郑州枫杨外国语中学2020—2021学年九年级上期第一次月考数学试题及答案

2020-2021学年河南省郑州外国语中学九年级（上）期中数学试卷1.如图所示的工件的主视图是()A. B. C. D.2.若3x−4y=0，则x+yy的值是()A. 37B. 73C. 74D. 473.下列说法正确的是()A. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形B. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形C. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D. 对角线互相垂直的四边形是菱形4.关于x的方程(a−5)x2−4x−1=0有实数根，则a满足()A. a≥1B. a>1且a≠5C. a≥1且a≠5D. a≠55.若点A(−5,y1)，B(−3,y2)，C(2,y3)在反比例函数y=3x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1<y3<y2B. y1<y2<y3C. y3<y2<y1D. y2<y1<y36.如图，两个转盘中指针落在每个数字的机会均等．现在同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各自指向一个数字，用甲所指的数字作为横坐标x，乙所指的数字作为纵坐标y，则点(x,y)在反比例函数y=6x图象上的概率为()A. 16B. 13C. 12D. 237.已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠ADE=90°，如图所示放置，边AE，AD与BC于点M，N.则图中一定相似的三角形有()对．A. 2B. 3C. 4D. 58.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动(移动方向如图所示)，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是()A. 2sB. 3sC. 4sD. 5s9.如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长()D. k2019(2+k)A. k2018B. k2019C. k20182+k10.如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE，AF于G，H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF//DE；③2OH+DH=BD；④BG=√2DG.其中正确的结论是()A. ①③B. ③④C. ①②D. ②④11.如图，AB//CD//EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么BC的值等于______ ．BE12.如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=k2的图象x交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则关于x的<0的解集是______．不等式k1x+b−k2x13.数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为______．14.如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是______．15.如图，四边形ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为点D′，若CD′垂直于菱形ABCD的边时，则DE的长为______．16.解方程：(1)3x2−2x−2=0；(2)x2−6x+9=(5−2x)2．17.为了解某校落实新课改精神的情況，现以该校某班的同学参加课外活动的情况为样本，对其参加“球类”“绘画类”“舞蹈类”“音乐类”“棋类”活动的情况进行调査统计，并绘制了如图所示的统计图．(1)参加音乐类活动的学生人数为______人，参加球类活动的人数的百分比为______；(2)请把条形统计图补充完整；(3)若该校学生共1600人，那么参棋类活动的大约有多少人？(4)该班参加舞蹈类活动4位同学中，有1位男生(用E表示)和3位女生(分别F，G，H表示)，现准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状的方法求恰好选中一男一女的概率．18.已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0求证：(1)方程总有两个不相等的实数根．(2)若等腰△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5.求△ABC的周长．19.如图所示，AD//BC，∠BAD=90°，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过C作CF⊥BE于点F．(1)线段BF与图中哪条线段相等？写出来并加以证明：(2)若AB=12，BC=13，P从E沿ED方向运动，Q从C出发向B运动，两点同时出发且速度均为每秒1个单位．①当t=______秒时，四边形EPCQ是矩形；②当t=______秒时，四边形EPCQ是菱形．20.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．(1)求进馆人次的月平均增长率；(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．21.有一边是另一边的√2倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若∠A为智慧角，则∠B的度数为______；(2)如图①，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，求证：△ABC是智慧三角形；(3)如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A(3,0)，点B，C(x>0)的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为√2.当△ABC 在函数y=kx是直角三角形时，求k的值．22.如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．(1)求证：△APE∽△ABC；(2)当线段BP与CE相交时，设交点为M，求BP的值以及∠BMC的度数；CE(3)若正方形ABCD的边长为3，AP=1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP的长．23.如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2−7x+12=0的两根(OA<OB)，动点P 从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．(1)求A、B两点的坐标．(2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．故选：B．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形，本题找到从正面看所得到的图形即可．本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项，难度适中．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出y表示x是解题关键．根据等式性质，可用y表示x，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：由3x−4y=0，得x=4y3，当x=4y3时，x+yy=4y3+yy=73，故选：B．3.【答案】C【解析】解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以A选项错误．B、当一组对边平行，另一组对边相等时，该四边形可能为等腰梯形，故B选项错误．C、由一组对边平行，一组对角相等可得另一组对边平行，所以是平行四边形，故C选项正确．D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以D选项错误；故选：C．A、根据正方形的判定方法进行判断；B、根据平行四边形的判定方法判断即可；C、根据平行四边形的判定方法判断即可；D、根据菱形的判定方法进行判断．本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定，注意间接条件的应用．在应用判定定理判定平行四边形、菱形和正方形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．4.【答案】A【解析】解：①当a−5=0时，原方程为−4x−1=0，，符合题意；解得：x=−14②当a−5≠0，即a≠5时，有△=(−4)2+4(a−5)=4a−4≥0，解得：a≥1，∴a的取值范围为a≥1且a≠5．综上所述，a的取值范围为a≥1．故选：A．分方程为一元一次方程和一元二次方程考虑，当a−5=0时，可求出x的值；当a−5≠0时，利用根的判别式△≥0即可求出a的取值范围．综上即可得出结论．本题考查了根的判别式，分方程为一元一次方程和一元二次方程考虑是解题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，正确把握反比例函数的增减性是解题关键．直接利用反比例函数图象上点的坐标特点，结合增减性得出答案．【解答】的图象上，解：∵点A(−5,y1)，B(−3,y2)，C(2,y3)在反比例函数y=3x∴A，B点在第三象限，C点在第一象限，在每个象限y随x的增大而减小，∴y3一定最大，y1>y2，∴y2<y1<y3．故选：D．6.【答案】B【解析】解：树状图如图所示．由树状图知，则点(2,3)和(3,2)在反比例函数y=6x图象上，所以点(x,y)在反比例函数y=6 x 图象上的概率为26=13，故选：B．先用列表法或画树状图法分析所有可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7.【答案】C【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定(有两个角分别对应相等的三角形相似).解此题的关键是要注意数形结合思想的应用．根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【解答】解：依题意可知，△ABC∽△DAE，△BNA∽△ANM∽△CAM；理由：∵△ABC与△ADE是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，∵∠CMA=∠B+∠MAB，∠NAB=∠NAM+∠MAB，∴∠CMA=∠BAN，∴△CAM∽△BNA，又∵∠ANM=∠ANB，∠NAM=∠NBA=45°，∴△BNA∽△ANM，∴△BNA∽△ANM∽△CAM；由题意易知△ABC∽△DAE，∴共有4对，故选：C．8.【答案】B【解析】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，则BP为(8−t)cm，BQ为2t cm，由三角形的面积计算公式列方程得，1×(8−t)×2t=15，2解得t1=3，t2=5(当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去)．∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．故选：B．设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．9.【答案】D【解析】解：∵AB=AC=1，∴△ABC的周长为2+k；△BCD的周长为k+k+k2=k(2+k)；△CDE的周长为k2+k2+k3=k2(2+k)；依此类推，第n个黄金三角形的周长为k n−1(2+k)，∴第2020个黄金三角形的周长为k2019(2+k)．故选：D．根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n个黄金三角形的周长为k n−1(2+k)，从而得出答案．本题考查了黄金三角形，用到的知识点是黄金分割的定义和相似三角形的性质，找出各个三角形周长之间的关系，得出规律是本题的关键．10.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∠ADB=∠CDB=45°．∵△BEC是等边三角形，∴BC=BE=CE，∠EBC=∠BCE=∠BEC=60°，∴AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°，∴∠BAE=∠BEA=∠CED=∠CDE=75°，∴∠EAD=∠EDA=15°，∴∠DEF=30°，∴∠CEF=45°.故①正确；②∵∠EDC=75°，∠BDC=45°，∴∠EDB=30°，∴∠DEF=∠EDG.∠EGD=75°．∵∠ADC=90°，∠DAF=15°，∴∠EFD=75°，∴∠EFD=∠EGD．在△DEF和△EDG中，{∠DFE=∠EGD ∠DEF=EDG DE=ED，∴△DEF≌△EDG(AAS)，∴DF=EG．∵EC=DC，∴EC−EG=DC−DF，∴CG=CF，∴∠CGF=∠CFG=75°，∴∠CED=∠CGF，∴GF//ED.故②正确；③由图可知2(OH+HD)=2OD=BD，所以2OH+DH=BD此结论不正确；④作BM⊥CG于M，DN⊥CG于N，∴∠BMC=∠DNC=90°，∴BM=sin60°⋅BC，DN=sin30°⋅CD．设AB=BC=CD=AD=x，∴BM=√32x，DN=12x.∵BGDG =S△BCGS△DCG，∴BGDG =12×√32x⋅CG12×12x⋅CG=√3，∴BG=√3DG.故④错误；故选：C．①根据正方形的性质及等边三角形的性质就可以得出∠CEH=45°；②由条件就可以得出∠CAE=∠BDE=30°，∠DEF=30°，就可以得出△DEF≌△EDG，就可以得出DF=EG，就可以得出CG=CF，得出∠CGF=75°，由∠CED=75°，就可以得出GF//ED；③由图可知2(OH+HD)=2OD=BD，所以2OH+DH=BD；④作BM⊥CG于M，DN⊥CG于N，设正方形的边长为x，根据三角形函数，用x表示BM和DN，由BGDG =S△BCGS△DCG便可求得BG与DG的关系．此题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积，特殊角的三角函数等知识点，关键是综合运用各个知识解题．11.【答案】38【解析】解：∵AB//CD//EF，∴BCBE =ADAF=2+12+1+5=38．故答案为38．利用平行线分线段成比例定理求解．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．12.【答案】x<0或1<x<5【解析】【试题解析】解：如图所示：关于x的不等式k1x+b−k2x<0的解集是：x<0或1<x<5．故答案为：x<0或1<x<5．根据k1x+b−k2x<0，则反比例函数大于一次函数，进而结合图象得出答案．此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，正确数形结合是解题关键．13.【答案】4米【解析】解：根据同一时刻物高与影长成正比例，∴10.9=AD1.1+1.6．∴AD=3．∴AB=AD+DB=3+1=4(米)．故答案为4米．根据同一时刻物高与影长成正比例列式计算即可．本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解，加上DB的长即可．解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长．14.【答案】5√3−5【解析】解：取BD的中点E，连接AE，OE，如图所示，∵平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，∴AB=AD=CD=BC=10，∠BAD=∠BCD=60°，∴△ABD是等边三角形，则AE⊥BC，AE是定值，在直角三角形BOD中，E为BD中点，则此时EO=5，EO为定值，∴当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，故AO的最小值为：AO=AE−EO=√32AB−12×BD=5√3−5．故答案为：5√3−5．取BD的中点E，连接AE，OE，利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出AE、OE 为定值，得出当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，进而求出AO的长．此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短是解题关键．15.【答案】2√33或2√3或2√3−2或2√3+2【解析】解：分4种情况：①当D′C⊥AD时，如图1，设DE=D′E=x，由折叠得：CD=CD′=2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠D=∠B=30°，∴∠D=∠D′=30°，Rt△CFD中，CF=12CD=1，∴D′F=CD′−CF=2−1=1，Rt△D′FE中，cos30°=D′FD′E，∴√32=1D′E，∴DE=D′E=2√33；②当CD′⊥AB时，如图2，过E作EF⊥CD于F，∵AB//CD，∴∠B+∠BCD=180°，∵∠B=30°，∴∠BCD′=60°，∠DCD′=150°−60°=90°，由折叠得∠ECD=12∠DCD′=45°，∴△ECF是等腰直角三角形，设CF=EF=x，则ED=2x，DF=√3x，∵CD=CF+DF=2，∴x+√3x=2，x=√3−1，∴DE=2x=2√3−2；③当CD′⊥BC时，如图3，延长D′C交AD于F，则D′C⊥ED，Rt△CFD中，∠D=30°，CD=2，∴CF=1，DF=√3，Rt△D′EF中，D′F=3，∠D′=30°，∴EF =√3，∴DE =EF +DF =2√3；④当D′C ⊥CD 时，如图4，延长D′C 交DE 于F ，∵∠DCD′=90°，∴∠FCD =90°，∵CD =2，∠FDC =30°，∴CF =2√33，DF =2FC =4√33， 由折叠得：∠ECD =∠ECD′=360°−90°2=135°， ∴∠DEC =∠D′EC =15°，∴∠FEB =∠FD′E =30°，∴EF =D′F =2√33+2，∴DE =EF +DF =2√3+2，综上所述，DE 的长为2√33或2√3或2√3−2或2√3+2． 故答案为为2√33或2√3或2√3−2或2√3+2．分情况进行讨论：①当D′C ⊥AD 时，如图1，根据30度的余弦列式可得DE 的长；②当CD′⊥AB 时，如图2，过E 作EF ⊥CD 于F ，设CF =EF =x ，则ED =2x ，DF =√3x ，根据CD =CF +DF =2，列方程可得DE 的长；③当CD′⊥BC 时，延长D′C 交AD 于F ，分别计算EF 和DF 的长，可得DE 的长； ④当D′C ⊥CD 时，如图4，延长D′C 交DE 于F ，分别计算EF 和DF 的长，可得DE 的长．此题考查了菱形的性质，折叠问题，解直角三角形及直角三角形的性质等知识，解题的关键是：正确画出D′C 与菱形各边垂直的图形，并添加辅助线，然后解直角三角形即可． 16.【答案】解：(1)∵a =3，b =−2，c =−2，∴△=(−2)2−4×3×(−2)=28>0，则x =−b±√b 2−4ac 2a =2±2√76=1±√73， ∴x 1=1+√73，x 2=1−√73；(2)∵x 2−6x +9=(5−2x)2，∴(x −3)2=(5−2x)2，∴x−3=5−2x或x−3=2x−5，解得x1=8，x2=2．3【解析】(1)利用公式法求解即可；(2)利用直接开平方法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力和实数的运算，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17.【答案】7 30%【解析】解：(1)本次调查的总人数为10÷25%=40(人)，∴参加音乐类活动的学生人数为40×17.5%=7人，参加球类活动的人数的百分比为12×100%=30%，40故答案为：7、30%；(2)补全条形图如下：=280，(3)该校学生共1600人，则参加棋类活动的人数约为1600×740故答案为：280；(4)画树状图如下：共有12种情况，选中一男一女的有6种，则P(选中一男一女)=612=12．(1)先由绘画类人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以音乐类对应百分比求出其人数，用球类人数除以总人数可得其所占百分比；(2)根据以上所求结果可补全图形；(3)总人数乘以参棋类活动的人数所占比例即可得；(4)利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．18.【答案】(1)证明：△=(2k+1)2−4(k2+k)=1>0，所以方程总有两个不相等的实数根；(2)x=2k+1±12，所以x1=k+1，x2=k，当k+1=5，解得k=4，三角形三边为5、5、4，则三角形的周长为5+5+4=14；当k=5，三角形三边为5、5、6，则三角形的周长为5+5+6=15；综上所述，△ABC的周长为14或16．【解析】(1)计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论；(2)利用求根公式求出x1=k+1，x2=k，讨论：当k+1=5，解得k=4，三角形三边为5、5、4，当k=5，三角形三边为5、5、6，然后分别计算三角形的周长．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．19.【答案】8 13【解析】解：(1)BF=AE．理由如下：∵AD//BC，∴∠CBF=∠AEB，在△BCF和△EBA，{∠BFC=∠A∠CBF=∠AEB BC=EB，∴△BCF≌△EBA，∴BF=EA；(2)EP=t，CQ=t，在Rt△ABE中，AE=√132−122=5，∵EP=CQ，EP//CQ，∴四边形EPCQ为平行四边形，①当CP⊥AD时，∠CPE=90°，则平行四边形EPCQ为矩形，此时AP=BC=13，即5+t=13，解得t=8，即当t=8时，四边形EPCQ是矩形；②作CH⊥AD于H，如图，当CD=CQ=ED=t，平行四边形EPCQ为菱形，而PD=t+5−13=t−8，在Rt△PDC中，122+(t−8)2=t2，解得t=13，即当t=13，四边形EPCQ是菱形．故答案为：8，13．(1)通过证明△BCF≌△EBA可判断BF=EA；(2)EP=t，CQ=t，先就是出AE=5，再判断四边形EPCQ为平行四边形，①当CP⊥AD 可判断平行四边形EPCQ为矩形，从而得到5+t=13；②作CH⊥AD于H，如图，当CD=CQ=ED=t可判断平行四边形EPCQ为菱形，则利用勾股定理得到122+(t−8)2=t2，然后分别解关于t的方程即可．本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了矩形和菱形的判定．20.【答案】解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：128+128(1+x)+128(1+x)2=608化简得：4x2+12x−7=0∴(2x−1)(2x+7)=0，∴x=0.5=50%或x=−3.5(舍)答：进馆人次的月平均增长率为50%．(2)∵进馆人次的月平均增长率为50%，=432<500，∴第四个月的进馆人次为：128(1+50%)3=128×278答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．【解析】(1)先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；(2)根据(1)所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．21.【答案】解：(1)45°；(2)如图2，过点C作CD⊥AB于点D．在Rt△ACD中，∠A=45°，∴AC=√2DC．在Rt△BCD中，∠B=30°，∴BC=2DC．∴BC=√2．AC∴△ABC是智慧三角形；(3)由题意可知∠ABC=90°或∠BAC=90°．①当∠ABC=90°时，如图3，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥EB交EB延长线于点F，过点C作CG⊥x轴于点G，则∠AEB=∠F=∠ABC=90°．∴∠BCF+∠CBF=∠ABE+∠CBF=90°．∴∠BCF=∠ABE．∴△BCF∽△ABE．∴AEBF =BECF=ABBC=√2．设AE=a，则BF=√2a.∵BE=√2，∴CF=2．∵OG=OA+AE−GE=3+a−2=1+a，CG=EF=√2+√2a，∴B(3+a,√2)，C(1+a,√2+√2a)．∵点B，C在函数y=kx(x>0)的图象上，∴√2(3+a)=(1+a)(√2+√2a)=k．解得：a1=1，a2=−2(舍去)．∴k=4√2．②当∠BAC=90°时，如图4，过点C作CM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N．则∠CMA=∠CAB=∠ANB=90°．∴∠MCA+∠CAM=∠BAN+∠CAM=90°．∴∠MCA=∠BAN．由(1)知∠B=45°．∴△ABC是等腰直角三角形．∴AC=AB．由①知△MAC∽△NBA．∴△MAC≌△NBA(AAS)．∴AM=BN=√2．设CM=AN=b，则ON=3+b．∴B(3+b,√2)，C(3−√2,b)．(x>0)的图象上，∵点B，C在函数y=kx∴√2(3+b)=(3−√2)b=k．解得：b=9√2+12．∴k=18+15√2．综上所述，k=4√2或18+15√2．【解析】解：(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A是智慧角，∴AB=√2AC，根据根据勾股定理得，BC=AC，∴∠B=∠A=45°，故答案为45°；(2)见答案；(3)见答案．【分析】(1)利用智慧角的意义和勾股定理即可得出结论；(2)构造出两个直角三角形，即可得出结论；(3)分两种情况：①先判断出△BCF∽△ABE，进而得出B(3+a,√2)，C(1+a,√2+√2a)，最后代入反比例函数解析式中即可得出结论；②先判断出△MAC≌△NBA(AAS).进而AM=BN=√2，进而得出B(3+b,√2)，C(3−√2,b)，最后代入反比例函数解析式中即可得出结论．此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，构造直角三角形和相似三角形是解本题的关键．22.【答案】解：(1)∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°，由旋转知，PA =PE ，∠APE =90°=∠ABC ，∴∠PAE =∠PEA =45°=∠BAC ，∴△APE∽△ABC ；(2)在Rt △ABC 中，AB =CB ，∴AC =√2AB ， 由(1)知，△APE∽△ABC ， ∴AE AC =AP AB ， ∵∠BAC =∠PAE =45°， ∴∠PAB =∠EAC ，∴△PAB∽△EAC ，∴BPCE =ABAC =√2AB =√22， ∵△PAB∽△EAC ，∴∠ABP =∠ACE ，∴∠BCE +∠CBM =∠BCE +∠ABP +∠ABC =∠BCE +∠ACE +∠ABC =∠ACB +∠ABC =45°+90°=135°，∴∠BMC =180°−(∠BCE +∠CBM)=45°；(3)如图，在Rt △ABC 中，AB =AC =3，∴AC =3√2，∵点P ，C ，E 在同一条线上，且∠APE =90°，∴CP =√AC 2−AP 2=√17，∴CE =CP −PE =√17−1或CE′=CP′+P′E =√17+1，由(2)知，BP CE =√22， ∴BP =√22CE =√22(√17−1)=√34−√22或BP′=√22CE′=√34+√22； 即：BP 的长为√34+√22或√34−√22．【解析】(1)先求出∠APE =∠ABC =90°，∠PAE =∠PEA =∠ABC =45°，即可得出结论；(2)由(1)知，△APE∽△ABC ，得出AE AC =APAB ，再判断出∠PAB =∠EAC ，进而判断出△PAB∽△EAC ，即可得出结论；(3)先画出图形，利用勾股定理求出CP′，再分两种情况，求出CE 和CE′，借助(2)的结论，即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，判断出△PAB∽△EAC 是解本题的关键． 23.【答案】解：(1)解方程x 2−7x +12=0，得x 1=3，x 2=4，∵OA <OB ，∴OA =3，OB =4．∴A(0,3)，B(4,0)．(2)在Rt △AOB 中，OA =3，OB =4，∴AB =5，∴AP =t ，QB =2t ，AQ =5−2t ．△APQ 与△AOB 相似，可能有两种情况： ①△APQ ∽△AOB ，如图(2)a 所示．则有AP AO =AQ AB ，即t 3=5−2t5，解得t =1511． 此时OP =OA −AP =1811，PQ =AP ⋅tanA =2011，∴Q(2011,1811)；②△APQ ∽△ABO ，如图(2)b 所示．则有AP AB =AQ AO ，即t 5=5−2t 3，解得t =2513． 此时AQ =1513，AH =AQ ⋅cosA =913，HQ =AQ ⋅sinA =1213，OH =OA −AH =3013，∴Q(1213,3013). 综上所述，当t =1511秒或t =2513秒时，△APQ 与△AOB 相似，所对应的Q 点坐标分别为(2011,1811)或(1213,3013). (3)结论：存在．如图(3)所示．∵t =2，∴AP =2，AQ =1，OP =1．过Q 点作QE ⊥y 轴于点E ，则QE =AQ ⋅sin∠QAP =45，AE =AQ ⋅cos∠QAP =35，∴OE =OA −AE =125，∴Q(45,125). ∵▱APQM 1，∴QM 1⊥x 轴，且QM 1=AP =2，∴M 1(45,25)；∵▱APQM 2，∴QM 2⊥x 轴，且QM 2=AP =2，∴M 2(45,225)；如图(3)，过M 3点作M 3F ⊥y 轴于点F ，∵▱AQPM 3，∴M 3P =AQ ，∠QAE =∠M 3PF ，∴∠PM 3F =∠AQE ；在△M 3PF 与△QAE 中，∵∠QAE =∠M 3PF ，M 3P =AQ ，∠PM 3F =∠AQE ，∴△M 3PF≌△QAE ，∴M 3F =QE =45，PF =AE =35， ∴OF =OP +PF =85，∴M 3(−45,85). ∴当t =2时，在坐标平面内，存在点M ，使以A 、P 、Q 、M 为顶点的四边形是平行四边形．点M 的坐标为：M 1(45,25)，M 2(45,225)，M 3(−45,85).【解析】(1)解一元二次方程，求出OA、OB的长度，从而得到A、B点的坐标；(2)△APQ与△AOB相似时，存在两种情况，需要分类讨论，不要遗漏，如图(2)所示；(3)本问关键是找齐平行四边形的各种位置与性质，如图(3)所示．在求M1，M2坐标时，注意到M1，M2与Q点坐标的对应关系，则容易求解；在求M3坐标时，可以利用全等三角形，得到线段之间关系．本题是动点型压轴题，综合考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、平行四边形等知识点．本题难点在于分类讨论思想的应用，第(2)(3)问中，均涉及到多种情况，需要逐一分析不能遗漏；另外注意解答中求动点时刻t和点的坐标的过程中，全等三角形、相似三角形、三角函数等知识发挥了重要作用，这是解答压轴题的常见技巧，需要熟练掌握．。

