集合的基本概念与运算

集合的概念和运算集合是数学中重要的基本概念，它可以理解为元素的组合。

在数学中，元素可以是数字、字母、单词等等。

本文将介绍集合的概念、集合的表示方法以及集合的运算。

一、集合的概念集合是由元素构成的，通常用大写字母表示。

假设A是一个集合，x是A的元素，我们可以表示为x∈A，表示x属于A。

相反地，如果x不属于A，我们可以表示为x∉A。

集合可以有有限个或者无限个元素。

如果集合A中的元素个数有限，并且可以一一列举出来，我们称之为有限集。

如果集合A中的元素个数是无穷的，我们称之为无限集。

二、集合的表示方法1. 列举法：我们可以直接将集合中的元素一一列举出来。

例如，集合A = {1, 2, 3}表示A是一个包含元素1、2、3的集合。

2. 描述法：我们可以使用一个条件来描述集合中的元素。

例如，集合B = {x | x是自然数，且x < 5}表示B是一个包含小于5的自然数的集合。

三、集合的运算1. 交集：给定两个集合A和B，它们的交集（记作A∩B）是包含同时属于A和B的所有元素的新集合。

例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B = {2, 3}。

2. 并集：给定两个集合A和B，它们的并集（记作A∪B）是包含属于A或者属于B的所有元素的新集合。

例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∪B = {1, 2, 3, 4}。

3. 差集：给定两个集合A和B，它们的差集（记作A-B）是包含属于A但不属于B的所有元素的新集合。

例如，A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A-B = {1}。

4. 互斥集：给定两个集合A和B，如果它们的交集为空集，则称它们为互斥集。

例如，A = {1, 2}，B = {3, 4}，则A∩B = ∅。

5. 补集：给定一个普通集合U和它的一个子集合A，A相对于U的补集（记作A'或者A^c）是包含U中所有不属于A的元素的集合。

集合的概念和运算在数学中，集合是由一些特定对象组成的集合体。

这些对象可以是数字、字母、词语、图形或其他数学对象。

集合的概念是数学中的基础概念之一，它被广泛应用于各个领域。

一、集合的概念集合通常用大写字母表示，如A、B、C。

一个集合由特定的元素组成，我们可以用花括号“{}”来表示一个集合。

例如，集合A可以表示为：A = {1, 2, 3, 4}。

这个集合中的元素是1、2、3和4。

在集合中，每个元素只能出现一次，不允许重复。

如果一个元素在集合中出现超过一次，也只会被计算为一个元素。

二、集合的运算集合可以进行各种运算，如并集、交集、差集和补集。

1. 并集并集是指将两个或更多集合中的所有元素合并在一起形成一个新的集合。

并集可用符号“∪”表示。

例如，集合A = {1, 2, 3}，集合B = {3, 4, 5}，它们的并集为A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}。

2. 交集交集是指两个或更多集合中共同存在的元素组成的集合。

交集可用符号“∩”表示。

例如，集合A = {1, 2, 3}，集合B = {3, 4, 5}，它们的交集为A∩B = {3}。

3. 差集差集是指从一个集合中去除另一个集合中的元素所得到的新集合。

差集可用符号“－”表示。

例如，集合A = {1, 2, 3}，集合B = {3, 4, 5}，A－B = {1, 2}，B－A = {4, 5}。

4. 补集补集是指在某个全集中，减去一个集合得到的差集。

补集可用符号“'”表示。

例如，全集U = {1, 2, 3，4, 5}，集合A = {1, 2, 3}，则A' = U －A = {4, 5}。

三、集合的应用集合的概念和运算在数学和其他学科中都有广泛的应用。

1. 数学在数学中，集合论是一门重要的数学分支，它研究集合的性质和运算。

集合论不仅是数学的基础，也是其他数学分支的基础，如代数、解析几何和概率论等。

2. 逻辑学在逻辑学中，集合被用来表示命题和谓词的真值。

集合与运算的基本概念与性质一、集合的基本概念1.集合的定义：集合是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。

