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几何复习(教师版)

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几何复习易错题填空题1．如果线段AB=5cm，BC=3cm，且A，B，C三点在同一条直线上，那么A，C两点之间的距离是8cm或2cm．考点：两点间的距离。

专题：计算题；分类讨论。

分析：本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的图形解题．当点C在AB之间时，AC=AB﹣BC；当点C在点B的右侧时，AC=AB+BC．解答：解：当点C在AB之间时，AC=AB﹣BC=5﹣3=2cm；当点C在点B的右侧时，AC=AB+BC=5+3=8cm．故填8或2．点评：在未画图类问题中，正确画图很重要．本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性．在今后解决类似的问题时，要防止漏解．2．（2008•株洲）已知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为线段AB、BC的中点，且AB=60，BC=40，则MN的长为10或50．考点：比较线段的长短。

专题：分类讨论。

分析：画出图形后结合图形求解．解答：解：（1）当C在线段AB延长线上时，∵M、N分别为AB、BC的中点，∴BM=AB=30，BN=BC=20；∴MN=50．（2）当C在AB上时，同理可知BM=30，BN=20，∴MN=10；所以MN=50或10．点评：本题考查线段中点的定义，比较简单，注意有两种可能的情况；解答这类题目，应考虑周全，避免漏掉其中一种情况．3．（2006•哈尔滨）已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，E、F分别为线段OA、OB的中点，则线段EF的长度为1或5cm．考点：比较线段的长短。

专题：分类讨论。

分析：根据题意，画出图形，此题分两种情况：（1）点O在点A和点B之间（如图①），则EF=OA+OB；（2）点O在点A和点B外（如图②），则EF=OB﹣OA．解答：解：如图，（1）点O在点A和点B之间，如图①，则EF=OA+OB=5cm；（2）点O在点A和点B外，如图②，则EF=OB﹣OA=1cm．∴线段EF的长度为1cm或5cm．点评：此题考查线段中点的定义及线段长的求法．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．4．已知点B在直线AC上，线段AB=8cm，AC=18cm，p、Q分别是线段AB、AC的中点，则线段PQ=13cm或5cm．考点：比较线段的长短。

专题：分类讨论。

分析：本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的图形解题．解答：解：当点C在点A左侧时，AP=AC=9，AQ=AB=4，∴PQ=AQ+AP=9+4=13cm．当点C在点B右侧时，AP=AB=4cm，BC=AC﹣AB=10cm，AQ=，AC=9，PQ=AQ﹣AP=9﹣4=5cm．故答案为13cm或5cm．．点评：在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性．在今后解决类似的问题时，要防止漏解．5．若线段AB=10cm，在直线AB上有一个点C，且BC=4cm，M是线段AC的中点，则AM=3或7cm．考点：比较线段的长短。

专题：分类讨论。

分析：本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的图形解题．同时利用中点性质转化线段之间的倍分关系．解答：解：当点C在AB中间时，如上图，AC=AB﹣BC=10﹣4=6，AM=AC=3cm，当点C在AB的外部时，AC=AB+BC=10+4=14，AM=AC=7cm．故答案为5或7cm．点评：在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性．在今后解决类似的问题时，要防止漏解．6．如图，若CB=4cm，DB=7cm，且D是AC的中点，则AC=6cm．考点：比较线段的长短。

专题：计算题。

分析：理解线段的中点这一概念，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系进行解题．解答：解：CD=DB﹣BC=7﹣4=3cm，AC=2CD=2×3=6cm．故答案为6．点评：灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．7．已知线段AB=9厘米，在直线AB上画线段BC，使它等于3厘米，则线段AC=6厘米或12厘米．考点：比较线段的长短。

