高考数学向量运算与复数运算、算法、推理与证明

⾼考数学向量运算与复数运算、算法、推理与证明向量运算与复数运算、算法、推理与证明⾼考考点考点解读平⾯向量的运算及运⽤1.以平⾯图形为载体，借助向量考查数量关系与位置关系、向量的线性运算及⼏何意义2．以平⾯向量基本定理为出发点，与向量的坐标运算、数量积交汇命题3．直接利⽤数量积运算公式进⾏运算，求向量的夹⾓、模或判断向量的垂直关系复数的概念及运算1.复数的概念、纯虚数、复数相等、共轭复数等2．复数的⼏何意义及四则运算，重点考查复数的乘除运算程序框图1.主要考查程序框图的应⽤及基本算法语句，尤其是含循环结构的程序框图2．与分段函数的求值、数列求和或求积、统计等有规律的重复计算问题放在⼀起综合考查合情推理1.主要考查合情推理和演绎推理，重点考查归纳推理和类⽐推理2．以数表、数阵、图形等为背景与数列、周期性等数学知识相结合考查归纳推理本部分内容在备考时应注意以下⼏个⽅⾯：(1)加强对向量加法、减法的平⾏四边形法则与三⾓形法则的理解、掌握两向量共线与垂直的条件，熟记平⾯向量的相关公式，掌握求模、夹⾓的⽅法．(2)掌握复数的基本概念及运算法则，在备考时注意将复数化为代数形式再进⾏求解，同时注意“分母实数化”的运⽤．(3)关注程序框图和基本算法语句的应⽤与判别，尤其是含循环结构的程序框图要⾼度重视．(4)掌握各种推理的特点和推理过程，同时要区分不同的推理形式，对归纳推理要做到归纳到位、准确；对类⽐推理要找到事物的相同点，做到类⽐合，对演绎推理要做到过程严密．预测2020年命题热点为：(1)利⽤平⾯向理的基本运算解决数量积、夹⾓、模或垂直、共线等问题，与三⾓函数、解析⼏何交汇命题．(2)单独考查复数的四则运算，与复数的相关概念、复数的⼏何意义等相互交汇考查． (3)程序框图主要是以循环结构为主的计算、输出、程序框图的补全，与函数求值、⽅程求解、不等式求解数列求和、统计量的计算等交汇在⼀起命题．(4)推理问题考查归纳推理和类⽐推理，主要与数列、⽴体⼏何、解析⼏何等结合在⼀起命题．Z 知识整合hi shi zheng he1．重要公式(1)两个⾮零向量平⾏、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则①a ∥b ?a ＝λb (b ≠0，λ∈R )?x 1y 2－x 2y 1＝0. ②a ⊥b ?a ·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0. (2)复数的四则运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i(a ，b ，c ，d ∈R )． (a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i(a ，b ，c ，d ∈R )． (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0)．2．重要性质及结论(1)若a 与b 不共线，且λa ＋µb ＝0，则λ＝µ＝0.(2)已知OA →＝λOB →＋µOC →(λ，µ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋µ＝1.. (3)平⾯向量的三个性质①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.③设θ为a 与b (a ≠0，b ≠0)的夹⾓，且a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.(4)复数运算中常⽤的结论：①(1±i)2＝±2i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ；④－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，其中n ∈N *3．推理与证明 (1)归纳推理的思维过程实验、观察→概括、推⼴→猜测⼀般性结论 (2)类⽐推理的思维过程实验、观察→联想、类推→猜测新的结论 (3)(理)数学归纳法证题的步骤①(归纳奠基)证明当n 取第⼀个值n ＝n 0(n 0∈N *)时，命题成⽴；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成⽴，证明当n ＝k ＋1时，命题也成⽴．只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对于任何n ≥n 0的正整数都成⽴． Y 易错警⽰i cuo jing shi1．忽略复数的定义：在解决与复数概念有关的问题时，在运⽤复数的概念时忽略某⼀条件⽽致误． 2．不能准确把握循环次数解答循环结构的程序框图(流程图)问题，要注意循环次数，防⽌多⼀次或少⼀次的错误． 3．忽略特殊情况：两个向量夹⾓为锐⾓与向量的数量积⼤于0不等价；两个向量夹⾓为钝⾓与向量的数量积⼩于0不等价．1．(2018·全国卷Ⅰ，1)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( C ) A ．0 B ．12C ．1D ． 2[解析] ∵ z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，∴ |z |＝1. 故选C ．2．(2018·全国卷Ⅱ，1)1＋2i1－2i ＝( D )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i[解析] 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝1－4＋4i 1－(2i )2＝－3＋4i 5＝－35＋45i.故选D ．3．(2018·全国卷Ⅱ，4)已知向量a ，b 满⾜|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( B )A ．4B ．3C ．2D ．0[解析] a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . ∵ |a |＝1，a ·b ＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3. 故选B ．4．(2018·全国卷Ⅰ，6)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( A ) A ．34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →[解析] 作出⽰意图如图所⽰． EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 故选A ．5．(2018·北京卷，2)在复平⾯内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( D )A ．第⼀象限B ．第⼆象限C ．第三象限D ．第四象限 [解析]11－i ＝12＋i 2，其共轭复数为12－i2，对应点位于第四象限．故选D ．6．(2018·全国卷Ⅱ，7)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了如图所⽰的程序框图，则在空⽩框中应填⼊( B )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4[解析] 把各循环变量在各次循环中的值⽤表格表⽰如下. 循环次数①②③ …○50 N0＋11 0＋11＋130＋11＋ 13＋15 …0＋11＋13＋ 15＋…＋199 T0＋12 0＋12＋140＋12＋ 14＋16 …0＋12＋14＋ 16＋…＋1100 S1－12 1－12＋13－141－12＋13－ 14＋15－16…1－12＋13－14 ＋…＋199－1100因为N ＝N ＋1i ，由上表知i 是1→3→5，…，所以i ＝i ＋2.故选B ．7．(2018·天津卷，3)阅读如图所⽰的程序框图，运⾏相应的程序，若输⼊N 的值为20，则输出T 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 输⼊N 的值为20，第⼀次执⾏条件语句，N ＝20，i ＝2，Ni ＝10是整数，∴ T ＝0＋1＝1，i ＝3<5；第⼆次执⾏条件语句，N ＝20，i ＝3，N i ＝203不是整数，∴ i ＝4<5；第三次执⾏条件语句，N ＝20，i ＝4，Ni ＝5是整数，∴ T ＝1＋1＝2，i ＝5，此时i ≥5成⽴，∴输出T ＝2. 故选B ．8．(2018·天津卷，9)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝4－i.[解析]6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝20－5i5＝4－i.9．(2018·北京卷，9)设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝－1. [解析] a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )，则m a －b ＝(m ＋1，－m )．由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0，即m ＋1＝0，得m ＝－1.10．(2018·全国卷Ⅲ，13)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝12.[解析] 2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.命题⽅向1 平⾯向量的运算例1 (1)如图，正⽅形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋µBD →，则λ＋µ＝( B )A ．43B ．53C ．158D ．2[解析] ⽅法⼀：建⽴平⾯直⾓坐标系如图所⽰，设正⽅形的边长为2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，M (2,1)，D (0,2)，所以AC →＝(2,2)，AM →＝(2,1)，BD →＝(－2,2)．由AC →＝λAM →＋µBD →，得(2,2)＝λ(2,1)＋µ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2µ，λ＋2µ)，所以?2λ－2µ＝2，λ＋2µ＝2，解得λ＝43，µ＝13，所以λ＋µ＝53.故选B ．⽅法⼆：因为AC →＝λAM →＋µBD →＝λ(AB →＋BM →)＋µ(BA →＋AD →)＝λ(AB →＋12AD →)＋µ(－AB →＋AD →)＝(λ－µ)AB →＋(12λ＋µ)AD →，所以λ－µ＝1，12λ＋µ＝1，得λ＝43，µ＝13，所以λ＋µ＝53.故选B ．(2)在平⾏四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB →＝λAM →＋µDB →，则λµ＝29.[解析] 由图形可得：AM →＝AB →＋12AD →①，DB →＝AB →－AD →②，①×2＋②得：2AM →＋DB →＝3AB →，即AB →＝23AM →＋13DB →，所以λ＝23，µ＝13，所以λµ＝29.