推导及图示一般固有洛伦兹变换

* *洛伦兹变换的推导：不妨假设自然界一切物理规律都是平权的，也就是在不同的参考系，所有的物理规律都是一样的现在我们设（ x， y， z， t ）所在坐标系（A 系）静止，（ X， Y， Z， T）所在坐标系（ B 系）速度为u ，且沿 x 轴正向。

在 A 系原点处， x=0 ， B 系中 A 原点的坐标为X=-uT ，即 X+uT=0。

可令（1） .又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k 是与 u 有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k 不再是常数。

）同理， B 系中的原点处有，由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K 。

故有（2） .对于 y ， z， Y，Z 皆与速度无关，可得（3） .（4） .将（ 2 ）代入（ 1 ）可得：，即（5） .（1）（ 2 ）（ 3）（ 4 ）（ 5 ）满足相对性原理，要确定 k 需用光速不变原理。

当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有，。

代入（ 1 ）（ 2 ）式得：，。

两式相乘消去t 和 T 得：.将γ反代入（ 2 ）（ 5 ）式得坐标变换：3．速度变换：同理可得 V （y ）， V （ z）的表达式。

4．尺缩效应：B 系中有一与x 轴平行长 l 的细杆，则由得：，又△t=0 （要同时测量两端的坐标），则，即：，。

5．钟慢效应：由坐标变换的逆变换可知，，故，又* *，（要在同地测量），故。

（注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。

）6．光的多普勒效应：（注：声音的多普勒效应是：）B 系原点处一光源发出光信号，A 系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。

B 系中光源频率为ν（ b ），波数为N ，B 系的钟测得的时间是△t （ b ），由钟慢效应可知， A △系中的钟测得的时间为（1） .探测器开始接收时刻为，最终时刻为，则（2） .相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即（3） .由以上三式可得：.7．动量表达式：（注：，此时，因为对于动力学质点可选自身为参考系，）牛顿第二定律在伽利略变换下，保持形式不变，即无论在那个惯性系内，牛顿第二定律都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。

简单推导洛伦兹变换（狭义相对论）洛伦兹变换是狭义相对论的基本公式，从中我们可以进一步得到尺度缩减、时钟慢度、质能转换等奇妙有趣的推论。

值得一提的是，虽然洛伦兹变换最早是由洛伦兹得到的，但他并没有赋予这组变换方程组以相对论的内涵，他只是编造了一个数学观点来纠正错误的以太时空。

所以作者认为洛伦兹变换的结果应该还是属于爱因斯坦的。

1. 先导知识：波速取决于介质的速度，而不是波源的速度或许你听说过，光即是粒子又是波。

没错，但这个“粒子”已经不是我们日常理解的小微粒了，一定不能将发射一束光想象成手枪发射子弹。

许多困扰可能就来自于此，把光想象成子弹你可能永远也想不明白相对论的奇妙变换。

为了方便思考我们需要把光理解成波，发射光就像在水面触发一个涟漪。

我们先看看机械波，建立起对波的正确看法发射一波和发射一颗子弹有什么区别？根本区别在于，触发机械波实际上并不发射任何物理粒子，而是触发介质的传播振动，所以波速完全取决于介质，而不是波源的速度。

站在地上观察时，跑步时说话不会改变声音传播的速度，蜻蜓高速掠过水面也不会改变波纹扩散的速度，只会造成多普勒效应(仔细观察图1中最外层波纹的速度是否受波源速度影响)。

相反，考虑谈话的例子。

如果你站着不动，风在动，声速就会变。

比如逆风说话，声速会增加，逆风说话，声速会变慢。

仔细理解这里的区别，跑步不会改变波的传播速度，但空气运动会。

图1：一个运动的波源并不会导致波速的变化（观察最外层涟漪的速度）现在我们来考虑光的一个例子一列以速度v前进的火车在经过你的时候突然向前进方向发出了一个闪光，光是电磁波，不同于手枪发射子弹，不管这个光源运动情况怎么样，在你看来，这个闪光就像在水面上激起的一个涟漪，以不变的速度c前行。

