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排列组合生成算法之字典序法和换位法动画ppt

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组合数学 第一章 排列组合6

组合数学 第一章 排列组合6

习题
5， 10 ，19 ， 22
得.
nn
n k
n-k k
k=0
1.7若干等式及其组合意义
证2 在[1,n]的所有组合中,
含1的组合←→不含1的组合.有1—1对应
关系。在任一含1组合及与之对应的不含
1组合中，必有一奇数个元的组合与一偶
数个元的组合。将含奇数个元的组合做
成集，将含偶数阁元的组合做成另一集。
此二集的元数相等。
∑(
)i奇=∑ni(
证1(x+y) =∑( )x y ,令x=y=1,得(1.7.5)
组合证1 [m1,mm]mk的所k 有m-方k 案.每一子集都可 取k[1,m]或k不=0 取.这样有2m个方案.另可有
0-子集(空集),1-子集,…,m-子集.
组合证2 从(0,0)走m步有2m种走法,都落
在直线x+y=m上,而到(m,0),(m-1,1),(m-
1.8应用举例
通过基因将它的遗传信息传递给RNA,然 后再传给蛋白质来表现其功能。
(1)蛋白质分子中有20种氨基酸，在RNA 中以一定顺序相连的3个核苷酸决定1种 氨基酸，三联体遗传密码有43=64个排列 方式。它保证了20种氨基酸密码的需要。
(2)例如RNA链：CCGGUCCGAAAG 酶将它分解成为G片断(即利用G将
1.5.2字典序法
一般而言，设P是[1,n]的一个全排列。 P=P1P2…Pn=P1P2…Pj-1PjPj+1…Pk-1PkPk+1…Pn
I) j=max{i|Pi<Pi+1}, II) k=max{i|Pi>Pj} III) 对换Pj，Pk， IV) 将Pj+1…Pk-1PjPk+1…Pn翻转，

17种排列组合方法ppt课件

17种排列组合方法ppt课件
甲乙 丙丁
由分步计数原理可得共有 A55A22 A22 =480
种不同的排法
6
五.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞 蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
个有元A素55 中种间，包第含二首步尾将两4舞个蹈空插位入共第有一种步排A好64 的不6
练习：从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和 2个女同学，分别担任五项不同的工作，一共有多少 种不同的分配方法？
5
四.相邻元素捆绑策略 例2.7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共 有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元 素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进 行排列，同时对相邻元素内部进行自排.
个空隙中插入3个不亮的灯有__C__35 _种.
12
十二.元素相同问题隔板策略 例10.有10个三好学生名额，在分给7个班，每班至 少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相 邻名额之间形成９个空隙. 在９个空档中选６个 位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给 ７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有
同的方法.由分步计数原理,节目的不同顺序
共有
A A55
4 6
种
相 独 独独相
7
六.固定顺序问题用除法策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少不 同的排法?
1除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题,可 先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后 用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则 共有不同排法种数是： A77
A22
15
练习：某兴趣小组有9个人，现有3项不同的活动可以让

排列组合ppt课件

排列组合ppt课件

排列的分类与计算方法
01
02
03
排列的定义
排列是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行排序。
排列的分类
根据取出的元素是否重复 ，排列可分为重复排列和 不重复排列。
排列的计算方法
排列的计算公式为 nPr=n!/(n-r)!，其中n为 总元素个数，r为要取出的 元素个数。
组合的分类与计算方法
后再合并答案。
利用对称性
在某些问题中，可以利用对称性 来简化计算，例如在计算圆周率 时可以利用对称性来减少计算量
。
学会推理和猜测
在某些问题中，需要学会推理和 猜测，尝试不同的方法和思路，
以寻找正确的答案。
解题注意事项与易错点
注意细节
在解题过程中要注意细节，例如元素的重复、遗漏等问题，避免 出现错误。
组合的定义
组合是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行组合，不考虑排序。
组合的分类
根据取出的元素是否重复 ，组合可分为重复组合和 不重复组合。
组合的计算方法
组合的计算公式为 nCr=n!/(r!(n-r)!)，其中n 为总元素个数，r为要取出 的元素个数。
排列组合的复杂应用
排列与组合的应用
另一个应用是解决组合问题，例如，在从n个不同元素中 选出m个元素的所有组合的问题中，可以使用排列组合的 方法来解决。
排列组合在物理中的应用
排列组合在物理中也有着广泛的应用，其中最常见的是在量子力学和统计物理中 。例如，在量子力学中，波函数的对称性和反对称性可以通过排列组合来描述。
在统计物理中，分子和原子的分布和运动可以通过排列组合来描述。例如，在理 想气体中，分子的分布和运动可以通过组合数学的方法来描述。