2.集合的表示方法：用大括号{}括起来，里面列出集合中的元素，如集合A={1,2,3}。

3.集合的元素：集合中的每一个对象称为集合的元素。

4.空集：不含有任何元素的集合，用符号∅表示。

5.集合的性质：a.确定性：集合中的元素是确定的，不存在模糊不清的情况。

b.互异性：集合中的元素是互不相同的。

c.无序性：集合中的元素排列顺序不影响集合的本质。

二、集合的运算1.并集：两个集合A和B的并集，记作A∪B，包含所有属于A或属于B的元素。

2.交集：两个集合A和B的交集，记作A∩B，包含所有同时属于A和属于B的元素。

3.补集：对于全集U，集合A的补集，记作A’，包含所有不属于A的元素。

4.运算法则：a.交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩Ab.结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)c.分配律：A(B∪C)=(AB)∪(AC)，A(B∩C)=(AB)∩(AC)三、集合的其他概念1.子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么集合A是集合B的子集，记作A⊆B。

2.超集：如果集合A包含集合B的所有元素，那么集合A是集合B的超集，记作A⊇B。

3.真子集：如果集合A是集合B的子集，并且A不等于B，那么A是B的真子集，记作A⊊B。

4.空集的特殊性质：空集是任何集合的子集，也是任何集合的超集。

四、整数的运算1.加法：两个整数相加，得到它们的和。

2.减法：一个整数减去另一个整数，得到它们的差。

3.乘法：两个整数相乘，得到它们的积。

4.除法：一个整数除以另一个整数（不为0），得到它们的商。

5.幂运算：一个整数的n次幂，表示这个整数连乘n次。

五、实数的运算1.加法：两个实数相加，得到它们的和。

2.减法：一个实数减去另一个实数，得到它们的差。

3.乘法：两个实数相乘，得到它们的积。

4.除法：一个实数除以另一个实数（不为0），得到它们的商。

集合的基本概念集合是数学中基础而重要的概念之一。

它被广泛应用于各个数学分支和其他科学领域。

本文将介绍集合的基本概念、符号表示法以及一些常见的集合运算。

1. 集合的定义在数学中，集合可以被定义为由确定的对象所构成的整体。

这些对象可以是任何事物，如数、字母、图形等。

一个集合可以包含零个或多个对象，而且每个对象在集合中只能出现一次。

2. 集合的符号表示法数学中，集合通常用大写字母表示，例如A、B、C等。

对于属于集合的对象，可以用小写字母表示，例如a、b、c等。

表示一个对象属于某个集合，可以使用符号“∈”。

例如，如果a属于集合A，我们可以写作a ∈ A。

相反地，如果一个对象不属于某个集合，可以使用符号“∉”。

例如，如果b不属于集合A，我们可以写作b ∉ A。

3. 集合的描述方法有时，我们需要对集合中的对象进行描述。

有两种常见方法可以描述集合：a. 列举法：通过列举集合中的所有对象来描述集合。

例如，如果集合A包含元素1、2和3，我们可以写作A = {1, 2, 3}。

b. 描述法：通过给出满足某个条件的对象来描述集合。

例如，如果集合B包含所有大于0的整数，我们可以写作B = {x | x > 0}，其中“|”表示“满足条件”。

4. 集合的基本运算集合之间可以进行一些常见的运算，包括并集、交集、差集和补集。

a. 并集：两个集合A和B的并集，表示为A ∪ B，包含了A和B中所有的元素。

例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}。

b. 交集：两个集合A和B的交集，表示为A ∩ B，包含了A和B共有的元素。

例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∩ B = {3}。

c. 差集：两个集合A和B的差集，表示为A - B，包含了属于A但不属于B的元素。

例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A - B= {1, 2}。

集合的基本概念与运算方法在数学中，集合是由一组独立的元素组成的。

理解集合的基本概念和运算方法对于解决各种数学问题至关重要。

本文将介绍集合的基本概念以及常用的运算方法。

一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合通常用大写字母表示，集合内的元素用逗号分隔，并放在大括号中。