2020-2021学年河南省郑州市枫杨外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直平分B．对角线相等的菱形是正方形C．两邻边相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣2＝1的过程中，变形正确的是（）A．2（x﹣1）2＝1B．2（x﹣2）2＝5C．D．3．如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，则路宽xm应满足的方程是（）A．（40﹣x）（70﹣x）＝400B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝400C．（40﹣x）（70﹣x）＝2400D．（40﹣2x）（70﹣3x）＝24004．如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份．则转得的两个数之积为偶数的概率为（）A．B．C．D．5．如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A．28cm2B．27cm2C．21cm2D．20cm26．关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＜且a≠0B．a＞C．a≤且a≠0D．a≥7．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（）A．5个B．10个C．15个D．25个8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CB，连接AE．下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为平行四边形；④S四边形AEBO＝S菱形ABCD中，正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（）A．2条B．3条C．4条D．5条10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（）A．2﹣2B．2C．3﹣1D．2二、填空题（每小题3分，共15分）11．若2x＝3y，且x≠0，则的值为．12．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k应满足的条件是．13．如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则AF：FC＝．14．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是米．15．如图，在矩形OAHC中，OC＝8，OA＝12，B为CH中点，连接AB．动点M从点O 出发沿OA边向点A运动，动点N从点A出发沿AB边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM，CN，MN，设运动时间为t（秒）（0＜t＜10）．则t＝时，△CMN为直角三角形．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．17．甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是；（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．18．已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．19．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．20．某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元．（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？21．对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b＝，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．（1）求（﹣7）*（﹣2）的值；（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1*x2的值．22．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形，请说明理由；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形，请说明理由；（3）直接写出（2）中菱形AQCP的周长和面积，周长是cm，面积是cm2．23．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、点E分别在边AC、BC上，且DE∥AB．现将△CDE绕点C逆时针旋转某一角度，点D恰落在边AB上，连接BE．（1）当AC＝BC时，如图2，①线段AD与BE的数量关系是；②线段AD、BD、DE的数量关系是；（2）当AC＝nBC时（n＞0），如图3，①判断线段AD与BE的数量关系，并予以证明．②直接写出线段AD、BD、DE的数量关系，．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直平分B．对角线相等的菱形是正方形C．两邻边相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形解：A．矩形的对角线相等且平分，故A原说法错误；B．对角线相等的菱形是正方形，正确；C．四条边相等的四边形是菱形，故C原说法错误；D．对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形，故D原说法错误；故选：B．2．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣2＝1的过程中，变形正确的是（）A．2（x﹣1）2＝1B．2（x﹣2）2＝5C．D．解：∵2x2﹣4x＝3，∴x2﹣2x＝，则x2﹣2x+1＝1+，即（x﹣1）2＝，故选：C．3．如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的，则路宽xm应满足的方程是（）A．（40﹣x）（70﹣x）＝400B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝400C．（40﹣x）（70﹣x）＝2400D．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2400解：由图可得，（40﹣2x）（70﹣3x）＝40×70×（1﹣），即（40﹣2x）（70﹣3x）＝2400，故选：D．4．如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份．则转得的两个数之积为偶数的概率为（）A．B．C．D．解：根据题意列表如下：1253361544820661230∵共有9种等可能的结果，其中转得的两个数之积为偶数的有7种情况，∴转得的两个数之积为偶数的概率为；故选：C．5．如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A．28cm2B．27cm2C．21cm2D．20cm2解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，则矩形ABDC∽矩形FDCE，则，设DF＝xcm，得到：解得：x＝4.5，则剩下的矩形面积是：4.5×6＝27cm2．故选：B．6．关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＜且a≠0B．a＞C．a≤且a≠0D．a≥解：∵关于x的一元二次方程ax2+5x+3＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝52﹣4×a×3＝25﹣12a＞0，解得：a＜，∵方程ax2+5x+3＝0是一元二次方程，∴a≠0，∴a的范围是：a＜且a≠0．故选：A．7．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（）A．5个B．10个C．15个D．25个解：设袋中白球有x个，根据题意得：＝0.6，解得：x＝10，经检验：x＝10是分式方程的解，答：袋中白球约有10个．故选：B．8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CB，连接AE．下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为平行四边形；④S四边形AEBO＝S菱形ABCD中，正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，BD＝2DO，又∵BC＝BE，∴AD＝BE，∴四边形AEBD是平行四边形，故③正确，∴AE＝BD，∴AE＝2DO，故①正确；∵四边形AEBD是平行四边形，四边形ABCD是菱形，∴AE∥BD，AC⊥BD，∴AE⊥AC，即∠CAE＝90°，故②正确；∵四边形AEBD是平行四边形，∴S△ABE＝S△ABD＝S菱形ABCD，∵四边形ABCD是菱形，∴S△ABO＝S菱形ABCD，∴S四边形AEBO＝S△ABE+S△ABO＝S菱形ABCD，故④正确；故选：D．9．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（）A．2条B．3条C．4条D．5条解：∵BA＝BC，∴∠A＝∠C，①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC．②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC．③作∠APG＝∠A，可得∠AGP∽△ABC，故选：B．10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（）A．2﹣2B．2C．3﹣1D．2解：由题意得：BM＝CN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，∵∠ABP+∠CBN＝90°，∴∠ABP+∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：连接OC交圆O于P，此时PC最小，∵AB＝4，∴OP＝OB＝2，由勾股定理得：OC＝＝2，∴PC＝OC﹣OP＝2﹣2；故选：A．二、填空题（每小题3分，共15分）11．若2x＝3y，且x≠0，则的值为．解：∵2x＝3y，且x≠0，∴x＝y，则＝＝．故答案为：．12．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k应满足的条件是k≤且k≠0．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根∴k≠0且△＝（﹣4）2﹣4•k•3＝16﹣12k≥0，解得：k≤且k≠0，故答案为：k≤且k≠0．13．如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，则AF：FC＝1：2．解：过点D作DM∥AC，交BF于M，则△BDM∽△BCF，△DEM∽△AEF，由△BDM∽△BCF，D是BC的中点，E是AD的中点可知，，则FC＝2DM根据△DEM∽△AEF得到AF＝DM，因而AF：FC＝DM：2DM＝1：2．14．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是3米．解：设AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，根据题意可得，x（10﹣2x）＝12，解得x1＝3，x2＝2（舍去），∴AB的长为3米．故答案为：3．15．如图，在矩形OAHC中，OC＝8，OA＝12，B为CH中点，连接AB．动点M从点O 出发沿OA边向点A运动，动点N从点A出发沿AB边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM，CN，MN，设运动时间为t（秒）（0＜t＜10）．则t＝或时，△CMN为直角三角形．解：过点N作OA的垂线，交OA于点F，交CH于点E，如图，∵B点是CH的中点，∴BH＝CH＝6，∵AH＝OC＝8，∴由勾股定理可求：AB＝10，∵AN＝t，∴BN＝10﹣t，∵NE∥AH，∴△BEN∽△BHA，∴＝，∴＝，∴EN＝（10﹣t），∴FN＝8﹣EN＝t，当∠CMN＝90°，由勾股定理可求：AF＝t，∴MF＝AM﹣AF＝12﹣t﹣t＝12﹣t，∵∠OCM+∠CMO＝90°，∠CMO+∠FMN＝90°，∴∠OCM＝∠FMN，∵∠O＝∠NFM＝90°，∴△COM∽△MFN，∴＝，∴＝，∴t＝，当∠MNC＝90°，∵FN＝t，∴EN＝（10﹣t），∵MF＝12﹣t，∴CE＝OF＝OM+MF＝12﹣t，∵∠MNF+∠CNE＝90°，∠ECN+∠CNE＝90°，∴∠MNF＝∠ECN，∵∠CEN＝∠NFM＝90°，∴△CEN∽△NFM，∴＝，∴＝，∵0＜t＜10，∴t＝，当∠NCM＝90°，由题意知：此情况不存在，综上所述，△CMN为直角三角形时，t＝或．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．解：（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17，∴x＝，∴x1＝，x2＝；（2）原方程化为x2+x﹣6＝0，∵（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2．17．甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是；（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．解：（1）∵蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶，∴甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是：；故答案为：；（2）根据题意画树状图如下：共有6种等可能的情况数，其中两人选购到同一种类奶制品的有2种，则两人选购到同一种类奶制品的概率是＝．18．已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．解：∵＝＝＝＝k，∴由等比性质可得：＝k，当a+b+c+d≠0时，k＝＝，当a+b+c+d＝0时，b+c+d＝﹣a，∴k＝＝＝﹣2，∴k2﹣3k﹣4＝（）2﹣3×﹣4＝﹣或k2﹣3k﹣4＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4＝6．19．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形，（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，即：x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．20．某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元．（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？解：（1）100﹣＝92（辆），（4800﹣500）×92﹣100×（100﹣92）＝394800（元），394800元＝39.48万元．答：当每辆车的月租金为4800元时，能租出92辆，此时租赁公司的月收益是39.48万元．（2）40.4万元＝404000元设上涨x个100元，由题意得：（4000+100x﹣500）（100﹣x）﹣100x＝404000整理得：x2﹣64x+540＝0解得：x1＝54，x2＝10∵规定每辆车月租金不能超过7200元，∴取x＝10，则4000+10×100＝5000（元）答：每辆车的月租金定为5000元时，租赁公司的月收益可达到40.4万元21．对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b＝，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．（1）求（﹣7）*（﹣2）的值；（2）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1*x2的值．解：（1）∵﹣7＜﹣2，∴（﹣7）*（﹣2）＝14﹣4＝10；（2）方程x2﹣5x﹣6＝0变形得：（x+1）（x﹣6）＝0，解得：x＝﹣1或x＝6，当x1＝﹣1，x2＝6时，x1*x2＝﹣6﹣36＝﹣42；当x1＝6，x2＝﹣1时，x1*x2＝36+6＝42．22．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形，请说明理由；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形，请说明理由；（3）直接写出（2）中菱形AQCP的周长和面积，周长是15cm，面积是cm2．解：（1）由题意得，BQ＝DP＝t，则AP＝CQ＝6﹣t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝6﹣t，解得，t＝3，故当t＝3时，四边形ABQP为矩形；（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形，即＝6﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得，t＝，故当t＝时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝时，CQ＝6﹣t＝，∴菱形AQCP的周长为：4CQ＝4×＝15，菱形AQCP的面积为：CQ•AB＝×3＝，故答案为：15；．23．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、点E分别在边AC、BC上，且DE∥AB．现将△CDE绕点C逆时针旋转某一角度，点D恰落在边AB上，连接BE．（1）当AC＝BC时，如图2，①线段AD与BE的数量关系是AD＝BE；②线段AD、BD、DE的数量关系是DE2＝BD2+AD2；（2）当AC＝nBC时（n＞0），如图3，①判断线段AD与BE的数量关系，并予以证明．②直接写出线段AD、BD、DE的数量关系，DE2＝BD2+．解：（1）①如图1，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴CD＝CE，如图2，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；②∵△ACD≌△BCE，∴∠A＝∠CBE＝45°，∴∠ABC+∠CBE＝90°，∴∠DBE＝90°，∴DE2＝BD2+BE2，∵AD＝BE，∴DE2＝BD2+AD2；故答案为：AD＝BE；DE2＝BD2+AD2；（2）①由（1）得∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠CDE，∴△ACB∽△DCE，∴＝，∵∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴＝＝n，∴AD＝nBE；②∵△ACD∽△BCE，∴∠A ＝∠CBE，∵∠A+∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠CBE＝90°，∴∠DBE＝90°，∴DE2＝BD2+BE2，∴DE2＝BD2+．故答案为：DE2＝BD2+．。