排列组合讲解ppt课件

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知识铺垫
首先来了解下什么是两种计数原理?两种计数原理其实就是加法原理和乘法原 理，那么什么时候用加法?什么时候用乘法呢?标准就是判断你所要用的这种方 法能否独立完成一件事，如果可以那就用加法，如果不能那就用乘法。例如： 小王想要从甲到乙地，如果坐火车有3列车可选，如果做汽车有5班车可选，问 小王从甲到乙一共有多少种到达的方式?答案很显然是3+5=8，为什么用加法 呢?因为要完成的从甲地到乙地，首先3列火车可以独立完成，5班汽车也可独 立完成，每一种方式都能够独立完成这件事情则用加法。如果题目改成：小王 从甲到乙地，有3列火车可以从甲到丙地，有5班汽车可以从丙地到乙地，问小 王从甲到乙地一共有多少种方法?答案却为3×5=15，此时为什么用乘法了呢? 因为仅仅3列火车不能够独立完成小王从甲到乙地这件事情，要想完成还需要 从丙地中转后到乙地，所以分步完成用乘法。
例题展示
如果掌握了排列组合的题型特征和解题方法，你会发现这种题型还是 很好掌握的，希望同学们日后多多加强此类题型的练习，做到举一反 三。
谢谢
知识铺垫
为了方便各位更加深刻的理解和把握好两种计数原理，我们要从两道经典例题入手， 一起来看例题展示
例题展示
【例题1】小王外出游玩，准备选择一家宾馆进行入住，现在有7家经济型宾馆，5家 舒适型宾馆，3家豪华型宾馆可供小王选择，那么小王共有多少种不同的选择方式? A.12B.15C.18D.24 【答案】B 【中公解析】根据题目的描述可知，此题是在解决小王选择一家宾馆进行入住有多 少种不同的选择方式的事情。且小王可以选择3种类型的宾馆，如果只选择其中一种 类型的宾馆，比如选择豪华型宾馆能完成我们需要解决的事情，每一类选法都可完 成这件事情，故需分类。共有7+5+3=15种，答案为B。 【例题2】南阳中学有语文教师8名、数学教师7名、英语教师5名和体育教师2名。 现要从以上四科教师中各选出1名教师去参加培训，问共有几种不同的选法?

排列组合问题17种方法ppt课件

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C
6 9
一
二
三
四
五
六
七
班
班
班
班
班
班
班
30
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C m 1 n 1
31
练习题
1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 有多少装法？
C4 9
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解 的组数
A
5 5
A A A
2 4
1 4
5 5
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
前排
后排
20
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并 且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______
346
21
重排问题求幂策略
把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有 种分法.
7
把第二名实习生分配
到车间也有7种分法，
依此类推,由分步计
7 6 数原理共有 种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 种
一个盒子装1个 （6）每个盒子至少1个
25
练习题 一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 参加,则不同的选法有________ 种 192