『规律总结』1．平⾯向量的线性运算要抓住两条主线：⼀是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；⼆是基于“数”，借助坐标运算来实现．2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、⽅程思想与转化思想的应⽤．提醒：运算两平⾯向量的数量积时，务必要注意两向量的⽅向． G 跟踪训练en zong xun lian1．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A ―→·PB ―→＝32.[解析] 圆⼼为O (0,0)，则3，∠OP A ＝∠OPB ＝π6，则∠APB＝π3，所以cos ∠APB ＝3·3·cos π3＝32.2．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(0,2)，若a ⊥(b －c )，则实数x 的值为( A ) A ．43B ．34C ．－34D ．－43[解析] 因为b －c ＝(x ，－4)，⼜a ⊥(b －c )，所以a ·(b －c )＝3x －4＝0，所以x ＝43.命题⽅向2 复数的概念与运算例2 (1)已知复数z 1＝3＋i1－i的实部为a ，复数z 2＝i(2＋i)的虚部为b ，复数z ＝b＋a i 的共轭复数在复平⾯内的对应点在( D )A ．第⼀象限D ．第四象限[分析] 先计算z 1、z 2求出a 、b ，再由共轭复数的定义求得z －，最后写出对应点的坐标． [解析] z 1＝3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋2i ，z 2＝i(2＋i)＝－1＋2i ，∴a ＝1，b ＝2，∴z ＝2＋i ，∴z －＝2－i 在复平⾯内的对应点(2，－1)在第四象限． (2)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2[解析] 因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，故选B ．(3)(2018·郑州质检⼆)设i 是虚数单位，复数z ＝2i1＋i ，则|z |＝( B )A ．1B ． 2C ． 3D ．2[解析] |z |＝2i 1＋i ＝22＝ 2. 『规律总结』1．解决复数的概念与运算问题，⼀般都是直接⽤运算法则求或⽤复数相等的条件求解．⼀般是先变形分离出实部和虚部，把复数的⾮代数形式化为代数形式．然后再根据条件，列⽅程或⽅程组．2．熟记复数表⽰实数、纯虚数的条件，复数相等的条件、共轭复数及复数的⼏何意义是解决复数问题的关键．G 跟踪训练en zong xun lian1．设复数z 满⾜1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( A )A ．1B ．2C ．3D ．2[解析] 因为1＋z 1－z ＝i ，所以z ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝i ，故|z |＝1.2．若复数z 满⾜z1－i＝1，其中i 为虚数单位，则z ＝( A )A ．1－iB ．1＋i[解析] 由z1－i＝i ，得z ＝i(1－i)＝1＋i ，z ＝1－i.3．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平⾯内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( A )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)[解析] 由已知可得复数z 在复平⾯内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以?m ＋3>0m －1<0，解得－3命题⽅向3 程序框图例3 (1)执⾏下⾯的程序框图，若输⼊的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出的x ，y 的值满⾜( C )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x[解析] 运⾏程序，第1次循环得x ＝0，y ＝1，n ＝2.第2次循环得x ＝12，y ＝2，n ＝3，第3次循环得x ＝32，y ＝6，此时x 2＋y 2≥36，输出x ，y ，满⾜C 选项．(2)执⾏如图所⽰的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填⼊的条件是( C )A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤2524[解析] 第⼀次：k ＝2，s ＝12；第⼆次：k ＝4，s ＝34；第三次：k ＝6，s ＝1112；第四次：k ＝8，s ＝2524；输出k ＝8，s ≤1112.『规律总结』解答程序框图问题的关注点(1)⾸先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，如累加求和、累乘求积、多次输⼊等有规律的科学计算中，都有循环结构．(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪⼀步结束循环；弄清循环体和输⼊条件、输出结果．(3)对于循环次数⽐较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前⼏次循环结果，找出规律．易错提醒：解答循环结构的程序框图(流程图)问题要注意输出循环次数的情况，防⽌多⼀次或少⼀次的错误．G 跟踪训练en zong xun lian1．根据如图所⽰的框图，对⼤于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( C )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －1[解析] 当S ＝1，i ＝1时，执⾏循环体，a 1＝2，S ＝2，i ＝2，若不满⾜条件i >N ，执⾏循环体，a 2＝4，S ＝4，i ＝3，若不满⾜条件i >N ，执⾏循环体，a 3＝8，S ＝8，i ＝4，若不满⾜条件i >N ，执⾏循环体，a 4＝16，S ＝16，i ＝5. …… 所以a n ＝2n .2．执⾏如图所⽰的程序框图．如果输⼊n ＝3，则输出的S ＝( B )A ．67B ．37C ．89D ．49[解析] 由题意得，输出的S 为数列{1(2n －1)(2n ＋1)}的前三项和，⽽1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，所以S n ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1，所以S 3＝37.命题⽅向4 合情推理例4 观察下列等式：sin π3－2＋sin 2π3－2＝43×1×2；sin π5－2＋sin 2π5－2＋sin 3π5－2＋sin 4π5－2＝43×2×3； sin π7－2＋sin 2π7－2＋sin 3π7－2＋…＋sin 6π7－2＝43×3×4； sin π9－2＋sin 2π9－2＋sin 3π9－2＋…＋sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，sin π2n ＋1－2＋sin 2π2n ＋1－2＋sin 3π2n ＋1－2＋…＋sin 2n π2n ＋1－2＝43n (n ＋1).[解析] 每组⾓的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和．因此答案为43n (n ＋1)．『规律总结』1．在进⾏归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从⽽归纳出⼀般结论．2．在进⾏类⽐推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类⽐，推导出类⽐对象的性质．3．归纳推理关键是找规律，类⽐推理关键是看共性． G 跟踪训练en zong xun lian(2018·湖北⼋校联考)祖暅(公元前5～6世纪)是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的⼉⼦．他提出了⼀条原理：“幂势既同，则积不容异．”这⾥的“幂”指⽔平截⾯的⾯积，“势”指⾼．这句话的意思是：两个等⾼的⼏何体若在所有等⾼处的⽔平截⾯的⾯积相等，则这两个⼏何体体积相等．设由椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)所围成的平⾯图形绕y 轴旋转⼀周后，得⼀橄榄状的⼏何体(如图)(称为椭球体)，课本中介绍了应⽤祖暅原理求球体体积公式的做法，请类⽐此法，求出椭球体体积，其体积等于4π3×b 2a .[解析] 椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，现构造两个底⾯半径为b ，⾼为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去⼀个以圆柱下底⾯圆⼼为顶点，圆柱上底⾯为底⾯的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2(π×b 2×a －π3×b 2a )＝4π3×b 2a .A 组1．(2017·全国卷Ⅱ，1)3＋i1＋i ＝( D )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i[解析]3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i.故选D ．2．(⽂)已知i 为虚数单位，则复数1－3i1＋i ＝( C )A ．2＋iB ．2－iC ．－1－2iD ．－1＋2i[解析]1－3i 1＋i＝(1－3i )(1－i )2＝－1－2i ，故选C ．(理)若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a 、b ∈R ，则|a ＋b i|＝( C ) A ．12＋iB ． 5C ．52D ． 54[解析] ∵(1＋2a i)i ＝－2a ＋i ＝1－b i ，∴a ＝－12，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝|－12－i |＝(－12)2＋(－1)2＝52. 3．(2018·济南⼆模)已知数列{a n }，观察如图所⽰的程序框图，若输⼊a 1＝1，d ＝2，k ＝7，则输出的结果为( C )A ．49B ．511C ．613D ．715[解析] 由题中程序框图知，输出S ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋111×13＝12×(1－13＋13－15＋…＋111－113)＝613. 4．设向量a ，b 满⾜|a ＋b |＝20，a ·b ＝4，则|a －b |＝( C ) A ． 