2024-2025学年河南省郑州市郑州枫杨外国语学校数学九年级第一学期开学学业质量监测试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列命题中：①两直角边对应相等的两个直角三角形全等；②两锐角对应相等的两个直角三角形全等；③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；⑤一锐角和一边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的个数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2、（4分）多项式的一个因式为（）A ．B ．C ．D ．3、（4分）点P 是△ABC 内一点，且P 到△ABC 的三边距离相等，则P 是△ABC 哪三条线的交点（）A ．边的垂直平分线B ．角平分线C ．高线D ．中位线4、（4分）下列关于向量的等式中，不正确的是()A ．OE ED OD +=B ．AB BC CA -=C ．AB AC CB -=D ．0AB BA +=5、（4分）甲、乙两个同学在四次数学模拟测试中，平均成绩都是112分，方差分别是s ＝5，s ＝12，则甲、乙两个同学的数学成绩比较稳定的是（）.A ．甲B ．乙C ．甲和乙一样D ．无法确定6、（4分）如图：在菱形ABCD 中，AC=6，BD=8，则菱形的边长为（）A ．5B ．10C ．6D ．87、（4分）将一副三角尺按如图的方式摆放，其中l 1∥l 2，则∠α的度数是()A ．30°B ．45°C ．60°D ．70°8、（4分）正比例函数y ＝mx 的图象经过点A(m ，4)，且y 的值随x 值的增大而减小，则m ＝()A ．2B ．－2C ．4D ．－4二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 垂直平分BO 于点E ，则AD 的长为_____．10、（4分）从一副扑克牌中任意抽取1张：①这张牌是“A”；②这张牌是“红心”；③这张牌是“大王”．其中发生的可能性最大的事件是_____．（填序号）11、（4分）一根竹子高10尺,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是______尺.12、（4分）当x =__________时，代数式223x x -+取得最小值．13、（4分）如图所示，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥CD 于F ，连接EF ，给出下列四个结论：①AP=EF ；②△APD 一定是等腰三角形；③∠PFE ＝∠BAP ；④EC ，其中正确结论的序号是_______.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）一家公司准备招聘一名英文翻译，对甲、乙和丙三名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们各项的成绩（百分制）如下：应试者听说读写甲82867875乙73808582丙81828079（1）如果这家公司按照这三名应试者的平均成绩（百分制）计算，从他们的成绩看，应该录取谁？（2）如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3∶4∶2∶1的权重确定，计算三名应试者的平均成绩（百分制），从他们的成绩看，应该录取谁？（3）如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照1∶2∶3∶4的权重确定，计算三名应试者的平均成绩（百分制）．从他们的成绩看，应该录取谁？15、（8分）先化简，再求值：22()a b a b a b b a a ab ++÷---，其中a b 、满足||0a =.16、（8分）已知，一次函数443y x =+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 和B ．()1求A ，B 两点的坐标，并在如图的坐标系中画出函数443y x =+的图象；()2若点C 在第一象限，点D 在x 轴的正半轴上，且四边形ABCD 是菱形，直接写出C ，D 两点的坐标．17、（10分）某高速公路要对承建的工程进行招标，现在甲、乙两个工程队前来投标，根据两队的申报材料估计：若甲、乙两队合作，24天可以完成；若由甲队单独做20天后，余下的工程由乙队做，还需40天完成，求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？18、（10分）为了提高学生书写汉字的能力．增强保护汉字的意识，我区举办了“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：频数（人组别成绩x分数）第1组25≤x＜304第2组30≤x＜356第3组35≤x＜4014第4组40≤x＜45a第5组45≤x＜5010请结合图表完成下列各题：（1）求表中a的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）一组数据3，4，x，6，7的平均数为5，则这组数据的方差______．20、（4分）如图，将ABC∆绕点C按逆时针方向旋转得到DEC∆，使D点落在AB上，若66CAB∠=︒，则BCE∠的大小是______°.21、（4分）定义运算“*”：a*b=a-ab,若1a x=+,b x=，a*b3=-,则x的值为_________．22、（4分）使分式的值为0，这时x=_____．23、（4分）某校对n名学生的体育成绩统计如图所示，则n＝_____人．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）化简求值：22224⎛⎫+÷⎪-+-⎝⎭x x xx x x，其中x=1．25、（10分）先化简，再求值2221(1)11xx x-÷--+，其中2x=-26、（12分）已知：如图，点B ，C ，D 在同一直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，BE 交AC 于点F ，AD 交CE 于点H ，（1）求证：△BCE ≌△ACD ；（2）求证：CF ＝CH ；（3）判断△CFH 的形状并说明理由．一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C【解析】根据全等三角形的判定定理逐项分析，作出判断即可．【详解】解：①两直角边对应相等，两直角相等，所以根据SAS可以判定两直角边对应相等的两个直角三角形全等．故①正确；②两锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等，因为对应边不一定相等．故②错误；③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形，可以根据HL判定它们全等．故③正确；④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，可以根据AAS判定它们全等．故④正确；⑤一锐角和一边对应相等的两个直角三角形，可以根据AAS或ASA判定它们全等．故⑤正确．综上所述，正确的说法有4个．故选：C．本题考查了直角三角形全等的判定．直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．2、C【解析】直接提取公因式进而合并同类项得出即可.【详解】则一个因式为:.故选C.此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确合并同类项是解题关键.3、B【解析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上解答．【详解】∵P到△ABC的三边距离相等，∴点P在△ABC的三条角平分线上，∴P是△ABC三条角平分线的交点，故选：B．本题考查的是角平分线的性质，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．4、B【解析】根据平面向量的加法法则判定即可．【详解】A、OE ED OD+=，正确，本选项不符合题意；B、AB BC CA-≠，错误，本选项符合题意；C、AB AC AB CA CA AB CB-=+=+=，正确，本选项不符合题意；D、0AB BA+=，正确，本选项不符合题意；故选B．本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5、A【解析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】∵甲、乙两个同学的平均成绩都是112分，方差分别是S甲2=5，S乙2=12，∴S甲2＜S乙2，∴成绩比较稳定的是甲；故选A．本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．6、A【解析】试题分析：根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，可知每个直角三角形的直角边，根据勾股定理可将菱形的边长求出．解：设AC与BD相交于点O，由菱形的性质知：AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=4在Rt△OAB中，AB===1所以菱形的边长为1．故选A．考点：菱形的性质．7、C【解析】先由两直线平行内错角相等，得到∠A=30°，再由直角三角形两锐角互余即可得到∠α的度数．【详解】解：如图所示，∵l1∥l2，∴∠A=∠ABC=30°，又∵∠CBD=90°，∴∠α=90°﹣30°=60°，故选C ．此题考查了平行线的性质和直角三角形的性质.注意：两直线平行，内错角相等．8、B 【解析】直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可．【详解】把x=m ，y=4代入y=mx 中，可得：m=±2，因为y 的值随x 值的增大而减小，所以m=-2，故选B ．本题考查了正比例函数的性质：正比例函数y=kx （k≠0）的图象为直线，当k ＞0时，图象经过第一、三象限，y 值随x 的增大而增大；当k ＜0时，图象经过第二、四象限，y 值随x 的增大而减小．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、【解析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA ＝AB ＝OB ＝6，得出BD ＝2OB ＝6，由勾股定理求出AD 即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB ＝OD ，OA ＝OC ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB ，∵AE 垂直平分OB ，∴AB ＝AO ，∴OA ＝AB ＝OB ＝6，∴BD ＝2OB ＝12，学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………∴2263.AD BD AB =-=故答案为：6 3.此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．10、②【解析】根据可能性等于所求情况与总数情况之比即可解题.【详解】解：一副扑克一共有54张扑克牌,A 一共有4张,∴这张牌是“A”的概率是425427=,这张牌是“红心”的概率是1354,这张牌是“大王”的概率是154,∴其中发生的可能性最大的事件是②.本题考查了简单的概率计算,属于简单题,熟悉概率公式是解题关键.11、9120【解析】设折断处离地面的高度是x 尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解.【详解】设折断处离地面的高度是x 尺，根据勾股定理得x 2+32=(10-x)2,解得x=9120故折断处离地面的高度是9120尺.此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用.12、1【解析】运用配方法变形x 2-2x+3=（x-1）2+2；得出（x-1）2+2最小时，即（x-1）2=0，然后得出答案．【详解】∵x 2-2x+3=x 2-2x+1+2=（x-1）2+2，∴当x-1=0时，（x-1）2+2最小，∴x=1时，代数式x 2-2x+3有最小值．故答案为:1．此题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，得出（x-1）2+2最小时，即（x-1）2=0，这是解决问题的关键．13、①③④．【解析】连接PC ，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABP=∠CBP=45°，然后利用“边角边”证明△ABP 和△CBP 全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=PC ，对应角相等可得∠BAP=∠BCP ，再根据矩形的对角线相等可得EF=PC ，对边相等可得PF=EC ，再判断出△PDF 倍解答即可．【详解】解：如图，连接PC ，在正方形ABCD 中，∠ABP=∠CBP=45°，AB=CB ，∵在△ABP 和△CBP 中，AB CBABP CBP BP BP⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABP ≌△CBP （SAS ），∴AP=PC ，∠BAP=∠BCP ，又∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，∴四边形PECF 是矩形，∴PC=EF ，∠BCP=∠PFE ，∴AP=EF ，∠PFE=∠BAP ，故①③正确；∵PF ⊥CD ，∠BDC=45°，∴△PDF 是等腰直角三角形，∴PF ，又∵矩形的对边PF=EC ，∴PD=EC ，故④正确；只有点P 为BD 的中点或PD=AD 时，△APD 是等腰三角形，故②错误；综上所述，正确的结论有①③④．故答案为：①③④．本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，综合性较强，但难度不大，连接PC 构造出全等三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1)应该录取丙;(2)应该录取甲；（3）应该录取乙【解析】(1)分别算出甲乙丙的平均数，比较即可；（2）由听、说、读、写按照的比3∶4∶2∶1确定,根据加权平均数的计算方法分别计算不同权的平均数,比较即可；(3)由听、说、读、写按照的比1∶2∶3∶4确定,根据加权平均数的计算方法分别计算不同权的平均数,比较即可.【详解】（1）甲的平均成绩：82+86+78+75=80.254乙的平均成绩：73+80+85+82=804丙的平均成绩：81+82+80+79=80.54∵80.5>80.25>80∴应该录取丙（2）甲的平均成绩：823+864+782+751=82.13+4+2+1⨯⨯⨯⨯乙的平均成绩：733+804+852+821=79.13+4+2+1⨯⨯⨯⨯丙的平均成绩：813+824+802+791=813+4+2+1⨯⨯⨯⨯∵82.1>81>79.1∴应该录取甲（3）甲的平均成绩：821+862+783+754=78.81+2+3+4⨯⨯⨯⨯乙的平均成绩：731+802+853+824=81.61+2+3+4⨯⨯⨯⨯丙的平均成绩：811+822+803+794=80.11+2+3+4⨯⨯⨯⨯∵81.6>80.1>78.8∴应该录取乙.本题考查的是加权平均数的实际应用，熟练掌握加权平均数是解题的关键.15、a b ，【解析】先利用分式的性质和计算法则化简，再通过0a +=求出a 、b 的值，最后代入求值即可.解：原式()2a ab a b a a b a b b -+⎛⎫=-⨯ ⎪--⎝⎭()2a ab b a b b -=⨯-ab=∵0a =∴a =1b =-∴原式31a b ===-16、(1)A ()3,0-，B ()0,4，画图见解析；(2)()5,4C ，()2,0D ．【解析】（1）先求出A,B 两点的坐标，再画函数图象；（2）根据图形，结合勾股定理和菱形性质推出边长，得到C.D 的坐标.【详解】解：()1将0x =代入443y x =+，可得4y =；将0y =，代入443y x =+，可得3x =-；∴点A 的坐标为()3,0-，点B 的坐标为()0,4，如图所示，直线AB 即为所求；()2由点A 的坐标为()3,0-，点B 的坐标为()0,4，可得3AO =，4BO =，Rt AOB ∴中，5AB =，四边形ABCD 是菱形，5BC AB AD ∴===，2OD ∴=，()5,4C ∴，()2,0D ．本题考核知识点：一次函数与菱形.解题关键点：熟记菱形的判定与性质.17、甲队独做需30天，乙队独做需120天【解析】设甲队独做需a天，乙队独做需b天，根据题意可得两个等量关系为：甲工效×工作时间+乙工效×工作时间=1；甲工效×20+乙工效×40=1．列出方程组，再解即可．【详解】设甲队独做需a天，乙队独做需b天．建立方程组24241 20401a ba b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得30120ab=⎧⎨=⎩．经检验a＝30，b＝120是原方程的解．答：甲队独做需30天，乙队独做需120天．本题考查了分式方程（组）的应用．得到工作量1的等量关系是解题的关键．18、（1）16；（2）详见解析；（3）52%【解析】（1）直接总数减去其他组的人数，即可得到a（2）直接补充图形即可（3）先算出不低于40分的人数，然后除以总人数即可【详解】（1）a=50-4-6-14-10=16（2）如图所示.（3）本次测试的优秀率是161050+=52%答：本次测试的优秀率是52%本题主要考查频数分布直方图，比较简单，基础知识扎实是解题关键一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1【解析】先由平均数的公式求出x 的值，再根据方差的公式计算即可．【详解】解：数据3，4，x ，6，7的平均数为5，()34x 6755∴++++=⨯，解得：x 5=，∴这组数据为3，4，5，6，7，∴这组数据的方差为：(2222221S [(35)(45)(55)(65)75)25⎤=-+-+-+-+-=⎦．故答案为：1．本题考查方差的定义：一般地设n 个数据，1x ，2x ，n x ⋯的平均数为x ，则方差(222212n 1S [(x x)(x x)x x)n ⎤=-+-+⋯+-⎦，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．20、48°【解析】根据旋转得出AC=DC ，求出∠CDA ，根据三角形内角和定理求出∠ACD ，即可求出答案．【详解】∵将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转，得到△DCE ，点A 的对应点D 落在AB 边上，∴AC=DC ，∵∠CAB=66°，∴∠CDA=66°，∴∠ACD=180°-∠A-∠CDA=48°，∴∠BCE=∠ACD=48°，故答案为：48°．本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用，能求出∠ACD 的度数是解此题的关键．21、±2【解析】先根据新定义得出一元二次方程，求出方程的解即可．【详解】解：由题意可得：x+1-（x+1）•x=-3，-x 2=-4，解得：x=±2，故答案为：±2本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能根据已知得出一元二次方程，题目比较新颖，难度适中．22、1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程，＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解.答案为1.考点：分式方程的解法23、1【解析】根据统计图中的数据，可以求得n 的值，本题得以解决．【详解】解：由统计图可得，n ＝20+30+10＝1（人），故答案为：1．本题考查折线统计图，解答本题的关键是明确题意，提取统计图中的有效信息解答．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、3x+2，2.【解析】先将括号内异分母分式通分计算，再将除法变乘法，约分化简，再代入数据计算.【详解】解：原式=2(2)(2)(2)(2)(2)(2)++-+-⋅+-x x x x x x x x x =(32)(2)(2)(2)(2)++-⋅+-x x x x x x x =3x+2，当x=1时，原式=2．本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的通分与约分是解题的关键.25、2,1x -【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．【详解】解：原式2(1)11(1)(1)11x x x x x x -+⎛⎫=÷- ⎪+-++⎝⎭211xxx =÷++211x x x+=⋅+2x=当2x =-时，原式2212x ===--【解析】（1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD；（2）利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH进而得出△BCF≌△ACH因此CF=CH．（3）由CF=CH和∠ACH=60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形．【详解】解：（1）∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD．又BC=AC、CE=CD，∴△BCE≌△ACD．（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH．又BC=AC，∴△BCF≌△ACH．∴CF=CH．（3）∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形．本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．。

2020-2021郑州市外国语新枫杨学校九年级数学上期中试题及答案一、选择题1．如图，已知⊙O 的半径为5，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，AB=8，则tan ∠CBD 的值等于（ ）A ．43B ．45C ．35D ．342．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．三角形的外心到三边的距离相等B ．某射击运动员射击一次，命中靶心C ．任意画一个三角形，其内角和是 180°D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若α，β是一元二次方程x 2﹣x ﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（ ）A ．2020B ．2019C ．2018D ．20175．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB=2，则⊙O 的半径为（ ）A ．1B ．22C ．2D ．2 6．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A ．－2 B ．3 C ．－2或3 D ．－2且37．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 （忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB 的面积为（ ）A．6B．7C．8D．98．如图，从一张腰长为90cm，顶角为120 的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（）A．15cm B．12cm C．10cm D．20cm9．如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（）A．45°B．60°C．45°或135°D．60°或120°10．如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米．A．2B．4C．6D．811．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的是（）①abc＞0；②3a+b＞0；③﹣1＜k＜0；④4a+2b+c＜0；⑤a+b＜k．A．①②③B．②③⑤C．②④⑤D．②③④⑤12．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2二、填空题13．已知方程x 2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，则k=_____．14．如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，那么DH 的长是______．15．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(﹣1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c ﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论是________.16．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ；17．如图,将边长为12的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开,再把△ABC 沿着AD 方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.18．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．19．如图所示过原点的抛物线是二次函数2231y ax ax a =-+-的图象，那么a 的值是_____．20．一元二次方程x 2=3x 的解是：________．三、解答题21．某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．（1）当销售单价定为每千克55元，计算月销售量和月销售利润；（2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？22．小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A ，B ，B ．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．23．某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:(1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(3)要使商场平均每天盈利1600元,可能吗?请说明理由.24．如图，已知抛物线y=2x -+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．25．如图，在ABC ∆中，67 30AB cm BC cm ABC ==∠=，，, 点P 从A 点出发,以1/cm s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2/cm s 的速度向C 点移动．如果P Q ，两点同时出发，经过几秒后PBQ ∆的面积等于24cm ?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】过B作⊙O的直径BM，连接AM，则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C，∴∠MBA=∠CBD，过O作OE⊥AB于E，Rt△OEB中，BE=12AB=4，OB=5，由勾股定理，得：OE=3，∴tan∠MBA=OEBE=34，因此tan∠CBD=tan∠MBA=34，故选D．2．C解析：C【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．详解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；故选C．点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．B解析：B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．B解析：B【解析】【分析】根据方程的解的定义及韦达定理得出α+β=1、α2-α=2018，据此代入原式=α2-α-2（α+β）+3计算可得．【详解】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根，∴α+β＝1、α2﹣α＝2018，则原式＝α2﹣α﹣2（α+β）+3＝2018﹣2+3＝2019，故选：B．【点睛】考查根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理及方程的解的定义和整体代入思想的运用．5．D解析：D【解析】【分析】【详解】解：连接AO ，并延长交⊙O 于点D ，连接BD ，∵∠C=45°，∴∠D=45°，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=∠D=45°，∵AB=2，∴BD=2，∴22222222AB BD +=+=∴⊙O 的半径AO=22AD =． 故选D ．【点睛】 本题考查圆周角定理；勾股定理．6．B解析：B【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=.故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.7．D解析：D【解析】【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD 的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S 扇形DAB =1lr 2，计算即可．【详解】解：∵正方形的边长为3，∴弧BD 的弧长=6，∴S 扇形DAB =11lr =22×6×3=9． 故选D ．【点睛】 本题考查扇形面积的计算．8．A解析：A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到OE 的长，再利用弧长公式计算出弧CD 的长，设圆锥的底面圆半径为r ，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到r ．【详解】过O 作OE AB ⊥于E ，90120OA OB cm AOB ︒∠＝＝，＝，30A B ︒∴∠∠＝＝，1452OE OA cm ∴＝＝， ∴弧CD 的长1204530180ππ⨯==， 设圆锥的底面圆的半径为r ，则230r ππ＝，解得15r ＝．故选：A ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．9．C解析：C【解析】【分析】首先连接OA ，OB ，由⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，即可求得∠AOB 的度数，又由圆周角定理，即可求得∠APB 的度数．【详解】连接OA ，OB ，∵⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，∴∠AOB=90°，若点P在优弧ADB上，则∠APB=12∠AOB=45°；若点P在劣弧AB上，则∠APB=180°-45°=135°．