例如，集合A可以表示为：A = {1, 2, 3, 4}。

2. 元素：一个集合由若干个元素组成，元素是集合的基本单位。

例如，集合A中的元素1、2、3、4便是集合A的元素。

3. 子集：若一个集合A的所有元素都属于另一个集合B，则称集合A为集合B的子集。

用符号表示为A ⊆ B。

例如，集合A = {1, 2}是集合B = {1, 2, 3}的子集。

4. 相等集合：若两个集合A和B拥有相同的元素，则称集合A和集合B相等。

用符号表示为A = B。

二、集合的运算方法1. 并集：若A和B为两个集合，他们的并集就是包含两个集合中所有元素的集合。

用符号表示为A ∪ B。

例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的并集为A ∪ B = {1, 2, 3}。

2. 交集：若A和B为两个集合，他们的交集就是属于A且属于B的所有元素的集合。

用符号表示为A ∩ B。

例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的交集为A ∩ B = {2}。

3. 补集：设U为全集，若A为一个集合，则相对于全集U，A的补集为U中不属于A的所有元素组成的集合。

用符号表示为A'。

例如，集合A = {1, 2, 3, 4}相对于全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}的补集为A' = {5, 6}。

4. 差集：若A和B为两个集合，他们的差集就是属于A但不属于B的所有元素的集合。

用符号表示为A - B。

例如，集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {2, 3}的差集为A - B = {1, 4}。

5. 互斥集：若两个集合A和B的交集为空集，则称它们为互斥集。

集合的概念与运算(总6页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除01集合的概念知识梳理1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A?B 真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}?U A＝{x|x∈U，且x?A}并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A．交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B．补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A．题型一．集合例1. (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m}，若3∈A ，则m 的值为________． 答案 (1)C (2)－32(2)由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.【感悟提升】(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．变式1.设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中的元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 变式2.设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.答案 1.B 2.2解析 1.因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4时，a ＝1,2,3，此时x ＝5,6,7.当b ＝5时，a ＝1,2,3，此时x ＝6,7,8. 所以根据集合元素的互异性可知，x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素．2.因为{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba ，b ，a ≠0， 所以a ＋b ＝0，得ba ＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.题型二. 集合间的基本关系例2.(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4B⊆，则实数m的最大值为(2)已知集合},xm-≤≤xA若A=xBx=m|{121},7≤≤{-|2+_____.答案(1)D(2)4 注：若B是A的真子集，则m的最大值为什么？【感悟提升】(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．变式1.已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是()A．A＝B B．A∩B＝?C．A?B D．B?A变式2.已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x<a}，若A?B，则实数a的取值范围是________．答案 1.D 2.(4，＋∞)解析 1.A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：B?A.2.由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝{x|x<a}，由于A ?B ，如图所示，则a>4. 题型三. 集合的基本运算例3.（1）已知}2|1||{<-=x x A ，}06|{2<-+=ax x x B ，}0152|{2<--=x x x C ， ① ，B B A =⋃求a 的范围；② 是否存在a 的值使C B B A ⋂=⋃，若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由. (2)设集合U ＝R ，A ＝{x|2x(x －2)<1}，B ＝{x|y ＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x|x ≥1}B ．{x|1≤x<2}C ．{x|0<x ≤1}D ．{x|x ≤1}答案 (1)✍（-5≤a ≤-1）;✍1519,-≤≤-⊆⊆a C B A (2)B变式1.已知集合A ＝{1,3，m}，B ＝{1，m}，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3D ．1或3变式2.}32|{+≤≤=a x a x A ，}51|{>-<=x x x B 或，∅≠⋂B A ，则a 的取值范围为_______.答案1.B 2.]3,2()21,(⋃--∞【感悟提升】1.一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．2.运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．变式3.(2015·天津)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(?UB)等于( )A．{2,5} B．{3,6}C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}变式4.设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(?UA)∩B ＝?，则m的值是__________．答案 3.A 4.1或2解析 3.由题意知，?UB＝{2,5,8}，则A∩(?UB)＝{2,5}，选A.4.A＝{－2，－1}，由(?UA)∩B＝?，得B?A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠?.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.题型四. 集合的新定义问题例4．若集合A具有以下性质：(Ⅰ)0∈A,1∈A；(Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，1x∈A.则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是()(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；(2)有理数集Q是“好集”；(3)设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C变式: (2015·湖北)已知集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z}，B ＝{(x ，y)||x|≤2，|y|≤2，x ，y ∈Z}，定义集合A*B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B}，则A*B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30 答案 C解析 如图，集合A 表示如图所示的所有圆点“”，集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A*B 显然是集合{(x ，y)||x|≤3，|y|≤3，x ，y ∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A*B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故A*B 中元素的个数为45.故选C. 【真题演练】1.【2016高考新课标1理数】设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则A B = （ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为23{|430}={|13},={|},2A x x x x xB x x =+<<<>-所以33={|13}{|}={|3},22A B x x x x x x <<><<故选D.2.【2016高考新课标3理数】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T =（ ）(A) [2，3] (B)（-∞ ，2] [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2] [3,+∞）【答案】D【解析】由(2)(3)0x x --≥解得3x ≥或2x ≤，所以{|23}S x x x =≤≥或，所以{|023}S T x x x =<≤≥或，故选D ．3.【2016年高考四川理数】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】C 【解析】由题意，{2,1,0,1,2}A Z =--，故其中的元素个数为5，选C. 4.【2016高考山东理数】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（ ） （A ）(1,1)-（B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞【答案】C 【解析】}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则A B =∞（-1，+），选C. 5.【2016高考新课标2理数】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{12}，（C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， 【答案】C【解析】集合{|12,}{0,1}B x x x =-<<∈=Z ，而{1,2,3}A =，所以{0,1,2,3}A B =，故选C.6.【2016高考浙江理数】已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R （ ）A ．[2,3]B ．( -2,3 ]C ．[1,2)D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞ 【答案】B 【解析】根据补集的运算得．故选B ．7.【2015高考陕西，理1】设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 【答案】A【解析】{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1M N =，故选A ．8.【2015高考福建，理1】若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B 等于 ( )A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．φ 【答案】C【解析】由已知得{},1,,1A i i =--，故A B ={}1,1-，故选C ．。