排列组合的ppt课件免费

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题目2：从7个不同元素 中取出4个元素的组合数 ，其中某特定元素可以 不被取出。
答案1：$A_{7}^{4} A_{6}^{3} = 7 times 6 times 5 times 4 - 6 times 5 times 4 = 336$
答案2：$C_{7}^{4} C_{6}^{3} = frac{7 times 6 times 5 times 4}{4 times 3 times 2 times 1} - frac{6 times 5 times 4}{3 times 2 times 1} = 28$
排列组合问题的变种与拓展
排列组合问题的变种
如“带限制的不同元素的排列组合” 、“重复元素的排列组合”等，需要 进一步拓展学生的思路。
拓展方法
通过变种问题的解析，引导学生深入 思考排列组合问题，并掌握其变化规 律，为解决更复杂的问题打下基础。
04
CATALOGUE
排列组合的数学原理
排列组合的数学原理简介
数学教育的核心
排列组合是数学教育中的 重要内容，对于培养学生 的数学素养和解决问题的 能力具有重要意义。
解决排列组合问题的方法与技能
乘法原理
加法原理
乘法原理是解决排列组合问题的基础，通 过将各个独立事件的产生概率相乘，可以 计算出复合事件的产生概率。
加法原理用于计算具有互斥性的事件的概 率，通过将各个互斥事件的产生概率相加 ，可以得到总的产生概率。
解析方法
通过实例演示和讲授，帮助学生理解排列组合的基本概念和计算方法，同时引导 学生思考如何解决实际问题。
实际问题的排列组合解决方案
实际问题的排列组合
如“安排会议”、“排定演出节目单”、“安排生产计划” 等，需要结合具体情境进行分析。

高中数学排列组合常用方法与技巧精讲 PPT课件 图文

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结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题, 可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为 一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元 素内部也可以作排列.
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我 们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方 法简单,结果容易理解.
种选A法74 .根据乘法原理,共有的不同坐法为
种A.88 A74
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种 剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化 为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有C 453种,正副班长,团支部书
记都不在内的抽法有 种C 450,所以正副班长,团支部书记至
解数学不之加前任考何”限,与制“条数件学,整安个排排在法语有文之种A前99 ,“考语”文的安排排法在是

主要内容1生成排列的字典序法2生成排列的邻位互换法3

主要内容1生成排列的字典序法2生成排列的邻位互换法3
否则 ai = 0. 称为n元组的字典序.
缺点:每次变多个元素
a2 a1 a0 000
{x0} 0 0 1 {x1} 0 1 0 {x1,x0} 0 1 1 {x2} 1 0 0 {x2,x0} 1 0 1 {x2,x1} 1 1 0 {x2,x1,x0} 1 1 1
基为2的组合生成算法。
生成全体组合
集合{1,2,3,4}字典序排列
字典序法
123ຫໍສະໝຸດ 42 341 34
12 4
123
34 24 23 34 14 13 24 14
12 23 13 12
4 3 4 2 3 2 4 3 4 1 3 1 42 4 1
21 32 3 1 21
1234 1243 1324 1342 1423 1432
字典序法 按字典序，由一个排列p1p2 pn生成下一个排列的算法:
2 1 34
邻位互换法
要点: 每次只交换两个相邻数 交换实现: “活动的”概念：排列中每个整数赋予一个方向值，若大于所指方向的相邻数， 整数k叫做”活动的”。 例：
263154
6、3、5是活动的。
递归算法 初始: 排列为12…n, 每个数的方向都向左.
{1,2,…,k}的邻位互换程序LH(k): 若 k为活动数, 则 a k 互换,
将n-1阶Gray码顺序列一遍, 接下来 将n-1阶Gray码逆序列一遍, 顺序列的码每个前面添0, 逆序列的码每个前面添1.
生成n阶反射Gray码的算法 (1) 从an-1…a1a0=0…00开始
(2) 当an-1…a1a010…0时, i) (an-1…a0) = an-1+…+a0(1的个数), ii) 若(an-1…a0)偶, 则 a0 a0, iii) 若(an-1…a0)奇, 则 找 j 0 使得

