解析几何运算处理技巧教师版

解析几何考点和答题技巧归纳一、解析几何的难点从解题的两个基本环节看：1、翻译转化：将几何关系恰当转化（准确，简单），变成尽量简单的代数式子（等式 / 不等式），或反之…2、消元求值：对所列出的方程 / 不等式进行变形，化简，消元， 计算，最后求出所需的变量的值/范围 等等难点：上述两个环节中 ⎩⎪⎨⎪⎧变量、函数/方程/不等式的思想灵活性和技巧性分类讨论综合应用其他的代数几何知不小的计算量二、复习建议分两个阶段，两个层次复习： 1、基础知识复习：落实基本问题的解决，为后面的综合应用做好准备。

这个阶段主要突出各种曲线本身的特性，以及解决解析问题的一般性工作的落实，如： ① 直线和圆：突出平面几何知识的应用（d 和r 的关系！）；抛物线：突出定义在距离转化上的作用，以及设点消元上与椭圆双曲线的不同之处。

② 圆锥曲线的定义、方程、基本量（a 、b 、c 、p ）的几何意义和计算③ 直线和圆锥曲线的位置关系的判断（公共点的个数）④ 弦长、弦中点问题的基本解法⑤ 一般程序性工作的落实：设点、设直线（讨论？形式？）、联立消元、列韦达结论… 中的计算、讨论、验…2、综合复习：重点攻坚翻译转化和消元求值的能力① 引导学生在 “解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式（方程/函数）、不等式的思想② 积累常见的翻译转化, 建立常见问题的解决模式③ 一定量的训练, 提高运算的准确性、速度, 提高书写表达的规范性、严谨性● 具体说明1、引导学生在“解题路径规划”的过程中理解解析法：变量、等式(方程/函数)、不等式的思想建议在例题讲解时，总是在具体计算之前进行“解题路径规划”：① 条件和结论与哪几个变量相关？解决问题需要设哪些变量？② 能根据什么条件列出几个等式和不等式？它们之间独立吗？够用了吗？③ 这些等式/不等式分别含有什么变量？如何消元求解最方便？④ 根据这些等式和不等式，能变形、消元后得到什么形式的结论（能消掉哪些变量？得到两个变量的新等式/不等式？变量的范围？求出变量的值？)好处： ①选择合适的方法；②避免中途迷失[注] 关于消元常用的消元法： ⎩⎪⎨⎪⎧代入消元加减/乘除消元韦达定理整体代入消掉交点坐标 点差法 弦中点与弦斜率的等量关系 ……换元,消元的能力非常重要2、积累常见翻译转化，建立常见问题的解决模式（1）常见的翻译转化：① 点在曲线上 点的坐标满足曲线方程② 直线与二次曲线的交点⎣⎢⎡点坐标满足直线方程点坐标满足曲线方程x 1 + x 2 = …‚ x 1x 2= …y 1 + y 2 = …‚ y 1y 2 = … ③ 两直线AB 和CD 垂直 01AB CD AB CD k k ⎡⋅=⎢⋅=-⎣④ 点A 与B 关于直线l 对称⎩⎨⎧中: AB 的中点l 垂: AB ⊥l ⑤ 直线与曲线相切 ⎣⎡圆: d = r 一般二次曲线: 二次项系数 ≠ 0 且∆ = 0⑥ 点(x 0,y 0)在曲线的一侧/内部/外部 代入后 f (x 0,y 0) > 0或f (x 0,y 0) < 0⑦ ABC 为锐角 或 零角 BA → ∙ BC → > 0⑧ 以AB 为直径的圆过点C⎣⎢⎡CA → ∙ CB → = 0|CA |2 + |CB |2 = |AB |2 ⑨ AD 平分BAC → ⎣⎢⎢⎡AD ⊥x 轴或y 轴时:k BA = − k AC AD 上点到AB 、AC 的距离相等AD →∥(AB → + AC →)⑩ 等式恒成立系数为零或对应项系数成比例○11 A 、B 、C 共线 → ⎣⎢⎢⎡AB →∥BC→k AB = k BC C 满足直线AB 的方程……[注] 关于直线与圆锥曲线相交的列式与消元：① 如果几何关系与两个交点均有关系，尤其是该关系中，两个交点具有轮换对称性，那么可优先尝试利用韦达定理得到交点坐标的方程，然后整体消元如果几何关系仅与一个交点相关, 那么优先尝试“设点代入”（交点坐标代入直线方程和曲线方程）；② 如果几何关系翻译为交点的坐标表示后， 与x 1 + x 2, y 1 + y 2相关 （如：弦的中点的问题)，还可尝试用 “点差法”（“代点相减” 法） 来整体消元，但仍需保证∆ > 0（2）建立常见题型的“模式化”解决方法 （不能太过模式化，也不能没有模式化）如：① 求曲线方程： ⎩⎪⎨⎪⎧待定系数法直译法定义法相关点法参数法… 难度较大，上海常考的是待定系数法、定义法和相关点法。

解析几何大题的解题步骤和策略
当涉及解析几何大题时，下面是一般的解题步骤和策略：
1.阅读理解：仔细阅读题目，理解问题陈述、已知条件和要求，
确保对问题的要求和约束有清晰的理解。

2.建立坐标系：根据题目描述和已知条件，确定合适的坐标系。

选择适当的坐标可以简化问题的计算和分析。

3.列出方程：根据题目的几何关系，用已知条件建立方程。

可
以利用距离公式、斜率公式、点斜式等几何关系公式来列出方程。

4.解方程组：利用求解方程组的方法来找到未知变量的值。

可
以使用代入法、消元法、梯度下降法等方法来求解方程组。

5.分析图形特征：通过计算、分析和绘制图形，找出图形的性
质和特征。

可以利用角度、长度等几何性质来推断和解答问题。

6.检查和回答：在得出计算结果之后，进行合理性检查，确保
计算的准确性。

最后，回答问题，给出相应的解释和结论。

在解析几何大题时，要善于运用几何知识和创造性思维，注意问题的合理性和准确性。

同时，从不同的角度分析和解决问题，灵活运用几何性质和解题策略，可以更好地应对解析几何大题。

根据具体的题目和难度，可能需要使用不同的方法和技巧，因此灵活性和实践经验也是很重要的因素。

解析几何解答题技巧
解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间中点、线、面等几何对象在坐标系中的表示和性质。