2 B ．2 3 C ．2D ． 6[解析] 向量的数量积．∵|a ＋b |＝20，a ·b ＝4，∴|a ＋b |2－|a －b |2＝4a ·b ＝16，∴|a －b |＝2，故选C ．5．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( B ) A ． 5 B ．10 C ．2 5D ．10[解析] ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴x －2＝0，∴x ＝2，∴a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10.6．(2018·⼤连⼀模)某种树的分枝⽣长规律如图所⽰，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( D )A ．21B ．34C ．52D ．55[解析] 由题意可得，这种树从第⼀年的分枝数分别是1,1,2,3,5，…则2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3，即从第三项起，每⼀项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数是21＋34＝55.故选D ．7．下⾯框图所给的程序运⾏结果为S ＝28，那么判断框中应填⼊的关于k 的条件是( D )A ．k ＝8?B ．k ≤7?C ．k <7?D ．k >7?[解析] 开始→k ＝10，S ＝1，满⾜条件→S ＝1＋10＝11，k ＝10－1＝9，满⾜条件→S ＝11＋9＝20，k ＝9－1＝8，满⾜条件→S ＝20＋8＝28，k ＝8－1＝7.由于输出S 的值为28，故k ＝7不再满⾜条件，故选D ．8．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则EB →＋FC →＝( A ) A ．AD → B ．12AD → C ．BC →D ．12BC →[解析] 如图，EB →＋FC →＝－12(BA →＋BC →)－12(CB →＋CA →)＝－12(BA →＋CA →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.选A ．9．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成⽴的是( B ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 [解析] 由|a ·b |＝||a |·|b |·cos θ|，因为－1≤cos θ≤1，所以|a ·b |≤|a ||b |恒成⽴；由向量减法的⼏何意义结合三⾓形的三边关系可得|a －b |≥||a |－|b ||，故B 选项不成⽴；根据向量数量积的运算律C ，D 选项恒成⽴．10．36的所有正约数之和可按如下⽅法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述⽅法，可求得200的所有正约数之和为( C )A ．201B ．411C ．465D ．565[解析] 200的所有正约数之和可按如下⽅法得到：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)·(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正约数之和为465.11．设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平⾯内对应的点位于实轴上，则a ＝－1. [解析] (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，所以a ＋1＝0，a ＝－1. 12．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则|2a ＋3b |等于4 5.[解析] 由a ∥b ?m ＋4＝0，解得m ＝－4，故2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，因此|2a ＋3b |＝(－4)2＋(－8)2＝4 5.13．已知△ABC 的⾯积为23，且B ＝2π3，则AB →·BC →＝4.[解析] 设△ABC 的三⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则S ＝12ac sin B ＝34ac ＝23，即ac ＝8，AB →·BC →＝|AB →||BC →|·cos(π－B )＝ca cos π3＝8×12＝4.14．执⾏下边的程序框图，若输⼊的x 的值为1，则输出的y 的值为13.[解析] 第⼀次执⾏程序，满⾜条件x ＜2，x ＝1＋1＝2；第⼆次执⾏程序，不满⾜条件x ＜2，y ＝3×22＋1＝13，输出y ＝13，结束．答案为13.15．(2018·聊城⼀模)观察等式：f (13)＋f (23)＝1；f (14)＋f (24)＋f (34)＝32；f (15)＋f (25)＋f (35)＋f (45)＝2；f (16)＋f (26)＋f (36)＋f (46)＋f (56)＝52；…由以上⼏个等式的规律可猜想f (12 019)＋f (22 019)＋f (32 019)＋…＋f (2 0182 019)＝1_009.[解析] 从所给四个等式看：等式右边依次为1，32，2，52，将其变为22，32，42，52，可以得到右边是⼀个分数，分母为2，分⼦与左边最后⼀项中⾃变量的分⼦相同，所以f (12 019)＋f (22 019)＋f (32 019)＋…＋f (2 0182 019)＝2 0182＝1 009.B 组1．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝2＋b i ，若z 2z 1为实数，则实数b 等于( D )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[解析] z 2z 1＝2＋b i 1＋i ＝(1－i )(2＋b i )2＝(2＋b )＋(b －2)i2，若其为实数，则有b －22＝0，解得b ＝2.2．(⽂)(2018·⽯景⼭检测)已知复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i ，若z 是纯虚数，则实数a 等于( B )A ．2B ．1C ．0D ．－1[解析] ∵z 为纯虚数，∴?a 2－1＝0，a ＋1≠0，∴a ＝1.(理)已知复数z 1＝1＋i ，z 2＝a ＋i ，若z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为( B ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2[解析] ∵z 1·z 2＝(a －1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，∴?a －1＝0a ＋1≠0，∴a ＝1. 3．(2017·全国卷Ⅱ，4)设⾮零向量a ，b 满⾜|a ＋b |＝|a －b |，则( A ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥bD ．|a |>|b |[解析] ⽅法⼀：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b . ∴a ·b ＝0. ∴a ⊥b . 故选A ．⽅法⼆：利⽤向量加法的平⾏四边形法则．在?ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →|，∴|AC |＝|DB | 从⽽四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A ．4．执⾏如图所⽰的程序框图，若输⼊的a 值为1，则输出的k 值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 输⼊a ＝1，则b ＝1，第⼀次循环，a ＝－11＋1＝－12，k ＝1；第⼆次循环，a ＝－11－12＝－2，k ＝2；第三次循环，a ＝－11－2＝1，此时a ＝b ，结束循环，输出k ＝2.故选B ．5．(2018·潍坊⼀模)若复数z ＝m (m －1)＋(m －1)(m －2)i 是纯虚数，其中m 是实数，i 2＝－1，则1z等于( D )A ．12B ．－12C ．i 2D ．－i 2[解析] 因为复数z ＝m (m －1)＋(m －1)·(m －2)i 是纯虚数，所以m (m －1)＝0且(m －1)(m －2)≠0，所以m ＝0，则1z ＝12i ＝－i 2.6．设向量a ，b 满⾜|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则|a －t b |(t ∈R )的最⼩值为( A )A ．32 B ．12C ．1D ．2[解析] 由于|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，于是|a ＋b |2＝1，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝1，即a ·b ＝－12.|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝(1＋t 2)－2t a ·b ＝t 2＋t ＋1≥34，故|a －t b |的最⼩值为32.7．如图所⽰将若⼲个点摆成三⾓形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N )个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 018a 2 019＝( C )A ．2 0152 016B ．2 0162 017C ．2 0172 018D ．2 0182 019[解析] 每条边有n 个点，所以三条边有3n 个点，三⾓形的3个顶点都被重复计算了⼀次，所以减3个顶点，即a n ＝3n －3，那么9a n a n ＋1＝9(3n －3)×3n ＝1(n －1)n ＝1n －1－1n，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 018a 2 019＝(11－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…(12 017－12 018)＝1－12 018＝2 0172 018.故选C ． 8．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执⾏该程序框图，若输⼊的x ＝2，n ＝2，依次输⼊的a 为2,2,5，则输出的s ＝( C )A ．7B ．12。

