 10 = 72，……由此归纳，可得到一般性的结论是▲．12．在如下程序框图中，输入，则输出的是▲．三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．（本小题满分15分，第一小问满分7分，第二小问满分4分，第三小问满分4分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．（Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ）求的数学期望；（Ⅲ）求“所选3人中女生人数”的概率．14．（本小题满分15分，第一小问满分6分，第二小问满分9分）如图，在三棱锥中，侧面底面，且，，．（Ⅰ）求证SA⊥SC；（Ⅱ）在平面几何中，推导三角形内切圆的半径公式（其中l是三角形的周长，S是三角形的面积），常用如下方法（如右图）：①以内切圆的圆心O为顶点，将三角形ABC分割成三个小三角形：△OAB，△OAC，△OBC．②设△ABC三边长分别为a，b，c．由，得，则．类比上述方法，请给出四面体内切球半径的计算公式（不要求说明类比过程），并利用该公式求出三棱锥内切球的半径．C BASOC BA15．（本小题满分15分，第一小问满分6分，第二小问满分9分）设椭圆C：的左焦点为F1（-2，0），左准线l1与x轴交于N（-3，0），过点N 作倾斜角为30°的直线l 交椭圆于两个不同的点A，B．（Ⅰ）求直线l 及椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：点F1在以线段AB为直径的圆上．16．（本小题满分15分，第一小问满分7分，第二小问满分8分）已知函数，．（Ⅰ）若，求证：；（Ⅱ）求实数k的取值范围，使得方程有四个不同的的实数根．选答部分（共40分）从下面4组问题中任意选择2组作答，3组或4组都答的只计算前2组的得分．每小题5分．请在答题卷上答题．在本试卷上答题无效．1． 如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点， AE 交BC 于F ，则的值等于 A ． B ． C ． D ．2． 等边△DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC = 4，AH =，则△DEF 的边长为 A ．2 B ． C ． D ．3． 如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，∠APC 的角平分线交AC 于点Q ，则∠AQP 的大小为___▲___． 4． 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 外一点，且AC ＝AB ，BC 交⊙O 于点D ．已知BC ＝4，AD ＝6，则四边形ABDE 的周长为___▲___．5． 矩阵A ＝的逆矩阵为 A ． B ． C ． D ．6． 圆在矩阵A =对应的变换下，得到的曲线的方程是 A ． B ． C ． D ．7． 已知矩阵M 有特征值及对应的一个特征向量e 1＝，并有特征值及对应的一个特征向量e 2＝，则矩阵M ＝ ▲ ．8． 设a ，b ∈R ，若M ＝所定义的线性变换把直线l ：2x ＋y －7＝0变换成另一直线l ′：x ＋y－3＝0，则a ＋b ＝ ▲ ．9． 参数方程（θ为参数）表示的曲线为 A ．圆的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分10．在x 轴正向到y 轴正向的角为60°的斜坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A ，B ，则线段AB的长度为 A ． B ． C ．6 D ． 311．若直线 x + y = m 与圆 (φ为参数，m >0)相切，则m 为 ▲ ． 12．在极坐标系中，已知曲线C 的方程是，过极点作直线l 与极轴成60°角，设直线l 交曲线C于P ，Q 两点，则线段PQ 的长等于 ▲ ．FEDC B AH F ED CB A O QPC B AEO DC B A13．利用数学归纳法证明不等式（n>1，n N*）的过程中，用n = k+1时左边的代数式减去n = k时左边的代数式的结果为A．B．C．D．14．已知，设，，，则下列不等式正确的是A．B．C．D．15．已知x，y均为正实数，且，则的最小值等于▲．16．已知(其中k > 0)且的最大值是7，则k = ▲．苏州市xx －xx 学年度第二学期高二期末考试（理科）参考答案一、选择题二、填空题9．,10．2111．2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-12．． 三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．（本小题满分15分，第一小问满分7分，第二小问满分4分，第三小问满分4分） 解：（Ⅰ）可能取的值为0，1，2．由题意：， ．所以，的分布列为：（Ⅱ）解：由（Ⅰ），的数学期望为． （Ⅲ）解：由（Ⅰ），“所选3人中女生人数”的概率为134(1)(0)(1)555P PP ξξξ==+==+=≤．14．（本小题满分15分，第一小问满分6分，第二小问满分9分） （Ⅰ）过S 作SO ⊥AB ，垂足为O ， ∵侧面底面，∴底面． ∵SA = SB ，∴O 为AB 中点． 以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示． ∵，，， ∴，，∴A ，C ，S ． ∴，． 则．∴SA ⊥SC ．（Ⅱ）三棱锥内切球的半径公式为（其中V 为三棱锥的体积，S 为三棱锥的表面积）． 在Rt △SAB 中，SA = SB = 2，∴． 在Rt △ABC 中，AB = 2，AC =，∴BC = 2．∴．在Rt △SAC 中，SA = 2，AC =，∴SC =．∴． ，，，C∴，则BC ⊥SB ．在Rt △SBC 中，SB = 2，BC = 2．∴．又． ∴．15．（本小题满分15分，第一小问满分6分，第二小问满分9分）（Ⅰ）由题意，22222,3,,c ac a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩∴则椭圆C 的方程为．直线l 的方程为．（Ⅱ）椭圆C 的方程即为， 由得． 设A ，B ， 则 ∵，， ∴=． ∵，， ∴= ==．∴．∴点F 1在以线段AB 为直径的圆上．16．（本小题满分15分，第一小问满分7分，第二小问满分8分） （Ⅰ）令=， ． 当时，> 0 恒成立，∴在（1，+∞）上是增函数． ∵在x = 1 处连续，∴>． ∵= 0，∴当x ∈（1，+∞）时，> 0 恒成立． ∴． （Ⅱ）原方程化为, 令，则． ∵，∴是偶函数． 当x ≥0时，（x ≥0）， 则． ∵x ≥0，∴令，得． 当x ∈[0，1)，，G (x )单调递减； 当x ∈(1，+∞)，，G (x )单调递增． ∴x ≥0时，在x = 1处G (x )取得极小值为G (1) =． 又G (0) = 0，∴当k ∈(,0)时函数（x ≥0）与y = k 有两个不同的交点． ∵是偶函数， ∴=k 在k ∈(,0)时有四个不同的实数根． 选答部分从下面4组问题中任意选择2组作答，3组或4组都答的只计算前2组的得分．每小题5分．2．C3．135°4．6．C．7．8．9．D10．C11．2 12．13．C14．D．15．3 16．9。

)x 2019—2020学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷（理科）本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共40分） 注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．不等式25x x ≥的解集是A ．[0,5]B ．[5,)+∞C ．(,0]-∞D ．(,0][5,)-∞+∞2．已知一个数列的前四项为22221357,,,24816--，则它的一个通项公式为 A ．221(1)(2)nn n -- B ．1221(1)(2)n n n --- C ．221(1)2nn n -- D ．1221(1)2n nn --- 3．椭圆221625400x y +=的离心率为 A ．35B ．45C ．34D ．16254．函数f(x)的导函数'()f x 的图象如右图所示，则下列说法正确的是A ．函数()f x 在(2,3)-内单调递增B ．函数()f x 在(4,0)-内单调递减C ．函数()f x 在3x =处取极大值D ．函数()f x 在4x =处取极小值5．等差数列{}n a 的前n 项和12...n n S a a a =+++， 若1031S =，20122S =，则40S =A ．182B ．242C ．273D ．4846．长为3.5m 的木棒斜靠在石堤旁，木棒的一端在离堤足1.4m 的地面上，另一端在沿堤上2.8m 的地方，堤对地面的倾斜角为α，则坡度值tan α等于 A ．2315 B ．516 C ．23116 D ．1157．已知0,0a b >>，且1a b +=，则11ab a b++的最小值是A ．2B ．22C ．174D ．88．已知p ：函数2()1f x x mx =++有两个零点， q ：x R ∀∈，244(2)10x m x +-+>．若p q ∨为真，p q ∧为假，则实数m 的取值范围为A ．(,2)[3,)-∞-+∞B ．(,2)(1,2][3,)-∞-+∞C ．(1,2][3,)+∞D ．(,2)(1,2]-∞-第II 卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中的横线上） 9．等差数列8，5，2，…的第30项是 .10．经过点(1,3)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 .11．当x y 、满足不等式组11y xy x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2t x y =+的最小值是 .12．圆222()()x a y b r -+-=经过原点的一个充要条件是 .13．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线24y x =上，则这个正三角形的边长为 .14．物体沿直线运动过程中，位移s 与时间t 的关系式是2()3s t t t =+. 我们计算在t时刻的附近区间[,]t t t +∆内的平均速度()()s t t s t v t+∆-==∆ ，当t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于确定的值，即瞬时速度，由此可得到t 时刻的瞬时速度为 .三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）15．（13分）等比数列{}n a 的公比为q ，第8项是第2项与第5项的等差中项. （1）求公比q ；（2）若{}n a 的前n 项和为n S ，判断396,,S S S 是否成等差数列，并说明理由.16．（13分）已知某精密仪器生产总成本C （单位：万元）与月产量x （单位：台）的函数关系为1004C x =+，月最高产量为150台，出厂单价p （单位：万元）与月产量x 的函数关系为21125801800p x x =+-. （1）求月利润L 与产量x 的函数关系式()L x ；（2）求月产量x 为何值时，月利润()L x 最大？最大月利润是多少？17．（13分）第四届中国国际航空航天博览会于2010年11月在珠海举行，一次飞行表演中，一架直升飞机在海拔800m 的高度飞行，从空中A 处测出前下方海岛两侧海岸P 、Q 处的俯角分别是45°和30°（如右图所示）. （1）试计算这个海岛的宽度PQ .（2）若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸P 、Q 处同时测得飞机的仰角为45和30，他们估计P 、Q 两处距离大约为600m ，由此试估算出观测者甲（在P 处）到飞机的直线距离.18．