专题：计算题；分类讨论。

分析：由于点C的位置不确定，所以要分情况讨论：（1）当C在线段AB上时，AC=AB﹣BC；（2）当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC．解答：解：（1）当C在线段AB上时，AC=AB﹣BC=9﹣3=6（厘米）；（2）当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=9+3=12（厘米）．则线段AC=6厘米或12厘米．故答案为：6厘米或12厘米．点评：注意此类题要分情况画出正确的图形．灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系十分关键．8．如图，点C、D是线段AB上的两点，若AC=4，CD=5，DB=3，则图中所有线段的和是41．考点：比较线段的长短。

专题：计算题。

分析：图中所有线段有：AC、AD、AB、CD、CB、DB，由已知条件分别求出线段的长度，再相加即可．解答：解：AD=AC+CD=9，AB=AC+CD+DB=12，CB=CD+DB=8，故所有线段的和=AC+AD+AB+CD+CB+DB=41．点评：找出图中所有线段是解题的关键，注意不要遗漏，也不要增加．9．若线段MN=10cm，Q是直线MN上一点，且线段NQ=5cm，则线段MQ长是5或15 cm．考点：比较线段的长短。

分析：数形结合，先画图，结合图形，应分两种情况，进行分类讨论．解答：解：当点Q在线段MN的内部时，MQ=10﹣5=5cm，当点Q在线段MN的外部时，MQ=10+5=15cm．点评：此类题目很简单，但容易漏解，应结合题意画出图形，进行分类讨论．10．已知A，B，C三点在同一条直线上，若AB=60cm，BC=40cm，则AC的长为100cm 或20cm．考点：比较线段的长短。

专题：分类讨论。

分析：根据题意，分两种情况讨论：（1）C在AB内，则AC=AB﹣BC；（2）C在AB外，则AC=AB+BC．解答：解：（1）C在AB内，则AC=AB﹣BC=20cm；（2）C在AB外，则AC=AB+BC=100cm．∴AC的长为100cm或20cm．点评：本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性．灵活运用线段的和、差转化线段之间的数量关系．在今后解决类似的问题时，要防止漏解．11．M，N是线段AB的三等分点，P是NB的中点，若AB=12厘米，则PA=10或8厘米．考点：比较线段的长短。

专题：分类讨论。

分析：由已知条件可知，此题要分两种情况讨论：①当N在靠近B的一端时，又P是NB的中点，所以PA=AB﹣PB可求；②当N在靠近A的一端时，又P是NB的中点，所以P与M重合，所以PA可求．解答：解：如图，因为M，N是线段AB的三等分点，所以NB=AB=4cm，①当N在靠近B的一端时，又P是NB的中点，所以PB=NB=2，所以PA=12﹣2=10cm；②当N在靠近A的一端时，又P是NB的中点，所以P与M重合，所以PA=12﹣4=8cm．∴PA=10cm或8cm．点评：理解线段的三等分点的概念，还要注意点的位置不同导致有不同的情况．结合图形，正确求解．12．线段AB=8cm．在直线AB上另取一点C，使AC=2cm，P、Q分别是AB、AC的中点，则线段PQ的长度为3或5cm．考点：比较线段的长短。

专题：分类讨论。

分析：根据题意可得点C的位置有两种，一种是在AB之间，另一种是在AB之外并且在射线BA上．根据不同的情况分别讨论，然后得出PQ的长度．解答：解：当点C在AB之间时，P、Q分别是AB、AC的中点，所以AQ=AC，AP=AB，PQ=AP﹣AQ=AB﹣AC=3cm．当点C在AB之外时，P、Q分别是AB、AC的中点，所以AQ=AC，AP=AB，PQ=AP+AQ=4+1=5cm．故线段PQ的长为3cm或5cm．点评：本题难点是找出题中点C的位置，根据分析可得，点C有两个两种情况满足要求，则根据不同的情况分析各线段之间的关系，然后分别得出PQ的长度．解答题21．如图所示，已知C点分线段AB为3：2，D点分线段AC为1：2，DC的长为12cm，求AB的长．考点：比较线段的长短。