算法之字典排序法

算法之字典排序法

算法之字典排序法2. 字典序法字典序法就是按照字典排序的思想逐一产生所有排列.设想要得到由1,2,3,4以各种可能次序产生出4!个“单词”. 肯定先排1234, 再排1243, 下来是1324, 1342, …., 4321.分析这种过程, 看如何由一个排列得到下一个排列, 并给出严格的数学描述.例2.3 设有排列(p) =2763541, 按照字典式排序, 它的下一个排列是?(q) =2764135.(1) 2763541 [找最后一个正序35](2) 2763541 [找3后面比3大的最后一个数](3) 2764531 [交换3,4的位置](4) 2764135 [把4后面的531反序排列为135即得到最后的排列(q)]求(p)=p1⋯p i-1p i…p n的下一个排列(q):(1) 求i=max{j⎪ p j-1<p j}(找最后一个正序)(2) 求j=max{k⎪ p i-1<p k}(找最后大于p i-1者)(3) 互换p i-1与p j得p1…p i-2 p j p i p i+1⋯p j-1 p i-1 p j+1…p n(4) 反排p j后面的数得到(q):p1…p i-2 p j p n⋯p j+1p i-1p j-1 ….p i+1 p i例2.4 设S={1,2,3,4}, 用字典序法求出S的全部排列. 解1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432,2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431,3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421,4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321.字典排序法C++代码：#include<iostream.h>void repailie(int *a,int n,int dp){int *bb=new int[n-dp];int *cc=new int[n-dp];int ti=0;for(int i=dp+1;i<n;i++){bb[ti++]=a[i];}for(int j=0;j<ti;j++){a[j+dp+1]=bb[ti-j-1];}//cout<<a[dp+1]<<" ";//cout<<endl;}int main(void){int n;cout<<"请输入1至无穷大的数"<<endl;cin>>n;int *a=new int[n];int p=1;//n的阶层int q=1;//循环记录int b,c;//最后一对正序int bi,ci;//记录b和c的位置int d;//最后大于b者int di;//记录d的位置for (int o=1;o<=n;o++){p=p*o;//cout<<p<<" ";}for (int i=0;i<n;i++){a[i]=i+1;cout<<a[i]<<" ";}cout<<endl;while(q<p){for(int j=n-1;j>=0;j--){if(a[j-1]<a[j]){b=a[j-1];bi=j-1;c=a[j];ci=j;break;}}//cout<<bi<<" "<<ci<<" "<<endl;for(int k=n-1;k>=0;k--)if (a[k]>b){d=a[k];di=k;break;}}//cout<<di<<endl;for(int l=0;l<n;l++){if(l==di){a[l]=b;//cout<<a[l]<<endl;}if(l==bi){a[l]=d;//cout<<a[l]<<endl;}repailie(a,n,bi);for (int m=0;m<n;m++){cout<<a[m]<<" ";}cout<<endl;++q;}}运行结果图：。

排列组合专题PPT课件

排列组合专题PPT课件
n个不同元素不分首尾排成一个圆圈，称为循环 排列。其排列数为n!/n=(n-1)!。
如1,2,3三个数的循环排列只有１２３，１３２ 二种。
第22页/共85页
例8．在圆形花坛外侧摆放８盆菊花和４盆兰花， 要求兰花不能相邻摆放，一共有多少种摆法？
８盆菊花摆成一周的排列方法有n1=７！ ４盆兰花插入８个空中的排列总数有n2=P４８=8!/4! 摆放总数为n=n1*n2=8467200
第一类：A在第一垄，B有3种选择； 第二类：A在第二垄，B有2种选择； 第三类：A在第三垄，B有一种选择， 同理A、B位置互换 ， 共12种。
第6页/共85页
例6、
某小组有10人，每人至少会英语和日语的一门， 其中8人会英语，5人会日语，从中选出会英语与会 日语的各1人，有多少种不同的选法?
由于8+5＝13＞10，所以10人中必有3人既会英 语又会日语。（5+2+3） 所以可分三类： 5×2 + 5×3 + 2×3=31
3.个位为4,百位为1、2、3、5中的一个，十位为剩下的四个数字中的一个，所以 这样的偶数共有1×P14×P14
所以符合题意的个数为20＋16＋16＝52
第18页/共85页
例5、 8位同学排成相等的两行，要求某两位同 学必须排在前排，有多少种排法？
这两个同学排在前排4个位置的排列数是P24， 其它同学在余下的6个位置排的排列数是6！，所以 符合题意的个数为P24×6！＝12×720＝8640。
prn/(n1!*n2!*…*nm!).
第25页/共85页
例10、将N个红球和M个黄球排成一行。如:N=2,M=3 可得到10种排法。问题:当N=4,M=3时有 种不同 排法? NOIP2002