（14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一直角梯形，其中,BA AD CD AD ⊥⊥，2,CD AD AB PA ==⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．（1）试用,,AD AP AB 表示BE ，并判断直线BE 与平面PAD 的位置关系； （2）若BE ⊥平面PCD ，求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值．19．（14分）已知函数3221()(2)3f x x ax a a x =-++，a R ∈.（1）当2a =-时，求()f x 在闭区间[]1,1-上的最大值与最小值；（2）若线段AB ：()2302y x x =+≤≤与导函数()y f x '=的图像只有一个交点，且交点在线段AB 的内部，试求a 的取值范围．20．（13分）过直角坐标平面xOy 中的抛物线()220y px p =>的焦点F 作一条倾斜角为4π的直线与抛物线相交于A 、B 两点.（1）求直线AB 的方程；（2）试用p 表示A 、B 之间的距离； （3）证明：AOB ∠的大小是与p 无关的定值.参考公式：()()()2222224A A B B A B A B A B x y x y x x x x p x x p ⎡⎤++=+++⎣⎦2019—2020学年度第一学期期末统一考试 数学试卷（理科）答案一、选择题：DDAB DA C B二、填空题：9. －79； 10. 22188y x -=； 11. －3； 12. 222a b r +=；13. 3 14. 613t t ++∆，61t +.三、解答题：15. 解：（1）由题可知，8252a a a =+， ……（1分） 即741112a q a q a q =+， ……（3分）由于10a q ≠，化简得6321q q =+，即63210q q --=， ……（4分）解得31q =或312q =-. 所以1q =或34q =. ……（6分）（2）当1q =时，3191613,9,6S a S a S a ===.易知396,,S S S 不能构成等差数列. ……（8分）当34q =即312q =-时，31113(1)13(1)11221a q a a S q q q -==+=---， 931119(1)19[1()]11281a q a a S q q q -==--=---，621116(1)13[1()]11241a q a a S q q q-==--=---.（11分）zy易知3692S S S +=，所以396,,S S S 能构成等差数列. ……（13分）16.解：（1）2321111()(25)(1004)21100801800180080L x px C x x x x x x x =-=+--+=-++-， 其中0150x <≤. ……（4分） （2）221111'()21(1512600)(120)(105)60040600600L x x x x x x x =-++=---=--+.…（6分）令'()0L x =，解得120x = （105x =-舍）. ……（7分）当(0,120)x ∈时，'()0L x >；当(120,150]x ∈时，'()0L x <. ……（9分） 因此，当120x =时，()L x 取最大值. …（10分）所以，月产量为120台时，月利润()L x 最大，最大月利润为(120)1640L =万元.…（13分）17. 解：（1）在Rt ACP ∆中，tan PCCAP AC=∠， 则800tan45800PC =⨯︒=. ……（3分） 在Rt ACQ ∆中，tan QCCAQ AC=∠， 则800tan 608003QC =⨯︒=……（5分） 所以，8003800PQ QC PC =-=（m ）. ……（6分）（2）在APQ ∆中，600PQ =，30AQP ∠=︒，453015PAQ ∠=︒-︒=︒. ……（7分） 根据正弦定理，得600sin30sin15PA =︒︒， ……（9分） 则600sin30600sin30300(62)sin(4530)sin 45cos30cos45sin3062PA ︒︒====︒-︒︒︒-︒︒-.…（13分）18. 解：设,AB a PA b ==，建立如图所示空间直角坐标系，(0,0,0),(,0,0)A B a ，(0,0,)P b ,(2,2,0),(0,2,0)C a a D a ，(,,)2bE a a . ……（2分）（1）(0,,)2b BE a =，(0,2,0),(0,0,)AD a AP b ==， 所以1122BE AD AP =+， ……（5分）BE ⊄平面PAD ，//BE ∴平面PAD . ……（7分）（2）BE ⊥平面PCD ，BE PC ∴⊥，即0BE PC ⋅=.(2,2,)PC a a b =-，22202b BE PC a ∴⋅=-=，即2b a =. ……（10分）(0,2,2),(,2,0)PD a a BC a a =-=， ……（11分）2cos ,PD BC <=，所以异面直线PD 与BC . ……（14分）19. 解：（1）当2a =-时，321()23f x x x =+. ……（1分） 求导得2()4(4)f x x x x x '=+=+. ……（2分） 令()0f x '=，解得：4x =-或0x =． ……（3分）列表如下： ……（6分）所以，()f x 在闭区间[]1,1-上的最大值是73，最小值是0． ……（7分） （2）22()22y f x x ax a a '==-++. ……（8分）联立方程组2222,2 3.y x ax a a y x ⎧=-++⎨=+⎩ ……（9分）得()2221230.x a x a a -+++-= ……（10分）设22()2(1)23g x x a x a a =-+++-，则方程()0g x =在区间()0,2内只有一根, 相当于(0)(2)0g g ⋅<，即()()2223230,a a a a +-⋅--< ……（12分）解得 31a -<<-或13a <<. ……（14分）20.解：（1）焦点(,0)2pF ，过抛物线焦点且倾斜角为4π的直线方程是2p y x =-. …（3分）（2）由222y pxp y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩22304p x px ⇒-+=23,4A B A B p x x p x x ⇒+==4A B AB x x p p ⇒=++=. ……（8分） （3）222222222cos 2AO BO ABx y x y x x y y AOB AO BO+-+++----∠==()22A B A B p p x x x x -++===……（12分） ∴AOB ∠的大小是与p 无关的定值. ……（13分）1题：教材《必修⑤》 P76 预备题 改编，考查一元二次不等式求解. 2题：教材《必修⑤》 P67 2（2）改编，考查写数列通项公式. 3题：教材《选修1-1》 P40 例4 改编，考查椭圆几何性质.4题：教材《选修1-1》 P98 第4题改编，考查利用导数研究函数性质. 5题：教材《必修⑤》 P44 例2改编，考查等差数列性质及前n 项和 6题：教材《必修⑤》 P16 习题改编，考查利用余弦定理解三角形 9题：教材《必修⑤》 P38 例1（1）改编，考查等差数列通项公式 10题：教材《选修1-1》 P54 A 组第6题改编，考查双曲线方程与性质 11题：教材《必修⑤》 P91 第1(1)题改编，考查线性规划问题 12题：教材《选修1-1》 P12 第4题改编，考查充要条件.13题：教材《选修1-1》 P64 B 组第2题改编，考查抛物线方程及性质 14题：教材《选修1-1》 P74 导数概念的预备题 改编，考查导数概念15题：教材《必修⑤》 P61 第6题 改编，考查等差数列、等比数列的通项与前n项和.16题：教材《选修1-1》 P104 第6题改编，考查导数的应用. 17题：教材《必修⑤》 P19 第4题改编，考查解三角形.。

安徽省宣城市2020年高二(下)数学期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知ABC ∆为等腰三角形，满足3AB AC ==，2BC =，若P 为底BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=A ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值42．()12nx+的展开式中各项系数之和为243，设()()()2220122111nnn xa a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，则3a =（ ） A ．120B ．120-C ．45D ．45-3．某校有6名志愿者，在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务，任务是组织游客参加“祝福祖国征集留言”、“欢乐世园共绘展板”、“传递祝福发放彩绳”三项活动，其中1人负责“征集留言”，2人负责“共绘展板”，3人负责“发放彩绳”，则不同的分配方案共有（ ） A ．30种B ．60种C ．120种D ．180种4．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说:“罪犯在 乙、丙、丁三人之中”；乙说:“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话， 且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁5．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC6．若抛物线2y 4x =,过其焦点F 的直线l 与抛物线交于A,B 两点,则2AF BF +的最小值为( ) A ．6B ．322+C ．9D ．322-7．下列命题中真命题的个数是（ ） ①x R ∀∈，42x x >；②若“p q ∧”是假命题，则,p q 都是假命题；③若“x R ∀∈，320x x -+≤”的否定是“x R ∃∈，3210x x -+>” A ．0 B ．1C ．2D ．38．设，则下列正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．31cm 2B ．31cm 3C ．31cm 6D ．31cm 1210．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，并且满足(3)(1)f x f x +=-，当23x ≤≤时，()f x x =，则(105.5f ）=（ ） A ．12B ．32C ．32-D ．5211．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有( )种. A ．36B ．30C ．12D ．612．对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和如下所示：33331123537911413151719==+=++=+++…，根据上述规律，317的分解式中，等号右边的所有数的个位数之和为（ ） A ．71B ．75C ．83D ．88二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在前人的基础上写了一部划时代的著作《圆锥曲线论》，该书给出了当时数学家们所研究的六大轨迹问题，其中之一便是“到两个定点的距离之比等于不为1的常数的轨迹是圆”，简称“阿氏圆”．用解析几何方法解决“到两个定点(00)O ，，(30)A ，的距离之比为12的动点M 轨迹方程是：22230x y x ++-=”，则该“阿氏圆”的圆心坐标是______，半径是_____．14．连续3次抛掷一枚质地均匀的硬币，在至少有一次出现正面向上的条件下，恰有一次出现反面向上的概率为 ．15．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，若A 为线段12F F 的一个三等分点，则该双曲线离心率的值为______．16．若方程2334x m x --=有实根，则实数m 的取值范围是______． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在二项式122nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中. （1）若展开式后三项的二项式系数的和等于67，求展开式中二项式系数最大的项； （2）若n 为满足812n <<的整数，且展开式中有常数项，试求n 的值和常数项. 18．已知函数2()2ln 5f x x x x =+-. （1）求(1)f '； （2）求()f x 的极值点.19．（6分）如图，在四棱锥P ABCD -中， / / , , A B C D A P A D E =是棱PD 的中点，且AE AB ⊥.（1）求证：CD ∥平面ABE ； （2）求证：平面ABE 丄平面PCD .20．（6分）己知抛物线C 的顶点在原点，焦点为(0,1)F ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）P 是抛物线C 上一点，过点P 的直线交C 于另一点Q ，满足PQ 与C 在点P 处的切线垂直，求PFQ ∆面积的最小值，并求此时点P 的坐标。

