1080电大工程数学期末复习

《工程数学》期末综合练习题工程数学（本）课程考核说明（修改稿）I. 相关说明与实施要求本课程的考核对象是国家开放大学（中央广播电视大学）理工类开放教育专升本土木工程专业及水利水电工程专业的学生。

本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。

考核成绩由形成性考核成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格。

其中形成性考核成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%。

形成性考核的内容及成绩的评定按《国家开放大学（中央广播电视大学）人才培养模式改革与开放教育试点工程数学形成性考核册》的规定执行。

工程数学(本)课程考核说明是根据《国家开放大学（中央广播电视大学）专升本“工程数学（本）”课程教学大纲》制定的，参考教材是《大学数学——线性代数》和《大学数学——概率论与数理统计》（李林曙主编，中央广播电视大学出版社出版）。

考核说明中的考核知识点与考核要求不得超出或超过课程教学大纲与参考教材的范围与要求。

本考核说明是工程数学（本）课程期末考试命题的依据。

工程数学（本）是国家开放大学（中央广播电视大学）专升本土木工程专业学生的一门重要的必修基础课，其全国统一的结业考试（期末考试）是一种目标参照性考试，考试合格者应达到普通高等学校理工类专业的本科水平。

因此，考试应具有较高的信度、效度和一定的区分度。

试题应符合课程教学大纲的要求，体现广播电视大学培养应用型人才的特点。

考试旨在测试有关线性代数、概率论与数理统计的基础知识，必要的基础理论、基本的运算能力，以及运用所学基础知识和方法，分析和解决问题的能力。

期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在此基础上突出重点。

考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次。

三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5。

试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例为：4:4:2。

试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。

单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题包括计算题和证明题，求解解答题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。

三种题型分数的百分比为：单项选择题15%，填空题15%，解答题70%（其中证明题6%）。

期末考试采用半开卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟。

II. 考核内容和考核要求考核内容分为线性代数、概率论与数理统计两个部分，包括行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值及二次型、随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础等方面的知识。