分析：由D点分线段AC为1：2，DC的长为12cm，可求得AC=12=18cm，又因为C 点分线段AB为3：2，可得AB=18÷=30cm．解答：解：∵D点分线段AC为1：2，DC的长为12cm，∴AC=12=18cm，又∵C点分线段AB为3：2，∴AB=18÷=30cm．点评：此题主要是由部分求整体，可让部分÷所占比例即可求得整体．22．A、B是线段EF上两点，已知EA：AB：BF=1：2：3，M、N分别为EA、BF的中点，且MN=8cm，求EF的长．考点：比较线段的长短。

分析：如图，由于EA：AB：BF=1：2：3，可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，而M、N分别为EA、BF的中点，那么线段MN可以用x表示，而MN=8cm，由此即可得到关于x的方程，解方程即可求出线段EF的长度．解答：解：∵EA：AB：BF=1：2：3，可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，而M、N分别为EA、BF的中点，∴MA=EA，NB=BF，∴MN=MA+AB+BN=x+2x+x=4x，而MN=8cm，∴4x=8，∴x=2，∴EF=EA+AB+BF=6x=12，∴EF的长为12cm．点评：利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．23．如图，B，C两点把线段MN分成三部分，其比为MB：BC：CN=2：3：4，P是MN 的中点，PC=2cm，求MN的长．考点：比较线段的长短。

分析：在一条直线或线段上的线段的加减运算和倍数运算，首先明确线段间的相互关系，根据题目中的几何图形，再根据题意进行计算．解答：解：B，C两点把线段MN分成三部分，其比为MB：BC：CN=2：3：4，设MB=2x，则BC=3x，CN=4x，即MC=4.5x，故PC=MC﹣MP=5x﹣4.5x=0.5x=2cm，故x=4cm，则MN=9x=36cm．答：MN=36cm．点评：利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．类型一：角的概念1．在下列说法中，正确的是（）①两条射线组成的图形叫做角；②角的大小与边的长短无关；③角的两边可以一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线．A．①②B．②④C．②③D．③④考点：角的概念。

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2019-2020学年上海八年级数学上册期末专题复习专题06 几何证明复习(考点讲解)(教师版)

2019-2020学年上海八年级数学上册期末专题复习专题06 几何证明复习(考点讲解)(教师版)

专题06 几何证明【考点剖析】1.命题：判断一件事情的句子；正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题；一个命题是由题设和结论两部分组成.2.公理和定理：从长期的实践中总结出来的真命题叫公理；从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.3.证明真命题的步骤：①根据题意作出图形，并在图形上标出必要的字母和符号；②根据题设和结论，结合图形写出已知和求证；③经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程.4.平行线的判定与性质平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等．那么这两条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等。

5.全等三角形：全等三角形的判定：S.A.S； A.S.A； A.A.S； S.S.S；全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等。

6.等腰三角形的判定与性质性质1：等腰三角形的两个底角相等；（简称：等边对等角）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称：等腰三角形的三线合一）判定1：（定义法）有两条边相等的三角形；判定2：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。

(简称：等角对等边)7.证明常见题型证明两直线平行、两直线垂直、两条线段相等、两个角相等、线段或角的和差倍半简单的问题；【典例分析】【考点】证明举例例1 （普陀2017期中5）下列命题中，真命题是（）A.两条直线被第三条直线所截，同位角相等；B.两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；C.直角三角形的两个锐角互余；D.三角形的一个外角等于两个内角的和. 【答案】C【解析】A 、两条直线被第三条直线所载，同位角不一定相等，因为两直线不一定平行，故A 错；B 、边、边、角不一定能得到两个三角形全等，故B 错；C 、直角三角形的两个锐角互余，正确；D 、三角形的一个外角等于不它不相邻的两个内角和，故D 错。

2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：全等与相似模型-半角模型(教师版)

2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：全等与相似模型-半角模型(教师版)

专题16全等与相似模型-半角模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。

本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.半角模型半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。

思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。

解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。

【模型展示】1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④ AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。