集合的基本概念与运算集合是数学中一个基本的概念，它描述了一组对象构成的整体。

在集合论中，集合是由元素组成的，而元素可以是任何事物，可以是数值、符号、人、动物等。

本文将介绍集合的基本概念以及常见的运算。

一、集合的基本概念集合可以用大括号{}来表示，元素在大括号内用逗号分隔。

例如，集合A可以表示为A={1,2,3}，其中的元素为1,2和3。

一个集合中的元素是无序的，表示一个集合的方式只是列出其中的元素，并不考虑元素的先后顺序。

在集合中，元素的个数称为集合的基数。

例如，集合A={1,2,3}的基数为3。

当一个集合中的元素个数为有限个时，该集合称为有限集；当一个集合中的元素个数为无限个时，该集合称为无限集。

二、集合的关系1. 相等关系当两个集合的所有元素完全相同时，它们是相等的。

例如，考虑集合A={1,2,3}和B={2,3,1}，虽然它们的元素顺序不同，但它们包含的元素是相同的，因此A和B是相等的。

2. 包含关系当一个集合的所有元素都是另一个集合的元素时，该集合被称为另一个集合的子集。

例如，考虑集合A={1,2,3}和B={1,2,3,4}，所有A 中的元素也都属于B，因此A是B的子集。

3. 空集一个没有任何元素的集合被称为空集，用符号∅表示。

三、集合的运算1. 并集运算给定两个集合A和B，它们的并集表示为A∪B，包含了A和B中所有的元素。

例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。

2. 交集运算给定两个集合A和B，它们的交集表示为A∩B，包含了同时属于A和B的元素。

例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。

3. 差集运算给定两个集合A和B，它们的差集表示为A-B，包含了属于A但不属于B的元素。

例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A-B={1,2}。

4. 补集运算给定一个集合U作为全集，集合A的补集表示为A'，包含了属于全集U但不属于A的元素。