高考微点二 复数、平面向量与算法牢记概念公式，避免卡壳1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )概念(1)分类：当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数.(2)z 的共轭复数z －＝a －b i. (3)z 的模|z |＝a 2＋b 2. 2.复数的四则运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； (a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ； (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0). 3.平面向量的有关运算(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a ∥b a ＝λb . 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ba ·b ＝0|a ＋b |＝|a －b |.(2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 4.算法的三种基本逻辑结构(1)顺序结构；(2)条件结构；(3)循环结构.活用结论规律，快速抢分1.复数的几个常用结论 (1)(1±i)2＝±2i ； (2)1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ；(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.2.复数加减法可按向量的三角形、平行四边形法则进行运算.3.z ·z －＝|z |2＝|z －|2. 4.三点共线的判定 三个点A ，B ，C 共线AB→，AC →共线；向量P A →，PB →，PC →中三终点A ，B ，C 共线存在实数α，β使得P A →＝αPB→＋βPC →，且α＋β＝1.5.向量的几个常用结论(1)在△ABC 中，P A →＋PB →＋PC →＝0P 为△ABC 的重心. (2)在△ABC 中，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →P 为△ABC 的垂心. (3)在△ABC 中，向量λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心. (4)在△ABC 中，|P A →|＝|PB→|＝|PC →|P 为△ABC 的外心.高效微点训练，完美升级1.1＋2i 1－2i 等于( ) A.－45－35i B.－45＋35i C.－35－45iD.－35＋45i 解析 1＋2i1－2i ＝（1＋2i ）2（1－2i ）（1＋2i ）＝1－4＋4i1－（2i ）2＝－3＋4i 5＝－35＋45i. 答案 D2.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为( ) A.矩形 B.菱形 C.直角梯形D.等腰梯形解析 因为AB →＝DC →，即一组对边平行且相等，AC →·BD →＝0，即对角线互相垂直；所以该四边形ABCD 为菱形.答案 B3.(2019·“顶尖计划”天一联考)已知复数z 满足1z ＝iz ＋1，则|z |＝( )A.12B.1C.22D.12解析 由题设得z ＋1＝z i ，∴z ＝1i －1＝－1－i （－1＋i ）（－1－i ）＝－1－i 2，则|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.答案 C4.已知向量a ＝(2，1)，b ＝(3，4)，c ＝(1，m )，若实数λ满足a ＋b ＝λc ，则λ＋m 等于( ) A.5 B.6 C.7D.8解析 由平面向量的坐标运算法则可得a ＋b ＝(5，5)， λc ＝(λ，λm )，据此有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，λm ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，m ＝1，∴λ＋m ＝6.答案 B5.(2019·郑州调研)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件. 答案 A6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( )A.1B.2C.3D.4解析 运行程序，N i ＝10是整数，T ＝1，i ＝3；N i ＝203不是整数，i ＝4；Ni ＝5是整数，T ＝2，i ＝5，退出循环.输出T 的值为2. 答案 B7.图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 所表示的复数z 满足(z 1－i)·z ＝1，则复数z 1＝( )A.－25＋45iB.25＋45iC.25－45iD.－25－45i解析 由图得z ＝2＋i ，则(z 1－i)(2＋i)＝1，所以z 1＝i ＋12＋i ＝25＋45i.答案 B8.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC →解析 如图所示，EB→＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →.答案 A9.(2019·河南百校大联考)已知复数z ＝4＋b i1－i (b ∈R )的实部为－1，则b ＝( ) A.－5 B.5 C.6D.－6解析 由z ＝4＋b i1－i ＝（4＋b i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝4－b ＋（4＋b ）i 2的实部为－1，得4－b2＝－1，得b ＝6. 答案 C10.(2019·湖南三湘名校联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i ，则以下为真命题的是( )A.z 的共轭复数为75－4i5 B.z 的虚部为85 C.|z |＝3D.z 在复平面内对应的点在第一象限 解析 ∵z ＝3＋2i 2－i＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i 5，∴z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限.答案 D11.为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了如下的程序框图，则在空白框中应填入( )A.i ＝i ＋1B.i ＝i ＋2C.i ＝i ＋3D.i ＝i ＋4解析 由题意知S ＝N －T ，所以N ＝1＋13＋15＋…＋199，T ＝12＋14＋…＋1100， S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋199－1100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋15＋…＋199－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋1100， 所以空白框中应填入i ＝i ＋2. 答案 B12.在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM→的值为( )A.－15B.－9C.－6D.0解析 连接OA .在△ABC 中，BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3(ON →－OA →)－3(OM →－OA→)＝3(ON →－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6. 答案 C13.(2019·永州二模)已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，|2a －b |＝1，则|a |＝________.解析 由题意得a ·b ＝|a |×1×12＝|a |2， 又|2a －b |＝1，∴|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4|a |2－2|a |＋1＝1， 即4|a |2－2|a |＝0，又|a |≠0， 解得|a |＝12. 答案 1214.已知z ＝1＋i ，则2z －z 2的共轭复数是________.解析 ∵z ＝1＋i ，∴2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）－2i＝1－i －2i ＝1－3i ， ∴2z －z 2的共轭复数是1＋3i. 答案 1＋3i15.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________.解析 因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上，所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB→＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＝1，则2xy ≤x 2＋y 2＝1. 又(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2， 故x ＋y 的最大值为 2. 答案216.公元263年左右，我国数学家刘徽发现：当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为________(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5，3≈1.732).解析 n ＝6，S ＝12×6sin 60°＝332≈2.598<3.1，执行循环体. n ＝12，S ＝12×12sin 30°＝3<3.1，执行循环体. n ＝24，S ＝12×24sin 15°≈3.105 6>3.1，满足条件.∴输出n 的值为24. 答案 24。