∴∠APB=45°或135°．故选C．10．B解析：B【解析】【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答．【详解】∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB为120°∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的13，∵图形的面积是12cm2，∴图中阴影部分的面积之和为4cm2；故答案为B．【点睛】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．11．B解析：B【解析】试题解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线对称轴是x=1，∴b＜0且b=-2a．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．∴①abc＞0错误；∵b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＞0，∴②3a+b＞0正确；∵b=-2a，∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0，∴④4a+2b+c＜0错误；∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，∴k＜0．∵OA=OD，∴点A的坐标为（c，0）．直线y=kx+c当x=c时，y＞0，∴kc+c＞0可得k＞-1．∴③-1＜k＜0正确；∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=kx+c，得x1=0，x2=k b a -由图象知x2＞1，∴k ba-＞1∴k＞a+b，∴⑤a+b＜k正确，即正确命题的是②③⑤．故选B．12．C解析：C【解析】【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【详解】∵h＝8，r＝6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝12×2×6π×10＝60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．二、填空题13．【解析】∵x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根∴△=∴9﹣4k=0∴k=故答案为解析：94 【解析】 ∵x 2﹣3x +k=0有两个相等的实数根，∴△=2(3)410k --⨯⨯=，∴9﹣4k=0，∴k=94． 故答案为94． 14．【解析】【分析】思路分析：把所求的线段放在构建的特殊三角形内【详解】如图所示连接HCDF 且HC 与DF 交于点P ∵正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ∴∠BCF=∠DCG=30解析：3．【解析】【分析】思路分析：把所求的线段放在构建的特殊三角形内【详解】如图所示．连接HC 、DF ，且HC 与DF 交于点P∵正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG∴∠BCF=∠DCG=30°，FC =DC ，∠EFC=∠ADC=90°∠BCG=∠BCD+∠DCG=90°＋30°=120°∠DCF=∠BCG －∠BCF －∠DCG=120°－30°－30°=60°∴△DCF 是等边三角形，∠DFC=∠FDC=60°∴∠EFD=∠ADF=30°，HF=HD∴HC 是FD 的垂直平分线，∠FCH=∠DCH=12∠DCF=30° 在Rt △HDC 中，HD=DC·tan ∠3∵正方形ABCD 的边长为3∴HD=DC·tan ∠DCH=3×tan30°=3×3试题点评：构建新的三角形，利用已有的条件进行组合．15．②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（00）和（10）之间所以当x=解析：②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D （-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-2b a=-1得b=2a ，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，所以说方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac>0，所以①错误；∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a−b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−2b a =−1， ∴b=2a ，∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时, ax 2+bx+c=2，∴方程ax 2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握二次函数与x 轴交点的意义. 16．20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x 第一次降价后价格变为100（1-x ）元第二次在第一次降价后的基础上再降变为100（1-x ）（1-x）即100（1-x）2元从而列出方程求出答案【详解解析：20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1-x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x）（1-x），即100（1-x）2元，从而列出方程，求出答案．【详解】设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1-x）2元．根据题意，得100（1-x）2=64，即（1-x）2=0.64，解得x1=1.8，x2=0.2．因为x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故答案为20%．17．4或8【解析】【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形设A′D=x 根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x即x(12−x)当x(12−x)=32时解得：x=4或x=8所以AA′=8或AA′=4【解析：4或8【解析】【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设A′D=x，根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x，即x(12−x)，当x(12−x)=32时，解得：x=4或x=8，所以AA′=8或AA′=4．【详解】设AA′=x,AC与A′B′相交于点E，∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠A=45∘，∴△AA′E是等腰直角三角形，∴A′E=AA′=x，A′D=AD−AA′=12−x，∵两个三角形重叠部分的面积为32，∴x(12−x)=32，整理得,x2−12x+32=0，=4,x2=8，解得x1即移动的距离AA′等4或8.【点睛】本题考查正方形和图形的平移，熟练掌握计算法则是解题关键·. 18．【解析】【分析】画出树状图得出所有情况让从左向右恰好成上中下的情况数除以总情况数即为所求的概率【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果从上到下的顺序恰好为上册中册下册的结果有1个∴从上到下的顺序恰 解析：16【解析】【分析】画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1个， ∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 19．-1【解析】∵抛物线过原点∴解得又∵抛物线开口向下∴解析：-1【解析】∵抛物线2231y ax ax a =-+-过原点，∴210a -=，解得1a =±，又∵抛物线开口向下，∴1a =-. 20．x1=0x2=3【解析】【分析】先移项然后利用因式分解法求解【详解】x2=3x x2-3x=0x(x-3)=0x=0或x-3=0∴x1=0x2=3故答案为：x1=0x2=3【点睛】本题考查了解一元二次解析：x 1=0，x 2=3【解析】【分析】先移项，然后利用因式分解法求解．【详解】x2=3xx2-3x=0，x(x-3)=0，x=0或x-3=0，∴x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解三、解答题21．（1）月销售量450千克，月利润6750元；（2）销售单价应定为80元/千克【解析】【分析】（1）销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．那么涨价5元，月销售量就减少50千克．根据月销售利润＝每件利润×数量，即可求解；（2）等量关系为：销售利润＝每件利润×数量，设单价应定为x元，根据这个等量关系列出方程，解方程即可．【详解】（1）月销售量为：500﹣5×10＝450（千克），月利润为：（55﹣40）×450＝6750（元）．（2）设单价应定为x元，得：（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，解得：x1＝60，x2＝80．当x＝60时，月销售成本为16000元，不合题意舍去．∴x＝80．答：销售单价应定为80元/千克．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．22．这个游戏对双方不公平，理由见解析.【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到卡片字母相同的情况，再利用概率公式即可求得答案.【详解】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸到卡片字母相同的有5种等可能的结果，∴两次摸到卡片字母相同的概率为：59；∴小明胜的概率为59，小亮胜的概率为49，∵59≠49，∴这个游戏对双方不公平.故答案为这个游戏对双方不公平，理由见解析.【点睛】本题考查了树状图法求概率，判断游戏的公平性.23．(1)商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利1008元；(2)每件衬衫应降价20元；(3)不可能.理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答；（2）利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可；（3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．【详解】(1)410205⎛⎫⨯+⎪⎝⎭×(40-4)=1008(元).答：商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利1008元.(2)设每件衬衫应降价x元，根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20，∵要尽量减少库存，∴x=20.答：每件衬衫应降价20元.(3)不可能.理由如下：令(40-x)(20+2x)=1600，整理得x2-30x+400=0，∵Δ=900-4×400<0，∴商场平均每天不可能盈利1600元.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．24．(1)m=2,顶点为(1,4)；(2)（1,2）.【解析】【分析】（1）首先把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线y=2x -+mx+3，利用待定系数法即可求得m 的值，继而求得抛物线的顶点坐标；（2）首先连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC 的解析式，继而求得答案．【详解】解：（1）把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线y=2x -+mx+3得：0=23-+3m+3， 解得：m=2，∴y=2x -+2x+3=()214x --+，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小，设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，∵点C （0，3），点B （3，0）， ∴033k b b =+⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为：（1，2）．考点：二次函数的性质．25．经过2秒后PBQ ∆的面积等于24cm【解析】【分析】首先构建直角三角形，求出各边长，然后利用面积构建一元二次方程，求解即可.【详解】过点Q 作QE PB ⊥于E ，则90QEB ∠=︒，如图所示：30ABC ∠=︒，2QE QB ∴=12PQB S PB QE ∆∴= 设经过t 秒后PBQ ∆的面积等于2 4cm ， 则62PB t QB t QE t =-==，，． 根据题意，16 4.2t t -=（）212 680,24t t t t -+===，．当4t =时，28,87t =>，不合题意舍去，取2t =． 答：经过2秒后PBQ ∆的面积等于24cm .【点睛】此题主要考查三角形中的动点问题，解题关键是利用面积构建一元二次方程.。

2019-2020学年河南省郑州市中牟县枫杨外国语学校九年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）在实数3.14，﹣π，，﹣中，倒数最小的数是（）A．B．C．﹣πD．3.142．（3分）无锡的光伏技术不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 7mm2，这个数用科学记数法表示为（）A．7×10﹣6mm2B．0.7×10﹣6mm2C．7×10﹣7mm2D．70×10﹣8mm23．（3分）下列计算错误的是（）A．a•a2＝a3 B．（3ab3）2＝9a2b6C．（x2）3＝x6D．2a2+3a2＝5a44．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，∠BCD＝95°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A．∠α+∠β＝95°B．∠β﹣∠α＝95°C．∠α+∠β＝85°D．∠β﹣∠α＝85°6．（3分）将一个圆柱和一个正三棱柱如图放置，则所构成的几何体的主视图是（）A．B．C．D．7．（3分）为了解居民用电情况，小陈在小区内随机抽查了30户家庭的月用电量，结果如下表：月用电量/度4050608090100户数679521则这30户家庭的月用电量的众数和中位数分别是（）A．60，60B．60，50C．50，60D．50，708．（3分）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞29．（3分）如图：已知菱形ABCD的顶点B（﹣2，0），且∠ABC＝60°，点A在y轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；③作射线BP，交菱形的对角线AC于点E，则点E的坐标为（）A．（1，）B．（1，2）C．（，1）D．（）10．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8cm，CH是AB边上的高，正方形DEFG的边DE在高CH上，F，G两点分别在AC，AH上．将正方形DEFG以每秒1cm的速度沿射线DB方向匀速运动，当点G与点B重合时停止运动．设运动时间为ts，正方形DEFG与△BHC重叠部分的面积为Scm2，则能反映S 与t的函数关系的图象（）A．B．C．D．二．填空题（每题3分，共15分）11．（3分）计算﹣32﹣＝．12．（3分）若关于x的方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有两个实数根，则m的取值是．13．（3分）一个不透明的口袋里有4张形状完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3，4，现随机从口袋里取出两张卡片，则两次摸出的卡片的数字之和等于5的概率．14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，BC是半圆O的直径，则图中阴影部分的面积为．15．（3分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，则所有这样的m的取值范围为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1＝0．17．（9分）《中国诗词大会》以“赏中华诗词，寻文化基因、品生活之美”为基本宗旨，力求通过对诗词知识的比拼及赏析，带动全民重温那些曾经学过的古诗词，分享诗词之美，感受诗词之趣，从古人的智慧和情怀中汲取营养，涵养心灵，自开播以来深受广大师生的喜爱，某中学为了解学校学生的诗词水平，从八、九年级各随机抽取了20名学生进行了测试，并将八、九年级测试成绩（百分制，单位：分）整理如下：收集数据八年级93 92 84 55 85 82 66 74 88 67 87 87 67 61 87 61 78 57 72 75九年级68 66 79 92 86 87 61 86 90 83 90 78 70 67 53 79 86 71 61 89整理数据按如下分数段整理数据，并补全表格：测试成绩x（分）50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100年级八24九15563说明：测试成绩x（分），其中x≥80为优秀，70≤x＜80为良好，60≤x＜70为合格，0≤x＜60为不合格）分析数据补全下列表格中的统计量：年级平均数中位数众数八75.976.5九77.17986得出结论（1）在此次测试中，有位同学的成绩是78分，在他所在的年级属于中等偏上，则这位同学属于哪个年级？（2）若九年级有800名学生，估计九年级诗词水平达到优秀的学生有多少名？18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，CD平分∠ACB交AB于点D，点O在AC上，以CO为半径的圆经过点D，AE切⊙O于E．（1）求证：AD＝AE．（2）填空：①当∠ACB＝时，四边形ADOE是正方形；②当BC＝时，四边形ADCE是菱形．19．（9分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A（﹣4，﹣2）和B（a，4），直线AB交y轴于点C，连接QA、OB．（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标：（2）根据图象回答，当x的取值在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）求△AOB的面积．20．（9分）如图所示，建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度PD＝5米，斜坡AC的坡度为（即tan∠P AD＝），且M，A，D，B在同一条直线上．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；（2）求建筑物MN的高度．21．（10分）坚持农业农村优先发展，按照产业兴旺、生态宜居的总要求，统筹推进农村经济建设洛宁县某村出售特色水果（苹果）．规定如下：品种购买数量低于50箱购买数量不低于50箱新红星原价销售以八折销售红富士原价销售以九折销售如果购买新红星40箱，红富士60箱，需付款4300元；如果购买新红星100箱，红富士35箱，需付款4950元（1）每箱新红星、红富士的单价各多少元？（2）某单位需要购置这两种苹果120箱，其中红富土的数量不少于新红星的一半，并且不超过60箱，如何购买付款最少？请说明理由；22．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．探索发现：图1中，的值为；的值为．（2）拓展探完若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，在旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△CDE旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BE的长．23．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+P A的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年河南省郑州市中牟县枫杨外国语学校九年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．【解答】解：在3.14，﹣π，，﹣中，倒数最小的数是两个负数中一个，所以先求两个负数的倒数：﹣π的倒数是﹣≈﹣0.3183，﹣的倒数是﹣≈﹣4472，所以﹣＞﹣，故选：A．2．【解答】解：0.000 000 7＝7×10﹣7，故选：C．3．【解答】解：A、a•a2＝a3，正确，不合题意；B、（3ab3）2＝9a2b6，正确，不合题意；C、（x2）3＝x6，正确，不合题意；D、2a2+3a2＝5a2，原式计算错误，符合题意；故选：D．4．【解答】解：解不等式x﹣1＜1，得：x＜2，解不等式x+1≥0，得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，故选：A．5．【解答】解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠1＝∠α，∠2＝180°﹣∠β，∵∠BCD＝95°，∴∠1+∠2＝∠α+180°﹣∠β＝95°，∴∠β﹣∠α＝85°．故选：D．6．【解答】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是选项A．故选：A．7．【解答】解：这组数据的众数为60，中位数为＝60，故选：A．8．【解答】解：当x＝1时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2；当x＝2时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7；所以2＞y1＞y2．故选：A．9．【解答】解：如图，作EH⊥BC于H．∵四边形ABC都是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵B（﹣2，0），∴OB＝2，OA＝2，由作图可知：BE平分∠ABC，∴BE⊥AC，∴BE＝OA＝2，∴EH＝，BH＝EH＝3，∴OH＝1，∴E（1，），故选：A．10．【解答】解：由题意得：AH＝BH＝CH＝4，FE＝FG＝GH＝EH＝2，（1）当0≤t≤2时，如图1，设EF交CH于点K，则S＝S矩形EDHK＝t×2＝2t；（2）2＜t≤4时，如图2，设EF与BC交于点M，DE于BC交于点N，S＝S正方形DEFG﹣S△EMN＝4﹣×[2﹣（4﹣t）]2＝﹣（t﹣2）2+4；（3）4＜t≤6时，如图3，设GF交BC于点L，S＝S△BGL＝×[2﹣（t﹣4）]2＝（t﹣6）2；故选：B．二．填空题（每题3分，共15分）11．【解答】解：原式＝﹣9﹣3＝﹣12．故答案为：﹣12．12．【解答】解：由题意可知：△＝4﹣4（m﹣2）≥0，∴m≤3，∵m﹣2≠0，∴m≠2，故答案为：m≤3且m≠213．【解答】解：根据题意画树状图如图：共有12种情况，两次摸出的卡片的数字之和等于5的有4种，∴两次摸出的卡片的数字之和等于5的概率为＝，故答案为：．14．【解答】解：如图，连接OF．S阴＝（S扇形OFC﹣S△OFC）+（S△ABC﹣S△OFC﹣S扇形OBF）＝﹣•×+×2×﹣××﹣＝﹣+﹣＝+，故答案为：+．15．【解答】解：如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3．作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M．则EQ＝3，CE＝DC＝4，易证四边形EMCQ是矩形，∴CM＝EQ＝3，∠M＝90°，∴EM＝＝＝，∵∠DAC＝∠EDM，∠ADC＝∠M，∴△ADC∽△DME，＝，∴＝，∴AD＝4，（当AD＝4时，直线BC上方还有一个点满足条件，见图2）如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3．作EQ⊥BC于Q，延长QE交AD于M．则EQ＝3，CE＝DC＝4在Rt△ECQ中，QC＝DM＝＝，由△DME∽△CDA，∴＝，∴＝，∴AD＝，综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，这样的m的取值范围≤m＜4，故答案为：≤m＜4．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．【解答】解：＝＝＝，∵x2﹣x﹣1＝0∴x2＝x+1，∴原式＝＝1．17．【解答】解：把八年级的测试成绩从小到大排列为：55，57，61，61，66，67，67，72，74，75，78，82，84，85，87，87，87，88，92，93．60≤x＜70有5人；80≤x＜90有7人；90≤x≤100有2人．故答案为：5；7；2；∵87出现的次数最多，故87是这组数据的众数．故答案为：87；得出结论（1）在此次测试中，有位同学的成绩是78分，在他所在的年级属于中等偏上，则这位同学属于八年级；（2）（人），若九年级有800名学生，估计九年级诗词水平达到优秀的学生有360名．18．【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ODC＝∠DCB，∴OD∥BC，∵∠B＝90°，∴∠ODA＝90°，∵OD是半径，∴AD是圆的切线，∵AE切⊙O于E，∴AE＝AD；（2）①当四边形ADOE是正方形时，∠AOD＝45°，∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠ACB＝45°，②当四边形ADCE是菱形，∴AD＝CD＝CE＝AE，AC⊥DE，∴△CED是等边三角形，∴∠DCE＝60°，∴∠DCA＝30°，∴∠ACB＝60°，∵AB＝6，∴BC＝AB．故答案为：45°；2．19．【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），∵反比例函数图象经过点A（﹣4，﹣2），∴﹣2＝，∴k＝8，∴反比例函数的解析式为y＝，∵B（a，4）在y＝的图象上，∴4＝，∴a＝2，∴点B的坐标为B（2，4）；（2）根据图象得，当x＞2或﹣4＜x＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）设直线AB的解析式为y＝ax+b，∵A（﹣4，﹣2），B（2，4），∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+2，∴C（0，2），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×4+＝6．20．【解答】解：（1）如图，作PH⊥MN于H．则四边形PDMH是矩形．