在解析几何的解答题中，需要注意以下几点技巧：
1. 建立坐标系：根据题目的具体情况，选择适当的坐标系，如直角坐标系、极坐标系或参数方程。

坐标系的建立有助于将几何问题转化为代数问题，便于进一步求解。

2. 设点坐标：根据题目要求，设出未知点的坐标。

设点坐标时需要注意，所设的坐标应尽量满足题目的条件，便于求解。

3. 列出方程：根据题目的已知条件和设定的坐标，列出所需的方程。

列方程时需要注意，方程应尽可能简单，便于求解。

4. 解方程：根据所列的方程，解出未知数的值。

解方程时需要注意，解方程的方法应尽可能简单，便于计算。

5. 验证答案：解出答案后，需要进行验证，确保答案符合题目的条件和已知条件。

验证答案时需要注意，答案应尽可能准确，避免出现误差。

6. 总结答案：最后需要对答案进行总结，写出完整的答案。

总结答案时需要注意，答案应尽可能清晰，便于阅读和理解。

总之，在解析几何的解答题中，需要注意建立坐标系、设点坐标、列出方程、解方程、验证答案和总结答案等技巧。

同时还需要注意计算准确、思路清晰、表达简洁等要求。

解题宝典仔细研究可以发现，解析几何问题通常具有以下几个特点：（1）解题过程中的运算量较大；（2）选择题和填空题侧重于考查抛物线、椭圆、双曲线的定义和几何性质，解答题侧重于考查直线与椭圆、抛物线、双曲线的位置关系；（3）可从代数和几何两个角度入手，寻找解题的思路.在解答解析几何问题时，我们要抓住解析几何问题的特点，选用一些技巧来简化运算，提升解题的效率.一、巧用定义在解答与圆锥曲线定义有关的问题时，要将问题中的动点、定点、定直线与圆锥曲线上的点、焦点、准线等关联起来，根据圆锥曲线的定义来建立关于动点的关系式，求得各个参数a 、b 、c 、p 、r 的值，便可求得动点的轨迹方程或焦半径的长.例1.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为-3的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若 AF 1·AF 2=0，a =3-1，则F 2的坐标为.解：因为 AF 1·AF 2=0，所以AF 1⊥AF 2，因为k AF 2=-3，所以∠AF 1F 2=π6，则AF 1=3c ，AF 2=c ，由双曲线的定义得AF 1-AF 2=3c -c =2a ，则c =3=2，所以F 2已知条件中涉及了双曲线的两个焦半径AF 1、AF 2，于是联想到双曲线的定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹，据此建立关于AF 1、AF 2的关系式，即可解题.运用圆锥曲线的定义来解题，能快速建立起焦点弦、参数之间的联系，起到简化运算的效果.二、数形结合在解答解析几何问题时，根据题意画出相应的曲线、直线，并将数量关系转化为几何关系，这样把数形结合起来，可使问题变得更加直观，便于分析.运用数形结合法解题，关键是画出相应的平面几何图形，灵活运用平面几何知识，如三角形、圆、平行四边形、梯形的性质来求解.例2.（2021年高考数学上海卷，第11题）已知抛物线C ：y 2=2px （p >0），若第一象限内的点A ，B 在抛物线C 上，焦点为F ，且|AF |=2，|BF |=4，|AB |=3，则直线AB 的斜率为______.解：如图所示，过点A ,B 作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为P ，Q ，作AM ⊥BQ ,垂足为M ，根据抛物线的定义可知|AP |=|MQ |=|AF |=2，|BQ |=|BF |=4，则|BM |=2，在Rt△AMB 中,由|AB |=3可得|AM |=|AB |2-|BM |2=5,所以直线AB 的斜率k =tan ∠ABM =|AM ||BM |=根据题目中所给的条件，作出相应的平面几何图形，将题目中的数量关系转化为几何关系，便可将数形结合起来，通过合理添加辅助线，构造出直角三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理就能求得直线AB 的斜率.三、设而不求设而不求是指设出相关的参数，但不求出参数的具体值，得到直线的方程、曲线的方程、点的坐标等，将其代入题设中进行运算，最后通过消元求得问题的答案.利用设而不求法解答解析几何问题，只需设出相关的参数，根据题意建立关系式，合理进行整体代换、消元即可.例3.（2021年福建省福州市高考数学调研试卷）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点.正方形OPBQ 的顶点P ，Q 在椭圆C 上.（1）求C 的离心率；（2）若a=2，直线l 过点（1，0）且x 轴不重合，与椭圆C 交于M ，N 两点（M 在x 轴上方），直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，试判断k 1k 2是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.解：（1）略；（2）当a =2时，b =，所以椭圆C 的方程为x 2+3y 2=4，设直线l 的方程为x =my +1，m ≠0，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则y 2<0<y 1，由题意可得ìíîx =my +1,x 2+3y 2=4,消去x 可得(m 2+3)y 2+2my -3=0，得y 1+y 2=-2m m 2+3，y 1y 2=-3m 2+3，林毓琴41解题宝典N k OM 42。