第二讲 算法、复数、推理与证明考点一 复数的概念与运算1．复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类项，不含i 的看作另一类项，分别合并同类项即可．2．复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i 的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．3．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ；(2)i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ；(3)i 4n＋i4n ＋1＋i 4n ＋2＋i4n ＋3＝0.[对点训练]1．(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A ．0 B ．12 C ．1D ． 2[解析] ∵z ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝1－2i －12＋2i ＝i ，∴|z |＝1，故选C ．[答案] C2．(2018·安徽安庆二模)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( )A ．15－35i B ．15＋35i C ．13－i D ．13＋i [解析] 由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝(1－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝15－35i ，∴z －＝15＋35i.故选B ．[答案] B3．(2018·安徽马鞍山二模)已知复数z 满足z i ＝3＋4i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由z i ＝3＋4i ，得z ＝3＋4i i ＝(3＋4i )(－i )－i 2＝4－3i ，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(4，－3)，该点位于第四象限．故选D ．[答案] D4．(2018·江西师大附中、临川一中联考)若复数z ＝1＋i 1－i ，z －为z 的共轭复数，则(z －)2017＝( )A ．iB ．－iC ．－22017iD ．22017i[解析] 由题意知z ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝i ，可得z －＝－i ，则(z －)2017＝[(－i)4]504·(－i)＝－i.故选B ．[答案] B[快速审题] (1)看到题目的虚数单位i ，想到i 运算的周期性；看到z ·z －，想到公式z ·z －＝|z |2＝|z －|2.(2)看到复数的除法，想到把分母实数化处理，即分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用乘法法则化简．复数问题的解题思路以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．考点二 程序框图1．当需要对研究的对象进行逻辑判断时，要使用条件结构，它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构．2．注意直到型循环和当型循环的本质区别：直到型循环是先执行再判断，直到满足条件才结束循环；当型循环是先判断再执行，若满足条件，则进入循环体，否则结束循环．3．循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等． [对点训练]1．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则常数a 的值为( )A ．4B ．2C ．12D ．－1[解析] S 和n 依次循环的结果如下：S ＝11－a ，n ＝2；S ＝1－1a ，n ＝4.所以1－1a＝2，a ＝－1.故选D ．[答案] D2．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] 根据程序框图，程序执行中的数据变化如下：n ＝12，i ＝1；n ＝6，i ＝2；6≠5；n ＝3，i ＝3；3≠5；n ＝10，i ＝4；10≠5；n ＝5，i ＝5；5＝5成立，程序结束，输出i ＝5.故选B ．[答案] B3．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4[解析] S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋15＋…＋199－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋1100，当不满足判断框内的条件时，S ＝N －T ，所以N ＝1＋13＋15＋…＋199，T ＝12＋14＋…＋1100，所以空白框中应填入i ＝i ＋2.故选B ．[答案] B4．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值是________．[解析] 由程序框图可知，n ＝1，S ＝0；S ＝cos π4，n ＝2；S ＝cos π4＋cos 2π4，n ＝3；…；S ＝cosπ4＋cos 2π4＋cos 3π4＋…＋cos 2014π4＝251⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋cos 2π4＋…＋cos 8π4＋cosπ4＋cos2π4＋…＋cos 6π4＝251×0＋22＋0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋(－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋0＝－1－22，n ＝2015，输出S .[答案] －1－22[快速审题] (1)看到循环结构，想到循环体的结构；看到判断框，想到程序什么时候开始和终止．(2)看到根据程序框图判断程序执行的功能，想到依次执行n 次循环体，根据结果判断． (3)看到求输入的值，想到利用程序框图得出其算法功能，找出输出值与输入值之间的关系，逆推得输入值．求解程序框图2类常考问题的解题技巧(1)程序框图的运行结果问题先要找出控制循环的变量及其初值、终值．然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件．(2)程序框图的填充问题最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法是创造参数的判断条件为“i >n ？”或“i <n ？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可．考点三 推理与证明1．归纳推理的思维过程实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论 2．类比推理的思维过程实验、观察―→联想、类推―→猜测新的结论[对点训练]1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩[解析] 由题意可知，“甲看乙、丙的成绩，不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩．故选D ．[答案] D2．(2018·山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y＋2z ＋3＝0的距离为( )A ．3B ．5C ．5217D ．3 5[解析] 类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5，故选B ． [答案] B3．(2018·安徽合肥模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝ 223，338＝ 338，4415＝ 4415，5524＝ 5524，…，则按照以上规律，若99n＝99n具有“穿墙术”，则n ＝( )A ．25B ．48C ．63D ．80[解析] 由 2 23＝ 223，3 38＝ 338，4 415＝ 4415，5 524＝ 5524，…， 可得若9 9n＝99n具有“穿墙术”，则n ＝92－1＝80，故选D ．[答案] D[快速审题] 看到由特殊到一般，想到归纳推理；看到由特殊到特殊，想到类比推理．(1)破解归纳推理题的思维3步骤①发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)； ②归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；③检验，得结论：对所得的一般性命题进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．(2)破解类比推理题的3个关键①会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；②会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想； ③会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力．1．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i 1－2i ＝( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i[解析] 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝－3＋4i 5＝－35＋45i ，故选D ．[答案] D2．(2018·浙江卷)复数21－i (i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i[解析] ∵21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，∴21－i的共轭复数为1－i. [答案] B3．(2018·北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．12 B ．56 C ．76D ．712[解析] k ＝1，s ＝1；s ＝1＋(－1)1×11＋1＝1－12＝12，k ＝2,2<3；s ＝12＋(－1)2×11＋2＝12＋13＝56，k ＝3，此时跳出循环，∴输出56.故选B ． [答案] B4．(2018·天津卷)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( )A．1 B．2C．3 D．4[解析]第一次循环T＝1，i＝3；第二次循环T＝1，i＝4；第三次循环T＝2，i＝5，满足条件i≥5，结束循环．故选B．[答案] B5．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是________．[解析]由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则乙的卡片上的数字是2和3，甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则乙的卡片上的数字是2和3，此时，甲的卡片上的数字只能是1和2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.[答案]1和31.高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识，题目多出现在第1～3题的位置，难度较低，纯属送分题目．2．高考对算法的考查，每年平均有一道小题，一般出现在第6～9题的位置上，难度中等偏下，均考查程序框图，热点是循环结构和条件结构，有时综合性较强，其背景涉及数列、函数、数学文化等知识．3．在全国课标卷中很少直接考查“推理与证明”，特别是合情推理，而演绎推理，则主要体现在对问题的证明上．