2019-2020学年安徽省宣城市数学高二第二学期期末预测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示正方形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点，则向正方形内随机掷一点P，该点落在阴影部分内的概率为（）A．18B．16C．15D．14【答案】D【解析】【分析】根据正方形的对称性求得阴影部分面积占总面积的比例，由此求得所求概率.【详解】根据正方形的对称性可知，阴影部分面积占总面积的四分之一，根据几何概型概率计算公式可知点落在阴影部分内的概率为14，故选D.【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，属于基础题.2．某班4名同学参加数学测试，每人通过测试的概率均为12，且彼此相互独立，若X为4名同学通过测试的人数，则D（X）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A【解析】【分析】由题意知X～B（4，12），根据二项分布的方差公式进行求解即可．【详解】∵每位同学能通过该测试的概率都是12，且各人能否通过测试是相互独立的，∴X～B（4，12），则X的方差D（X）＝412⨯⨯（112-）＝1，故选A．本题主要考查离散型随机变量的方差的计算，根据题意得到X ～B （4，12）是解决本题的关键． 3．设随机变量X 的分布列为P(X ＝i)＝a(13)i，i ＝1，2，3，则a 的值为( ) A ．1 B ．913C ．1113D ．2713【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列中所有概率和为1求a 的值. 【详解】 因为P(X ＝i)＝a(13)i ，i ＝1，2，3，所以11127()1392713a a ++=∴=，选D.【点睛】本题考查分布列的性质，考查基本求解能力. 4．已知集合2{|1213},{|0},x A x x B x x-=-≤+≤=≤，则A B 等于( ) A ．{|10}x x -≤< B ．{|01}x x ≤≤ C ．{|02}x x ≤≤D ．{|01}x x <≤【答案】D 【解析】分析：求出集合A ，B ，即可得到A B ⋂. 详解：2{|1213}{|11},{|0}{|02},x A x x x x B x x x x-=-≤+≤=-≤≤=≤=<≤ {|01}.A B x x ∴⋂=<≤故选D.点睛：本题考查两个集合的交集运算，属基础题.5．已知α∈R ，sin 2cos 2αα+=，则tan2α=( ) A ．43B ．34 C ．34-D ．43-【答案】C 【解析】 【分析】将sin 2cos αα+=两边同时平方，利用商数关系将正弦和余弦化为正切，通过解方程求出tan α，再利用二倍角的正切公式即可求出tan2α.()22222225sin 4sin cos 4cos sin 2cos =sin 4sin cos 4cos =2sin cos αααααααααααα++=++++再同时除以2cos α，整理得22tan 4tan 45tan 12ααα++=⇒+23tan 8tan 30αα--= 故tan 3α=或1tan 3α=-，代入22tan tan21tan ααα=-，得3tan 24α=-. 故选C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，考查了二倍角的正切公式以及平方关系，商数关系，属于基础题. 6．函数()y f x =在定义域3(,3)2-内可导，其图象如图所示，记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0f x '≤的解集为（ ）A ．1,1[2,3)3⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦B ．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．31,[1,2]22⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦ D ．3148,1,,32233⎛⎤⎡⎤⎡⎫--⋃⋃ ⎪⎥⎢⎥⎢⎝⎦⎣⎦⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据导数大于0时函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减，确定函数()f x 的单调性 【详解】解：由图象可知，即求函数的单调减区间， 从而有解集为1,1[2,3)3⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，解题的关键是识图，属于基础题．7．动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是 （ ）A ．22320x y x +++=B ．22320x y x +-+=C ．22320x y y +++=D ．22320x y y +-+=【答案】B 【解析】 【分析】设连线的中点为(,)P x y ,再表示出动点A 的坐标,代入圆221x y +=化简即可. 【详解】设连线的中点为(,)P x y ,则因为动点(,)A A A x y 与定点()3,0B 连线的中点为(,)P x y ,故3232202A A A A x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩ ,又A 在圆221x y +=上,故22(23)(2)1x y -+=, 即2222412941,412840x x y x x y -++=-++=即22320x y x +-+= 故选：B 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型.8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且以2为周期，当[0,1)x ∈时，()31x f x =-，则13(log 12)f 的值为（） A ．13- B ．13C ．53-D ．53【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得：1334(log 12)(log )3f f =-，代入()f x 中计算即可得到答案。

2019-2020学年安徽省宣城市高二（下）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.从某校高二1000名学生中采用等距离系统抽样的方法抽取10名学生作代表，学生的编号从000到999，若第一组中抽到的号码是003，则第三组中抽到的号码是()A. 023B. 033C. 203D. 3032.统计甲、乙两名篮球运动员在10场比赛得分，并绘制成如图所示的茎叶图，则甲、乙两位运动员得分数据中位数之差的绝对值是()A. 0B. 1C. 2D. 33.已知一组数据(1,2)，(3,5)，(6,8)，(x0,y0)的线性回归方程为ŷ=x+2，则x0−y0的值为()A. −3B. −5C. −2D. −14.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是()A. 至少有一个黑球与都是黑球B. 至少有一个黑球与至少有一个红球C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D. 至少有一个黑球与都是红球5.《周易》历来被人们视为儒家经典之首．它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“⚊”当做数字“1”，把阴爻“⚊”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如表：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤⚊0000震⚊0011坎⚊0102兑⚊0113以此类推，则六十四卦中的“益”卦，符号“”表示的十进制数是()A. 49B. 50C. 81D. 976.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则丁获得“手气最佳”(即丁领取的钱数大于其他任何人)的概率是()A. 34B. 13C. 310D. 257.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是158，则m的整数值为()A. 6B. 7C. 8D. 98.不等式x2−x−2<0成立的一个充分不必要条件是a<x<a2+1，则a的取值范围为()A. −1≤a≤1B. −1≤a<1C. −1<a<1D. −1<a≤19.已知点F1，F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，点P为C1和C2的一个公共点，且∠F1PF2=2π3，若e2=2，则e1的值是()A. √55B. √54C. 2√57D. 2√5510.已知函数f(x)=x+4x ，g(x)=2x+a，若∀x1∈[12,1]，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是()A. a≤1B. a≥1C. a≤2D. a≥211.二面角α−l−β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=BD=1，则CD的长等于()A. √2B. √3C. 2D. √512.已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，过点F1作直线l与圆x2+y2=a2相切于点A，且与双曲线的右支相交于点B，若A是BF1上的一个靠近点F1的三等分点，且|BF2|=10，则该双曲线方程为()A. x24−y26=1 B. x216−y210=2 C. x216−y236=1 D. x236−y264=1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“对任意x∈R，都有2x≤x”的否定是______．14.如图，风筝图案中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为______．15.双曲线C：x2a2−y23=1(a>0)的一条渐近线的倾斜角为60°，F1、F2为左、右焦点，若直线x=2与双曲线C交于点P，则△PF1F2的周长为______．16.