解析几何求解技巧解析几何是高等数学的重要分支之一，它主要研究几何图形的性质和相关问题的解法。

解析几何的求解技巧是解决几何问题的关键，下面将介绍几种常用的解析几何求解技巧。

一、坐标法：坐标法是解析几何中最常见的求解技巧。

它利用坐标系和坐标代数的方法，通过确定几何图形上的点的坐标，将几何问题转化为代数方程的求解问题。

具体的求解步骤可以概括为：1. 建立坐标系。

根据题目所给条件，确定适当的坐标系，并选择合适的单位长度。

2. 确定几何图形上的点的坐标。

根据题目所给条件，推导出几何图形上点的坐标关系。

可以运用平面几何中的基本性质和定理，通过代数方法求解。

3. 转化为代数方程。

根据几何图形的性质和定理，将几何问题转化为代数方程的求解问题。

这一步骤需要灵活应用代数方程的解法技巧。

4. 求解代数方程。

根据所得的代数方程，运用代数解法将方程求解。

5. 检验结果。

将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目所给条件。

如果满足，即为几何问题的解；如果不满足，需重新检查求解过程。

二、向量法：向量法是解析几何中另一种常用的求解技巧。

它运用向量的概念和运算，通过向量的相等、垂直、平行等性质，推导出几何图形和问题的解法。

具体的求解步骤可以概括为：1. 确定坐标系和向量的表示。

建立适当的坐标系，确定向量的表示方法。

常用的表示方法有坐标表示法、定点表示法和参数表示法等。

2. 利用向量的性质和运算推导条件。

根据题目所给条件，利用向量的性质和运算，推导出几何图形上的条件和关系。

3. 利用向量之间的关系求解。

根据所得的几何图形上的条件，利用向量的关系，运用向量的加减、数量积、向量积等运算进行求解。

4. 检验结果。

将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目所给条件。

如果满足，即为几何问题的解；如果不满足，需重新检查求解过程。

三、分析法：分析法是解析几何中辅助性的求解技巧。

它通过对几何图形的分析，将几何问题转化为具有明确几何意义的问题，并通过几何性质和定理的应用，求解问题。

解析几何解答题的答题策略和技巧解析几何解答题答题策略和技巧解析几何题目的解答通常涉及到代数和几何原理相结合。

要有效解决这些问题，遵循以下策略和技巧至关重要：理解题意仔细阅读题目，并确保理解要求。

确定您需要找到的内容，例如点的坐标、线的方程或图形的性质。

选择适当的坐标系根据问题中的信息，选择合适的坐标系。

笛卡尔坐标系（直线坐标系）通常用于描述二维空间，而极坐标系则适用于某些涉及角度或极半径的问题。

建立方程或不等式使用代数和几何原理建立方程或不等式。

这可能包括使用点-斜率形式、斜截距形式、点-线距离公式或其他相关概念。

求解方程或不等式运用代数技巧求解方程或不等式。

这可能涉及因子分解、平方、化简或三角函数的使用。

验证解将找到的解代回原始方程或不等式中，以确保其满足问题条件。

几何直觉在求解过程中，运用几何直觉来了解图形的形状和位置。

这可以帮助您做出假设和做出明智的决策。

技巧和注意事项简化问题：如果可能，将复杂的问题分解成更简单的部分，以便更容易解答。

利用对称性：在某些情况下，图形或方程可能具有对称性。

利用这些对称性可以简化问题。

使用图形计算器：图形计算器可以用于可视化图形并检查解。

保持整洁和有条理：使用清晰的数学符号并以有条理的方式显示您的工作步骤。

复查解：在完成解决方案后，花时间复查您的工作，以确保准确性和一致性。

特定类型问题的技巧点和线：使用点-斜率形式、斜截距形式或点-线距离公式求解点的坐标或线的方程。

圆：使用标准圆方程或圆心和半径来确定圆的性质。

双曲线：使用双曲线的标准方程或渐近线来求解焦点、顶点和渐近线。

抛物线：使用抛物线的标准方程来确定顶点、焦点和准线。

椭圆：使用椭圆的标准方程来确定中心、半轴和焦距。

通过遵循这些策略和技巧，您可以大大提高解析几何问题的解答能力。

记住，熟能生巧，因此定期练习和学习相关概念至关重要。

高三数学（人教版）第二轮专题辅导讲座第五讲 解析几何新题型的解题技巧【命题趋向】解析几何例命题趋势：1．解析几何的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考．2．直线与二次曲线的普遍方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现．3．考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题，属中档题．4．有关直线与圆锥曲线的综合题，多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生平面几何知识与代数知识的综合应用能力，分析问题和学生解决问题的能力，对运算能力要求较高．【考点透视】一．直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 3．了解二元一次不等式表示平面区域． 4．了解线性规划的意义，并会简单的应用． 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． 二．圆锥曲线方程1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质． 2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． 4．了解圆锥曲线的初步应用． 【例题解析】 考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.例1．（20XX 年安徽卷）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.解答过程：椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D.考点2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.例2．（20XX 年全国卷II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） A ．2 3 B ．6 C ．4 3 D ．12 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的应用.解答过程：由椭圆方程x 23＋y 2＝1知),,,A B C ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭2ABC AB C ∆∴∴=故选C.例3．（20XX 年四川卷）如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.解答过程：由椭圆2212516x y +=的方程知225, 5.a a =∴=∴12345677277535.2a PF P F P F P F P F P F P F a ⨯++++++==⨯=⨯= 故填35.考点3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率e ＝ac ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁);(2) 双曲线的离心率e ＝ac ∈(1, ＋∞) (e 越大则双曲线开口越大).结合有关知识来解题.例4．（20XX 年福建卷）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2] B ．(1,2) C ．[2,)+∞ D ．(2,)+∞ 考查意图: 本题主要考查双曲线的离心率e ＝ac ∈(1, ＋∞)的有关知识.解答过程： 2.c e a ∴==例5．（20XX 年广东卷）已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ）A.2 B.332 C. 2 D.4考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e ＝ac ∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力.解答过程：依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ． 考点4.求最大(小)值求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例6．(20XX 年山东卷)已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 .考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法. 解:设过点P (4,0)的直线为()()224,8164,y k x k x x x =-∴-+= ()()122222222122284160,8414416232.k x k x k k y y x x k k ∴-++=+⎛⎫∴+=+=⨯=+≥ ⎪⎝⎭故填32.考点5 圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.例7．已知P 是椭圆22x y 14+=上的点，12F ,F 是椭圆的两个焦点，且12F PF 60∠=︒，求12F PF ∆的面积.解答过程：依题意得：12PF PF 2a 4+==，在12F PF ∆中由余弦定理得2221212PF PF 2PF PF cos60=+-⋅︒＝2121212(PF PF )2PF PF 2PF PF cos 60+-⋅-⋅︒，解之得：124PF PF 3⋅=，则12F PF ∆的面积为121PF PF sin 602⋅︒小结：（1）圆锥曲线定义的应用在求解圆锥曲线问题中的作用举足轻重；（2）求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题中，正、余弦定理非常重要. 例8．已知动点P 到两个定点A(5,0)-、B(5,0)的距离之差为|PA ||PB |8-=， （1）求点P 的轨迹方程；（2）对于x 轴上的点M ，若满足2|PA ||PB ||PM |⋅=，则称点M 为点P 对应的“比例点”，求证：对任意一个确定的点P ，它总有两个比例点. 解答过程：（1）因为A(5,0)-、B(5,0)且|PA ||PB |8-=，所以，点P 的轨迹是以A,B 为两焦点，实轴长为8的双曲线的右支， 且a 4,c 5==，则b 3=，则点P 的轨迹方程是：22x y 1,(x 4)169-=≥（2）设111P(x ,y )(x 4)≥，M(m,0)，双曲线的离心率5e 4=，因为2|PA ||PB ||PM |⋅=，由焦半径公式和距离公式得：22111155(x 4)(x 4)(x m)y 44+-=-+＝2211x (x m)9(1)16-+-， 整理得：21m 2mx 70-+=，因22114x 284(x 7)0∆=-=->，则方程有两个不等实根，即对于点P 它总对应两个比例点.小结：（1）应用圆锥曲线定义时，要注意其限制条件，在椭圆中，2a 2c >；在双曲线中2a 2c <且注意差的绝对值12||PF ||PF ||2a -=，若无绝对值，则曲线为双曲线的一支； （2）焦半径公式在计算中非常方便，但双曲线的焦半径不要求记忆，可以利用定义进行转化；（3）求解对应点的个数，通常转化为方程解的个数，这时，判别式就非常重要.例9．已知椭圆2222x y E :1(a b 0)a b+=>>，AB 是它的一条弦，M(2,1)是弦AB 的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线AB 交于点N(4,1)-，若椭圆离心率e 和双曲线离心率1e 之间满足1ee 1=，求：（1）椭圆E 的离心率；（2）双曲线C 的方程.解答过程：（1）设A 、B 坐标分别为1122A(x ,y ),B(x ,y )， 则221122x y 1ab+=，222222x y 1a b+=，二式相减得：21212AB21212y y (x x )b kx x (y y )a-+==-=-+2MN 22b 1(1)k 1a 24---===--， 所以2222a 2b 2(a c )==-，22a 2c =，则c e a==（2）椭圆E的右准线为2a x 2c c ===，双曲线的离心率11e e==设P(x,y)是双曲线上任一点，则：|PM ||x 2c |==-两端平方且将N(4,1)-代入得：c 1=或c 3=，当c 1=时，双曲线方程为：22(x 2)(y 1)0---=，不合题意，舍去； 当c 3=时，双曲线方程为：22(x 10)(y 1)32---=，即为所求. 小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点6 利用向量求曲线方程利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题：例10．(20XX 年山东卷）双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线.(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）.当12PQ QA QB λλ==，且3821-=+λλ时，求Q 点的坐标.考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y a b -=,由椭圆22184x y +=,求得两焦点为(2,0),(2,0)-，∴对于双曲线:2C c =，又y =为双曲线C 的一条渐近线∴b a= 解得 221,3a b ==，∴双曲线C 的方程为2213y x -=（Ⅱ）解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零.设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y ,则4(,0)Q k-.1PQ QA λ=,11144(,4)(,)x y kk λ∴--=+.111111114444()44x k k x k k y y λλλλ⎧=--⎧⎪-=+⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎪⎩11(,)A x y 在双曲线C 上， ∴2121111616()10k λλλ+--=.