热点课题2 数学归纳法的应用[感悟体验]已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－4a n ＋3，数列{b n }满足b n ＝1a n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{b n }的通项公式；(2)证明：1b 21＋1b 22＋…＋1b 2n<7.[解] (1)由a 1＝1，得b 1＝12；由a 1＝1，得a 2＝0，b 2＝1； 由a 2＝0，得a 3＝－13，b 3＝32；由a 3＝－13，得a 4＝－12，b 4＝2，由此猜想b n ＝n2.下面用数学归纳法加以证明： ①当n ＝1时，b 1＝12符合通项公式b n ＝n 2；②假设当n ＝k (k ∈N ，k ≥1)时猜想成立， 即b k ＝1a k ＋1＝k 2，a k ＝2k－1， 那么当n ＝k ＋1时a k ＋1＝a k －1a k ＋3＝2k －1－12k－1＋3＝1－k 1＋k，b k ＋1＝1a k ＋1＋1＝11－k 1＋k＋1＝k ＋12，即n ＝k ＋1时猜想也能成立，综合①②可知，对任意的n ∈N *都有b n ＝n2.(2)证明：当n ＝1时，左边＝1b 21＝4<7不等式成立；当n ＝2时，左边＝1b 21＋1b 22＝4＋1＝5<7不等式成立；当n ≥3时， 1b 2n＝4n 2<4n (n －1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，左边＝1b 21＋1b 22＋…＋1b 2n <4＋1＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝5＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＝7－4n <7，不等式成立．专题跟踪训练(八)一、选择题1．已知z ＝1＋2i ，则复数2iz －2的虚部是( ) A ．25 B ．－25C ．25i D ．－25i[解析]2i z －2＝2i －1＋2i ＝2i (－1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )＝45－25i ，该复数的虚部为－25.故选B ． [答案] B2．若复数z ＝1＋2i ，则4iz z －－1等于( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i[解析]4i z z －－1＝4i(1＋2i )(1－2i )－1＝i.故选C ． [答案] C3．已知z (3＋i)＝－3i(i 是虚数单位)，那么复数z 对应的点位于复平面内的( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[解析] z ＝－3i 3＋i＝－3i (3－i )(3＋i )(3－i )＝－3－3i 4＝－34－3i4，z 对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－34位于复平面内的第三象限．故选C ．[答案] C4．(2018·大连模拟)下列推理是演绎推理的是( )A ．由于f (x )＝c cos x 满足f (－x )＝－f (x )对任意的x ∈R 都成立，推断f (x )＝c cos x 为奇函数B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜出数列{a n }的前n 项和的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质[解析] 由特殊到一般的推理过程，符合归纳推理的定义；由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，符合类比推理的定义；由一般到特殊的推理符合演绎推理的定义．A 是演绎推理，B 是归纳推理，C 和D 为类比推理，故选A ．[答案] A5．(2018·江西南昌三模)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x＝3，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s ＝( )A．8 B．17C．29 D．83[解析]根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值．模拟程序的运行过程：输入的x＝3，n＝2，当输入的a为2时，s＝2，k＝1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，s＝8，k＝2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，s＝29，k＝3，满足退出循环的条件．故输出的s的值为29.故选C．[答案] C6．用反证法证明命题：“已知a，b是自然数，若a＋b≥3，则a，b中至少有一个不小于2”．提出的假设应该是( )A．a，b至少有两个不小于2B．a，b至少有一个不小于2C．a，b都小于2D．a，b至少有一个小于2[解析]根据反证法可知提出的假设为“a，b都小于2”．故选C．[答案] C7．(2018·广东汕头一模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A ．56B ．54C ．36D ．64[解析] 模拟程序的运行，可得：第1次循环，c ＝2，S ＝4，c <20，a ＝1，b ＝2；第2次循环，c ＝3，S ＝7，c <20，a ＝2，b ＝3；第3次循环，c ＝5，S ＝12，c <20，a ＝3，b ＝5；第4次循环，c ＝8，S ＝20，c <20，a ＝5，b ＝8；第5次循环，c ＝13，S ＝33，c <20，a ＝8，b ＝13；第6次循环，c ＝21，S ＝54，c >20，退出循环，输出S 的值为54.故选B ．[答案] B8．(2018·广东茂名一模)执行如图所示的程序框图，那么输出的S 值是( )A ．12B ．－1C ．2008D ．2[解析] 模拟程序的运行，可知S ＝2，k ＝0；S ＝－1，k ＝1；S ＝12，k ＝2；S ＝2，k ＝3；…，可见S 的值每3个一循环，易知k ＝2008对应的S 值是第2009个，又2009＝3×669＋2，∴输出的S 值是－1，故选B ．[答案] B9．(2018·湖南长沙模拟)如图，给出的是计算1＋14＋17＋…＋1100的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )A ．i >100，n ＝n ＋1B ．i <34，n ＝n ＋3C ．i >34，n ＝n ＋3D ．i ≥34，n ＝n ＋3[解析] 算法的功能是计算1＋14＋17＋…＋1100的值，易知1,4,7，…，100成等差数列，公差为3，所以执行框中(2)处应为n ＝n ＋3，令1＋(i －1)×3＝100，解得i ＝34，∴终止程序运行的i 值为35，∴判断框内(1)处应为i >34，故选C ．[答案] C10．(2018·武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁[解析]由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．[答案] B11．(2018·昆明七校调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出S的值为1，则判断框内为( )A．i>6? B．i>5?C．i≥3? D．i≥4?[解析]依题意，执行程序框图，进行第一次循环时，S＝1×(3－1)＋1＝3，i＝1＋1＝2；进行第二次循环时，S＝3×(3－2)＋1＝4，i＝2＋1＝3；进行第三次循环时，S＝4×(3－3)＋1＝1，i＝4，因此当输出的S的值为1时，判断框内为“i≥4？”，选D．[答案] D12．(2018·吉林一模)祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④[解析] 设截面与底面的距离为h ，则①中截面内圆的半径为h ，则截面圆环的面积为π(R 2－h 2)；②中截面圆的半径为R －h ，则截面圆的面积为π(R －h )2；③中截面圆的半径为R －h 2，则截面圆的面积为π(R －h2)2；④中截面圆的半径为R 2－h 2，则截面圆的面积为π(R 2－h 2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，选D ．[答案] D 二、填空题13．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．[解析] ∵(1－2i)(a ＋i)＝2＋a ＋(1－2a )i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ≠0，2＋a ＝0，解得a ＝－2.[答案] －214．如图是一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为________．[解析] 前15行共有15(15＋1)2＝120(个)数，故所求的数为a 122＝12×122－1＝1243.[答案]124315．(2018·河南三市联考)执行如图所示的程序框图，如果输入m ＝30，n ＝18，则输出的m 的值为________．[解析] 如果输入m ＝30，n ＝18，第一次执行循环体后，r ＝12，m ＝18，n ＝12，不满足输出条件；第二次执行循环体后，r ＝6，m ＝12，n ＝6，不满足输出条件；第三次执行循环体后，r ＝0，m ＝6，n ＝0，满足输出条件，故输出的m 值为6.[答案] 616．“求方程⎝ ⎛⎭⎪⎫513x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1213x ＝1的解”，有如下解题思路：设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫513x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1213x ，则f (x )在R 上单调递减，且f (2)＝1，所以原方程有唯一解x ＝2，类比上述解题思路，可得不等式x 6－(x ＋2)>(x ＋2)3－x 2的解集是________．[解析] 因为x 6－(x ＋2)>(x ＋2)3－x 2，所以x 6＋x 2>(x ＋2)3＋(x ＋2)，所以(x 2)3＋x 2>(x ＋2)3＋(x ＋2)．令f (x )＝x 3＋x ，所以不等式可转化为f (x 2)>f (x ＋2)．因为f (x )在R 上单调递增，所以x 2>x ＋2，解得x <－1或x >2.故原不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．[答案] (－∞，－1)∪(2，＋∞)。