∵tan∠P AD＝＝，PD＝5，∴AD＝15，P A＝＝5（米），∴此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长为5米．（2）∵∠NPH＝45°，∠PHN＝90°，∴∠PNH＝∠NPH＝45°，∴NH＝PH，设NH＝PH＝x米，则MN＝（x+5）米，AM＝（x﹣15）米，在Rt△AMN中，∵tan60°＝，∴MN＝AM，∴x＝5＝（x﹣15）解得x＝（10+25）（米），∴MN＝x+5＝（10+30）米．21．【解答】解：（1）设每箱新红星a元，每箱红富士b元，由题意可得：，解得，答：每箱新红星40元，每箱红富士50元；（2）设购置新红星x箱，则购置红富士（120﹣x）箱，所需的总费用为y元，由题意可得：，解得60≤x≤80，所以新红星箱数x的取值范围60≤x≤80，设购买付款费用为y元，则当60≤x≤70时，y＝40×0.8x+50×0.9（120﹣x）＝﹣13x+5400，∵k＝﹣13＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝70时，y的值最小，最小值为：y＝﹣13×70+5400＝4490；当70＜x≤80时，y＝40×0.8x+50（120﹣x）＝﹣18x+6000，∵k＝﹣18＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝80时，y的值最小，最小值为：y＝﹣18×80+6000＝4560，∵4490＜4560，∴购买新红星70箱，红富士50箱，费用最少，最少费用为4490元．22．【解答】解：（1）如图1，连接AE，∵AB＝AC＝2，点E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠BEC＝90°，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB＝1，根据勾股定理得，BE＝∵点E是BC的中点，∴BC＝2BE＝2，∴＝＝，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，∴＝＝，故答案为：，；（2）无变化，理由：由（1）知，CD＝1，CE＝BE＝，∴＝，，∴＝，由（1）知，∠ACB＝∠DCE＝30°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴，（3）当点D在线段AE上时，如图2，过点C作CF⊥AE于F，∠CDF＝180°﹣∠CDE＝60°，∴∠DCF＝30°，∴DF＝CD＝，∴CF＝DF＝，在Rt△AFC中，AC＝2，根据勾股定理得，AF＝＝，∴AD＝AF+DF＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝当点D在线段AE的延长线上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∵∠CDG＝60°，∴∠DCG＝30°，∴DG＝CD＝，∴CG＝DG＝，在Rt△ACG中，根据勾股定理得，AG＝，∴AD＝AG﹣DG＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝即：线段BE的长为或．23．【解答】解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+，m＝﹣4+＝﹣，∴B的坐标为（4，﹣），将A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，解得b＝1，c＝，∴抛物线的解析式y＝；（2）设D（m，），则E（m，﹣m+），DE＝（）﹣（﹣m+）＝＝﹣（m﹣2）2+2，∴当m＝2时，DE有最大值为2，此时D（2，），作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．PD+P A＝PD+P A'＝A'D，此时PD+P A最小，∵A（3，2），∴A'（﹣1，2），A'D＝＝，即PD+P A的最小值为；（3）作AH⊥对称轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，∵抛物线的解析式y＝，∴M（1，4），∵A（3，2），∴AH＝MH＝2，H（1，2）∵∠AQM＝45°，∠AHM＝90°，∴∠AQM＝∠AHM，可知△AQM外接圆的圆心为H，∴QH＝HA＝HM＝2设Q（0，t），则＝2，t＝2+或2﹣∴符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2﹣）、Q2（0，2）．。

2019-2020学年河南省郑州外国语中学九年级（上）第一次月考数学试卷一．选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）下列条件中，能判断四边形是菱形的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相平分且垂直的四边形2．（3分）把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（）A．x2+4x+3＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2﹣3x﹣1＝0D．x2﹣2x﹣2＝03．（3分）若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（）A．8B．7C．8或7D．9或84．（3分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．5．（3分）为执行“均衡教育“政策，某区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（）A．2500（1+2x）＝12000B．2500（1+x）2＝1200C．2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝12000D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝120006．（3分）下列数中，能与6，9，10组成比例的数是（）A．1B．74C．5.4D．1.57．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，菱形ABCD的面积为24，则OE长为（）A．2.5B．3.5C．3D．48．（3分）如图，将矩形ABCD的一个角翻折，使得点D恰好落在BC边上的点G处，折痕为EF，若EB为∠AEG 的平分线，EF和BC的延长线交于点H．下列结论中：①∠BEF＝90°；②DE＝CH；③BE＝EF；④△BEG和△HEG的面积相等；⑤若，则．以上命题，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．选择题（每小题3分，共18分）9．（3分）已知＝，则＝．10．（3分）在长8cm，宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是cm2．11．（3分）若（m﹣1）x m（m+2）﹣1+2mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是．12．（3分）在一个不透明的袋子中装有20个蓝色小球、若干个红色小球和10个黄色小球，这些球除颜色不同外其余均相同，小李通过多次摸取小球试验后发现，摸取到红色小球的频率稳定在0.4左右，若小明在袋子中随机摸取一个小球，则摸到黄色小球的概率为．13．（3分）如图，在菱形OBCD中，OB＝1，相邻两内角之比为1：2，将菱形OBCD绕顶点O顺时针旋转90°，得到菱形OB′C′D′视为一次旋转，则菱形旋转45次后点C的坐标为．14．（3分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则线段AP+PD 的最小值为．15．（3分）矩形纸片ABCD，AB＝9，BC＝6，在矩形边上有一点P，且DP＝3．将矩形纸片折叠，使点B与点P 重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为．三．解答题（共55）16．（8分）用适当的方法解下列方程：（1）x（x﹣2）＝x﹣2；（2）3x2﹣1＝2x+5；17．某商场在促销活动中规定，顾客每消费100元就能获得一次抽奖机会．为了活跃气氛，设计了两个抽奖方案：方案一：转动转盘A一次，转出红色可领取一份奖品；方案二：转动转盘B两次，两次都转出红色可领取一份奖品．（两个转盘都被平均分成3份）如果你获得一次抽奖机会，你会选择哪个方案？请用相关的数学知识说明理由．18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．19．在一元二次方程中，有著名的韦达定理：对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果方程有两个实数根x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝（说明：定理成立的条件△≥0）．比如方程2x2﹣3x﹣1＝0中，△＝17，所以该方程有两个不等的实数解．记方程的两根为x1，x2，那么x1+x2＝，x1•x2＝﹣，请根据阅读材料解答下列各题：（1）已知方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为x1、x2，且x1＞x2，求下列各式的值：①x12+x22；②；（2）已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根．①是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值．20．如图（1），△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝a，P点是底边BC上的一个动点，PD∥AC，PE∥AB．（1）用a表示四边形ADPE的周长为；（2）点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由；（3）如果△ABC不是等腰三角形（图2），其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形（不必说明理由）．21．随着生活水平的不断提高，越来越多的人选择到电影院观看电影，体验视觉盛宴，并且更多的人通过网上平台购票，既快捷又能享受更多优惠．某电影城2019年从网上购买3张电影票的费用比现场购买2张电影票的费用少10元；从网上购买5张电影票的费用和现场购买1张电影票的费用共200元．（1）求该电影城2019年在网上购票和现场购票每张电影票的价格为多少元？（2）2019年五一当天，该电影城按照2019年网上购票和现场购票的价格销售电影票，当天售出的总票数为500张．五一假期过后，观影人数出现下降，于是电影城决定从5月5日开始调整票价：现场购票价格下调，网上购票价格不变．结果发现，现场购票每张电影票的价格每降低2元，售出总票数就比五一当天增加4张．经统计，5月5日售出的总票数中有60%的电影票通过网上售出，其余通过现场售出，且当天票房总收入为17680元，试求出5月5日当天现场购票每张电影票的价格为多少元？22．如图1，平面直角坐标系中，B、C两点的坐标分别为B（0，3）和C（0，﹣），点A在x轴正半轴上，且满足∠BAO＝30°．（1）过点C作CE⊥AB于点E，交AO于点F，点G为线段OC上一动点，连接GF，将△OFG沿FG翻折使点O落在平面内的点O′处，连接O′C，求线段OF的长以及线段O′C的最小值；（2）如图2，点D的坐标为D（﹣1，0），将△BDC绕点B顺时针旋转，使得BC⊥AB于点B，将旋转后的△BDC沿直线AB平移，平移中的△BDC记为△B′D′C′，设直线B′C′与x轴交于点M，N为平面内任意一点，当以B′、D′、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标．2019-2020学年河南省郑州外国语中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题3分，共24分）1．【解答】解：A、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；C、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；故选：D．2．【解答】解：x（x+1）＝3x+2x2+x﹣3x﹣2＝0，x2﹣2x﹣2＝0故选：D．3．【解答】解：∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，∴a＝b，或a、b中有一个数为4．当a＝b时，有b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4（n+1）＝0，解得：n＝8；当a、b中有一个数为4时，有42﹣6×4+n+1＝0，解得：n＝7，故选：C．4．【解答】解：画树状图如图所示：∵共有20种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有12种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为＝；故选：C．5．【解答】解：设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，由题意得，2500+2500×（1+x）+2500（1+x）2＝12000．故选：D．6．【解答】解：A、10×1≠6×9，1不能与6，9，10组成比例，故错误；B、6×74≠9×10，74不能与6，9，10组成比例，故错误；C、5.4×10＝6×9，5.4能与6，9，10组成比例；故正确；D、1.5×10≠6×9，1.5不能与6，9，10组成比例，故错误．故选：C．7．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，菱形ABCD的面积为24，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×6DB＝24，解得：BD＝8，∴AO＝OC＝3，OB＝OD＝4，AO⊥BO，又∵点E是AB中点，∴OE是△DAB的中线，在Rt△AOD中，AB＝＝5，则OE＝AD＝2.5．故选：A．8．【解答】解：①由折叠的性质可知∠DEF＝∠GEF，∵EB为∠AEG的平分线，∴∠AEB＝∠GEB，∵∠AED＝180°，∴∠BEF＝90°，故正确；②可证△EDF∽△HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故错误；③只可证△EDF∽△BAE，无法证明BE＝EF，故错误；④可证△GEB，△GEH是等腰三角形，则G是BH边的中线，∴△BEG和△HEG的面积相等，故正确；⑤过E点作EK⊥BC，垂足为K．设BK＝x，AB＝y，则有y2+（2y﹣2x）2＝（2y﹣x）2，解得x1＝y（不合题意舍去），x2＝y．则，故正确．故正确的有3个．故选：B．二．选择题（每小题3分，共18分）9．【解答】解：∵＝，∴可设a＝2k，b＝3k（k≠0），∴＝＝．故答案为．10．【解答】解：设宽为x，∵留下的矩形与原矩形相似，∴＝，解得x＝．∴截去的矩形的面积为×6＝21cm2，∴留下的矩形的面积为48﹣21＝27cm2，故答案为：27．11．【解答】解：由题意，得m（m+2）﹣1＝2且m﹣1≠0，解得m＝﹣3，故答案为：﹣3．12．【解答】解：设袋子中红色小球有x个，根据题意，得：＝0.4，解得x＝20，经检验x＝20是分式方程的解，则在袋子中随机摸取一个小球，摸到黄色小球的概率＝，故答案为：．13．【解答】解：∵四边形OBCD是菱形，相邻两内角之比为1：2，∴∠C＝∠BOD＝60°，∠D＝∠OBC＝120°．根据旋转性质可得∠OB′C′＝120°，∴∠C′B′H＝60°．过C′作C′H⊥y轴于点H，如图所示：在Rt△C′B′H中，B′C′＝1，∴B′H＝B'C＝，C′H＝B'H＝．∴OH＝1+＝．∴C′坐标为（，﹣），∵360°÷90°＝4，∴菱形4次旋转一周，4次一个循环，∵45÷4＝11……1，∴菱形旋转45次后点C与点C'重合，坐标为（，﹣）；故答案为：（，﹣）．14．【解答】解：如图，作PE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，∵四边形ABCD是菱形∴∠DAC＝∠CAB，AB＝BC，且∠B＝120°∴∠CAB＝30°∴PE＝AP，∠DAF＝60°∴∠FDA＝30°，且DF⊥AB∴AF＝AD＝2，DF＝AF＝2∵AP+PD＝PE+DP∴当点D，点P，点E三点共线且垂直AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF，∴线段AP+PD的最小值为2故答案为：215．【解答】解：如图1，当点P在CD上时，∵PD＝3，CD＝AB＝9，∴CP＝6，∵EF垂直平分PB，∴四边形PFBE是正方形，EF过点C，∴EF＝6，如图2，当点P在AD上时，过E作EQ⊥AB于Q，∵PD＝3，AD＝6，∴AP＝3，∴PB＝＝＝3，∵EF垂直平分PB，∴∠1＝∠2，∵∠A＝∠EQF，∴△ABP∽△EFQ，∴，∴，∴EF＝2，综上所述：EF长为6或2．故答案为：6或2．三．解答题（共55）16．【解答】解：（1）∵x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，则x﹣2＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝2，x2＝1．（2）整理，得：3x2﹣2x﹣6＝0，∵x＝3，b＝﹣2，c＝﹣6，∴△＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣6）＝76＞0，则x ＝＝， 即x 1＝，x 2＝．17．【解答】解：方案一：∵转盘A 被平均分成3份，其中红色区域占1份， ∴转出红色可领取一份奖品的概率为：方案二：∵转盘B 被平均分成3份，分别为红1，红2，蓝，可列表：由表格可知，一共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两次都转出红色的结果有4种，分别是（红1，红1 ），（红1，红2），（红2，红1），（红2，红2）．∴P （获得奖品）．＜∴选择方案二18．【解答】（1）证明：∵AO ＝CO ，BO ＝DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC ＝∠ADC ，∵∠ABC +∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形；（2）解：∵∠ADC ＝90°，∠ADF ：∠FDC ＝3：2，∴∠FDC ＝36°，∵DF ⊥AC ，∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，∵四边形ABCD是矩形，∴CO＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝54°，∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．19．【解答】解：（1）∵x2﹣3x﹣2＝0，△＝（﹣3）2﹣4×（﹣2）＝17＞0∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣2①x+x＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝32﹣2×（﹣2）＝9+4＝13②＝（2）∵方程有两个实数根，∴△＝（﹣4k）2﹣4•4k（k+1）＞0∴k＜0，x1+x2＝1，x1•x2＝①∵（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝2x12﹣5x1x2+2x22＝2（x12+2x1x2+x22）﹣9x1x2＝2（x1+x2）2﹣9x1x2∴2﹣9＝解得：k＝，与k＜0矛盾∴不存在k的值，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立．②+﹣2＝＝＝∵+﹣2＝的值为整数∴k+1＝±1或±2或±4又∵k＜0∴k＝﹣2或﹣3或﹣520．【解答】解：（1）∵PD∥AC，PE∥AB∴四边形ADPE为平行四边形∴AD＝PE，DP＝AE，∵AB＝AC∴∠B＝∠C，∵DP∥AC∴∠B＝∠DPB∴DB＝DP∴四边形ADPE的周长＝2（AD+DP）＝2（AD+BD）＝2AB＝2a 故答案为：2a（2）当P为BC中点时，四边形ADPE是菱形．理由如下：连结AP∵PD∥AC，PE∥AB∴四边形ADPE为平行四边形∵AB＝AC，P为BC中点∴∠P AD＝∠P AE∵PE∥AB∴∠P AD＝∠APE∴∠P AE＝∠APE∴EA＝EP∴四边形ADPE是菱形（3）P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE是菱形，∵PD∥AC，PE∥AB，∴四边形ADPE是平行四边形，∵AP平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵AB∥EP，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AE＝EP，∴四边形ADPE是菱形．21．【解答】解：（1）设该电影城2019年在网上购票每张电影票的价格为x元，现场购票每张电影票的价格为y元，依题意，得：，解得：．答：该电影城2019年在网上购票每张电影票的价格为30元，现场购票每张电影票的价格为50元．（2）设5月5日当天现场购票每张电影票的价格为m元，则当天售出的总票数为[500+×（50﹣m）]张，依题意，得：（1﹣60%）m[500+×（50﹣m）]+30×60%×[500+×（50﹣m）]＝17680，整理，得：m2﹣255m+8600＝0，解得：m1＝40，m2＝215（舍去）．答：5月5日当天现场购票每张电影票的价格为40元．22．【解答】解：（1）如图1中，∵∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，∴∠CBE＝60°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∠BCE＝30°，∵C（0，﹣），∴OC＝，OF＝OC•tan30°＝，CF＝2OF＝3，由翻折可知：FO′＝FO＝，∴CO′≥CF﹣O′F，∴CO′≥，∴线段O′C的最小值为．（2）①如图2中，当B′D′＝B′M＝BD＝＝时，可得菱形MND′B′．在Rt△AMB′中，AM＝2B′M＝2，∴OM＝AM﹣OA＝2﹣3，∴M（3﹣2，0）．②如图3中，当B′M是菱形的对角线时，由题意B′M＝2OB＝6，此时AM＝12，OM＝12﹣3，可得M（3﹣12，0）．③如图4中，当B′D′是菱形的对角线时，可得B′M＝，AM＝，OM＝3﹣，所以M（3﹣，0）．④如图5中，当MD′是菱形的对角线时，MB′＝B′D′＝，可得AM＝2，OM＝OA+AM＝3+2，所以M（3+2，0）．综上所述，满足条件的点M的坐标为（3﹣2，0）或（3﹣12，0）或（3﹣，0）或（3+2，0）．。

郑州枫杨外国语中学2025届九年级数学第一学期开学复习检测试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图（1），四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度，按A →B →C →D 的顺序在边上匀速运动，设P 点的运动时间为t 秒，△PAD 的面积为S ，S 关于t 的函数图象如图（2）所示，当P 运动到BC 中点时，△APD 的面积为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．72、（4分）某校九年级（1）班全体学生2018年初中毕业体育考试的成绩统计如表：成绩（分）35394244454850人数（人）2566876根据如表的信息判断，下列结论中错误的是（）A ．该班一共有40名同学B ．该班学生这次考试成绩的众数是45分C ．该班学生这次考试成绩的中位数是44分D ．该班学生这次考试最高成绩是50分3、（4分）如图所示，在矩形纸片中，，，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，则的长为( )A ．B ．C ．D ．4、（4分）下列计算正确的是（ ）。