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作倾斜角为45°的直线与该抛物线交于P，Q两点，P，Q在x轴上的射影分别为R，S.若梯形PRQS的面积为12，则p的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：方程x2m+2+y21−m=1表示焦点在y轴上的双曲线；命题q：不等式4x2>4(m+2)x−1恒成立．若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．18.某校从参加某次知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组后，得到频率分布直方图(如图)，观察图形中的信息，回答下列问题：(Ⅰ)补全频率分布直方图．并估计本次知识竞赛的均分；(Ⅱ)如果确定不低于85分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进入复赛；(Ⅲ)若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值大于20的概率．19.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，D是棱AA1的中点，且AC=AA1=2，BD=2√3．BC=12(Ⅰ)证明：平面BCD⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)求二面角A−BD−C1的大小．20.如图，已知圆E：(x+√3)2+y2=16，点P是圆E上任意一点，且F(√3,0)，线段PF的垂直平分线与半径PE相交于点Q．(Ⅰ)求动点Q的轨迹Γ方程；(Ⅱ)已知A，B，C是轨迹Γ的三个动点，A与B关于原点对称，且|CA|=|CB|，当△ABC的面积为8时，求点C的坐标．521.如图(1)，在梯形ABCD中，AB//CD，过A，B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F.若AB=AE=2，CD=5，DE=1，将梯形ABCD沿AE，BF折起，且平面ADE⊥平面ABFE(如图(2))．(1)证明：AF⊥BD．(2)若CF//DE，在线段AB上是否存在一点P，使得直线CP与平面ACD所成角？若存在，求出AP的值，若不存在，说明理由．的正弦值为√61822.已知抛物线C的顶点为坐标原点，准线方程为x=−1，过焦点F的直线1与抛物．线C相交于A，B两点，线段AB的中点为M，且k OM=√22(Ⅰ)求直线l的方程；(Ⅱ)若过T(4,0)且互相垂直的直线l1，l2分别与抛物线C交于P，Q，R，S四点，求四边形PRQS面积的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据系统抽样的定义样本间距为1000÷10=100， 则第三组第一位学生的编号为003+2×100=203， 故选：C ．根据系统抽样的定义和性质即可得到结论．本题主要考查系统抽样的应用，确定样本间距是解决本题的关键．比较基础．2.【答案】B【解析】解：由茎叶图可得甲的中位数为12(24+30)=27， 乙的中位数为12(26+30)=28，则甲、乙两位运动员得分数据中位数之差的绝对值是|28−27|=1， 故选：B根据茎叶图，结合中位数的定义分别求出中位数即可得到结论．本题主要考查茎叶图的应用，根据中位线的定义求出对应的中位数是解决本题的关键．3.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了线性回归直线的性质，回归直线必过样本的中心点．利用平均数公式计算样本中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可得答案． 【解答】解：由题意知x −=14(10+x 0)，y −=14(15+y 0)， ∵线性回归方程为ŷ=x +2， ∴14(15+y 0)=14(10+x 0)+2，解得：x0−y0=−3，故选：A．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】解：对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确；对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确；对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确；对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴D不正确．故选：C．5.【答案】A【解析】解：由题意类推，可知六十四卦中的“益”卦，符号“”表示的二进制数的110001，转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+1×25=49．故选：A．由二进制转化为十进制的方法，我们将各数位上的数字乘以其权重累加后，即可得到答案．本题考查的知识点是进制之间的转换，有理数的混合运算，解本题的关键是二进制与十进制间的转换关系，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：如下图，利用隔板法，得到共计有n=C52=10种领法，丁领3元获得“最佳手气”的情况有2种，丁领4元获得“最佳手气”的情况有1种，丁获得“手气最佳”(即丁领取的钱数大于其他任何人)的情况总数m=2+1=3，∴丁获得“手气最佳”(即丁领取的钱数大于其他任何人)的概率P=mn =310．故选：C．利用隔板法得到共计有n=C52=10种领法，丁领3元获得“最佳手气”的情况有2种，丁领4元获得“最佳手气”的情况有1种，由此能坟出丁获得“手气最佳”(即丁领取的钱数大于其他任何人)的概率．本题考查概率的求法，考查隔板法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+11×2+12×3+⋯+1k(k+1)=1+1−12+12−13+⋯+1k−1k+1=1+1−1k+1=1+k k+1=158，解得：k=7，故当k=8时，满足条件8>m，退出循环，输出S的值为158，可得m的整数值为7．故选：B．模拟程序的运行，算法的功能是求S=1+kk+1，判断当k=8时，程序运行终止，利用裂项相消法求出S值．本题考查了循环结构的程序框图，由框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：由不等式x 2−x −2<0，得−1<x <2．∵不等式x 2−x −2<0成立的一个充分不必要条件是a <x <a 2+1， ∴(a,a 2+1)⫋(−1,2)，则{a <a 2+1a ≥−1a 2+1≤2且a ≥−1与a 2+1≤2的等号不同时成立，解得−1<a ≤1． ∴a 的取值范围为−1<a ≤1． 故选：D ．求解一元二次不等式可得x 2−x −2<0的解集，再由题意得关于a 的不等式组求解． 本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，是基础题．9.【答案】D【解析】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c ，长半轴长为a 1，实半轴长为a 2， 即有e 1=ca 1，e 2=ca 2，设P 为第一象限的点，|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，由椭圆和双曲线的定义可得m +n =2a 1，m −n =2a 2， 解得m =a 1+a 2，n =a 1−a 2， 由∠F 1PF 2=2π3，可得4c 2=m 2+n 2−2mncos 2π3，即为4c 2=3a 12+a 22， 即有3e 12+1e 22=4，又e 2=2，∴e 1=2√55． 故选：D ．设椭圆和双曲线的半焦距为c ，长半轴长为a 1，实半轴长为a 2，运用离心率公式和椭圆、双曲线的定义，结合三角形的余弦定理，可得e 1与e 2的关系式，再由已知e 2的值求得e 1的值．本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查三角形的余弦定理的应用，考查化简运算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题考查了全称量词命题、存在量词命题，对勾函数，指数函数及其性质和函数的最值，属于中档题．利用全称量词命题、存在量词命题把问题转化为f(x)min≥g(x)min，再利用对勾函数得f(x)min=f(1)=5，再利用指数函数得g(x)min=g(2)=a+4，最后解不等式f(x)min≥g(x)min，计算得结论．【解答】解：因为∀x1∈[12,1]，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)成立，若函数f(x)在x∈[12,1]的最小值为f(x)min，函数g(x)在x∈[2,3]的最小值为g(x)min，所以f(x)min≥g(x)min．当x∈[12,1]时，因为对勾函数f(x)=x+4x是减函数，所以f(x)min=f(1)=5．而当x∈[2,3]时，g(x)=2x+a是增函数，所以g(x)min=g(2)=a+4．由5≥a+4解得：a≤1．故选A．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了利用空间向量求线段的长度，属于基础题．要求CD 的长，即求向量CD⃗⃗⃗⃗⃗ 的模，也就是求向量CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模，利用向量模的求法和数量积的运算即可求得．【解答】解：∵二面角α−l −β为120°，AC ⊥l ，BD ⊥l ，∴<AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120°，则<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°， 且CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2 =√12+12+12+2×1×1×cos60°=2．故选C ．12.【答案】C【解析】解：双曲线的右焦点为F 2，∵OA =a ，AF 1⊥OA ，OF 1=c ，∴AF 1=√c 2−a 2=b ，∴cos∠AF 1O =bc ，∵A 是BF 1上的一个靠近点F 1的三等分点，且|BF 2|=10，O 是FF′的中点，∴BF 1=3b ，F 1F 2=2c ，由双曲线的定义可知BF 1−BF 2=2a ，∴BF 2=3b −2a ，|BF 2|=10，在△BFF′中，由余弦定理可得BF 22=9b 2+4c 2−2⋅3b ⋅2c ⋅b c =4c 2−3b 2， ∴(3b −2a)2=4c 2−3b 2，整理可得b a =32，解得a =4，b =6，所以双曲线方程：x 216−y 236=1． 故选：C ．在△AFO 中计算AF ，cos∠AFO ，利用余弦定理计算BF′，根据双曲线的定义得出BF′，列方程得出a ，b ，c 的关系，从而可求出双曲线方程．本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．13.【答案】“若存在x0∈R，使得2x0>x0”【解析】解：命题“对任意x∈R，都有2x≤x”是全称命题，其否定为特称命题，为“若存在x0∈R，使得2x0>x0”.故答案为：“若存在x0∈R，使得2x0>x0”.直接写出全称命题的否定得答案．本题主要考查含有量词的命题的否定，是基础题．14.【答案】13【解析】解：设小等腰直角三角形的直角边长为a，则大等腰直角三角形的直角边长为√2a，∴风筝的面积S=4×12a2+4×12×(√2a)2=6a2．而阴影部分的面积为4×12a2=2a2．∴飞镖落在阴影部分的概率为P=2a26a2=13．故答案为：13．设小等腰直角三角形的直角边长为a，则大等腰直角三角形的直角边长为√2a，求出阴影部分的面积与风筝的面积，由测度比是面积比得答案．