2020高考数学复习:第二讲算法、复数、推理与证明考点一复数的概念与运算1．复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可．2．复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．3．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i；(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；(3)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.[对点训练]1．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝()A．0 B.12C．1 D. 2[解析]∵z＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＋2i＝1－2i－12＋2i＝i，∴|z|＝1，故选C.[答案] C2．(2018·安徽安庆二模)已知复数z满足：(2＋i)z＝1－i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为()A.15－35i B.15＋35iC.13－iD.13＋i[解析] 由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝(1－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝15－35i ，∴z －＝15＋35i ，故选B.[答案] B3．(2018·安徽马鞍山二模)已知复数z 满足z i ＝3＋4i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由z i ＝3＋4i ，得z ＝3＋4i i ＝(3＋4i )(－i )－i 2＝4－3i ，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(4，－3)，该点位于第四象限，故选D.[答案] D4．(2018·江西师大附中、临川一中联考)若复数z ＝1＋i 1－i，z －为z 的共轭复数，则(z －)2017＝( )A ．iB ．－iC ．－22017iD ．22017i[解析] 由题意知z ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝i ，可得z －＝－i ，则(z －)2017＝[(－i)4]504·(－i)＝－i ，故选B.[答案] B[快速审题] (1)看到题目的虚数单位i ，想到i 运算的周期性；看到z ·z －，想到公式z ·z －＝|z |2＝|z －|2.(2)看到复数的除法，想到把分母实数化处理，即分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用乘法法则化简．复数问题的解题思路以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．考点二程序框图1．当需要对研究的对象进行逻辑判断时，要使用条件结构，它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构．2．注意直到型循环和当型循环的本质区别：直到型循环是先执行再判断，直到满足条件才结束循环；当型循环是先判断再执行，若满足条件，则进入循环体，否则结束循环．3．循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等．[对点训练]1．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则常数a的值为()A．4 B．2 C.12D．－1[解析]S和n依次循环的结果如下：S＝11－a，n＝2；S＝1－1a，n＝4.所以1－1a ＝2，a ＝－1，故选D.[答案] D2．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] 根据程序框图，程序执行中的数据变化如下：n ＝12，i ＝1；n ＝6，i ＝2；6≠5；n ＝3，i ＝3；3≠5；n ＝10，i ＝4；10≠5；n ＝5，i ＝5；5＝5成立，程序结束，输出i ＝5，故选B.[答案] B3．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4[解析] S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋15＋ (199)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋1100，当不满足判断框内的条件时，S ＝N －T ，所以N ＝1＋13＋15＋…＋199，T ＝12＋14＋…＋1100，所以空白框中应填入i ＝i ＋2，故选B.[答案] B4．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值是________．[解析] 由程序框图可知，n ＝1，S ＝0；S ＝cos π4，n ＝2；S ＝cos π4＋cos 2π4，n ＝3；…；S ＝cos π4＋cos 2π4＋cos 3π4＋…＋cos 2014π4＝251⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋cos 2π4＋…＋cos 8π4＋cos π4＋cos 2π4＋…＋cos 6π4＝251×0＋22＋0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋(－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋0＝－1－22，n ＝2015，输出S .[答案] －1－22[快速审题] (1)看到循环结构，想到循环体的结构；看到判断框，想到程序什么时候开始和终止．(2)看到根据程序框图判断程序执行的功能，想到依次执行n 次循环体，根据结果判断．(3)看到求输入的值，想到利用程序框图得出其算法功能，找出输出值与输入值之间的关系，逆推得输入值．求解程序框图2类常考问题的解题技巧(1)程序框图的运行结果问题先要找出控制循环的变量及其初值、终值．然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件．(2)程序框图的填充问题最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法是创造参数的判断条件为“i >n ？”或“i <n ？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可．考点三推理与证明1．归纳推理的思维过程实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论2．类比推理的思维过程实验、观察―→联想、类推―→猜测新的结论[对点训练]1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由题意可知，“甲看乙、丙的成绩，不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩，故选D.[答案] D2．(2018·山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x＋2y＋2z＋3＝0的距离为()A．3 B．5 C.5217D．3 5[解析]类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中，点(x0，y0，z0)到直线Ax＋By＋Cz＋D＝0的距离公式为d＝|Ax0＋By0＋Cz0＋D|A2＋B2＋C2，则所求距离d＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5，故选B.[答案] B3．(2018·安徽合肥模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…，则按照以上规律，若99n＝99n具有“穿墙术”，则n＝()A．25 B．48 C．63 D．80[解析]由2 23＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝55 24，…，可得若9 9n＝99n具有“穿墙术”，则n＝92－1＝80，故选D.[答案] D[快速审题]看到由特殊到一般，想到归纳推理；看到由特殊到特殊，想到类比推理．(1)破解归纳推理题的思维3步骤①发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；②归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；③检验，得结论：对所得的一般性命题进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．(2)破解类比推理题的3个关键①会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；②会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想；③会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力．1．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i1－2i＝()A．－45－35i B．－45＋35iC．－35－45i D．－35＋45i[解析]1＋2i1－2i＝(1＋2i)2(1－2i)(1＋2i)＝－3＋4i5＝－35＋45i，故选D.[答案] D2．(2018·浙江卷)复数21－i(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i[解析]∵21－i ＝2(1＋i)(1－i)(1＋i)＝1＋i，∴21－i的共轭复数为1－i，故选B.[答案] B3．(2018·北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A.12 B.56 C.76 D.712[解析]k＝1，s＝1；s＝1＋(－1)1×11＋1＝1－12＝12，k＝2,2<3；s＝12＋(－1)2×11＋2＝12＋13＝56，k＝3，此时跳出循环，∴输出56，故选B.[答案] B4．(2018·天津卷)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为()A．1 B．2 C．3 D．4[解析]第一次循环T＝1，i＝3；第二次循环T＝1，i＝4；第三次循环T＝2，i＝5，满足条件i≥5，结束循环，故选B.[答案] B5．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是________．[解析]由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则乙的卡片上的数字是2和3，甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则乙的卡片上的数字是2和3，此时，甲的卡片上的数字只能是1和2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.