ABCD5、（4分）若化简，则的取值范围是( )A ．一切实数B ．C ．D ．6、（4分）如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，于点E ，连接OE ，若，则（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°7、（4分）已知一元二次方程2﹣5x+1=0的两个根为，，下列结论正确的是（ ）A ．+=﹣B ．•=1C ．，都是正数D ．，都是有理数8、（4分）数学兴趣小组的甲、乙、丙、丁四位同学进行还原魔方练习，下表记录了他们10次还原魔方所用时间的平均值与方差：甲乙丙丁-=3=-==1-25x -x 14x ≤≤1x ≤4x ≥DE BC ⊥140ABC ︒∠=OED ∠=2x 1x 2x 1x 2x 521x 2x 1x 2x 1x 2x x 2S（秒）303028281.21 1.05 1.21 1.05要从中选择一名还原魔方用时少又发挥稳定的同学参加比赛，应该选择（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）已知四边形ABCD 为菱形，∠BAD=60°，E 为AD 中点，AB=6cm ，P 为AC 上任一点．求PE+PD 的最小值是_______10、（4分）从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：种子粒数100400800 1 000 2 000 5 000发芽种子粒数853******** 1 604 4 005发芽频率0.8500.7950.8150.7930.8020.801根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为___________（精确到0.1）．11、（4分）在平面直角坐标系中，若点P (2x ＋6，5x )在第四象限，则x 的取值范围是_________；12、（4分）如图，在矩形ABCD 中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH ．若AB =8，AD =6，则四边形EFGH 的周长等于__________．13、（4分）已知一组数据3、x 、4、8、6，若该组数据的平均数是5，则x 的值是______．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）x 2S14、（12分）如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 边上的点，∠AEF=90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．（1）如图①，当点E 是BC 边上任一点（不与点B 、C 重合）时，求证：AE=EF ．（2）如图②当点E 是BC 边的延长线上一点时，（1）中的结论还成立吗？ （填成立或者不成立）．（3）当点E是BC 边上任一点（不与点B 、C 重合）时，若已知AE=EF ，那么∠AEF 的度数是否发生变化？证明你的结论．15、（8分）如图：矩形ABCD 中，AB=2，BC=5，E 、P 分别在AD 、BC 上，且DE=BP=1．（1）判断△BEC 的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH 是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH 的面积．16、（8分）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？17、（10分）如图，中，是边上一点，，，，分别是，边上的动点，且始终保持．ABCD E AD 45A ∠=︒3BE CD ==ED =P Q BC CD 45EPQ ∠=︒（1）求的长；（2）若四边形为平行四边形时，求的周长；（3）将沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，求线段的长．18、（10分）某养猪场要出售200只生猪，现在市场上生猪的价格为11元/，为了估计这200只生猪能卖多少钱，该养猪场从中随机抽取5只，每只猪的重量（单位：）如下：76，71，72，86，1．（1）计算这5只生猪的平均重量；（2）估计这200只生猪能卖多少钱？B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）已知四边形是平行四边形，且，，三点的坐标分别是，，则这个平行四边形第四个顶点的坐标为______．20、（4分）根据图中的程序，当输入x ＝2时，输出结果y ＝________．21、（4分）如图，经过点B （－2，0）的直线与直线相交于点A （－1，－2），则不等式的解集为 ．AE ABPE CPQ CPQ BP kg kg ABCD A B C ()3,3()8,3()4,6y kx b =+y 4x 2=+4x 2<kx b<0++22、（4分）如图，Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝AC ＝3，点D 是BC 边上一点，∠DAC ＝30°，点E 是AD 边上一点，CE 绕点C 逆时针旋转90°得到CF ，连接DF ，DF 的最小值是___．23、（4分）如图，一根垂直于地面的木杆在离地面高3m 处折断,若木杆折断前的高度为8m ，则木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离为________m ．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）在的方格纸中，四边形的顶点都在格点上.（1）计算图中四边形的面积；（2）利用格点画线段，使点在格点上，且交于点，计算的长53⨯ABCD ABCD DE E DE AC ⊥AC F DF度.25、（10分）如图，，是上的一点，且，.求证：≌26、（12分）如下4个图中，不同的矩形ABCD ，若把D 点沿AE 对折，使D 点与BC 上的F 点重合；（1）图①中，若DE ︰EC=2︰1，求证：△ABF ∽△AFE ∽△FCE ；并计算BF ︰FC ；（2）图②中若DE ︰EC=3︰1，计算BF ︰FC= ；图③中若DE ︰EC=4︰1，计算BF ︰FC= ；（3）图④中若DE ︰EC=︰1，猜想BF ︰FC= ；并证明你的结论090A B ∠=∠=E AB AD BE =12∠=∠Rt ADE V Rt BEC n参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、B 【解析】根据函数图象和三角形面积得出AB+BC=6，CD=4，AD=4，AB=1，当P 运动到BC 中点时，梯形ABCD 的中位线也是△APD 的高，求出梯形ABCD 的中位线长，再代入三角形面积公式即可得出结果．【详解】解：根据题意得：四边形ABCD 是梯形，AB+BC=6，CD=10-6=4，∵AD×CD=8，∴AD=4，又∵AD×AB=2，∴AB=1，当P 运动到BC 中点时，梯形ABCD 的中位线也是△APD 的高，∵梯形ABCD 的中位线长=(AB+CD)=，∴△PAD 的面积 故选B ．本题考查了动点问题的函数图象、三角形面积公式、梯形中位线定理等知识；看懂函数图象是解决问题的关键．2、C 【解析】根据总数，众数，中位数的定义即可一一判断；【详解】该班一共有：2+5+6+6+8+7+6=40（人），众数是45分，最高成绩为50分，中位数为45分，故A 、B 、D 正确，C 错误，故选：C ．12121252154522；=⨯⨯=此题考查总数，众数，中位数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．3、D 【解析】由题得BD= =5，根据折叠的性质得出△ADG ≌△A′DG ，继而得A′G=AG ，A′D=AD ，A′B=BD-A′G ，再Rt △A′BG 根据勾股定理构建等式求解即可.【详解】解：由题得BD==5，根据折叠的性质得出：△ADG ≌△A′DG ，∴A′G=AG ，A′D=AD=3，A′B=BD-A′G=5-3=2，BG=4-A′G 在Rt △A′BG 中，BG 2=A′G 2+A′B 2可得：，解得A′G=，则AG=，故选：D ．本题主要考查折叠的性质，由已知能够注意到△ADG ≌△A′DG 是解决的关键．4、C 【解析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【详解】解：（A ）原式A 错误；（B ）原式=3，故B 错误；（C ）原式，故C 正确；（D ）原式 ，故D 错误；故选：C本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．5、B【解析】根据完全平方公式先把多项式化简为|1−x|−|x−4|，然后根据x 的取值范围分别讨论，求出符合题意的x 的值即可．【详解】原式可化简为，当，时，可得无解，不符合题意；当，时，可得时，原式；当，时，可得时，原式；当，时，可得时，原式.据以上分析可得当时，多项式等于.故选B.本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论6、A 【解析】根据直角三角形的斜边中线性质可得OE=OB=OD ，根据菱形性质可得∠DBE= ∠ABC=70°，从而得到∠OEB 度数，再依据∠OED=90°-∠OEB 即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴O 为BD 中点，∠DBE=∠ABC=70°，∵DE ⊥BC ，∴在Rt △BDE 中，OE=OB=OD ，∴∠OEB=∠OBE=70°，∴∠OED=90°-70°=20°，故选A ．本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．7、C【解析】|1||4|x x ---10x -≥40x -≥x 10x -≥40x -≤4x ≤143x x =--+=-10x -≤40x -≥4x ≥143x x =--+=10x -≤40x -≤14x ≤≤1425x x x =--+=-14x ≤≤25x -1212先利用根与系数的关系得到x 1+x 21，x 1x 21，然后利用有理数的性质可判定两根的符号．【详解】根据题意得x 1+x 21，x 1x 21，所以x 1＞1，x 2＞1．∵x ，故C 选项正确．故选C ．本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =1（a ≠1）的两根，则x 1+x 2，x 1x 2．8、D 【解析】在这四位同学中，丙、丁的平均时间一样，比甲、乙的用时少，但丁的方差小，成绩比较稳定，由此可知，可选择丁，故选D.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、【解析】根据菱形的性质，可得AC是BD 的垂直平分线，可得AC上的点到D 、B 点的距离相等，连接BE 交AC 与P ，可得答案．【详解】解：∵菱形的性质，∴AC 是BD 的垂直平分线，AC 上的点到B 、D 的距离相等．连接BE 交AC 于P 点，PD=PB ，PE+PD=PE+PB=BE ，在Rt △ABE 中，由勾股定理得故答案为52=＞12=＞52=＞12=＞=b a =-c a =BE ===本题考查了轴对称，对称轴上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．10、1．2【解析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在1.2左右，从而得到结论．【详解】∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在1.2左右，∴该玉米种子发芽的概率为1.2，故答案为1.2．考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．11、﹣3＜x ＜1【解析】根据第四象限内横坐标为正，纵坐标为负可得出答案.【详解】∵点P （2x-6，x-5）在第四象限，∴ 解得-3＜x ＜1．故答案为-3＜x ＜1.本题考查了点的坐标、一元一次不等式组，解题的关键是知道平面直角坐标系中第四象限横、纵坐标的符号.12、20.【解析】分析：连接AC,BD,根据勾股定理求出BD,根据三角形中位线定理，菱形的判定定理得到四边形EHGF 为菱形，根据菱形的性质计算．解答:连接AC,BD 在Rt △ABD 中， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD=10, ∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点，∴EH ∥BD,EF=BD=5,同理，FG ∥BD,10,=12FG=BD=5,GH ∥AC,GH=AC=5, ∴四边形EHGF 为菱形，∴四边形EFGH 的周长=5×4=20，故答案为20.点睛：本题考查了中点四边形，掌握三角形的中位线定理、菱形的判定定理是解答本题的关键.13、1【解析】根据算术平均数的计算方法列方程求解即可．【详解】解：由题意得： 解得：．故答案为1．此题考查算术平均数的意义和求法，掌握计算方法是解决问题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）∠AEF=90°不发生变化．理由见解析.【解析】（1）在AB 上取点G ，使得BG=BE ，连接EG ，根据已知条件利用ASA 判定△AGE ≌△ECF ，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF ；（2）在BA 的延长线上取一点G ，使AG=CE ，连接EG ，根据已知利用ASA 判定△AGE ≌△ECF ，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF ；（3）在BA 边取一点G ，使BG=BE ，连接EG ．作AP ⊥EG ，EQ ⊥FC ，先证AGP ≌△ECQ 得AP=EQ ，再证Rt △AEP ≌Rt △EFQ 得∠AEP=∠EFQ ，∠BAE=∠CEF ，结合∠AEB+∠BAE=90°知∠AEB+∠CEF=90°，从而得出答案．【详解】（1）证明：在BA 边取一点G ，使BG=BE ，连接EG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B=90°，BA=BC ，∠DCM═90°，1212348655x ++++=⨯4x =∴BA-BG=BC-BE ，即 AG=CE ．∵∠AEF=90°，∠B=90°，∴∠AEB+∠CEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠CEF=∠BAE ．∵BG=BE ，CF 平分∠DCM ，∴∠BGE=∠FCM=45°，∴∠AGE=∠ECF=135°，∴△AGE ≌△ECF （ASA ），∴AE=EF ．（2）成立，理由：在BA 的延长线上取点G ，使得AG=CE ，连接EG ．∵四边形ABCD 为正方形，AG=CE ，∴∠B=90°，BG=BE ，∴△BEG 为等腰直角三角形，∴∠G=45°，又∵CF 为正方形的外角平分线，∴∠ECF=45°，∴∠G=∠ECF=45°，∵∠AEF=90°，∴∠FEM=90°-∠AEB，又∵∠BAE=90°-∠AEB ，∴∠FEM=∠BAE ，∴∠GAE=∠CEF ，在△AGE 和△ECF 中，∵，∴△AGE ≌△ECF （ASA ），∴AE=EF ．故答案为：成立．（3）∠AEF=90°不发生变化．理由如下：在BA 边取一点G ，使BG=BE ，连接EG ．分别过点A 、E 作AP ⊥EG ，EQ ⊥FC ，垂足分别为点P 、Q ，∴∠APG=∠EQC=90°，由（1）中知，AG=CE ，∠AGE=∠ECF=135°，∴∠AGP=∠ECQ=45°，G CEF AG CE GAE CEF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△AGP ≌△ECQ （AAS ），∴AP=EQ ，∴Rt △AEP ≌Rt △EFQ （HL ），∴∠AEP=∠EFQ ，∴∠BAE=∠CEF ，又∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠AEB+∠CEF=90°，∴∠AEF=90°．此题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意类比思想的正确运用．15、（1）△BEC 是直角三角形，理由见解析（2）四边形EFPH 为矩形，理由见解析（3）【解析】（1）△BEC 是直角三角形，理由略（2）四边形EFPH 为矩形证明：在矩形ABCD 中，∠ABC=∠BCD=900∴PA=， PD=2 ∵AD=BC=5∴AP 2+PD 2=25=AD 2 ∴∠APD=900 （3分）同理∠BEC=900∵DE=BP ∴四边形BPDE 为平行四边形∴BE ∥PD （4分）∴∠EHP=∠APD=900，又∵∠BEC=900∴四边形EFPH 为矩形 （5分）（3）在RT △PCD 中∠Ff PD∴PD·CF=PC·CD ∴CF==∴EF=CE-CF=-= (7分)∵PF==5855⊥5224⨯54555455522CF PC -585∴S 四边形EFPH=EF·PF= （1）根据矩形性质得出CD=2，根据勾股定理求出CE 和BE ，求出CE2+BE2的值，求出BC2，根据勾股定理的逆定理求出即可；（2）根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEBP 和AECP ，推出EH ∥FP ，EF∥HP ，推出平行四边形EFPH ，根据矩形的判定推出即可；（2）根据三角形的面积公式求出CF ，求出EF ，根据勾股定理求出PF ，根据面积公式求出即可．16、2400元【解析】试题分析：连接AC ，根据勾股定理求出AC ，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，求出区域的面积，即可求出答案．试题解析：连结AC ，在Rt △ACD 中，∠ADC=90°，AD=4米，CD=3米，由勾股定理得：（米），∵AC 2+BC 2=52+122=169，AB 2=132=169，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴∠ACB=90°，该区域面积S=S △ACB ﹣S △ADC =×5×12﹣×3×4=24（平方米），即铺满这块空地共需花费=24×100=2400元．考点：1．勾股定理；2．勾股定理的逆定理．17、（1）2）；（3）或３或．【解析】（1）先根据题意推出△ABE 是等腰直角三角形，再根据勾股定理计算即可．（2）首先要推出△CPQ 是等腰直角三角形，再根据已知推出各边的长度，然后相加即可．（3）首先证明△BPE ∽△CQP ，然后分三种情况讨论，分别求解，即可解决问题．585=1212（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，∵BE=CD=3，∴AB=BE=3，又∵∠A=45°，∴∠BEA=∠A=45°，∠ABE=90°，根据勾股定理得=；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，∠A=∠C=45°，又∵四边形ABPE 是平行四边形，∴BP ∥AB ，且AE=BP ，∴BP ∥CD ，∴，∵∠EPQ=45°，∴∠PQC=∠EPQ=45°，∴∠PQC=∠C=45°，∠QPC=90°，∴，QC=2，∴△CPQ 的周长；（３）解：如图，作BH ⊥AE 于H ，连接BE ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=3，AD=BC=AE+ED=，∠A=∠C=45°，∴，HE=AD －AH －∴∠EBH=∠HEB=∠EBC=45°，∴∠EBP=∠C=45°，∵∠BPQ=∠EPB+∠EPQ=∠C+∠PQC ，∠EPQ=∠C ，∴∠EPB=∠PQC ，∴△BPE ∽△CQP ．①当QP=QC 时，则BP=PE ，∴∠EBP=∠BEP=45°，则∠BPE=90°，∴四边形BPEF 是矩形，，②当CP=CQ 时，则BP=BE=3，③当CP=PQ 时，则BE=PE=3，∠BEP=90°，∴△BPE为等腰三角形，∴BP 2=BE 2+PE2，∴BP=综上：或3或．本题利用平行四边形的性质求解，其中运用了分类讨论的思想，这是解题关键．18、（1）78.4(千克)；（2）172480(元).【解析】（1）根据平均数的计算可得这5只生猪的平均重量；（2）根据用样本估计总体的思想可估计这200只生猪每只生猪的平均重量，由（1）中的平均数可得．【详解】解：（1）这5只生猪的平均重量为千克；（2）根据用样本估计总体的思想可估计这200只生猪每只生猪的平均重量约为千克；根据题意，生猪的价格为11元，故这200只生猪能卖元．11200⨯⨯767172868778.4(5++++=)78.4/kg 78.411200172480(⨯⨯=)本题主要考查的是通过样本估计总体．统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、或或．【解析】根据平行四边形的性质，分别以BC 、AC 、AB 为对角线，分三种情况进行分析，即可求得答案．【详解】解：由平行四边形的性质可知：当以BC 为对角线时，第四个顶点的坐标为D 1；当以AC 为对角线时，第四个顶点的坐标为D 2；当以AB 为对角线时，第四个顶点的坐标为D 3；故答案为：或或．本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等．解此题的关键是分类讨论数学思想的运用．20、2【解析】∵x=2时，符合x>1的条件，∴将x=2代入函数y=−x+4得：y=2.故答案为2.21、【解析】()9,6()1,6-()7,0()9,6()1,6-()7,0()9,6()1,6-()7,02<x<1--分析：不等式的解集就是在x 下方，直线在直线上方时x 的取值范围．由图象可知，此时．22【解析】先依据条件判定△ACE ≌△BCF ，可得∠CBF ＝∠CAE ＝30°，即可得到点F 在射线BF 上，由此可得当DF ⊥BF 时，DF 最小，依据∠DBF＝30°，即可得到DF ＝BD 【详解】由旋转可得，FC ＝EC ，∠ECF ＝90°，又∵∠ACB ＝90°，BC ＝AC ＝3，∴∠CAE ＝∠CBF ，∴△ACE ≌△BCF ，∴∠CBF ＝∠CAE ＝30°，∴点F 在射线BF 上，如图，当DF ⊥BF 时，DF 最小，又∵Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，AC ＝3＝BC ，∴CD ，∴BD ＝3又∵∠DBF ＝30°，∴DF ＝ BD ，．4x 2<kx b<0++y kx b =+y 4x 2=+2<x<1--1212本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，得到点F 的运动轨迹是本题的难点.23、4【解析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离.【详解】一颗垂直于地面的木杆在离地面处折断，木杆折断前的高度为，.故答案为：.此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）；（2）【解析】（1）先证明是直角三角形，然后将四边形分为可得出四边形的面积；（2）根据格点和勾股定理先作出图形，然后由面积法可求出DF 的值。

2020-2021郑州市外国语新枫杨学校九年级数学上期末试题及答案一、选择题1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是( )A ．6πB ．3πC ．2π-12D ．122．将抛物线y=2x 2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）A ．y=2（x ﹣3）2﹣5B ．y=2（x+3）2+5C ．y=2（x ﹣3）2+5D ．y=2（x+3）2﹣53．五粮液集团2018年净利润为400亿元，计划2020年净利润为640亿元，设这两年的年净利润平均增长率为x ，则可列方程是（ ）A ．400(1)640x +=B ．2400(1)640x +=C ．2400(1)400(1)640x x +++=D ．2400400(1)400(1)640x x ++++=4．甲袋里有红、白两球，乙袋里有红、红、白三球，两袋的球除颜色不同外都相同，分别往两袋里任摸一球，则同时摸到红球的概率是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．165．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为( )A ．59B ．49C ．56D ．13 6．抛物线2y x 2=-+的对称轴为A ．x 2=B ．x 0=C ．y 2=D ．y 0=7．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．1128．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）A ．4233π-B ．8433π-C ．8233π-D ．843π- 9．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为( )A ．x(x －1)＝2070B ．x(x ＋1)＝2070C ．2x(x ＋1)＝2070D ．(1)2x x -＝2070 10．若20a ab -=（b ≠0），则a ab +=（ ） A ．0 B ．12C ．0或12D ．1或 2 11．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中，y 与x 的部分对应值如下： x 1.1 1.2 1.3 1.41.5 1.6 y ﹣1.59 ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76则一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的一个解x 满足条件( )A ．1.2＜x ＜1.3B ．1.3＜x ＜1.4C ．1.4＜x ＜1.5D ．1.5＜x ＜1.6 12．二次函数y=3(x –2)2–5与y 轴交点坐标为( )A ．(0，2)B ．(0，–5)C ．(0，7)D ．(0，3) 二、填空题13．一个不透明袋中装有若干个红球，为估计袋中红球的个数，小文在袋中放入10个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是27，则袋中红球约为________个．14．已知二次函数y ＝3x 2+2x ，当﹣1≤x ≤0时，函数值y 的取值范围是_____．15．如图，已知射线BP BA ⊥，点O 从B 点出发，以每秒1个单位长度沿射线BA 向右运动；同时射线BP 绕点B 顺时针旋转一周，当射线BP 停止运动时，点O 随之停止运动.以O 为圆心，1个单位长度为半径画圆，若运动两秒后，射线BP 与O 恰好有且只有一个公共点，则射线BP 旋转的速度为每秒______度.16．抛物线21(2)43y x =++关于x 轴对称的抛物线的解析式为_______ 17．在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球，他们除颜色外其他完全相同，任意摸出一个球是白球的概率为________．18．一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的解是x 1、x 2（x 1＜x 2），则x 1﹣x 2=_____．19．一元二次方程22x 20-=的解是______．20．如图，已知O 的半径为2，ABC ∆内接于O ，135ACB ∠=，则AB =__________．三、解答题21．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米.（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x ；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；22．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y （千克）与每千克售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x （元/千克） 50 60 70（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？（3）如果超市要获得每天不低于1350元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品每千克售价的取值范围是多少？请说明理由．23．石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）设每件童装降价x元时，每天可销售______ 件，每件盈利______ 元；（用x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．24．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同．(1)求每次下降的百分率；(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？25．为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】先根据勾股定理得到，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD．【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=1，∴，∴S 扇形ABD =230=3606ππ⨯，又∵Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，∴Rt △ADE ≌Rt △ACB ，∴S 阴影部分=S △ADE +S 扇形ABD −S △ABC =S 扇形ABD =6π， 故选A.【点睛】本题考查扇形面积计算，熟记扇形面积公式，采用作差法计算面积是解题的关键. 2．A解析：A【解析】把22y x =向右平移3个单位长度变为：223()y x =-，再向下平移5个单位长度变为：22(3)5y x =--．故选A ．3．B解析：B【解析】【分析】根据平均年增长率即可解题.【详解】解：设这两年的年净利润平均增长率为x ，依题意得：()24001640x +=故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,熟悉平均年增长率概念是解题关键. 4．A解析：A【解析】【分析】先画树状图求出任摸一球的组合情况总数，再求出同时摸到红球的数目，利用概率公式计算即可．【详解】画树状图如下：分别往两袋里任摸一球的组合有6种：红红，红红，红白，白红，白红，白白；其中红红的有2种，所以同时摸到红球的概率是21 63 ．故选A．【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．B解析：B【解析】【分析】先画出树状图得出所有等可能的情况的数量和所需要的情况的数量，再计算所需要情况的概率即得．