∴222211161632160.3k k λλλ++--=∴2221116(16)32160.3k k λλ-++-=同理有：2222216(16)32160.3k k λλ-++-=若2160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2160,k ∴-≠12,λλ∴是二次方程22216(16)32160.3k x x k -++-=的两根.122328163k λλ∴+==--,24k ∴=，此时0,2k ∆>∴=±.∴所求Q 的坐标为(2,0)±.解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-.1PQ QA λ=， Q ∴分PA 的比为1λ.由定比分点坐标公式得1111111111144(1)14401x x k k y y λλλλλλλ⎧⎧-==-+⎪⎪+⎪⎪→⎨⎨+⎪⎪=-=⎪⎪+⎩⎩下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-.12PQ QA QB λλ==， 111222444(,4)(,)(,)x y x y k kkλλ∴--=+=+.11224y y λλ∴-==， 114y λ∴=-，224y λ=-，又1283λλ+=-， 121123y y ∴+=,即12123()2y y y y +=.将4y kx =+代入2213y x -=得222(3)244830k y y k --+-=.230k -≠，否则l 与渐近线平行.212122224483,33k y y y y k k -∴+==--.222244833233k k k -∴⨯=⨯--.2k ∴=± (2,0)Q ∴±.解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ,则4(,0)Q k-1PQ QA λ=,11144(,4)(,)x y k kλ∴--=+.∴1114444k kx x k λ-==-++.同理 1244kx λ=-+. 1212448443kx kx λλ+=--=-++.即 2121225()80k x x k x x +++=.（*）又22413y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得22(3)8190k x kx ---=.当230k -=时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k -≠. 由韦达定理有： 12212283193k x x k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩代入（*）式得 24,2k k ==±.∴所求Q 点的坐标为(2,0)±.例11．已知，椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，过其右焦点F 作斜率为1的直线交椭圆于A 、B 两点，若椭圆上存在一点C ，使OA OB OC +=， （1）求椭圆的离心率；（2）若|AB |15=，求这个椭圆的方程.解答过程：（1）设椭圆方程为2222x y 1,(a b 0)ab+=>>，焦距为2c ，则直线AB 的方程为y x c =-，设1122A(x ,y ),B(x ,y )，由2222x y 1ab y xc ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：22222222(a b )x 2a cx a c a b 0+-+-=，则212222a c x x a b +=+，21212222b c y y x x 2c a b+=+-=-+， 因OA OB OC +=，则2222222a c 2b c C(,)a b a b -++， 又点C 在椭圆上，则22222222224a c 4b c 1(a b )(a b )+=++，整理得：2224c a b =+＝222a (a c )+-，即222a 5c =，所以c e a ==C BA oy x（2）|AB ||AF ||BF |=+＝12(a ex )(a ex )-+-＝122a e(x x )-+＝222c 2a c 2a a a b -⋅+ ＝3a152=， 则a 10=，c =2b 60=，椭圆方程为22x y 110060+=.小结：（1）利用向量，可将较复杂的A 、B 、C 三点之间的关系用较简单的形式给出来； （2）焦点弦的长度的计算，一般都分割成两段，用定义或焦半径来求解； （3）计算复杂是解析几何的通性，要细心. 考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.例12．设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在xC(1,0)-的直线交椭圆E 于A 、B 两点，且CA 2BC =，求当AOB ∆的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程.222x 3y t(t 0)+=>，直线方程为my x 1=+，由222x 3y t my x 1⎧+=⎨=+⎩得：22(2m 3)y 4my 2t 0+-+-=，设1122A(x ,y ),B(x ,y )， 则1224m y y 2m 3+=+…………① 又CA 2BC =，故1122(x 1,y )2(1x ,y )+=---，即12y 2y =-…………②由①②得：128m y 2m 3=+，224m y 2m 3-=+，则AOB 1221m S |y y |6||22m 3∆=-=+＝632|m ||m |+当23m 2=，即m =AOB ∆面积取最大值，此时2122222t 32m y y 2m 3(2m 3)-==-++，即t 10=，所以，直线方程为x 10+=，椭圆方程为222x 3y 10+=.小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.例13．已知PA (x y)=，PB (x y)=，且|PA ||PB |6+=， 求|2x 3y 12|--的最大值和最小值.解答过程：设P(x,y)，A(，，因为|PA ||PB |6+=，且|AB |6=，所以，动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为6的椭圆，椭圆方程为22x y 194+=，令x 3cos ,y 2sin =θ=θ，则|2x 3y 12|--＝|)12|4πθ+-，当cos()14πθ+=-时，|2x 3y 12|--取最大值12+当cos()14πθ+=时，|2x 3y 12|--取最小值12-小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题.例14．（20XX 年福建卷）已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点.（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点， 线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考 查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力. 解答过程：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=- 圆过点O 、F ，∴圆心M 在直线12x =-上.设1(,),2M t -则圆半径13()(2).22r =---=由,OM r =3,2解得t =∴所求圆的方程为2219()(.24x y ++=（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根. 记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y则21224,21k x x k +=-+AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=--令0,y =得222002222211.21212124210,0,2G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++≠∴-<< ∴点G 横坐标的取值范围为1(,0).2-例15．已知双曲线C ：2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足|OA |,|OB |,|OF |成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，（1）求证：PA OP PA FP ⋅=⋅；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D,E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围.解答过程：（1）因|OA |,|OB |,|OF |成等比数列，故22|OB |a |OA |c |OF |==，即2aA(,0)c ，直线l ：a y (x c)b =--，由2a y (x c)a ab b P(,)bc c y x a ⎧=--⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩， 故：22ab a ab b abPA (0,),OP (,),FP (,)c c c c c=-==-，则：222a b PA OP PA FP c⋅=-=⋅，即PA OP PA FP ⋅=⋅；（或PA (OP FP)PA (PF PO)PA OF 0⋅-=⋅-=⋅=，即PA OP PA FP ⋅=⋅）（2）由44422222222222222a y (x c)a a a c (b )x 2cx (a b )0bb b b b x a y a b ⎧=--⎪⇒-+-+=⎨⎪-=⎩， 由4222212422a c (ab )bx x 0a b b -+=<-得：4422222b a b c a a e 2e >⇒=->⇒>⇒> （或由DF DO k k >⇒a b b a->-⇒22222b c a a e 2e =->⇒>⇒>小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标.例16．已知a (x,0)=，b (1,y)=，(a 3b)(a 3b)+⊥-， （1）求点P(x,y)的轨迹C 的方程；（2）若直线y kx m(m 0)=+≠与曲线C 交于A 、B 两点，D(0,1)-，且|AD ||BD |=，试求m 的取值范围.解答过程：（1）a3b +＝(x,0)y)(x =+，a 3b -＝(x,0)3(1,y)(x 3,3y)-=--，因(a 3b)(a 3b)+⊥-，故(a 3b)(a 3b)0+⋅-=，PQCBA xy O即22(x (x x 3y 30⋅=--=，故P 点的轨迹方程为22x y 13-=. （2）由22y kx m x 3y 3=+⎧⎨-=⎩得：222(13k )x 6kmx 3m 30----=， 设1122A(x ,y ),B(x ,y )，A 、B 的中点为00M(x ,y )则22222(6km)4(13k )(3m 3)12(m 13k )0∆=----=+->，1226km x x 13k +=-，1202x x 3km x 213k +==-，002my kx m 13k =+=-， 即A 、B 的中点为223km m(,)13k 13k--， 则线段AB 的垂直平分线为：22m 13kmy ()(x )13k k 13k -=----，将D(0,1)-的坐标代入，化简得：24m 3k 1=-，则由222m 13k 04m 3k 1⎧+->⎪⎨=-⎪⎩得：2m 4m 0->，解之得m 0<或m 4>，又24m 3k 11=->-，所以1m 4>-，故m 的取值范围是1(,0)(4,)4-+∞.小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象. 考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立. 例17．已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ，且AC BC 0⋅=，|BC |2|AC |=， （1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P,Q 使PCQ ∠的平分线垂直于OA ，是否总存在实数λ，使得PQ λAB =？请说明理由；解答过程：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立 平面直角坐标系，则A(2,0)，设椭圆方程为222x y 14b +=，不妨设C 在x 轴上方，由椭圆的对称性，|BC |2|AC |2|OC ||AC ||OC |==⇒=，又AC BC 0⋅=AC OC ⇒⊥，即ΔOCA 为等腰直角三角形，由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：24b 3=，即，椭圆方程为22x 3y 144+=； （2）假设总存在实数λ，使得PQ λAB =，即AB//PQ ，由C(1,1)得B(1,1)--，则AB 0(1)1k 2(1)3--==--， 若设CP ：y k(x 1)1=-+，则CQ ：y k(x 1)1=--+，由22222x 3y 1(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1044y k(x 1)1⎧+=⎪⇒+--+--=⎨⎪=-+⎩， 由C(1,1)得x 1=是方程222(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 10+--+--=的一个根， 由韦达定理得：2P P 23k 6k 1x x 113k --=⋅=+，以k -代k 得2Q 23k 6k 1x 13k+-=+， 故P Q P Q PQ P Q P Q y y k(x x )2k 1k x x x x 3-+-===--，故AB//PQ ，即总存在实数λ，使得PQ λAB =.评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题. 考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围. 例18．设G 、M 分别是ABC ∆的重心和外心，A(0,a)-，B(0,a)(a 0)>，且GM AB =λ，（1）求点C 的轨迹方程；（2）是否存在直线m ，使m 过点(a,0)并且与点C 的轨迹交于P 、Q 两点，且OP OQ 0⋅=？