工程数学（本）2013秋模拟试题（一）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．A ，B 都是n 阶矩阵（)1>n ，则下列命题正确的是( D ) ．A ．AB=BAB ．若AB =O ，则O A =或O B =C ．2222)(B AB A B A +-=- D ．B A AB = 2．向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321,333,022,001的秩是（ C ）． A ．1 B ．2C ．3D ．4 3．设矩阵A 的特征多项式300020001---=-λλλλA I ，则A 的特征值为 ( D )． A ．1=λ B ．2=λC ．3=λD ．11=λ，22=λ，33=λ4．若随机变量X 与Y 相互独立，则方差)32(Y X D -=（ B ）．A ．)(9)(4Y D X D -B ．)(9)(4Y D X D +C ．)(3)(2YD X D - D ．)(3)(2Y D X D +5．已知总体),(~2σμN X ，2σ未知，检验总体期望μ采用（ A ）． A ．t 检验法 B ．U 检验法C ．χ2检验法D ．F 检验法二、填空题（每小题3分，共15分） 1．设三阶矩阵A 的行列式21=A ，则1-A = 2 ． 2．线性方程组B AX =中的一般解的自由元的个数是2，其中A 是54⨯矩阵，则方程组增广矩阵)(B A r = 3 ．3．若事件A ，B 满足B A ⊃，则 P （A - B ）= )()(B P A P - ．4．设随机变量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3.03.04.0210~X ，则E X ()= 0.9 ． 5．设θˆ是未知参数θ的一个估计，且满足θθ=)ˆ(E ，则θˆ称为θ的 无偏 估计．三、计算题（每小题16分，共64分）1．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=653312,112411210B A ，解矩阵方程B AX '=． 1．解：因为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-120730001210010411100112010411001210 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→123100247010235001123100001210011201，得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-1232472351A所以='=-B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----123247235⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13729161813635132．2．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ，λ为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解．2．解：因为A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---λ83352231⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→610110231λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ 505==-λλ即当时，3)(<A r ，所以方程组有非零解．方程组的一般解为： ⎩⎨⎧==3231x x x x ，其中3x 为自由元． 令3x =1得X 1=)1,1,1('，则方程组的基础解系为{X 1}．通解为k 1X 1，其中k 1为任意常数．3．设随机变量)1,4(~N X ．（1）求)24(>-X P ；（2）若9332.0)(=>k X P ，求k 的值． （已知9332.0)5.1(,8413.0)1(,9775.0)2(=Φ=Φ=Φ）．3．解：（1）)24(>-X P ＝1－)24(≤-X P= 1－)242(≤-≤-X P ＝1－（)2()2(-Φ-Φ）= 2（1－)2(Φ）＝0.0454．（2）)44()(->-=>k X P k X P＝1－)44(-≤-k X P＝1－)5.1(9332.0)4(Φ==-Φk)5.1()5.1(1)4(-Φ=Φ-=-Φk即 k －4 = -1.5， k ＝2.5．4．从正态总体N （μ，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得x = 21，求μ的置信度为95%的置信区间．(已知 96.1975.0=u )4．解：已知3=σ，n = 64，且n x u σμ-=~ )1,0(N 因为 x = 21，96.121=-αu ，且735.064396.121=⨯=-n u σα所以，置信度为95%的μ的置信区间为： ]735.21,265.20[],[2121=+---n u x n u x σσαα．四、证明题（本题6分）设A ,B 为随机事件，试证：P A P A B P AB ()()()=-+ 证明：由事件的关系可知A A U AB B AB AB A B AB ==+=+=-+ ()()而()A B AB -=∅ ，故由概率的性质可知P A P A B P AB ()()()=-+工程数学（本）2013秋模拟试题（二）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x x a x x a x x 相容的充分必要条件是( B )，其中0≠i a ，1,2,3i =．A ．0321=++a a aB ．0321=-+a a aC ．0321=+-a a aD ．0321=++-a a a2．设B A ,都是n 阶方阵，则下列等式中正确的是( C )． A ．B A B A +=+ B ．1111A BA B ----+= C ．AB A B = D ．A A λλ= 3．下列命题中不正确的是（ A ）．A ．A 与1A -有相同的特征值B ．A 与A '有相同的特征多项式C ．若A 可逆，则零不是A 的特征值D ．A 与A '有相同的特征值4．若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是（ D ）．A ．1)()(=+B P A P B ． P AB P A P B ()()()=C ．P A P A B ()()=D ． P A B P A P B ()()()+=+5．设随机变量X ，则下列等式中不正确的是（ A ）．A ．(21)2()E X E X +=B ． (21)4()D X D X +=C ．22()()(())D X E X E X =- D ． ()()D X D X -=二、填空题（每小题3分，共15分）1．若三阶方阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=632210001A ，则2A I -= 0 ． 2．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称数λ为A 的 特征值 ．3．已知()0.2,()0.4P A P B ==，则当事件A ,B 相互独立时，()P AB =0.08 ． 4．设随机变量1234~0.10.30.5X a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则=a 0.1 ． 5．不含未知参数的样本函数称为统计量 ．三、计算题（每小题16分，共64分）1．设矩阵122110135A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，121104B ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，AX B =，求X ． 1．解：利用初等行变换可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--101310011210001221100531010011001221 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→112100235010225021112100011210001221 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→112100235010245001 因此， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1122352451A 于是由矩阵乘法可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==-1152614011211122352451B A X ．2．求线性方程组12312312312324523438213496x x x x x x x x x x x x -+=-⎧⎪++=⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩的通解．2．解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----14770281414014770542169141328341325421 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→00000000211012010000000021105421 方程组的一般解为 ⎩⎨⎧+=--=2123231x x x x ，(其中x 3是自由元) 令x 3 = 0，得到方程组的一个特解X 0 =)0,2,1('-；不计最后一列，x 3 = 1，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系X 1 =)1,1,2('-于是，方程组的通解为： 10kX X X +=，(其中k 是任意常数)3．设~(2,25)X N ，试求: (1) (1217)P X <<； (2) (3)P X >-．（已知,8413.0)1(=Φ9987.0)3(,9773.0)2(=Φ=Φ）3．解：⑴)3522()5217525212()1712(<-<=-<-<-=<<X P X P X P 0215.09772.09987.0)2()3(=-=Φ-Φ=⑵)152()52352()3(->-=-->-=->X P X P X P 8413.0)1(=Φ=4．某厂生产日光灯管．根据历史资料,灯管的使用寿命X 服从正态总体2(1600,70)N ．在最近生产的灯管中随机抽取49件进行测试，平均使用寿命为1520小时．假设标准差没有改变，在0.05的显著性水平下，判断最近生产的灯管质量是否有显著变化．(已知 96.1975.0=u )4．解：零假设1600:0=μH ；1600:1≠μH ．由于标准差没有改变，故已知2270=σ，选取样本函数 U x nN =-μσ~(,)01 由已知1520=x ，16000=μ，700=σ，49=n ，于是得849701600152000-=-=-=n x U σμ在0.05的显著性水平下， 96.1800>=-n x σμ，因此拒绝零假设0H ，即最近生产的灯管质量出现显著变化．四、证明题（本题6分）1．设B A ,都是n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，试证B AB '也是对称矩阵．1．证明：由矩阵转置的运算性质可得B A B B A B AB B ''=''''='')()(又A 为对称矩阵，故A A ='，从而AB B AB B '='')(因此，AB B '也是对称矩阵．工程数学（本）（13春）模拟练习2013年6月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D ）．A . 111)(---+=+B A B A B . B A B A +=+C . B A AB n 22=-D . 111)(---=A B AB2. 下列命题正确的是（ C ）．A ．n 个n 维向量组成的向量组一定线性相关；B ．向量组s ααα,,,21 是线性相关的充分必要条件是以s ααα,,,21 为系数的齐次线性方程组 02211=+++s s k k k ααα 有解C ．向量组 ,,21αα,s α,0的秩至多是sD ．设A 是n m ⨯矩阵，且n m <，则A 的行向量线性相关3. 设线性方程组B AX =的两个解为21,X X ，（21X X ≠）则下列向量中（D ）一定是B AX =的解．A . 21X X +B . 21X X -C . 212X X -D . 122X X -4. 设)10,50(~2N X ，则随机变量（ B ）)1,0(~N 。