【详解】解：由题意可画树状图如下：根据树状图可知：两次摸球共有9种等可能情况，其中两次摸出球所标数字之和为奇数的情况有4种，所以两次摸出球所标数字之和为奇数的概率为：49．【点睛】本题考查了概率的求法，能根据题意列出树状图或列表是解题关键．6．B解析：B【解析】【分析】根据顶点式的坐标特点，直接写出对称轴即可．【详解】解∵：抛物线y=-x2+2是顶点式，∴对称轴是直线x=0，即为y轴．故选：B．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h．7．C解析：C【解析】【分析】画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解.【详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，∴两次都摸到白球的概率是：21 126=．故答案为C．【点睛】本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键．8．C解析：C【解析】【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．【详解】解：连接OD，在Rt△OCD中，OC＝12OD＝2，∴∠ODC＝30°，CD2223OD OC+∴∠COD＝60°，∴阴影部分的面积＝260418223=2336023π⨯-⨯⨯π- ， 故选：C ．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．9．A解析：A【解析】【分析】【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x ﹣1）张相片，有x 个人，∴全班共送：（x ﹣1）x=2070，故选A ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．10．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：∵20a ab -= ()0b ≠，∴a(a-b)=0，∴a=0，b=a ．当a=0时，原式=0；当b=a 时，原式=12，故选C 11．C解析：C【解析】【分析】仔细看表，可发现y 的值-0.24和0.25最接近0，再看对应的x 的值即可得．【详解】解：由表可以看出，当x 取1.4与1.5之间的某个数时，y=0，即这个数是ax 2+bx+c=0的一个根．ax 2+bx+c=0的一个解x 的取值范围为1.4＜x ＜1.5．故选C ．【点睛】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．12．C解析：C【解析】【分析】由题意使x=0,求出相应的y 的值即可求解.【详解】∵y=3（x ﹣2）2﹣5, ∴当x=0时，y=7, ∴二次函数y=3（x ﹣2）2﹣5与y 轴交点坐标为(0,7).故选C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是二次函数图象上的点满足其解析式. 二、填空题13．25【解析】【分析】【详解】试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷=35个所以袋中红球约为35-10=25个考点：简单事件的频率解析：25【解析】【分析】【详解】试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷27=35个，所以袋中红球约为35-10=25个.考点：简单事件的频率.14．﹣≤y≤1【解析】【分析】利用配方法转化二次函数求出对称轴根据二次函数的性质即可求解【详解】∵y ＝3x2+2x ＝3（x+）2﹣∴函数的对称轴为x ＝﹣∴当﹣1≤x≤0时函数有最小值﹣当x ＝﹣1时有最大解析：﹣13≤y ≤1 【解析】【分析】 利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．【详解】∵y＝3x2+2x＝3（x+13）2﹣13，∴函数的对称轴为x＝﹣13，∴当﹣1≤x≤0时，函数有最小值﹣13，当x＝﹣1时，有最大值1，∴y的取值范围是﹣13≤y≤1，故答案为﹣13≤y≤1．【点睛】本题考查二次函数的性质、一般式和顶点式之间的转化，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．15．30或60【解析】【分析】射线与恰好有且只有一个公共点就是射线与相切分两种情况画出图形利用圆的切线的性质和30°角的直角三角形的性质求出旋转角然后根据旋转速度=旋转的度数÷时间即得答案【详解】解：如解析：30或60【解析】【分析】射线BP与O恰好有且只有一个公共点就是射线BP与O相切，分两种情况画出图形，利用圆的切线的性质和30°角的直角三角形的性质求出旋转角，然后根据旋转速度=旋转的度数÷时间即得答案.【详解】解：如图1，当射线BP与O在射线BA上方相切时，符合题意，设切点为C，连接OC，则OC⊥BP，于是，在直角△BOC中，∵BO=2，OC=1，∴∠OBC=30°，∴∠1=60°，此时射线BP旋转的速度为每秒60°÷2=30°；如图2，当射线BP与O在射线BA下方相切时，也符合题意，设切点为D，连接OD，则OD⊥BP，于是，在直角△BOD中，∵BO=2，OD=1，∴∠OBD=30°，∴∠MBP=120°，此时射线BP旋转的速度为每秒120°÷2=60°；故答案为：30或60.【点睛】本题考查了圆的切线的性质、30°角的直角三角形的性质和旋转的有关概念，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键.16．【解析】【分析】由关于x 轴对称点的特点是：横坐标不变纵坐标变为相反数可求出抛物线关于x 轴对称的抛物线解析式【详解】∵∴关于x 轴对称的抛物线解析式为-即故答案为：【点睛】此题考查了二次函数的图象与几何 解析：()21243y x =-+- 【解析】【分析】由关于x 轴对称点的特点是：横坐标不变，纵坐标变为相反数，可求出抛物线21(2)43y x =++关于x 轴对称的抛物线解析式． 【详解】 ∵21(2)43y x =++， ∴关于x 轴对称的抛物线解析式为-21(2)43y x =++，即()21243y x =-+-， 故答案为：()21243y x =-+-． 【点睛】 此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于x 轴、y 轴对称点的特点．17．【解析】【分析】【详解】解：∵在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球∴任意从口袋中摸出一个球来P （摸到白球）== 解析：38【解析】【分析】【详解】解：∵在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球，∴任意从口袋中摸出一个球来，P（摸到白球）=353=38.18．-4【解析】【分析】利用根与系数的关系求出所求即可此题也可解出x的值直接计算【详解】∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是x1x2（x1＜x2）∴x1+x2=2x1x2=﹣3则x1﹣x2=﹣（x1+解析：-4【解析】【分析】利用根与系数的关系求出所求即可．此题也可解出x的值，直接计算．【详解】∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是x1、x2（x1＜x2），∴x1+x2=2，x1x2=﹣3，则x1﹣x2=﹣=﹣=﹣4．故答案为﹣4．【点睛】本题考查了根与系数的关系，弄清根与系数的关系是解答本题的关键．19．x1＝1x2＝－1【解析】分析：方程整理后利用平方根定义开方即可求出解详解：方程整理得：x2=1开方得：x=±1解得：x1=1x2=﹣1故答案为x1=1x2=﹣1点睛：本题考查了解一元二次方程﹣直接解析：x1＝1，x2＝－1【解析】分析：方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．详解：方程整理得：x2=1，开方得：x=±1，解得：x1=1，x2=﹣1．故答案为x1=1，x2=﹣1．点睛：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握直接开平方法是解答本题的关键．20．【解析】分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可以求得∠AOB的度数然后根据勾股定理即可求得AB的长详解：连接ADAEOAOB∵⊙O的半径为2△ABC内接于⊙O∠ACB=13解析：2【解析】分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB 的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．详解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴2，故答案为：2点睛：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．三、解答题21．（1）12（2）当x=11时，y最小=88平方米【解析】（1）根据题意得方程解即可；（2）设苗圃园的面积为y，根据题意得到二次函数的解析式y=x（30-2x）=-2x2+30x，根据二次函数的性质求解即可.解： (1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x)米．依题意可列方程x(30－2x)＝72，即x2－15x＋36＝0．解得x1＝3（舍去），x2＝12．(2)依题意，得8≤30－2x≤18．解得6≤x≤11．面积S＝x(30－2x)＝－2(x－152)2＋2252(6≤x≤11)．①当x＝152时，S有最大值，S最大＝2252；②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×(30－22)＝88“点睛”此题考查了二次函数、一元二次不等式的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可.22．（1）y＝﹣2x+200 （40≤x≤80）；（2）售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元；（3）55≤x≤80，理由见解析【解析】【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况．（3）求得W＝1350时x的值，再根据二次函数的性质求得W≥1350时x的取值范围，继而根据“每千克售价不低于成本且不高于80元”得出答案．【详解】（1）设y ＝kx +b ，将（50，100）、（60，80）代入，得：501006080k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：k 2b 200=-⎧⎨=⎩， ∴y ＝﹣2x +200 （40≤x ≤80）；（2）W ＝（x ﹣40）（﹣2x +200）＝﹣2x 2+280x ﹣8000＝﹣2（x ﹣70）2+1800，∴当x ＝70时，W 取得最大值为1800，答：售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．（3）当W ＝1350时，得：﹣2x 2+280x ﹣8000＝1350，解得：x ＝55或x ＝85，∵该抛物线的开口向下，所以当55≤x ≤85时，W ≥1350，又∵每千克售价不低于成本，且不高于80元，即40≤x ≤80，∴该商品每千克售价的取值范围是55≤x ≤80．【点睛】考查二次函数的应用，解题关键是明确题意，列出相应的函数解析式，再利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答．23．（1）（20+2x ），（40﹣x ）；（2）每件童装降价20元或10元，平均每天赢利1200元；（3）不可能做到平均每天盈利2000元．【解析】【分析】(1)、根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量；每件利润=原售价－进价－降价，列式即可；(2)、根据总利润=单件利润×数量，列出方程即可；(3)、根据(2)中的相关关系方程，判断方程是否有实数根即可．【详解】(1)、设每件童装降价x 元时，每天可销售20+2x 件，每件盈利40-x 元，故答案为（20+2x ），（40-x ）；(2)、根据题意可得：(20+2x)(40－x)=1200，解得：121020x x ==，，即每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元；(3)、(20+2x)(40－x)=2000， 230x 6000x -+=，∵此方程无解，∴不可能盈利2000元．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要根据题意列出方程．24．（1）每次下降的百分率为20%；（2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．【解析】【分析】(1)设每次降价的百分率为a，(1﹣a)2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；(2)根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．【详解】解：(1)设每次下降的百分率为a，根据题意，得：50(1﹣a)2＝32，解得：a＝1.8(舍)或a＝0.2，答：每次下降的百分率为20%；(2)设每千克应涨价x元，由题意，得(10+x)(500﹣20x)＝6000，整理，得x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10，因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找准等量关系列出方程是解答本题的关键．25．（1）20%；（2）10368万元.【解析】试题分析：（1）首先设该县投入教育经费的年平均增长率为x，然后根据增长率的一般公式列出一元二次方程，然后求出方程的解得出答案；（2）根据增长率得出2017年的教育经费.试题解析：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x.则有：6000=8640解得：=0.2=-2.2（舍去）所以该县投入教育经费的年平均增长率为20%（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%所以2017年该县投入教育经费为8640×（1+20%）=10368（万元）考点：一元二次方程的应用。

2021-2022学年河南省郑州市某校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列命题中是假命题的是（）A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B.一组邻边相等的平行四边形是菱形C.一组邻边相等的矩形是正方形D.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形2. 如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是()A.∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCDB.AB=BCC.AB=CD，AD=BCD.∠DAB+∠BCD=180∘3. 观察表格，一元二次方程x2+x＝1.2的一个近似解是（）A.0.70B.1.19C.1.44D.1.714. 如图，要在平行四边形ABCD内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形；乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．对于甲、乙两人的作法，可判断（）A.甲正确，乙错误B.甲错误，乙正确C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误5. 已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是关于x的方程x2+px+q＝0的两个实数根，则此菱形的面积可以表示为（）A.pB.-pC.qD.-6. 一元二次方程(x+1)(x−1)＝4x−3根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根7. 在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论：①AC＝5；②∠A+∠C＝180∘；③AC⊥BD；④AC＝BD．其中正确的有（）A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④8. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE // BD，DE // AC，AD=2√3，DE=2，则四边形OCED的面积( )A.2√3B.4C.4√3D.89. 如图，在平面直角坐标系中，点A(−1, 0)，D(0，）为菱形ABCD的顶点，现固定点A．沿对角线AC方向将菱形的顶点C拉至点C′处，使得点B，D落在菱形ABCD内部的点B′，D′处，若∠D′C′B′＝30∘，则此时点D′的坐标是（）A.（−1，）B.(1−，）C.（，）D.（-，）10. 如图，已知正方形ABCD边长为1，∠EAF＝45∘，AE＝AF，则有下列结论：①∠1＝∠2＝22.5∘；②点C到EF的距离是√2−1；③△ECF的周长为2；④BE+DF>EF，其中正确的结论有（）A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题（每小题3分，共15分）若关于x的方程(m−1)x−x＝1是一元二次方程，则m＝________．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60∘，AC＝12，P是菱形的对角线AC上的一个动点，M，N分别是菱形ABCD的边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值为________．以下是小明解关于x的方程(x+m)2＝n的过程：x+m＝；x＝−m；你认为是否正确？如果正确写“是”，如果错误写出错误原因：________．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为________．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60∘，点P是对角线AC上的一个动点（不与A，C两点重合），过点P作EF⊥AC分别交AD，AB于点E，F．将△AEF沿EF折叠，点A落在点A′处，当△A′BC是等腰三角形时，AP的长为________．三、解答题（共7题，共55分）证明：如果四边形两条对角线互相垂直且相等，那么它四边中点的连线可组成一个正方形．在Rt△ABC中，∠BAC＝90∘，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF // BC交BE 的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是∠ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E．连接CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）填空：①若AB＝BC＝3，则四边形ADCE的面积为________；②当△ABC满足________四边形ADCE是正方形．如图，王大爷要利用一面墙（墙长25米）建一个羊圈，用80米的围栏圈成三个矩形羊圈．（1）羊圈的面积能达到300m2吗？为什么？（2）羊圈的面积能达到500m2吗？为什么？[关注数学文化]数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（1）请根据如图1完成这个推论的证明过程，证明：S矩形NFGD＝S△ADC−(S△ANF+S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC−(________+________)．易知，S△ADC＝S△ABC，________＝________，________＝________．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF（2）如图2，点P是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点P作EF // BC分别交AB，CD于点E、F，连接PA，PC．若PE＝5，DF＝4，求图中阴影部分的面积．如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝32cm，BC＝12cm，动点P从点A出发，以6cm/s的速度向点B运动，直到点B为止；动点Q同时从点C出发，以4cm/s的速度向点D运动，何时点P和点Q之间的距离是20cm？在△ABC中，∠BAC＝90∘，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：________；②BC，CD，CF之间的数量关系为：________．（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明，（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若AB＝2，CD＝1，请求出GE的长．参考答案与试题解析2021-2022学年河南省郑州市某校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.【答案】D【考点】命题与定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】D【考点】菱形的判定与性质【解析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形ABCD为菱形．所以根据菱形的性质进行判断．【解答】解∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，∴AB // CD，AD // BC，∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；过点D分别作BC，CD边上的高为DE，DF．则DE=DF（两纸条宽度相同）；∵平行四边形ABCD中，S△ABC=S△ACD，即BC×DE=CD×DF，∴BC=CD，即AB=BC，故B正确；∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD（菱形的对角相等），故A正确；AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），故C正确；当四边形ABCD是矩形时，∠DAB+∠BCD=180∘，故D不一定正确．故选D.3.【答案】A【考点】估算一元二次方程的近似解【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】C【考点】平行四边形的性质菱形的判定与性质作图—复杂作图线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】菱形的性质根与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A【考点】根的判别式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】B【考点】平行四边形的性质【解答】此题暂无解答8.【答案】A【考点】矩形的性质菱形的判定与性质【解析】连接OE，与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCEF的面积即可．【解答】解：如图，连接OE，与DC交于点F，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，∵OD // CE，OC // DE，∴四边形ODEC为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形ODEC为菱形，∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，∵DE // OA，且DE=OA，∴四边形ADEO为平行四边形，∵AD=2√3，DE=2，∴OE=2√3，即OF=EF=√3，在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF=√4−3=1，即DC=2，则S菱形ODEC=12OE⋅DC=12×2√3×2=2√3．故选A.9.【答案】A【考点】菱形的性质坐标与图形性质【解析】此题暂无解析10.【答案】B【考点】全等三角形的性质与判定三角形三边关系正方形的性质【解析】先证明Rt△ABE≅Rt△ADF得到∠1＝∠2，易得∠1＝∠2＝∠22.5∘，于是可对①进行判断；连接EF、AC，它们相交于点H，如图，利用Rt△ABE≅Rt△ADF得到BE＝DF，则CE＝CF，接着判断AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，于是利用角平分线的性质定理得到EB＝EH，FD＝FH，则可对③④进行判断；设BE＝x，则EF＝2x，CE＝1−x，利用等腰直角三角形的性质得到2x=√2(1−x)，解方程，则可对②进行判断．【解答】∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90∘，在Rt△ABE和Rt△ADF中，{AE=AF，AB=AD∴Rt△ABE≅Rt△ADF(HL)，∴∠1＝∠2，∵∠EAF＝45∘，∴∠1＝∠2＝∠22.5∘，所以①正确；连接EF、AC，它们相交于点H，如图，∵Rt△ABE≅Rt△ADF，∴BE＝DF，而BC＝DC，∴CE＝CF，∵AE＝AF，∴AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，∴EB＝EH，FD＝FH，∴BE+DF＝EH+HF＝EF，所以④错误；∴△ECF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+CF+DF＝CB+CD＝1+1＝2，所以③正确；设BE＝x，则EF＝2x，CE＝1−x，∵△CEF为等腰直角三角形，∴EF=√2CE，即2x=√2(1−x)，解得x=√2−1，∴BE=√2−1，Rt△ECF中，EH＝FH，EF＝EH＝BE=√2−1，∴CH=12∵CH⊥EF，∴点C到EF的距离是√2−1，所以②正确；本题正确的有：①②③；二、填空题（每小题3分，共15分）【答案】−1【考点】一元二次方程的定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】4√3【考点】菱形的性质轴对称——最短路线问题等边三角形的性质与判定【解析】要求PM+PN的最小值，PM，PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN，PM的值，从而找出其最小值求解．