本题考查几何概型概率的求法，是基础的计算题．15.【答案】12【解析】解：双曲线C：x2a2−y23=1(a>0)的一条渐近线的倾斜角为60°，可得√3a=√3，解得a=1，双曲线C：x21−y23=1，直线x=2与双曲线C交于点P，不妨P在第一象限，所以y=3，P(2,3)，F1(−2,0)，F2(2,0)，PF1=5，PF2=3，则△PF1F2的周长为：5+3+4=12．故答案为：12．利用双曲线的渐近线的倾斜角，求出a ，得到双曲线方程，然后求解P 的坐标，即可求解△PF 1F 2的周长．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，是中档题．16.【答案】√3【解析】解：由题意可知直线方程：y =x −p 2，代入抛物线方程，可得x 2−3px +p 24=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得x 1+x 2=2p ，x 1x 2=p 24，所以|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√9p 2−p 2=2√2p ，过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点作倾斜角为45°的直线与该抛物线交于P ，Q 两点，P ，Q 在x 轴上的射影分别为R ，S.若梯形PRQS 的面积为12，所以12×(|x 1−x 2|)2=12，可得12×8p 2=12，解得P =√3．故答案为：√3．求出过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点作倾斜角为45°的直线方程，然后与该抛物线联立，利用韦达定理与三角形的面积转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查计算能力，是中档题．17.【答案】解：若命题p 为真命题，则{m +2<01−m >0，解得m <−2． 若命题q 为真命题，则△=16(m +2)2−16<0，解得−3<m <−1．又∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p ，q 中一真一假．若p 真q 假，则{m <−2m ≥−1或m ≤−3，解得m ≤−3； 若p 假q 真，则{m ≥−2−3<m <−1，解得−2≤m <−1． 综上，m ∈(−∞,3]∪[−2,−1)．【解析】由双曲线的定义列式求解m 的范围化简p ；利用判别式小于0求解m 的范围化简q.再由复合命题的真假判断得不等式组求解．本题考查双曲线的定义，恒成立问题的求解方法，考查复合命题的真假判断，是基础题．18.【答案】解：(1)设分数在[70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图得：(0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1，解得x=0.3，∴频率分布直方图如右图所示．均分为：45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，∴此次知识竞赛的均分为71分．(2)(0.05+0.252)×1000=175，∴不低于85的估计有175人．(3)设“所抽取的2人成绩之差的绝对值大于20”为事件M，第一组学生数：2人，第2组学生数：3人，第6组学生数：1人．设第1，2组为a，b，c，d，e，第6组学生为f，从中抽取2人，基本事件总数为15，分别为：{a,b}，{a,c}，{a,d}，{a,e}，{a,f}，{b,c}，{b,d}，{b,e}，{b,f}，{c,d}，{c,e}，{c,f}，[d,e}，{d,f}，{e,f}，事件M包含的基本事件有5种，分别为：{a,f}，{b,f}，{c,f}，[d,f}，{e,f}，∴所抽取的2人成绩之差的绝对值大于20的概率P(M)=515=13．【解析】【试题解析】本题考查平均分、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(1)先求出分数在[70,80)内的频率为0.3，从而补全频率分布直方图，由此能求出此次知识竞赛的均分．(2)由频率分布直方图的性质能求出不低于85的估计值．(3)设“所抽取的2人成绩之差的绝对值大于20”为事件M，第一组学生数：2人，第2组学生数：3人，第6组学生数：1人．设第1，2组为a，b，c，d，e，第6组学生为f，从中抽取2人，利用列举法能求出所抽取的2人成绩之差的绝对值大于20的概率．19.【答案】(Ⅰ)证明：在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥AB ，在Rt △DAB 中，由BD =2√3，AD =2，得AB =2√2，在△ABC 中，AC =BC =2，AB =2√2，则AC 2+BC 2=AB 2，∴AC ⊥BC ．又AA 1⊥平面ABC ，则AA 1⊥BC ，∵AA 1∩AC =A ，AA 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，则BC ⊥平面ACC 1A 1，又BC ⊂平面BCD ，则平面BCD ⊥平面ACC 1A 1；(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知，AC ⊥BC ，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CC 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A(2,0，0)，B(0,2，0)，D(2,0，2)，C 1(0,0，4)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,2)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,4)．设平面ABD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，由{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =−2x 1+2y 1=0BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =2x −2y +2z =0，取x =1，得n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)； 设平面BDC 1 的一个法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，由{BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =2x 2−2y 2+2z 2=0BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =−2y 2+4z 2=0，取x 2=1，得n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,2,1)． 则cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=1+2+0√2⋅√6=√32． 由图可知，二面角A −BD −C 1为钝角，∴二面角A −BD −C 1的大小为150°．【解析】(Ⅰ)在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥AB ，结合已知求得AB =2√2，在△ABC 中，利用勾股定理可得AC ⊥BC ，再由AA 1⊥BC ，利用直线与平面垂直的判定可得BC ⊥平面ACC 1A 1，从而得到平面BCD ⊥平面ACC 1A 1；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，AC ⊥BC ，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CC 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面ABD 的一个法向量与平面BDC 1 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A −BD −C 1的大小．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由圆E ：(x +√3)2+y 2=16，的方程可得圆心E 坐标(−√3,0)，半径为4， 连接QF ，由题意可得：|QF|=|QP|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4>|EF|=2√3， 由椭圆的定义可知，动点Q 的轨迹为以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆，即2a =4，2c =2√3，所以b 2=a 2−c 2=1，所以Q 的轨迹的方程为：x 24+y 2=1；(Ⅱ)i)当AB 为长轴或短轴时，由题意可得A ，B 为椭圆的左右顶点或上下顶点，则S △ABC =12⋅|OC|⋅|AB|=ab =2≠85；ii)当直线AB 的斜率存在且不为0时，设斜率为k ，由题意设直线AB 的方程为y =kx ，设A(x 1,y 1)，则B(−x 1,−y 1)，联立直线AB 与椭圆的方程{y =kx x 24+y 2=1，解得x 2=41+4k 2，y 2=4k 21+4k 2， 由|AC|=|BC|可得，△ABC 为等腰三角形，O 为AB 的中点，可知直线OC 的方程为y =−1k x ，则x C 2=4k 24+k 2，y C 2=44+k 2， 而|OA|2=x 2+y 2=41+4k 2+4k 21+4k 2=4(1+k 2)1+4k 2， |OC|2=4(1+k 2)4+k 2，所以S △ABC =2S △OAC =2⋅12⋅|OA|⋅|OC|=4(1+k 2)√(1+4k 2)(4+k 2)=85，解得k 2=1，即k =±1，所以C 的坐标为(2√55,2√55)，(2√55,−2√55)，(−2√55,2√55)，(−2√55,−2√55)， 综上所述：当△ABC 的面积为85时，点C 的坐标为(2√55,2√55)或(2√55,−2√55)或(−2√55,2√55)或(−2√55,−2√55).【解析】(Ⅰ)由中垂线的性质可得：|QF|=|QP|，进而可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4，由椭圆的定义可知，Q 的轨迹为椭圆，且求出椭圆的参数a ，b ，c 的值，进而求出Q 的轨迹方程；(Ⅱ)分A ，B 的斜率存在和不存在两种情况讨论，当AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程，与椭圆联立求出A ，B 的坐标，再由|CA|=|CB|可知OC ⊥AB ，可设直线OC 的方程，与椭圆联立求出C 的坐标，进而求出|OC|，|OA|的值，由S △ABC =2S △OAC 求出面积的表达式，再由题意可得C 的坐标．本题考查中垂线的性质及直线与椭圆的综合，及等腰三角形的性质，属于中档题，21.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵平面ADE ⊥平面ABFE ，DE ⊂平面ADE ，平面ADE ∩平面ABFE =AE ，DE ⊥AE ，∴DE ⊥平面ABFE ，又AF ⊂平面ABFE ，∴DE ⊥AF ， 又正方形ABFE 中，AF ⊥BE ，且BE ∩DE =E ，DE ⊂平面BDE ，BE ⊂平面BDE ，∴AF ⊥平面BDE ，∵BD ⊂平面BDE ，∴AF ⊥BD ．