2）等腰直角三角形半角模型条件： ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；3）等边三角形半角模型（120°-60°型）条件： ABC 是等边三角形， BDC 是等腰三角形，且BD =CD ，∠BDC =120°，∠EDF =60°；结论：①△BDE ≌△CDG ；②△EDF ≌△GDF ；③EF ＝BE ＋FC ；④ AEF 的周长=2AB ；⑤DE 、DF 分别平分∠BEF 和∠EFC 。

4）等边三角形半角模型（60°-30°型）条件： ABC 是等边三角形，∠EAD =30°；结论：①△BDA ≌△CFA ；②△DAE ≌△FAE ；③∠ECF =120°；④DE 2＝(12BD ＋EC)2+2；5）半角模型（2 - 型）条件：∠BAC =2 ，AB =AC ，∠DAE = ；结论：①△BAD ≌△CAF ；②△EAD ≌△EAF ；③∠ECF=180°-2 。

2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)22 解直角三角形模型之实际应用模型(教师版)

2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)22 解直角三角形模型之实际应用模型(教师版)

专题22解直角三角形模型之实际应用模型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。

将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。

在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。

为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。

模型1、背靠背模型图1图2图3【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键.【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。

【答案】该建筑物BC【分析】由题意可知，【点睛】本题考查的是解直角三角形函数，熟练掌握直角三角形的特征关键．例2．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼学楼底部243米的C30 ，CD长为49.6米．已知目高(1)求教学楼AB的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线【答案】(1)教学楼AB的高度为【分析】（1）过点B作BG DC通过证明四边形GCAB为矩形，之间的和差关系可得CG【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．例3．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度3:i，求斜坡AB的长．18C【答案】斜坡AB的长约为10米【分析】过点D作DE BC于点E，在Rt△在Rt DEC △中，2018CD C ，，sin 20sin18200.31 6.2DE CD C ∵34AF BF ，∴在Rt ABF 中，2AB AF 【答案】大楼的高度BC 为303m 【分析】如图，过P 作PH AB 于QH BC ，BH CQ ，求解PH 704030CQ BH ，PQ CQ 【详解】解：如图，过P 作PH则四边形CQHB 是矩形，∴由题意可得：80AP ，PAH ∴3sin 60802PH AP ∴704030CQ BH ，∴∴403103BC QH模型2、母子模型图1图2图3图4【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。

立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法(教师版)

立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法(教师版)

立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法(教师版)立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法知识点梳理1.柱、锥、台和球的侧面积和体积圆柱：侧面积为$S_\text{侧}=2\pi rh$，体积为$V=\pir^2h$圆锥：侧面积为$S_\text{侧}=\pi rl$，体积为$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$圆台：侧面积为$S_\text{侧}=\pi(r_1+r_2)l$，体积为$V=\frac{1}{3}\pi h(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)$直棱柱、正棱锥、正棱台、球的表面积和体积公式不再赘述。

2.几何体的表面积直棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和。

圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和。

一公式法例1.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为。

解：因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，所以有以下两种情况：①：2是下底面的周长，4是三棱柱的高，此时下底面的边长为$\frac{2}{\sqrt{3}}$，所以体积为$V=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，面积为$S=2\sqrt{3}$。

②：4是下底面的周长，2是三棱柱的高，此时下底面的边长为$\sqrt{3}$，所以体积为$V=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，面积为$S=2\sqrt{3}$。

所以正三棱柱的体积为$\frac{4}{3}\sqrt{3}$。

例2.如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（）。

解：由题意可知此几何体是一个四棱锥，由图可知底面两条对角线的长分别为2和3，底面边长为2，所以底面菱形的面积为$S=\frac{3}{2}$，侧棱为$\sqrt{2^2+3^2}= \sqrt{13}$，则棱锥的高$h=\sqrt{3^2-(\frac{\sqrt{13}}{2})^2}=\frac{\sqrt{35}}{2}$。