【解答】如图，作ME⊥AC交AD于E，连接EN，连接BD与AC交于点O，则EN就是PM+PN的最小值，∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60∘，AC＝12，∴AO=12AC=6，∠BAC=12∠BAD＝30∘，∴OB=12AB，由勾股定理得，AB2−OB2＝OA2，∴AB2−14AB2=62，∴AB＝4√3，∵M、N分别是AB、BC的中点，∴BN＝BM＝AM，∵ME⊥AC交AD于E，∴AE＝AM，∴AE＝BN，AE // BN，∴四边形ABNE是平行四边形，AB，∴PM+PN的最小值为4√3，【答案】没有就n≥0还是n<0讨论【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】72【考点】直角三角形斜边上的中线勾股定理三角形中位线定理正方形的性质【解析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论．【解答】∵CE=5，△CEF的周长为18，∴CF+EF=18−5=13．∵F为DE的中点，∴DF=EF．∵∠BCD=90∘，∴CF=12DE，∴EF=CF=12DE=6.5，∴DE=2EF=13，∴CD=√DE2−CE2=√132−52=12．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=12，O为BD的中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF=12(BC−CE)=12(12−5)=72．2−2或【考点】翻折变换（折叠问题）勾股定理等边三角形的性质与判定菱形的性质等腰三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（共7题，共55分）【答案】证明：∵E、F分别是AB、BC边的中点，∴EF=12AC，EF // AC，同理HG=12AC，HG // AC，∴EF=HG，EF // HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵E、H分别是AB、AD边的中点，∴EH=12BD，EH // BD，又AC=BD，∴EF=EH，∴四边形EFGH是菱形，∵AC⊥BD，EF // AC，EH // BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是正方形．【考点】中点四边形【解析】根据三角形中位线定理证明EF=12AC，EF // AC和HG=12AC，HG // AC，得到平行四边形EFGH，根据AC=BD得到菱形EFGH，根据AC⊥BD得到答案．【解答】证明：∵E、F分别是AB、BC边的中点，∴EF=12AC，EF // AC，同理HG=12AC，HG // AC，∴EF=HG，EF // HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵E、H分别是AB、AD边的中点，∴EH=12BD，EH // BD，又AC=BD，∴EF=EH，∴四边形EFGH是菱形，∵AC⊥BD，EF // AC，EH // BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是正方形．【答案】证明：如图，∵AF // BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，{∠AFE=∠DBE ∠FEA=∠BEDAE=DE，∴△AFE≅△DBE(AAS)；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90∘，D是BC的中点，∴AD＝DC=12BC，∴四边形ADCF是菱形；连接DF，∵AF // BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S=12AC⋅DF＝10．【考点】菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线【解析】（1）首先根据题意画出图形，由E是AD的中点，AF // BC，易证得△AFE≅△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90∘，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；（2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．【解答】证明：如图，∵AF // BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，{∠AFE=∠DBE ∠FEA=∠BEDAE=DE，∴△AFE≅△DBE(AAS)；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90∘，D是BC的中点，∴AD＝DC=12BC，∴四边形ADCF是菱形；连接DF，∵AF // BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S=12AC⋅DF＝10．②答案不唯一，如当∠BAC＝90∘时．∵∠BAC＝90∘，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∵D为BC的中点，∴AD＝DC，∵四边形ADCE为矩形，∴四边形ADCE为正方形．故答案为：∠BAC＝90∘,∠BAC＝90∘【考点】直角三角形斜边上的中线矩形的判定与性质正方形的判定等腰三角形的性质三角形中位线定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】能．设AB的长度为x米，则BC的长度为(80−4x)米．根据题意得x(80−4x)＝300，解得x8＝15，x2＝5．则80−8x＝20或80−4x＝60．∵60>25，∴x2＝6舍去，即AB＝15，BC＝20．故羊圈的面积能达到300m2；不能．依题意有x(80−4x)＝500，整理得x4−20x+125＝0．因为△＝(−20)2−6×1×125＝−100<0．所以该方程无实数根，所以羊圈的面积不能达到500m2．【考点】一元二次方程的应用此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】S△AEF,S△FMC,S△ANF,S△AEF,S△FMC,S△FGC得：S矩形AEPM＝S矩形CFPN，∴S△AEP＝S△AMP，S△CFP＝S△CNP，∴S△AEP＝S△CFP＝×PE×PM＝，∴图中阴影部分的面积S阴＝10+10＝20【考点】矩形的性质平行线之间的距离三角形的面积数学常识【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】设当时间为ts时，点P和点Q之间的距离是20cm，过点Q作ON⊥AB于点N，则QC＝2tcm，PN＝(32−10t)cm，故122+(32−10t)6＝400，解得：t1＝，t2＝．故当时间为s或，点P和点Q之间的距离是20cm．【考点】一元二次方程的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答BC⊥CF,BC＝CF+CD故答案为：BC＝CF+CD；【考点】四边形综合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

河南省郑州市2021年九年级上学期数学第一次月考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020八上·花都期末) 广州市发布2019年上半年空气质量状况，城区PM2.5平均浓度为0.000029克/立方米，0.000029用科学记数法表示为（）A . 2.9B . 2.9C . 2.9D . 2.92. （2分）(2018·安阳模拟) 下列计算正确的是（）A . 4m+2n=6mnB . =±5C . x3y2÷2xy= x2yD . （﹣2xy2）3=﹣6x3y63. （2分） (2020九上·东台期末) 压岁钱由来已久，古称“厌胜钱”、“压祟钱”等．铛铛同学在2019年春节共收到10位长辈给的压岁钱，分别是：100元、200元、100元、50元、400元、300元、50元、100元、200元、400元．关于这组数据，下列说法正确的是（）A . 中位数是200元B . 众数是100元C . 平均数是200元D . 极差是300元4. （2分）如图所示，该几何体的俯视图是（）A .B .C .D .5. （2分）(2020·铜仁模拟) 一个多边形切去一个角后得到的另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（）A . 6或7或8B . 6或7C . 7或8D . 76. （2分）小明准备用22元钱买笔和笔记本，已知每支笔3元，每本笔记本2元，他买了3本笔记本后，其余的钱用来买笔，那么他最多可以买（）A . 3支笔B . 4支笔C . 5支笔D . 6支笔7. （2分）已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则全面积为（）A . πcm2B . 3πcm2C . 4πcm2D . 7πcm28. （2分）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．则下列结论正确的有（）①∠CBD=∠CEB；②=；③点F是BC的中点；④若=， tanE=．A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）(2018·齐齐哈尔) 如图是自动测温仪记录的图象，它反映了齐齐哈尔市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化，下列从图象中得到的信息正确的是（）A . 0点时气温达到最低B . 最低气温是零下4℃C . 0点到14点之间气温持续上升D . 最高气温是8℃10. （2分） (2016九上·大石桥期中) 如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：①b2﹣4ac＞0；②c＞1；③2a﹣b＜0；④a+b+c＜0．你认为其中错误的有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 1个二、填空题 (共6题；共8分)11. （1分） (2016八上·肇源月考) 82016×0.1252015= ________ ．12. （1分）(2017·龙华模拟) 分解因式：a2b﹣4ab2+4b3=________．13. （1分） (2019九上·南阳月考) 不等式组的最小整数解是________.14. （3分）为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．（1）m=________%，这次共抽取了________名学生进行调查；并补全条形图；（2）请你估计该校约有________名学生喜爱打篮球；15. （1分）已知反比例函数的图像经过点P(2，-1)，则它的解析式为1 ．16. （1分）在矩形ABCD中，AD=2AB，点E在AD上，连接BE、CE，若△BCE是以BC为腰的等腰三角形，则∠AEB的度数为________．三、解答题 (共7题；共73分)17. （5分） (2020八上·汽开区期末) 解方程：18. （15分）(2018·黄冈) 我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y（万件）与月份x（月）的关系为：，每件产品的利润z（元）与月份x（月）的关系如下表：x123456789101112z191817161514131211101010（1）请你根据表格求出每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式；（2）若月利润w（万元）=当月销售量y（万件）×当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？19. （10分）如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若，半径OA=4，求AE的长．20. （10分）(2011·福州) 已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A 停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．21. （8分）(2019·东城模拟) 某年级共有400学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取100名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．不同交通方式学生人数分布统计图如图1所示：b．采用公共交通方式单程所花费时间（分）的频数分布直方图如图2所示（数据分成6组：10≤x＜20，20≤x ＜30，30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x≤70）：c．采用公共交通方式单程所花费时间在30≤x＜40这一组的是：30 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 38 39根据以上信息，回答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为________分；（3）请你估计该年级采用公共交通方式上学共有________人，其中单程不少于60分钟的有________人．22. （10分）(2018·铜仁) 如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．（1）求证：DF⊥AC；（2）求tan∠E的值．23. （15分） (2017九上·姜堰开学考) 综合题（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共8分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共73分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。

河南省郑州枫杨外国语学校2024-2025学年九年级数学第一学期开学考试试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）一个正比例函数的图象经过（1，﹣3），则它的表达式为（）A ．y ＝﹣3x B ．y ＝3x C ．y ＝D ．y ＝﹣2、（4分）如图，一次函数1y ax b =+和2y bx a =-+（0a ≠，0b ≠）在同一坐标系的图像，则12y ax b y bx a =+⎧⎨=-+⎩的解x m y n =⎧⎨=⎩中（）A ．0,0m n >>B ．0,0m n ><C ．0,0m n D ．0,0m n <<3、（4分）今年我市某县6月1日到10日的每一天最高气温变化如折线图所示，则这10个最高气温的中位数和众数分别是()A ．33℃33℃B ．33℃32℃C ．34℃33℃D ．35℃33℃4、（4分）下列计算正确的是（）A ．3B =C ．×＝D 2=5、（4分）三角形的三边a 、b 、c 满足a （b ﹣c ）+2（b ﹣c ）＝0，则这个三角形的形状是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6、（4分）若代数式有意义，则实数x 的取值范围是()A ．x≠-3B ．x>-3C ．x≥-3D ．任意实数7、（4分）如图,四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 中点，且AE +EO =4，则四边形ABCD 的周长为（）A ．32B ．16C ．8D ．48、（4分）点P 的坐标为（﹣3，2），把点P 向右平移2个单位后再向下平移5个单位得到点P 1，则点P 1的坐标为（）A ．（﹣1，2）B ．（﹣5，﹣3）C ．（﹣1，﹣3）D ．（﹣1，7）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）已知4y =+，则y x 的值为_____．10、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，P 是CD 边上一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，若AD=5，AP=8，则△APB 的周长是．11、（4分）有一块田地的形状和尺寸如图，则它的面积为_________.12、（4分）把(a ,其结果为____.13、（4分）周末，小李从家里出发骑车到少年宫学习绘画，学完后立即回家，他离家的距离y(km )与时间x(h )之间的函数关系如图所示，有下列结论：①他家离少年宫30km ；②他在少年宫一共停留了3h ；③他返回家时，离家的距离y(km )与时间x(h )之间的函数表达式是y ＝－20x ＋110；④当他离家的距离y ＝10时，时间x ＝13.其中正确的是________(填序号)．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A、B 两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：A 超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；B 超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．设在A 超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y A （元），在B 超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y B （元）．请解答下列问题：（1）分别写出y A 、y B 与x 之间的关系式；（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．15、（8分）一辆轿车从甲地驶往乙地，到达乙地后返回甲地，速度是原来的1.5倍，共用t小时；一辆货车同时从甲地驶往乙地，到达乙地后停止．两车同时出发，匀速行驶．设轿车行驶的时间为x （h ），两车到甲地的距离为y （km ），两车行驶过程中y 与x 之间的函数图象如图．（1）求轿车从乙地返回甲地时的速度和t 的值；（2）求轿车从乙地返回甲地时y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）直接写出轿车从乙地返回甲地时与货车相遇的时间．16、（8分）（1）探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：①如图2，点M ，N 在反比例函数（k ＞0）的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ．试证明：MN ∥EF ．②若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3所示，请判断MN 与EF 是否平行？请说明理由.17、（10分）如图，方格纸中每个小方格都长为1个单位的正方形，已知学校位置坐标为A （1,2）。

郑州枫杨外国语中学2019-2020学年九年级下学期第⼀次⽉考数学试题（word⽆答案）郑州枫杨外国语中学2019-2020学年九年级下学期第⼀次⽉考数学试题(word⽆答案)⼀、单选题(★) 1 . 在0.01，0，-5，- 这四个数中，最⼩的数是（）A．B．0C．D．(★) 2 . 地球的表⾯积约为510000000km 2，将510000000⽤科学记数法表⽰为（）A．0.51×109B．5.1×108C．5.1×109D．51×107(★★) 3 . 由个⼤⼩相同的正⽅形搭成的⼏何体，被⼩颖拿掉两个后，得到如图所⽰的⼏何体，如图是原⼏何体的三视图，请你判断⼩颖拿掉的两个正⽅体原来放在（）A．号的左右B．号的前后C．号的前后D．号的前后(★) 4 . 下列计算正确的是（）A．B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．a2+a3＝a5D．（2a2b3）3＝﹣6a6b3(★) 5 . 如图，ABCD为⼀长⽅形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折，A、D两点分别与对应，若∠1=2∠2，则∠AEF的度数为A．60°B．65°C．72°D．75°(★) 6 . 当时，关于的⼀元⼆次⽅程的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．两个实数根(★) 7 . 今年，某省启动了“关爱留守⼉童⼯程”，某村⼩学为了了解各年级留守⼉童的数量，对⼀到六年级留守⼉童数量进⾏了统计，得到每个年级的留守⼉童⼈数分别为10、15、10、17、18、20对于这组数据，下列说法错误的是( )A．平均数是15B．众数是10C．中位数是16D．⽅差是(★) 8 . 若⼆次函数 y=| a| x 2+ bx+c的图象经过A( m, n)、B(0, y 1)、C(3－ m, n)、D( , y 2)、E(2, y 3)，则 y 1、 y 2、 y 3的⼤⼩关系是( ).A．y1< y2< y3B．y1 < y3< y2C．y3< y2< y1D．y2< y3< y1(★★) 9 . 如图，已知平⾏四边形 AOBC的顶点 O(0，0)， A(-3，4)，点 B在 x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点 O为圆⼼，适当长度为半径作弧，分别交边 OA， OB于点 D， E；②分别以点D，E为圆⼼，⼤于 DE的长为半径作弧，两弧在∠ AOB内交于点F；③作射线OF，交边 AC于点 G．则点 G的坐标为( )A．(2，4)B．(5，4)C．(-2，4)D．(3，4)(★★) 10 . 如图，在平⾯直⾓坐标系中，将正⽅形 OABC绕点 O逆时针旋转45°后得到正⽅形OA 1 B 1 C 1，依此⽅式，绕点 O 连续旋转2019次得到正⽅形 OA 2019 B 2019 C 2019，如果点 A的坐标为(1，0)，那么点 B 2019的坐标为( )A．(1，1)B．(0，)C．(-，0)D．(-1，1)⼆、填空题(★) 11 . 计算：___．(★) 12 . 不等式组的解集是_____．(★) 13 . ⼀个不透明的⼝袋中有四个完全相同的⼩球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取⼀个⼩球后不放回，再随机摸取⼀个⼩球，则两次取出的⼩球上数字之积等于8的概率是_____．(★★) 14 . 已知，如图，扇形 AOB中，∠ AOB=120°， OA=2，若以 A为圆⼼， OA长为半径画弧交弧 AB于点 C，过点 C作CD⊥ OA，垂⾜为 D，则图中阴影部分的⾯积为_________．(★★) 15 . 如图，矩形中，，，点在边上，把沿翻折后，点落在处.若恰为等腰三⾓形，则的长为______.三、解答题(★★) 16 . 先化简，再求值，其中 x＝5．(★★) 17 . 某公司的午餐采⽤⾃助的形式，并倡导员⼯“适度取餐，减少浪费”该公司共有10个部门，且各部门的⼈数相同.为了解午餐的浪费情况，从这10个部门中随机抽取了两个部门，进⾏了连续四周（20个⼯作⽇）的调查，得到这两个部门每天午餐浪费饭菜的重量，以下简称“每⽇餐余重量”（单位：千克），并对这些数据进⾏了整理、描述和分析.下⾯给出了部分信息. . 部门每⽇餐余重量的频数分布直⽅图如下（数据分成6组：，，，）：. 部门每⽇餐余重量在这⼀组的是：6.1 6.6 7.0 7.0 7.0 7.8. 部门每⽇餐余重量如下：1.4 2.8 6.9 7.8 1.9 9.7 3.1 4.6 6.9 10.8 6.9 2.6 7.5 6.9 9.5 7.8 8.4 8.39.4 8.8 . 两个部门这20个⼯作⽇每⽇餐余重量的平均数、中位数、众数如下：部门平均数中位数众数6.47.06.67.2根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中的值；（2）在这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是________（填“ ”或“ ”），理由是____________；（3）结合这两个部门每⽇餐余重量的数据，估计该公司（10个部门）⼀年（按240个⼯作⽇计算）的餐余总重量.(★★★★) 18 . 如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上⼀个动点（不与点A ，B 重合），D 是弦AC 上⼀点，过点D 作DE⊥AB，垂⾜为E ，过点C 作半圆O 的切线，交ED 的延长线于点 A ．（1）求证：FC ＝F B ．（2）①当∠CAB 的度数为时，四边形OEFC 是矩形；②若D 是弦AC 的中点，⊙O 的半径为5，AC ＝8，则FC 的长为．(★★) 19 . 在⼀次数学综合实践活动中，⼩明计划测量城门⼤楼的⾼度，在点B 处测得楼顶A的仰⾓为22°，他正对着城楼前进21⽶到达C 处，再登上3⽶⾼的楼台D 处，并测得此时楼顶A 的仰⾓为45°．（1）求城门⼤楼的⾼度；（2）每逢重⼤节⽇，城门⼤楼管理处都要在A ，B之间拉上绳⼦，并在绳⼦上挂⼀些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）(★★) 20 . 某商店销售⼀种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量（件）是售价（元/件）的⼀次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元）的三组对应值如下表：售价（元/件）506080周销售量（件）1008040周销售利润（元）100016001600注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）（1）①求关于的函数解析式（不要求写出⾃变量的取值范围）②该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最⼤，最⼤利润是__________元（2）由于某种原因，该商品进价提⾼了元/件，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满⾜（1）中的函数关系．若周销售最⼤利润是1400元，求的值(★) 21 . 某班“数学兴趣⼩组”对函数 y＝﹣ x 2+2| x|+1的图象和性质进⾏了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）⾃变量 x的取值范围是全体实数， x与 y的⼏组对应值列表如下：x…﹣3﹣﹣2﹣10123…y…﹣2﹣m2121﹣﹣2…其中，m＝．（2）根据上表数据，在如图所⽰的平⾯直⾓坐标系中描点，画出了函数图象的⼀部分，请画出该函数图象的另⼀部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进⼀步探究函数图象发现：①⽅程﹣x 2+2| x|+1＝0有个实数根；②关于x的⽅程﹣x 2+2| x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是．(★★) 22 . (1)问题发现在△ ABC中， AC= BC，∠ ACB=α，点 D为直线 BC上⼀动点，过点 D作DF∥ AC交 AB于点F，将 AD绕点 D顺时针旋转α得到 ED，连接 BE．如图(1)，当α=90°时，试猜想：① AF与 BE的数量关系是；②∠ ABE= ；(2)拓展探究如图(2)，当0°<α<90°时，请判断 AF与 BE的数量关系及∠ ABE的度数，并说明理由．(3)解决问题如图(3)，在△ ABC中， AC= BC， AB=8，∠ ACB=α，点 D在射线 BC上，将 AD绕点 D顺时针旋转α得到 ED，连接 BE，当BD=3 CD时，请直接写出 BE的长度．(★★★★) 23 . 如图所⽰抛物线过点，点，且（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上⽅，求四边形的周长的最⼩值；（3）点为抛物线上⼀点，连接，直线把四边形的⾯积分为3∶5两部分，求点的坐标.。