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，DE 、EA 、EF 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，∵CF//DE ，CF ⊥平面ABFE ，则A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,2，2)，D(0,0，1)，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，2)， 设平面ACD 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2x +z =0AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2x +2y +2z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−1,2)， 设P(2,t ，0)，且0≤t ≤2，则CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,t −2,−2)， 设直线CP 与平面ACD 所成角为θ∵在线段AB 上存在一点P ，使得直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值为√618， ∴sinθ=|n ⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2+2−t−4|√6⋅√8+(t−2)2=√618，解得t =1或t =−32(舍)． ∴AP =1．【解析】(Ⅰ)推导出DE ⊥AE ，DE ⊥AF ，从而AF ⊥平面BDE ，由此能求出AF ⊥BD ． (Ⅱ)由DE 、EA 、EF 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段AB 上存在一点P ，使得直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值为√618，且AP =1． 本题考查线线垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的点的位置的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)由题意设抛物线的方程为：y 2=2px(p >0)，由抛物线的准线方程x =−1可得−p 2=−1，所以p =2，所以抛物线的方程为：y 2=4x ，可得焦点F(1,0)，由题意直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x =my +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线l 的方程与抛物线的方程{x =my +1y 2=4x，整理可得y 2−4my −4=0，则y 1+y 2=4m ，x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2，所以线段AB 的中点M(2m 2+1,2m)，所以k OM =2m1+2m 2=√22，解得m =√22， 所以直线l 的方程为：x =√22y +1，即√2x −y −√2=0； (Ⅱ)由题意可得直线l 1，l 2的斜率存在且不为0，设直线l 1的方程为x =my +4，设P(x 3,y 3)，Q(x 4,y 4)，代入抛物线的方程y 2=4x 可得y 2−4my −16=0，则y 3+y 4=4m ，y 3y 4=−16，所以|PQ|=√1+m 2√(y 3+y 4)2−4y 3y 4=4√(1+m 2)(4+m 2)，同理可得|RS|=4√(1+1m 2)(4+1m 2)， 则S PRQS =12|PQ|⋅|RS|=8√(1+m 2)(4+m 2)(1+1m 2)(4+1m 2)=8√(2+m 2+1m 2)(17+4m 2+4m 2)，令t =m 2+1m 2≥2，则S =8√(2+t)(17+4t)=8√4t 2+25t +34，所以当t =2时，即m =±1，S 最小为80．即四边形PRQS 面积的最小值为80．【解析】(Ⅰ)由抛物线的准线方程可得抛物线的方程，进而可得焦点F 的坐标，设直线l 的方程与抛物线联立，求出两根之和，进而可得线段AB 的中点M 的坐标，求出直线OM 的斜率，由题意可得直线l 的参数的值，即求出直线l 的方程；(Ⅱ)由题意可得直线l 1，l 2的斜率存在且不为0，设直线l 1的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|PQ|的值，同理求出弦长|RS|的值，求出四边形PRQS 面积的表达式，换元，注意辅助元的取值范围，由二次函数的单调性求出四边形PRQS面积的最小值．本题考查抛物线的方程的求法及直线与抛物线的综合，及四边形面积的求法，和换元方法的应用，属于中档题．。

2020年安徽省宣城市数学高二第二学期期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知tan a =4,cot β=13,则tan （a +β）=（ ） A ．711B ．711- C ．713D ．713-2．若关于x 的不等式ln(1)e x x ax b ++≥+对任意的0x ≥恒成立，则,a b 可以是（ ） A ．0a =，2b = B ．1a =，2b = C ．3a =，1b = D ．2a =，1b =3．(2)(3)1i i i++=+（ ）A ．5B ．5iC ．6D ．6i4．复数1i1i-=+z ，则z ＝（ ） A ．0B ．12C ．1D ．25．已知函数()cos()0,||2f x A wx w πφφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中N ，P 的坐标分别为5,A 8π⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数f （x ）的单调递减区间不可能为（ ）A ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．73,88ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．921,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．933,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知()21cos 2f x x x =-,()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．7．函数cos y x =的最小正周期是（ ）8．从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为（ ） A ．B ．C ．D ．9．一物体的运动方程为212S at =-（a 为常数），则该物体在t t =0时刻的瞬时速度为（ ） A ．0atB ．0at -C ．012atD ．02at10．已知命题p ：∀x∈R，2x >0；q ：∃x 0∈R，x ＋x 0＝－1．则下列命题为真命题的是( ) A ．p∧q B ．(┐p)∧(┐q)C ．(┐p)∧qD ．p∧(┐q)11．179︒是（） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角12．在极坐标系中，圆cos 3ρθθ=的圆心的极坐标为（ ） A ．1,3π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,6π⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,6π⎛⎫-⎪⎝⎭二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设向量a v =（1,0），b v =（−1,m ）,若()a mab ⊥-vv v ，则m=_________.14．已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集为______．15．若命题“[]0,3x ∃∈，使得230x ax -+<成立”是假命题，则实数a 的取值范围是_______． 16．函数cos ()x f x x =，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大值是___． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．7人站成两排队列，前排3人，后排4人. （1）一共有多少种站法；（2）现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，求有多少种不同的加入方法.18．已知O 是平面直角坐标系的原点，双曲线22:1123Γ-=x y .（1）过双曲线Γ的右焦点1F 作x 轴的垂线，交Γ于A 、B 两点，求线段AB 的长；（2）设M 为Γ的右顶点，P 为Γ右支上任意一点，已知点T 的坐标为()0t ，，当PT 的最小值为MT 时，求t 的取值范围； 3u u u v u u u v u u u v19．（6分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22(sin sin )sin sin sin A B C A B +=+.（1）求C ；（2）若2,3a c ==，求ABC ∆的面积.20．（6分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0b c A a C --=． （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆的面积S 的最大值． 21．（6分）已知函数()22 f x x b x b =++-. (1)若1b =,解不等式()4f x >;(2)若不等式()1f a b >+对任意的实数a 恒成立，求b 的取值范围.22．（8分）某学校1800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50名学生组成一个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)……，第五组[17,18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）请估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数；（2）若成绩小于15秒认为良好，求该样本中在这次百米测试中成绩良好的人数； （3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数、平均数.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B【详解】试题分析：由题意得，tan tan 437tan()1tan tan 14311αβαβαβ+++===---⨯，故选B ．考点：两角和的正切函数． 2．D 【解析】 【分析】分别取0,1x x ==代入不等式，得到答案. 【详解】不等式()ln 1e xx ax b ++≥+对任意的0x ≥恒成立取0x =得：1b ≥取1x =得：ln 2e a b +≥+ 排除A,B,C 故答案为D 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，用特殊值法代入数据是解题的关键. 3．A 【解析】 【分析】由题，先根据复数的四则运算直接求出结果即可 【详解】 由题()()()2351 5.11i i i ii+++==++故选A 【点睛】本题考查了复数的运算，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，先化简复数，再由复数模的计算公式，即可求出结果. 【详解】所以1z =. 故选C 【点睛】本题主要考查复数的除法，以及复数的模，熟记公式即可，属于基础题型. 