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.解答过程：（1）设C(x,y)，则x yG(,)33，因为GM AB =λ，所以GM//AB ，则xM(,0)3，由M 为ABC ∆的外心，则|MA ||MC |==整理得：2222x y 1(x 0)3a a+=≠；（2）假设直线m 存在，设方程为y k(x a)=-，由2222y k(x a)x y 1(x 0)3aa =-⎧⎪⎨+=≠⎪⎩得：22222(13k )x 6k ax 3a (k 1)0+++-=， 设1122P(x ,y ),Q(x ,y )，则21226k a x x 13k +=+，221223a (k 1)x x 13k -=+，22212121212y y k (x a )(x a )k [x x a (x x )a ]=--=-++＝2222k a 13k-+， 由OP OQ 0⋅=得：1212x x y y 0+=，即2222223a (k 1)2k a 013k 13k--+=++，解之得k = 又点(a,0)在椭圆的内部，直线m 过点(a,0)，故存在直线m ，其方程为y a)=-.小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题. 【专题训练与高考预测】 一、选择题1．如果双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是1y x 3=±，那么双曲线方程是（）A ．22x y 1369-= B ．22x y 1819-= C ．22x y 19-= D ．22x y 1183-=2．已知椭圆2222x y 13m 5n +=和双曲线2222x y 12m 3n-=有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为（ ）A.x y =B. y =C. x =D. y =3．已知12F ,F 为椭圆2222x y 1(a b 0)ab+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x 轴，且12FMF 60∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A.124．二次曲线22x y 14m+=，当m [2,1]∈--时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A. B. C. D.5．直线m 的方程为y kx 1=-，双曲线C 的方程为22x y 1-=，若直线m 与双曲线C 的右支相交于不重合的两点，则实数k 的取值范围是（ ）A.(B.C.[D.6．已知圆的方程为22x y 4+=，若抛物线过点A(1,0)-，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为（ ）A. 22x y 1(y 0)34+=≠ B.22x y 1(y 0)43+=≠ C. 22x y 1(x 0)34-=≠ D.22x y 1(x 0)43-=≠ 二、填空题7．已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，若021=⋅PF PF21tan 21=∠F PF ，则椭圆的离心率为 ______________ . 8．已知椭圆x 2+2y 2=12，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，点A 的坐标是______________ .9．P 是椭圆22x y 143+=上的点，12F ,F 是椭圆的左右焦点，设12|PF ||PF |k ⋅=，则k 的最大值与最小值之差是______________ . 10．给出下列命题：①圆22(x 2)(y 1)1++-=关于点M(1,2)-对称的圆的方程是22(x 3)(y 3)1++-=；②双曲线22x y 1169-=右支上一点P 到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为292； ③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(4,3)--的抛物线方程只能是29y x 4=-；④P 、Q 是椭圆22x 4y 16+=上的两个动点，O 为原点，直线OP,OQ 的斜率之积为14-，则22|OP ||OQ |+等于定值20 .把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ . 三、解答题11．已知两点，B(0)，动点P 在y 轴上的射影为Q ，2PA PB 2PQ ⋅=， （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设直线m 过点A ，斜率为k ，当0k 1<<时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m k 的值及此时点C 的坐标. 12．如图，1F (3,0)-，2F (3,0)是双曲线C 的两焦点，直线4x 3=是双曲线C 的右准线，12A ,A 是双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于2A 的一动点，直线1A P 、2A P 交双曲线C 的右准线分别于M,N 两点，（1）求双曲线C 的方程；（2）求证：12FM F N ⋅是定值. 13．已知OFQ ∆的面积为S ，且OF FQ 1⋅=系，（1）若1S 2=，|OF |2=，求直线FQ 的方程；（2）设|OF |c(c 2)=≥，3S c 4=，若以O 为中心，F 求当|OQ |取得最小值时的椭圆方程.14．已知点H(3,0)-，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 上，且满足HP PM 0⋅=，3PM MQ 2=-，（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（2）过点T(1,0)-作直线m 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点0E(x ,0)，使得ABE ∆为等边三角形，求0x 的值.15．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量与OM 是共线向量．（1）求椭圆的离心率e ； （2）设Q 是椭圆上任意一点， 1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围；16．已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列， （Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？ （Ⅱ）若点P 坐标为),(00y x ，θ为PN PM 与的夹角，求tan θ．【参考答案】一. 1．C .提示，设双曲线方程为11(x y)(x y)33+-=λ，将点代入求出λ即可.2．D .因为双曲线的焦点在x轴上，故椭圆焦点为，双曲线焦点为，由22223m 5n 2m 3n -=+得|m |n |=，所以，双曲线的渐近线为y == .3．C .设1|MF |d =，则2|MF |2d =，12|FF |=，1212|FF |c 2c e a 2a |MF ||MF |===+. 4.C .1>，故选C ；或用2a 4=，2b m =-来计算. 5．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组.6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义.二.7．解：设c 为为椭圆半焦距，∵021=⋅PF PF ，∴21PF ⊥ .又21tan 21=∠F PF ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+212)2(122122221PF PF a PF PF c PF PF解得：25()93,cc e aa === ． 选D ． 8． 解：设A （x 0，0）（x 0＞0），则直线l 的方程为y=x-x 0，设直线l 与椭圆相交于P（x 1，y 1），Q （x 2、y 2），由 y=x-x 0 可得3x 2-4x 0x+2x 02-12=0， x 2+2y 2=1234021x x x =+，31222021-=⋅x x x ，则20202021221212363234889164)(||x x x x x x x x x -=--=-+=-．∴||13144212x x x -⋅+=，即202363223144x -⋅⋅=． ∴x 02=4，又x 0＞0，∴x 0=2，∴A （2，0）．9．1；22212k |PF ||PF |(a ex)(a ex)a e x =⋅=+-=- .10．②④.三. 11．解（1）设动点P 的坐标为(x,y)，则点Q(0,y)，PQ (x,0)=-，PA (2x,y)=--，PB (2x,y)=---，22PA PB x 2y ⋅=-+，因为2PA PB 2PQ ⋅=，所以222x 2y 2x -+=， 即动点P 的轨迹方程为：22y x 2-=；（2）设直线m ：y k(x k 1)=-<<，依题意，点C在与直线m 平行，且与m设此直线为1m :y kx b =+2b 2+=，……①把y kx b =+代入22y x 2-=，整理得：222(k 1)x 2kbx (b 2)0-++-=，则22224k b 4(k 1)(b 2)0∆=---=，即22b 2k 2+=，…………②由①②得：k =b =此时，由方程组22y y x 2⎧⎪⇒⎨⎪-=⎩. 12．解：（1）依题意得：c 3=，2a 4c 3=，所以a 2=，2b 5=， 所求双曲线C 的方程为22x y 145-=； （2）设00P(x ,y )，11M(x ,y )，22N(x ,y )，则1A (2,0)-，2A (2,0)，100A P (x 2,y )=+，200A P (x 2,y )=-，1110A M (,y )3=，222A N (,y )3=-，因为1A P 与1A M 共线，故01010(x 2)y y 3+=，01010y y 3(x 2)=+，同理：0202y y 3(x 2)=--，则1113FM (,y )3=，225F N (,y )3=-，所以12FM F N ⋅＝1265y y 9-+＝202020y 6599(x 4)---＝20205(x 4)206541099(x 4)-⨯--=-- . 13．解：（1）因为|OF |2=，则F(2,0)，OF (2,0)=，设00Q(x ,y )，则00FQ (x 2,y )=-，0OF FQ 2(x 2)1⋅=-=，解得05x 2=，由0011S |OF ||y ||y |22=⋅==，得01y 2=±，故51Q(,)22±，所以，PQ 所在直线方程为y x 2=-或y x 2=-+；（2）设00Q(x ,y )，因为|OF |c(c 2)=≥，则00FQ (x c,y )=-， 由0OF FQ c(x c)1⋅=-=得：01x c c=+， 又013S c |y |c 24==，则03y 2=±，13Q(c ,)c 2+±，2219|OQ |(c )c 4=++，易知，当c 2=时，|OQ |最小，此时53Q(,)22±，设椭圆方程为2222x y 1,(a b 0)a b +=>>，则2222a b 425914a4b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得22a 10b 6⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以，椭圆方程为22x y 1106+= . 14．解：（1）设M(x,y)，由3PM MQ 2=-得：y P(0,)2-，xQ(,0)3，由HP PM 0⋅=得：y 3y (3,)(x,)022-=，即2y 4x =，由点Q 在x 轴的正半轴上，故x 0>，即动点M 的轨迹C 是以(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线，除去原点；（2）设m :y k(x 1)(k 0)=+≠，代入2y 4x =得：2222k x 2(k 2)x k 0+-+=…………①设11A(x ,y )，22B(x ,y )，则12x ,x 是方程①的两个实根，则21222(k 2)x x k-+=-，12x x 1=，所以线段AB 的中点为222k 2(,)k k -， 线段AB 的垂直平分线方程为22212k y (x )kkk--=--，令y 0=，022x 1k=+，得22E(1,0)k+，因为ABE ∆为正三角形，则点E 到直线AB|AB |，又|AB|=，=k =011x 3= . 15．解：（1）∵ab yc x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-= .∵OM ab k AB 与,-=是共线向量，∴a b ac b -=-2，∴b=c,故22=e .（2）设1122121212,,,2,2,FQr F Q r F QF r r a F F c θ==∠=∴+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r θ+-+--===-≥-=+当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[π∈ .16．解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得 (1,),PM MP x y =-=---),1(y x ---=-=， )0,2(=-= . 所以 )1(2x +=⋅ . 122-+=⋅y x ， )1(2x -=⋅ . 于是， ⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列等价于⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+0)1(2)1(2)]1(2)1(2[21122x x x x y x 即 ⎩⎨⎧>=+0322x y x . 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. （Ⅱ）点P 的坐标为),(00y x 。