（但是这里说的不变速度c还不是相对论说的光速不变，只是说光速与光源速度无关）2.光在真空中是通过什么介质传播的？从上面的分析我们看到波的速度，甚至波的性质似乎完全都取决于传递波的介质，波的行为似乎只与介质有关，完全由介质定义，完全由介质约束，波源在触发波之后好像就没有什么关系了。

洛伦兹变换的最简单推导在相对论中，洛伦兹变换是描述物体在不同参考系中运动的数学工具。

它对于理解光速不变原理以及时间和空间的相对性至关重要。

虽然推导洛伦兹变换可能需要高等数学和物理学知识，但以下是最简单的推导方法：1. 假设有两个参考系S和S'，它们之间的相对速度为v。

2. 假设S和S'的坐标系是相互垂直的，并且在t=0时它们的原点重合，如下图所示。

3. 假设在S中有一个事件，其坐标为(x,y,z,t)，在S'中有一个事件，其坐标为(x',y',z',t')。

4. 根据相对性原理，可以得出：x' = ax + bty' = yz' = zt' = ct + dt其中a、b、c和d是待定系数，需要通过数学推导来确定它们的值。

5. 假设在S中有两个事件，它们在S'中的间隔为Δx'，在S中的间隔为Δx。

则有：Δx' = aΔx + bΔt因为Δx和Δt是相对的，所以可以认为Δx'=Δx和Δt'=Δt。

因此，上式可以写为：1 = a^2 - b^2也就是说，a和b之间存在一个关系式。

同样地，可以根据y、z 和t坐标轴的相对性得到其他系数之间的关系式。

6. 在相对论中，光速是不变的，因此光在S和S'中的速度是相同的。

设在S中有一束光从(x,y,z,t)出发，经过Δt的时间后到达(x+Δx,y,z,t+Δt)，在S'中的坐标为(x',y',z',t') = (x,y,z,t)，则有：c^2Δt^2 - Δx^2 - Δy^2 - Δz^2 = c^2Δt'^2 - Δx'^2 - Δy'^2 - Δz'^2将4式和5式代入上式，可以得到：Δt'^2 = (c^2Δt^2 - Δx^2 - Δy^2 - Δz^2) / (c^2 - v^2) Δx'^2 = (c^2Δt^2 - Δx^2 - Δy^2 - Δz^2)v^2 / (c^2 - v^2)Δy'^2 = Δy^2Δz'^2 = Δz^27. 根据勾股定理，可以将上式化简为：Δs^2 = Δt'^2 - Δx'^2 - Δy'^2 - Δz'^2 = Δt^2 - Δx^2 - Δy^2 - Δz^2这就是著名的时间和空间的相对性方程式。

洛伦兹变换编辑由于爱因斯坦提出的假说否定了伽利略变换，因此需要寻找一个满足相对论基本原理的变换式。

洛伦兹导出了这个变换式，一般称它为洛伦兹变换式。

中文名洛伦兹变换外文名Lorentz transformation别称洛伦兹变换式提出者亨德里克·洛伦兹提出时间1904年应用学科数学适用领域范围狭义相对论目录1简介2理论3释义4推导▪公设一▪公设二▪过程▪另一种方式5区别6四维矢量改写1简介编辑洛伦兹变换（Lorentz transformation）是观测者在不同惯性参照系之间对物理量进行测量时所进行的转换关系，在数学上表现为一套方程组。

洛伦兹变换因其创立者——荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹而得名。

洛伦兹变换最初用来调和19世纪建立起来的经典电动力学同牛顿力学之间的矛盾，后来成为狭义相对论中的基本方程组。

2理论编辑洛伦兹变换（Lorentz transformation）是狭义相对论中关于不同惯性系之间物理事件时空坐标变换的基本关系式。

设两个惯性系为S系和S′系，它们相应的笛卡尔坐标系彼此平行，S′系相对于S系沿x 方向运动，速度为v，且当t=t′=0时，S′系与S系的坐标原点重合，则事件在这两个惯性系的时空坐标之间的洛伦兹变换为式中，；c为真空中的光速。