5．D 【解析】 【分析】利用排除法，根据周期选出正确答案． 【详解】根据题意，设函数()cos()f x A wx φ=+的周期为T ，则311534884T πππ=-=,所以 T π=.因为在选项D 中，区间长度为339388πππ-= ∴()f x 在区间933,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是单调减函数．所以选择D 【点睛】本题考查了余弦函数()cos()f x A wx φ=+的图象与性质的应用问题，解决此类问题需要结合单调性、周期等．属于中等题． 6．A 【解析】 【分析】先求得函数()f x 的导函数()'f x ，再对导函数求导，然后利用特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】 依题意()'sin fx x x =+，令()sin h x x x =+，则()'1cos h x x =+.由于()'00f =，故排除C 选项.由于()'01120h =+=>，故()'f x 在0x =处导数大于零，故排除B,D 选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查函数图像的识别，属于基础题. 7．C 【解析】 【分析】由角函数的周期公式，可得函数cos y x =的周期2T π=，又由绝对值cos y x =的周期减半，即为最小正周期为π，故选C ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的周期的计算，其中解答中熟记余弦函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算与求解能力，属于基础题． 8．A 【解析】此题考查的是排列组合思路：先从五双鞋中选出一双，有种。

2019-2020学年高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定3．（5分）数列{a n}、{b n}满足b n=2an（n∈N*），则“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等比数列”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件4．（5分）图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为a1、a2、a3、a4，其大小关系为（）A．a1＜a2＜a3＜a4，B．a2＜a1＜a3＜a4，C．a1＜a2＜a4＜a3，D．a2＜a1＜a4＜a35．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 7．（5分）在三角形ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么A等于（）A．30°B．60°C．120° D．150°8．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长都为2，E，F，G为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F 与面GEF成角的正弦值（）A．B．C．D．9．（5分）如图，已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．[，2+]B．[，]C．[，]D．[，+1] 10．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．1611．（5分）下列命题中，正确命题的个数是（）①命题“∃x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““∀x∈R，都有x3+1＞0”．②双曲线﹣=1（a＞0，a＞0）中，F为右焦点，A为左顶点，点B（0，b）且=0，则此双曲线的离心率为．③在△ABC中，若角A、B、C的对边为a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1，则a、c、b成等比数列．④已知，是夹角为120°的单位向量，则向量λ+与﹣2垂直的充要条件是λ=．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个12．（5分）设x∈R，对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界．若a，b∈R+，且a+b=1，则的上确界为（）A．﹣5 B．﹣4 C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．14．（5分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，共面，则λ=．15．（5分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n、T n，若=，则=．16．（5分）已知a＞b，且ab=1，则的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．18．（12分）已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1），（1）求抛物线C的方程；（2）过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若直线AO，BO分别与直线y=x﹣2交于M，N两点，求|MN|的取值范围．21．（12分）设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知双曲线x2﹣y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y=kx+m 与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）．（1）求k的取值范围，并求x2﹣x1的最小值；（2）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1•k2是定值吗？证明你的结论．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【分析】由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选B．【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．3．（5分）数列{a n}、{b n}满足b n=2an（n∈N*），则“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等比数列”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列和等差数列的定义进行判断即可．【解答】解：若数列{a n}是等差数列，设公差为d，则当n≥2时，=为非零常数，则数列{b n}是等比数列，若数列{b n}是等比数列，设公比为q，则当n≥2时，===q，则a n﹣a n﹣1=2q为常数，则数列{a n}是等差数列，则“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等比数列”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列和等差数列的定义是解决本题的关键．4．（5分）图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为a1、a2、a3、a4，其大小关系为（）A．a1＜a2＜a3＜a4，B．a2＜a1＜a3＜a4，C．a1＜a2＜a4＜a3，D．a2＜a1＜a4＜a3【分析】先根据椭圆越扁离心率越大判断a1、a2的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断a3、a4的大小，最后根据椭圆离心率大于0小于1并且抛物线离心率大于1可得到最后答案．【解答】解：根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜a1＜a2＜1根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜a3＜a4∴可得到a1＜a2＜a3＜a4故选A．【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的离心率大小的判断．考查对基础知识的理解和记忆．5．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A．B．C．D．【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．6．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．7．（5分）在三角形ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么A等于（）A．30°B．60°C．120° D．150°【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知的等式整理后代入求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：由（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，变形得：（b+c）2﹣a2=3bc，整理得：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理得：cosA==，又A为三角形的内角，则A=60°．故选B【点评】此题考查了余弦定理，利用了整体代入的思想，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．8．（5分）正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的棱长都为2，E ，F ，G 为 AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与面GEF 成角的正弦值（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】利用等体积，计算B 1到平面EFG 距离，再利用正弦函数，可求B 1F 与面GEF 成角的正弦值．【解答】解：取A 1B 1中点M ，连接EM ，则EM ∥AA 1，EM ⊥平面ABC ，连接GM ∵G 为A 1C 1的中点，棱长为∴GM=B 1C 1=1，A 1G ═A 1F=1，FG=，FE=，GE=在平面EFG 上作FN ⊥GE ，则∵△GFE 是等腰三角形，∴FN=，∴S △GEF =GE ×FN=， S △EFB1=S 正方形ABB1A1﹣S △A1B1F ﹣S △BB1E ﹣S △AFE =，作GH ⊥A 1B 1，GH=，∴V 三棱锥G ﹣FEB1=S △EFB1×GH=，设B 1到平面EFG 距离为h ，则V 三棱锥B1﹣EFG =S △GEF =， ∵V 三棱锥G ﹣FEB1=V 三棱锥B1﹣EFG ， ∴，∴h= 设B 1F 与平面GEF 成角为θ，∵B 1F=∴sinθ==∴B1F与面GEF所成的角的正弦值为．故选A．【点评】本题考查线面角，考查三棱锥的体积计算，考查转化思想，解题的关键是利用等体积计算点到面的距离．9．（5分）如图，已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．[，2+]B．[，]C．[，]D．[，+1]【分析】利用S△ABF =2S△AOF，先求出e2=，再根据α∈[，]，即可求出双曲线离心率的取值范围．