解析几何中的定值问题 海安高级中学 丁左军第一讲 定值问题方法初探一、定值问题的概念及解题思路1.定值问题的概念在圆锥曲线中,某些几何量在特定的关系结构中,不受相关变元的制约而恒定不变,则称该几何量具有定值特征,这类问题称之为定值问题．2.解题思路定值问题基本的求解思路是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．二、基本的解题策略：【策略一】特值验证，一目了然，特值探路，方向明确，极限思想，极端考虑. 【策略指导】：1.在求解与定值有关的问题时，运用满足题设条件的特殊位置、特殊图形进行检验或推理，从而判断.2.根据特殊性与普遍性(个性与共性)的辨证关系，以特例探路，从特例中求出几何量的定值，得到启示，从而将问题化归为解几证明问题，再利用定义、焦半径公式等对一般情形进行证明.例1 已知AC 、BD 为圆O ：x 2+ y 2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M ，则 AC 2+BD 2=______.【解析】法1. 当弦AC ⊥x 轴、弦BD ⊥y 轴时直接求解.法2. 设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为12d d ，，则22222212124(4)4(4)324()AC BD d d d d +=-+-=-+=232420OM -=．【拓展】：已知AC 、BD 为圆O ： x 2+y 2=r 2的两条相互垂直的弦，垂足为M (a ，b )，则AC 2+BD 2 =8r 2-4(a 2+b 2). 【评注】：定值问题常用方法：考虑用特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形、极端位置、极限位置，求出定值.【练习】：1．已知0a >，过(0)M a ，任作一条直线l 交抛物线22(0)y px p =>于P 、Q 两点，若2211MPMQ+为定值，则a = .【解析】当直线l 的方程为x a =时，22111paMPMQ+=；当直线l 的方程为0y =时，222111a MPMQ+=.由211pa a =，得a p =.2．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作直线l 交抛物线于P 、Q 两点.求证： 11PF QF+为定值.【证明】当直线l y ⊥轴时，114a PF QF+=. 下面只需证明一般情形下114a PF QF +=即可.设直线l 的方程为14y kx a=+，代入方程2y ax =消去x 并整理，得222168(12)10a y a k y -++=.设11()P x y ，，22()Q x y ，，则有212122k y y a ++=，122116y y a=. 所以21211144k PF QF y y a a a++=+++=， 21212122211111()()()444164k PF QF y y y y y y a a a a a +⋅=++=+++=. 所以114PF QF a PF QF PF QF++==⋅. 故11PF QF+是定值，定值为4a .【策略二】引入参数，构造方程，消去参数，直达彼岸，等价转化，恒等求解. 【策略指导】：(1)定值问题中，“若存在与k 参数无关”类问题，大多数有“隐含”条件，求解方法是：第一歩，将表达式转化成含“参数k ”的多项式；第二歩，化简，若结果里的参数自动消除得到定值正好，否则可令含“参数k ”的项的系数为零，得到求解结论．其理论依据：函数)(x f 是常数函数⇔所有含x 项的系数＝0，即“零次”多项式理论.(2)圆锥曲线定值问题往往运算量大，占用时间长，而“对偶运算”、“对称运算”、“合情推理”等是强力支撑．可以大大降低运算量，减轻思维负担.例 2 已知椭圆C 经过点A 3(1)2，，两个焦点为(10)(10)-，，，.(1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值．并求出这个定值．【解析】(1)由题意，1c =，可设椭圆方程为222211x y b b +=+， 因为A 在椭圆上，则2219114b b +=+，解得23b =或234b =-（舍去） 则椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)设AE 的方程为：3(1)2y k x =-+，代入22143x y +=得：2223(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=，设E ()E E x y ，，F ()F F x y ，，因为点A 3(1)2，在椭圆上，则2234()1232342E E E k x y kx k k --==+-+，， 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式以-k 代k ，可得2234()1232342F F F k x y kx k k +-==-+++，， 则直线EF 的斜率()212F E E F EF F E F E y y k x x k k x x x x --++===--，即直线EF 的斜率为定值12. 【评注】：(1)消去参变数才可得常数(定值)，这是证题的重要依据.(2)PB k 、AB k 与PA k 具有对应表达式，只要求得PA k ，即知PB k 和AB k 的表达式，从而有效地避免了重复运算，简化了证题过程.【拓展】：(1)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，点2()b A c a ，，E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，则直线 EF 的斜率为椭圆C 在点2()b c a-，处切线的斜率e ．(2)一般情况：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点2()b A c a，，点B 是椭圆上任意一点（异于点A ），过点B 作直线OA 的平行线l 交椭圆于点C ，当直线AB 、AC 斜率都存在时，AB AC k k +=0.【练习】：3．已知圆229x y +=，点(50)A -，，直线20l x y -=：.(1)求与圆C 相切且与直线l 垂直的直线方程；(2)若在直线OA 上（O 为坐标原点）存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上的任意一点P ，PB PA为定值，求所有满足条件的定点B 的坐标．【解析】 假设存在这样的点(0)(5)B t t ≠-，，使PB PA为常数λ，则22PB PA λ=对于圆C 上的任意点P 恒成立，即22222()(5)x t y x y λ⎡⎤-+=++⎣⎦对任意实数x ，y 恒成立，将229y x =-代入，得2222229(10259)x xt t x x x x λ-++-=+++-， 即2222(5)3490t x t λλ++--=对[]33x ∈-，恒成立，所以222503490t t λλ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩ ，解得3595t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或15t λ=⎧⎨=-⎩（舍去）. 所以存在定点9(0)5B -，，对于圆C 上的任意一点P ，都有PBPA为定值. 4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为e ，直线:l y ex a =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 在该椭圆的一个公共点.求证：AMBM为定值. 【分析】设AM AB λ=，只要构造方程，求出λ即可.【证明】由题意，可得A 、B 两点坐标分别为(0)a e-，、(0)a ，.联立22221y ex a x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2x c b y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，，所以点M 的坐标是2()b c a -，. 设AM AB λ=，得2()()a b a c a e a e λ-+=，，，所以得a a c e eλ-+=，解得21e λ=-，故AMBM为定值. 【评注】：引入参数，构造方程，也是求解定值问题的重要途径. 【策略三】利用整体不变，简捷明快，紧扣定义，整体把握. 【策略指导】：圆锥曲线的定义（第一定义和第二定义）与圆锥曲线的焦点、准线、离心率密切相关，因此凡有关焦点、准线、离心率的定值问题，均可考虑用定义，整体把握，巧妙消参，迅速求解.例3 已知斜率为1且过椭圆22233x y b +=的右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点.设M 为椭圆上任意一点，且(R)OM OA OB λμλμ=+∈，.求证：22λμ+为定值.【证明】设()OM x y =，，11()A x y ，，22()B x y ，.设直线AB 的方程为y x c =-，代入22233x y b +=，化简得22246330x cx c b -+-=，又2212b c =，所以1232x x +=，21238x x c =.由已知得1122()()()x y x y x y λμ=+，，，，所以1212x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩.因为()M x y ，在椭圆上，所以2221212()3()3x x y y b λμλμ+++=. 即()2222222112212123(3)2(3)3x y x y x x y y b λμλμ+++++= （*） 因为1212121233()()x x y y x x x c x c +=+--2121243()3x x x x c c =-++222393022c c c =-+=，又2221133x y b +=，2222233x y b +=，代入（*）得221λμ+=. 故22λμ+为定值，定值为1.【评注】：无论1x ，1y ，2x ，2y 如何变化，22113x y +与22223x y +都整体不变，设而不求，简捷明快! 【练习】：5． 已知(03)C -，，(03)D ，，求证：无论动点Q 在椭圆221010x y +=上如何运动，22QC QD OQ QC QD OQ⋅+⋅-恒为一个常数.【证明】因为(03)C -，，(03)D ，为椭圆221010x y +=的两个焦点，所以210OC OD +=设()Q x y ，，则222()240QC QD QC QD QC QD +=++⋅=.因为222222222[(3)][(3)]2()18218QC QD x y x y x y OQ +=++++-=++=+. 所以2218240OQ QC QD ++⋅=，即211OQ QC QD +⋅=，又22222(9)()9QC QD OQ x y x y ⋅-=+--+=-，所以22119QC QD OQ QC QD OQ⋅+=-⋅-. 【策略四】平几性质，代数解决. 【策略指导】：解析几何依然研究平面上的几何图形及其性质．因此在解题的过程中如果能充分挖掘图形的几何性质，从平面几何的视角去思考，往往能“出其不意，攻其不备”、“事半功倍”．例 4 已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为2l x =：. (1)求椭圆的标准方程；(2)设O 为坐标原点，F 是椭圆的右焦点，点M 是直线l 上的点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值.【解析】(1)由题意知，椭圆方程为2212x y +=，(2)记直线l 与x 轴交点为H ，OM 与过F 的垂线交点为G ，因为OM 是圆的直径，所以90ONM ︒∠=， 由于NG OM ⊥，由射影定理知 2ON OG OM =⋅.又因为90FGM FHM ︒∠=∠=，所以F ，G ，M ，H 四点共圆，由圆幂定理OG OM OF OH ⋅=⋅，所以22ON OG OM OF OH =⋅=⋅=，从而2ON =，即线段ON 的长为定值2.第二讲 定值问题题型初探一、定值问题的题型定值问题是指某些几何量，线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值. 二、题型分类【题型一】参变量系数的表达式(直线的截距、斜率)为定值.例1 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，且过点2(2)2，．(1)求椭圆方程；(2)设不过原点O 的直线)0(≠+=k m kx y l ：，与该椭圆交于P 、Q 两点，直线OP 、OQ 的斜率依次为k 1、k 2，满足k = k 1+k 2，试问：当k 变化时，m 2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【解析】(1)依题意可得2222222((2)213b c aa b c +=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=+⎪⎩ ，解得a =2，b =1，所以椭圆方程是2214x y += . (2)当k 变化时，m 2为定值，证明如下：由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得，(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2－1)=0.设P (x 1， y 1)， P (x 2， y 2).则x 1+ x 2= 2814km k -+ ，x 1﹒x 2=224(1)14m k -+ . 直线OP 、OQ 的斜率依次为k 1、k 2，且k = k 1+k 2，则1212y y k x x =+=11kx m x + +22kx m x +，则 2k x 1﹒x 2=m (x 1+ x 2)，则m 2=12，经检验满足0∆>.【评注】：直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.例2在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆C 上且异于点A 、B ，直线AP 、PB 与直线l ：y ＝－2分别交于点M 、N .设直线AP 、PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值.【解析】由题设x 24＋y 2＝1可知，点A (0，1)，B (0，－1).令P (x 0，y 0)，则由题设可知x 0≠0.所以，直线AP 的斜率k 1＝y 0－1 x 0，PB 的斜率为k 2＝y 0＋1x 0. 又点P 在椭圆上，所以220014x y +=(x 0≠0)，从而有k 1·k 2＝y 0－1 x 0.y 0＋1 x 0＝y 02－1 x 02＝－14.【练习】：1．平面直角坐标系xOy 中，椭圆22184x y +=上一点(22)A ，，点B 是椭圆上任意一点（异于点A ），过点B 作与直线OA 平行的直线l 交椭圆于点C ，当直线AB 、AC 斜率都存在时，AB AC k k +=___________.【解析】取特殊点B (02)-，，则BC 的方程为22y x +=，由2222242y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得C (220)，所以22202222AB AC k k ++=+=-. 【评注】：定值问题可以选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果.【拓展】：(1)一般情况：在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一定点A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12k k ，，则12k k ⋅=22b a-.(2)过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q ，A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，设MF 、NF 的斜率分别为k 1、k 2，则12k k ⋅=－1.(3)AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M (x 0，y 0)为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=-，即2020=-AB b x k a y .【题型二】几何量表达式为定值(点到直线的距离、线段长、几何图形的面积). 例3 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为F '与F ，圆F：22(5x y +=．