其逆变换形式为不同惯性系中的物理定律必须在洛伦兹变换下保持形式不变。

19世纪后期建立了麦克斯韦方程组，标志着经典电动力学取得了巨大成功。

然而麦克斯韦方程组在经典力学的伽利略变换下并不是协变的。

由麦克斯韦方程组可以得到电磁波的波动方程，由波动方程解出真空中的光速是一个常数。

按照经典力学的时空观，这个结论应当只在某个特定的惯性参照系中成立，这个参照系就是以太。

其它参照系中测量到的光速是以太中光速与观察者所在参照系相对以太参照系的速度的矢量叠加。

然而1887年的迈克耳孙-莫雷实验测量不到地球相对于以太参照系的运动速度。

1904年，洛伦兹提出了洛伦兹变换用于解释迈克耳孙-莫雷实验的结果。

洛仑兹变换的一般形式：一个事件表为四维空间直角系中的一点（世界点）：(x,y,z,t)1、坐标轴和时间零点的选择：在t=t'=0时刻K 和K'原点重合，比如该时刻从原点处发出一束光；2、空间位矢表示从坐标原点指向该点的有向线段，令r 是从K 原点O 到发生在K 中的t 时刻、位置(x,y,z)的事件的位置矢量，r '是从K'原点O'到发生在K'中的t'时刻、位置(x',y',z')的同一事件的位置矢量，在位置(x,y,z)处接收到这束光就是t 时刻的事件。

按照光速不变，有：c ==简单推导得到熟知的最简形式2(),,,v x x vt y y z z t t x cγγ⎛⎫''''=-===- ⎪⎝⎭3、v 表示K 、K'的相对速度，将,r r '分别分解为平行于v 的////,r r '和垂直于v 的,r r ⊥⊥'，据洛仑兹变换，仿照最简式的形式，得到：()////2,,v r r r vt r r t t c γγ⊥⊥⋅⎛⎫'''=-==- ⎪⎝⎭由////cos ,cos v r v vr r r v rv r v v vθθ⋅=⋅=→=→//r r r ⊥'=+代入上面的式子： ()////r r r r vt r γ⊥⊥'''=+=-+ (3.50) 而////22()(),r v v r v vr r r r r v v⊥⋅⋅==-=-，代入(3.50)： ()////222()()()(1)r v v r v v r v v r r r r vt r vt r r vt v v v γγγγ⊥⊥⋅⋅⋅⎛⎫'=+=-+=-+-=+-- ⎪⎝⎭→ 4、2(1)r v r r t v v γγ⋅⎛⎫'=+-- ⎪⎝⎭ (3.51)与2v r t t c γ⋅⎛⎫'=- ⎪⎝⎭一起构成洛仑兹变换令*21rv r r v vγγγ-⋅=+则(3.51)表示为*()r r vt γ'=-假设K 和K'中的笛卡尔坐标轴具有相同方向，但是K'原点相对于K 原点以速度x y z v v i v j v k =++运动：在(3.51)中，因坐标轴同向，故2系单位向量相同,r xi yj zk r x i y j z k ''''=++=++表示两个事件空间点的矢径→x y z r v xv yv zv ⋅=++推导的洛仑兹变换为：《1》2222(1)()(1)()(1)()x x y z x y x y z y y x y z z x y z x x v t xv yv zv v v y y v t xv yv zv v v z z v t xv yv zv v v xv yv zv t t c γγγγγγγ-⎧'=-+++⎪⎪-⎪'=-+++⎪⎪⎨-'=-+++⎪⎪⎪++⎛⎫'=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩→2222111111,x y zx x x y z y y x y z z z x y z xv yv zv x x v t v v xv yv zv y y v t v v xv yv zv z z v t v v xv yv zv t t c γγγγ++⎧⎛⎫''=+--⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪++⎛⎫''=+--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨++⎛⎫⎪''=+-- ⎪⎪⎝⎭⎪++'⎪=+⎪⎩右边式子为逆变换对于最简单的情况，速度平行于x 轴，位矢就在x 轴上，此时v x =v ，v r ⋅=vx ：整理下22222(1)x x x x v v r v r v r v r x x v t v r x v t x v t v v v v v γγγγγ-⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=-+⋅=--+=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 代入v x =v ，v r ⋅=vx ：[]22(1)()vx vx x x v t x vt x x vt x x x vt v v γγγγγγ⎡⎤⎛⎫'=--+=-+-=--+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦这是我们熟知的最简单的洛仑兹变换第一式。