[答案]1和31.高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识，题目多出现在第1～3题的位置，难度较低，纯属送分题目．2．高考对算法的考查，每年平均有一道小题，一般出现在第6～9题的位置上，难度中等偏下，均考查程序框图，热点是循环结构和条件结构，有时综合性较强，其背景涉及数列、函数、数学文化等知识．3．在全国课标卷中很少直接考查“推理与证明”，特别是合情推理，而演绎推理，则主要体现在对问题的证明上．热点课题2间接证明的应用[感悟体验]等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1＋2，S3＝9＋3 2.(1)求数列{a n}的通项a n与前n项和S n；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．[解] (1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)，n ∈N *. (2)证明：由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋2，n ∈N *.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p <q <r ，p ，q ，r ∈N *)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∵⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r 与p <r 矛盾． 所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．专题跟踪训练(八)一、选择题1．已知z ＝1＋2i ，则复数2iz －2的虚部是( ) A.25 B ．－25 C.25i D ．－25i [解析] 2i z －2＝2i －1＋2i ＝2i (－1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )＝45－25i ，该复数的虚部为－25，故选B.[答案] B2．若复数z ＝1＋2i ，则4iz z －－1等于( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i[解析]4i z z －－1＝4i(1＋2i )(1－2i )－1＝i ，故选C. [答案] C3．已知z (3＋i)＝－3i(i 是虚数单位)，那么复数z 对应的点位于复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] z ＝－3i 3＋i ＝－3i (3－i )(3＋i )(3－i )＝－3－3i 4＝－34－3i4，z 对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－34位于复平面内的第三象限，故选C.[答案] C4．(2018·大连模拟)下列推理是演绎推理的是( )A ．由于f (x )＝c cos x 满足f (－x )＝－f (x )对任意的x ∈R 都成立，推断f (x )＝c cos x 为奇函数B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜出数列{a n }的前n 项和的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πabD ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质[解析] 由特殊到一般的推理过程，符合归纳推理的定义；由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，符合类比推理的定义；由一般到特殊的推理符合演绎推理的定义．A 是演绎推理，B 是归纳推理，C 和D 为类比推理，故选A.[答案] A5．(2018·江西南昌三模)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x ＝3，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s ＝( )A．8 B．17 C．29 D．83[解析]根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值．模拟程序的运行过程：输入的x＝3，n＝2，当输入的a为2时，s＝2，k＝1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，s＝8，k＝2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，s＝29，k＝3，满足退出循环的条件．故输出的s的值为29，故选C.[答案] C6．用反证法证明命题：“已知a，b是自然数，若a＋b≥3，则a，b中至少有一个不小于2”．提出的假设应该是()A．a，b至少有两个不小于2B．a，b至少有一个不小于2C．a，b都小于2D．a，b至少有一个小于2[解析]根据反证法可知提出的假设为“a，b都小于2”，故选C.[答案] C7．(2018·广东汕头一模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是()A．56 B．54 C．36 D．64[解析]模拟程序的运行，可得：第1次循环，c＝2，S＝4，c<20，a＝1，b＝2；第2次循环，c＝3，S＝7，c<20，a＝2，b＝3；第3次循环，c＝5，S＝12，c<20，a＝3，b＝5；第4次循环，c＝8，S＝20，c<20，a＝5，b＝8；第5次循环，c＝13，S＝33，c<20，a＝8，b＝13；第6次循环，c＝21，S＝54，c>20，退出循环，输出S的值为54，故选B.[答案] B8．(2018·广东茂名一模)执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是()A.12B．－1 C．2008 D．2[解析]模拟程序的运行，可知S＝2，k＝0；S＝－1，k＝1；S＝12，k＝2；S＝2，k＝3；…，可见S的值每3个一循环，易知k＝2008对应的S值是第2009个，又2009＝3×669＋2，∴输出的S值是－1，故选B.[答案] B9．(2018·湖南长沙模拟)如图，给出的是计算1＋14＋17＋…＋1100的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是()A．i>100，n＝n＋1 B．i<34，n＝n＋3C．i>34，n＝n＋3 D．i≥34，n＝n＋3[解析]算法的功能是计算1＋14＋17＋…＋1100的值，易知1,4,7， (100)等差数列，公差为3，所以执行框中(2)处应为n＝n＋3，令1＋(i－1)×3＝100，解得i＝34，∴终止程序运行的i值为35，∴判断框内(1)处应为i>34，故选C.[答案] C10．(2018·武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A．甲B．乙C．丙D．丁[解析]由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯，故选B.[答案] B11．(2018·昆明七校调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出S的值为1，则判断框内为()A．i>6? B．i>5? C．i≥3? D．i≥4?[解析]依题意，执行程序框图，进行第一次循环时，S＝1×(3－1)＋1＝3，i＝1＋1＝2；进行第二次循环时，S＝3×(3－2)＋1＝4，i＝2＋1＝3；进行第三次循环时，S＝4×(3－3)＋1＝1，i＝4，因此当输出的S的值为1时，判断框内为“i≥4？”，故选D.[答案] D12．(2018·吉林一模)祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为()A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④[解析] 设截面与底面的距离为h ，则①中截面内圆的半径为h ，则截面圆环的面积为π(R 2－h 2)；②中截面圆的半径为R －h ，则截面圆的面积为π(R －h )2；③中截面圆的半径为R －h 2，则截面圆的面积为π(R －h 2)2；④中截面圆的半径为R 2－h 2，则截面圆的面积为π(R 2－h 2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，故选D.[答案] D 二、填空题13．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． [解析] ∵(1－2i)(a ＋i)＝2＋a ＋(1－2a )i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧1－2a ≠0，2＋a ＝0，解得a＝－2.[答案] －214．如图是一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为________． [解析] 前15行共有15(15＋1)2＝120(个)数，故所求的数为a 122＝12×122－1＝1243. [答案] 124315．(2018·河南三市联考)执行如图所示的程序框图，如果输入m ＝30，n ＝18，则输出的m 的值为________．[解析] 如果输入m ＝30，n ＝18，第一次执行循环体后，r ＝12，m ＝18，n ＝12，不满足输出条件；第二次执行循环体后，r ＝6，m ＝12，n ＝6，不满足输出条件；第三次执行循环体后，r ＝0，m ＝6，n ＝0，满足输出条件，故输出的m 值为6.[答案] 616．“求方程⎝ ⎛⎭⎪⎫513x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1213x ＝1的解”，有如下解题思路：设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫513x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1213x，则f (x )在R 上单调递减，且f (2)＝1，所以原方程有唯一解x ＝2，类比上述解题思路，可得不等式x 6－(x ＋2)>(x ＋2)3－x 2的解集是________．[解析] 因为x 6－(x ＋2)>(x ＋2)3－x 2，所以x 6＋x 2>(x ＋2)3＋(x ＋2)，所以(x 2)3＋x 2>(x ＋2)3＋(x ＋2)．令f (x )＝x 3＋x ，所以不等式可转化为f (x 2)>f (x ＋2)．因为f (x )在R 上单调递增，所以x 2>x ＋2，解得x <－1或x >2.故原不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．[答案] (－∞，－1)∪(2，＋∞)。