专题 1——利用定积分定义求极限
对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法：
① 是 n
时的极限
n
② 极限运算中含有连加符号
i 1
在定积分的定义中， 我们把区间 [ a, b] 平均分成 n 个小区间 （定积分的定义中是任意分割区间 [ a, b] ， 我们当然可以平均分割） ，那么每个小区间的长度为
b a
（即定义中的
x i ），这 n 个小区间分别为
n
[ a, a b a
] ， [ a b a
, a 2
b a
] ， [ a 2 b a , a 3 b a
] ， ， n n n n n
[ a (n 2)
b a
, a (n 1)
b a
] ，[ a ( n 1)
b a
, b] ，在定义中每个小区间上任意取的
i 我们
n
n
n
一致取为每个小区间的右端点
i
a
i
b
a （也可以取左端点 i
a
(i 1)
b a
），那么定义中
n n
n
f (
i
) x
i
n
f (a
i
b
a ) b
a ，那么 lim n
i
b
a )
b a f (x)dx 。（ 取
b
i 1
i 1
n n
n
i 1
n
n
a
n
1)
b
a )
b a
b
左端点时 lim
f (a (i
f ( x)dx ）
n
1
n
n
a
i
注意：定积分的定义中
0 表示的意思是把区间分割为无线个小区间
（ n
也表示把区间分割
成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用
n
来表示把区间分割成无数个小区间，这
里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了）
，当分割方式为均等分割时，
n
就
n
b a b a b
表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是
limf (a i
)
f ( x) dx ，而不是
n
n
n a
i 1
lim
n
i b a ) b
a
f ( x)dx 。
b 0 i 1
n n
a
1 f ( x) dx lim
1 如 f ( x) 在区间 [0,1] 上的积分可以表示为
n
n
n
i 1
f ( i
) —— i 取每个小区间的右端 n
1
lim
1 点，或者 f ( x)dx
n
n
n
i 1
i
1
f ( ) ——
i 取每个小区间的左端点。
n i 3
举例：求 lim
n 4
n
i 1
1 n
分析：函数 f (x)
x
3
x 3dx lim
在区间 [0,1] 上的定积分的定义可以表示为
n
i 1
1 ( i
) 3（这里 i 取 n n
1
n
lim
的是每个小区间的右端点） ，即 x 3dx
n
i 1
1 ( i ) 3
n i 3 lim
4 。所以 n n n
i 1
n
n
3
1
4
i
3
dx
x
|10 1
lim
4 x n
n 0
4 4
i 1
对于这个考点的考法应该不会很深 （这个方法经常在数学竞赛中用到） ，给出的极限应该可以化为某
个函数在区间 [0,1] 上的定积分，基于此，遇到这类题时，一定要把给出的极限化为如下形式：
n
lim
n
i 1
f ( i
) n
f ( i
n
1 1
lim
) 或者 lim
n n
n n i 1
n
n i 1
f (
i
1) n
1 1
lim n n
n n i 1
f ( i 1
) ，只要化为以上的几种
n
形式，那么给出的极限就是函数
f ( x) 在区间 [0,1] 上的积分，即
1
n f ( x)dx
lim
n
i 1
f ( i
) n
1 1
lim
n n
n n i 1
f ( i
)
n lim n n i 1
f ( i
1) n
1 1 lim
n n
n n i 1
i
1
f (
)