【解答】解：设左焦点为F'，令|AF|=r1，|AF'|=r2，则|BF|=|F'A|=r2，∴r2﹣r1=2a，∵点A关于原点O的对称点为B，AF⊥BF，∴|OA|=|OB|=|OF|=c，∴r22+r12═4c2，∴r1r2=2（c2﹣a2）∵S△ABF =2S△AOF，∴r1r2═2•c2sin2α，∴r1r2═2c2sin2α∴c2sin2α=c2﹣a2∴e2=，∵α∈[，]，∴sin2α∈[，]，∴e2=∈[2，（+1）2]∴e∈[，+1]．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的灵活运用．10．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．16【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；由图象知y≤10﹣2x，则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（）2=，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，故选：A【点评】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）下列命题中，正确命题的个数是（）①命题“∃x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““∀x∈R，都有x3+1＞0”．②双曲线﹣=1（a＞0，a＞0）中，F为右焦点，A为左顶点，点B（0，b）且=0，则此双曲线的离心率为．③在△ABC中，若角A、B、C的对边为a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1，则a、c、b成等比数列．④已知，是夹角为120°的单位向量，则向量λ+与﹣2垂直的充要条件是λ=．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【分析】①利用命题的否定，即可判断其真假；②利用双曲线的离心率的性质可判断其正误，③将cosB=﹣cos（A+C）代入已知，整理可得sinAsinC=sin2B，再利用正弦定理可判断③的正误；④利用向量的坐标运算与向量垂直的性质可判断其正误．【解答】解：①命题“∃x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““∃x0∈R，使得+1≥0”，故①错误；②，依题意，F（c，0），A（﹣a，0），∵点B（0，b），∴=（a，b），=（c，﹣b），∵•=0，∴ac﹣b2=0，而b2=c2﹣a2，∴c2﹣ac﹣a2=0，两端同除以a2得：e2﹣e﹣1=0，解得e=或e=（舍去），故②正确；③，在△ABC中，∵A+B+C=180°，∴cosB=﹣cos（A+C），∴原式化为：cos2B﹣cos（A+C）+cos（A﹣C）=1，∴cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=1﹣cos2B，∵cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC，1﹣cos2B=2sin2B，∴sinAsinC=sin2B，由正弦定理得：b2=ac，故③a、c、b成等比数列错误；④，∵，是夹角为120°的单位向量，∴（λ+）⊥（﹣2）⇔（λ+）•（﹣2）=0⇔λ﹣2+（1﹣2λ）•=0⇔λ﹣2+（1﹣2λ）×1×1×（﹣）=0⇔2λ﹣2﹣=0，∴λ=．故④正确；综上所述，正确命题的个数是2个．故选B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题的否定，向量的坐标运算，考查余弦定理与正弦定理的综合应用，考查双曲线的性质，综合性强，属于难题．12．（5分）设x∈R，对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界．若a，b∈R+，且a+b=1，则的上确界为（）A．﹣5 B．﹣4 C．D．【分析】由题意可知，求的是的最小值，并且a，b＞0，a+b=1，由此想到利用1的整体代换构造积为定值．【解答】解：∵=+=++≥+2=，（当且仅当=，即a=，b=时取到等号）∴≤﹣（当且仅当=，即a=，b=时取到上确界）故选：D．【点评】这是一个常见的利用基本不等式求最值的问题，主要是利用题设构造积为定值的技巧．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为﹣1≤a≤3．【分析】先求出命题的否定，再用恒成立来求解【解答】解：命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是：““∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0”即：△=（a﹣1）2﹣4≤0，∴﹣1≤a≤3故答案是﹣1≤a≤3【点评】本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题．14．（5分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，共面，则λ=3．【分析】由于向量，共面，利用向量共面定理可得：存在唯一一对实数m，n使得，解出即可．【解答】解：∵向量，共面，∴存在唯一一对实数m，n使得，∴，解得．故答案为：3．【点评】本题考查了向量共面定理，属于基础题．15．（5分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n、T n，若=，则=．【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质及等差数列的前n项和，由等差数列中S2n=（2n﹣1）•a n，我们可得，，则=，代入﹣1若=，即可得到答案．=（2n﹣1）•a n，【解答】解：∵在等差数列中S2n﹣1∴，，则=，又∵=，∴=即=故答案为：【点评】在等差数列中，S2n=（2n﹣1）•a n，即中间项的值，等于所有项值的﹣1平均数，这是等差数列常用性质之一，希望大家牢固掌握．16．（5分）已知a＞b，且ab=1，则的最小值是2．【分析】将条件进行整理，然后利用基本不等式的解法即可得到结论．【解答】解：∵ab=1，a＞b，∴==a﹣b+，当且仅当a﹣b=，即a﹣b=时取等号，故的最小值是2，故答案为：2【点评】本题主要考查基本不等式的应用，将条件转化为基本不等式的形式是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S=bcsinA=．△ABC【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．18．（12分）已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．【分析】（1）若“p且q”是真命题，则p，q同时为真命题，建立条件关系，即可求m的取值范围；（2）根据q是s的必要不充分条件，建立条件关系，即可求t的取值范围．【解答】解：（1）若p为真：…（1分）解得m≤﹣1或m≥3…（2分）若q为真：则…（3分）解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（4分）若“p且q”是真命题，则…（6分）解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（7分）（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1…（8分）由q是s的必要不充分条件，则可得{m|t＜m＜t+1}⊊{m|﹣4＜m＜﹣2或m＞4}…（9分）即或t≥4…（11分）解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4…（12分）【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用数轴是解决本题的关键，考查学生的推理能力．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C ⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1），（1）求抛物线C的方程；（2）过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若直线AO，BO分别与直线y=x﹣2交于M，N两点，求|MN|的取值范围．【分析】（1）设抛物线的方程为x2=2py，由题意可得p=2，进而得到抛物线的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，代入抛物线方程，运用韦达定理，求得M，N的横坐标，运用弦长公式，化简整理，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可设抛物线的方程为x2=2py，由焦点为F（0，1），可得=1，即p=2，则抛物线的方程为x2=4y；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，代入x2=4y，得x2﹣4kx﹣4=0，x1+x2=4k，x1x2=﹣4，，由y=x﹣2和y=x联立，得，同理，所以=，令4k﹣3=t，t≠0，则，则，则所求范围为．【点评】本题考查抛物线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的能力，属于中档题．21．（12分）设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．（1）由条件可得n≥2时，，整理可得，【分析】故数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为，由此求得s n．再由求出{a n}的通项公式．（2）由（1）知，，用裂项法求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵，∴n≥2时，，展开化简整理得，S n﹣S n =2S n﹣1S n，∴，∴数列{}是以2为公差﹣1的等差数列，其首项为．∴，．由已知条件可得．（2）由于，∴数列{b n}的前n项和，∴．【点评】本题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，等差关系的确定，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．22．（12分）已知双曲线x2﹣y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y=kx+m 与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）．（1）求k的取值范围，并求x2﹣x1的最小值；（2）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1•k2是定值吗？证明你的结论．【分析】（1）由l与圆相切，知m2=1+k2，由，得（1﹣k2）x2﹣2mkx﹣（m2+1）=0，所以由此能求出k的取值范围和x2﹣x1的最小值．（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），，=．由此能证明k1•k2是定值．【解答】解：（1）∵l与圆相切，∴∴m2=1+k2（2分）由，得（1﹣k2）x2﹣2mkx﹣（m2+1）=0，∴，∴k2＜1，∴﹣1＜k＜1，故k 的取值范围为（﹣1，1）．（5分）由于，∵0≤k2＜1∴当k2=0时，x2﹣x1取最小值．（7分）（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），∴，∴=（10分）====，由m2﹣k2=1，∴为定值．（14分）【点评】本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．。