(1)设M 为圆F 上一点，满足1MF'MF ⋅=，求点M 的坐标；(2)若P 为椭圆上任意一点，以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与圆F 的公共弦为QT ，证 明：点F 到直线QT 的距离FH 为定值．【解析】(1)由题意得''(()1，，由，F F M m n MF MF ⋅=得222(1 4.m m n m n +=+=即①又22( 5.m n +=②由①，②得m n ==M M ∴或 (2)设点00()P x y ，，则圆22220000()().P x x y y x y -+-=+的方程为 即2200220.x y x x y y +--=③又圆22( 5.F x y +=的方程为④ 由③，④得直线QT的方程为00(10.x x y y +-=所以FH ==因为00()P x y ，在椭圆上，所以2222000011.44x x y y +==-，即所以 2.FH ====【评注】：定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，在一般计算推理求出其结果.【练习】：2．如图，12 A A ，为椭圆22195x y +=的长轴的左、右端点，O 为坐标原点， S Q T ，，为椭圆上不同于12 A A ，的三点，直线12 QA QA OS ，，，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT += .【解析】设1122 () () ()Q x y T x y S x y ，，，，，， 12 QA QA ，斜率为12k k ，，则OT OS ，斜率为12k k ，， 且212253399y y y k k x x x =⋅==-+--，所以22222221111112145(1)59k OT x y x k x k +=+=+=+，同理2222245(1)59k OS k +=+，因此22OS OT + =22222221211111222222121111212545(1)45(1)45(1)45(1)8145(1)812512670+++142559595959595959k k k k k k k k k k k k k k +++++++====+++++++. 【评注】：到直线的距离可以用点到直线的距离公式或者三角形面积等积法求得，在此过程中要对变化的量进行正确的表述，合理地引进参数，通过研究变化的量与参数无关，从而找到求定值的方法.3．如图，点(20)A -，，(20)B ，分别为椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左右顶点，P M N ，，为椭圆C 上非顶点的三点，直线AP BP ，的斜率分别为12k k ，，且1214k k =-，//AP OM ，//BP ON .(1)求椭圆C 的方程；(2)判断OMN ∆的面积是否为定值？【解析】(1)由题意得22111442AP BPb k k b a a ⎧=⎪=-⇒⇒=⎨⎪=⎩，，，椭圆22:14x C y +=.(2)设直线MN 的方程为y kx t =+，11()M x y ，，22()N x y ，，则由22222(41)844014y kx t k x ktx t x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，，，则122841kt x x k +=-+，21224441t x x k -=+，1212121212114044y y k k y y x x x x =-⇒=-⇒+=，则12124()()0kx t kx t x x +++=，即221212(41)4()40k x x kt x x t ++++=，则2222222448(41)()4402414141t ktk kt t t k k k -+-+=⇒-=++则()()22121241440kx x kt x x t ++++=，则2222222448(41)()4402414141t ktk kt t t k k k -+-+=⇒-=++， 则2212(1)()MN k x x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++-22222844(1)[()4]4141kt t k k k -=+-++2212241k k +=+，即21t d k =+，222212214112t t k S k k t+==⨯=++.则OMN ∆的面积为定值1.【评注】：定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是定值. 【题型三】其它一些数学表达式(向量数量积)为定值：例4 过点C (0,1)的椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.椭圆与x 轴交于两点A (a ，0)、B (－a ，0)．过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .当点P 异于点B 时，求证：OP ·OQ 为定值．【证明】当直线l 与x 轴垂直时与题意不符． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋11(0)2k k ≠≠且. 代入椭圆方程化简得 (4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－8k 4k 2＋1，代入直线l 的方 程得y 1＝1，y 2＝1－4k 24k 2＋1，所以D 点坐标为222814()4141k k k k --++，.又直线AC 的方程为x2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k 2－4k (x ＋2)，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k ，y ＝2k ＋1.因此Q 点坐标为(－4k,2k ＋1)．又P 点坐标为1(0)k-，. OPABDCx yQl【评注】：定值问题的主要处理方法是函数方法，首先，选择适当的量为变量，然后把证明为定值的量表示为上述变量的函数（可能含多元），最后把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值.消去变量的过程中，经常要用到点在曲线上进行坐标代换消元.有时先从特殊情形入手，求出定值，再对一般情形进行证明，这样可使问题的方向更加明确.另外关注图形的几何性质可简化计算.第三讲 定值问题拓展性研究一、定值问题的拓展性结论【定理1】设A 、B 是过定点(0)(0)F p p ≠，的直线与抛物线2:2(0)E y tx t =>的两个交点，直线OA 、OB 分别与定直线x=q 交于点M 、N .则OA OB k k ⋅为定值2tp-，OM ON ⋅为定值()22q p t p-.【证明】 设2()2A A y A y t，，2()2B B y B y t ，，()M M q y ，，()N N q y ，.则由A 、F 、B 三点共线知2222A B A B y y y y p p tt=--，化简，得2A B y y pt =-.又2OA A tk y =， 2OB Bt k y =， 所以242OA OBA B t tk k y y p⋅==-.因A 、F 、B 三点共线，故OM OA k k =，即得2M A qt y y =.同理，2N Bqt y y =，于是222224(2)M N ABq t q p t OM ON q y y q y y p-⋅=+=+=. 【定理2】设P 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点，过定点(0)()F p p a ≠，的直线与椭圆E 交于A 、B 两点，直线P A 、PB 分别与定直线x=q 交于点M 、N .则PA PB k k ⋅为定值22()()b p a a p a +-，PM PN ⋅为定值222()()[1]()b p a q a a p a +-+-. 【定理3】一般情况：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点A (x 0，y 0) 为椭圆上一定点，点B 、C 是椭圆上任意两点（异于点A ），当直线AB 、AC 斜率都存在且ABAC k k +=0时，k BC =2020b x a y .二、定值问题的思想与方法圆锥曲线中的定值问题解决的关键就是从变量的联系中找准所求问题，灵活应用已知条件，巧设变量，在变形过程中，应注意各变量之间的关系，善于捕捉题目的信息，运用大处着眼，小处着手的策略，从整体上把握问题给出的综合信息，并处理问题，综合运用函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想. 【例题精析】例1 在平面直角坐标系xOy 中，设中心在坐标原点的椭圆C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，右准线l ：x ＝m ＋1与x 轴的交点为B ，且BF 2＝m ．(1)已知点(62，1)在椭圆C 上，求实数m 的值；(2)已知定点A (－2，0)．当m ＝1时，记M 为椭圆C上的动点，直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于另一点P ，Q ， 若AM ＝λAP ，BM ＝μBQ ，求证：λ＋μ为定值．【解析】(1)设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝m ＋1，(m ＋1)－c ＝m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝m ＋1，b 2＝m ，c ＝1． 所以椭圆方程为x 2m ＋1＋y 2m ＝1．因为椭圆C 过点(62，1)，所以32(m ＋1)＋1m ＝1，解得m ＝2或m ＝－12(舍去）．所以m ＝2． (2)法一：设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．则AM ＝(x 0＋2，y 0)，AP ＝(x 1＋2，y 1)．由AM ＝λAP ， 得 ⎩⎨⎧x 0＋2＝(x 1＋2)，y 0＝y 1． 从而⎩⎨⎧x 0＝x 1＋2(－1)，y 0＝y 1．因为x 022＋y 02＝1，所以[x 1＋2(－1)]22＋(y 1)2＝1．即2(x 122＋y 12)＋2(－1)x 1＋2(－1)2－1＝0．因为 x 122＋y 12＝1，代入得2 (－1)x 1＋3＝0．所以λ＋μ＝6．法二：设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．直线AM 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)．将y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)代入x 22＋y 2＝1，得[12(x 0＋2)2＋y 02)x 2＋4y 02x ＋4y 02－(x 0＋2)2 ＝0(*)．因为x 022＋y 02＝1，所以(*)可化为(2x 0＋3)x 2＋4y 02x －3x 02－4x 0＝0．因为x 0x 1＝－20003423x x x ++，所以x 1＝－3x 0＋42x 0＋3．同理x 2＝3x 0－42x 0－3．因为AM ＝λAP ，BM ＝μBQ ，所以λ＋μ＝x 0＋2x 1＋2＋x 0－2x 1－2＝x 0＋2－3x 0＋42x 0＋3＋2＋x 0－23x 0－42x 0－3－2＝(x 0＋2)(2x 0＋3)x 0＋2＋(x 0－2)(2x 0－3)－x 0＋2＝6．即λ＋μ为定值6．【拓展】：设椭圆C 的方程为 x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，记M 、P 、Q 为椭圆C 上的动点，且A (－m ，0)，B (m ，0)，若MA ＝λAP ，MB ＝μBQ ，求证：λ＋μ为定值22222()a m a m +-.xy A O BM P QF 2 F 1 l例2 如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，一条准线的方程为x ＝2 2. (1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P 满足：2OP OM ON =+ ，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标，若不存在，说明理由．【解析】 (1)由e ＝c a ＝22，a 2c＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2， 故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由2OP OM ON =+得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)，即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M ，N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，所以221124x y +=，222224x y +=，故x 2＋2y 2＝(22124x x +＋4x 1x 2)＋2(22124y y +＋4y 1y 2)＝(22112x y +)＋4(22222x y +)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20.所以P 22221(25)(10)x += 上的点，设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，则|PF 1|＋|PF 2|为定值，且两定点分别为F 1(10-，、F 210，.. 【评注】：定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类问题中选择消元的方向是非常关键的．【拓展】：椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，动点P 满足：a OP OM ON b=+，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－22b，则存在两个定点F 1 (－44a b -0)，F 244a b -0)，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值2242a b a b +.【练习】：1．如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝21t ，b ＜t 1＜a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点．C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程； (2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′ C ′，D ′四点，其中b ＜t 2＜a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等．证明：t 21＋t 22为定值．【解析】(1)设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)， 又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a (x ＋a )，①O P NM x ＝22 x y O A 2 DA O x y A 1B C直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )，②由①②得y 2＝21221y x a-- (x 2－a 2)．③ 由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故2211221x y a b +=.从而222112(1)x y b a=-，代入③得x 2a 2－y2b 2＝1(x ＜－a ，y ＜0). (2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故22221122x y x y =因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 222112(1)x x a -＝b 222222(1)x x a-，由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以21x ＋22x ＝a 2.从而21y ＋22y ＝b 2，因此21t ＋22t ＝a 2＋b 2为定值． 【评注】：本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。

数学几何与解析几何题解题技巧总结数学几何和解析几何是数学中非常重要的分支，它们有着广泛的应用领域，如物理学、工程学、计算机图形学等。

解决数学几何和解析几何问题需要一定的技巧和方法，下面将总结一些常用的解题技巧。

一、数学几何题解题技巧1. 图形的性质分析法在解决数学几何题目时，首先要对给定的图形进行性质分析。

通过观察图形的形状、角度、边长等特征，可以找到一些规律和关系，从而帮助解决问题。

例如，在判断一个四边形是否为矩形时，可以观察其四个角是否都为直角，四条边是否相等等。

2. 利用相似三角形相似三角形是数学几何中常用的重要概念。

当两个三角形的对应角相等，对应边成比例时，可以判断它们为相似三角形。

利用相似三角形的性质，可以求解一些难题。

例如，当两个三角形相似时，可以利用相似比例关系求解未知边长或角度。

3. 利用平行线和垂直线的性质平行线和垂直线是几何中常见的重要概念。

利用平行线和垂直线的性质，可以解决一些几何问题。

例如，当两条直线平行时，它们的对应角相等；当两条直线垂直时，它们的斜率乘积为-1。

4. 利用勾股定理和三角函数勾股定理是解决直角三角形问题的基本工具。

当一个三角形中有一个直角，可以利用勾股定理求解未知边长。

此外，三角函数也是解决三角形问题的重要工具，例如正弦定理、余弦定理等。

二、解析几何题解题技巧1. 坐标系的建立解析几何中，常常需要建立坐标系来描述几何图形。

建立坐标系可以将几何问题转化为代数问题，从而更容易求解。

在建立坐标系时，需要选择合适的原点和坐标轴方向，使得问题的求解更加简便。

2. 利用距离公式和中点公式距离公式和中点公式是解析几何中常用的工具。

距离公式可以求解两点之间的距离，中点公式可以求解线段的中点坐标。

利用这两个公式，可以计算线段的长度、判断三角形是否为等边三角形等。

3. 利用直线和曲线的方程直线和曲线的方程是解析几何中的重要工具。

通过求解直线和曲线的交点，可以解决一些几何问题。