组合数学第4章[生成排列与组合]PPT教学课件

组合数学第4章[生成排列与组合]PPT教学课件

2020/12/10
14
§4.2 生成组合
生成组合
4.2.1 基2算法 若S是n个元素的集合，元素为{xn-1,...,x1,x0}， 则生成组合就是生成S的所有2n个子集。 任一子集可以描述成：
(an-1,...,a1,a0)=an-1...a1a0 其中，ai为1或0，表示xi在或不在子集中。
于是S的全部子集可以用0~2n-1的整数来描 述，只要生成这些整数，也就得到了所有组合。
其中，0表示空集，2n-1表示S本身。
全排列生 成算法
2020/12/10
6
3. 直接生成全排列的算法
全排列生 成算法
[定义]对排列中的每个元素k，赋予其一
个方向：k 或 k 。如果一个整数k的箭头 指向一个与其相邻但比它小的整数，则
称k是活动的。
例如，对于：263154
只有6、3、5是活动的。
2020/12/10
7
显然：
全排列生 成算法
a1+a2+...+an 度量了排列的无序程度。
2020/12/10
11
全排列生
[例]31524的逆序列是1,2,0,1,0。 成算法
[结论]对于逆序列，显然有0≤ak≤n-k。且 任何一个排列都可确定一个逆序列。
[定理]若b1,b2,...,bn是满足0≤bk≤n-k的整数 序列，则存在{1,2,...,n}的唯一的一个排 列，其逆序列为b1,b2,...,bn 。
21
2020/12/10
4
{1,2,3}的排列
全排列生
1 2 3 成算法 2 31 31 2 32 1 13 2 2 13
2020/12/10
5

排列组合生成算法42页PPT

排列组合生成算法42页PPT

1.6.2字典序法
1）生成给定全排列的下一个排列
所谓一个的下一个就是这一个与
下一个之间没有其他的。这就要 求这一个与下一个有尽可能长的 共同前缀，也即变化限制在尽可 能短的后缀上。
1.6.2字典序法
[例] 839647521是1--9的排列。 1—9的排列最前面的是123456789， 最后面的是987654321，从右向左扫 描若都是增的，就到了987654321， 也就没有下 一个了。否则找出第一次出现下降的 位置。
2 3 14
2 3 41 243 1 42 3 1 42 1 3 2 41 3 2 1 43
2 1 34
对上述过程，一般地，对i，将前一步所得的
每一排列重复i次，然后将i由第一排的最后 往前移，至最前列，正好走了i次,下一个接 着将i放在下一排列的最前面，然后依次往 后移，一直下去即得i元排列。
下面我们用较正式的语言来说这件事。
1.6.2字典序法
[例] 求839647521的下一个排列
找出比右边数字小的第一个数4
8397655 72124124517
44><＜2157
大小为于于后44的的缀用用橙绿色 色表 表示 示
在 找接后出上即缀其前87中后3缀59比2将861缀4344中此97大、变65找后52的1得5出为缀的最到比对翻7下小84换转一3大2数916个的55。1数2477 5
(n-1)!=(n-2)(n-2)!+(n-2)!,
…, 故 n!= (n-1)(n-1)!+ (n-2)(n-2)!+…+2*2!+2!
n 1
k *k!1 k 1
n 1
即n!1 k * k! k 1

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直到n n 1 2 1结束，即直到不存在pj1 pj 为止。
3. 换位法
换位法是一种比较直观的排序生成法。例如，以 1 2 3 4 为初始排列，箭头所指一侧， 相邻的数若比它小时，则称该数处在活动状态， 1 2 3 4 中的 2，3，4 都处在活动状态。
一般地，从一个排列 p1 p2 p3 pn1 pn 到下一个排列的生成算法步骤： S1. 若 p1 p2 p3 pn1 pn 没有数处于活动状态则结束。 S2. 将处于活动状态的各数中值最大者设为 m ，则 m 和它箭头所指一侧相邻的数互换位 置，而且比 m 大的所有数的箭头改变方向，即 改为 ， 改为 。转 S。
第一个排列 1，2， ， n 对应的序列 (an1 , an2, , a2, a1) (0,0, ,0,0)
例 1.11 以四个元素1，2，3，4的排列为例，求其第17个和第 21个排列。
解：四个元素1，2，3，4 的第一个排列为1 2 3 4，对应序列（0，0，0，0）。 和m 17 116 对应的序列为(a3,a2,a1) ，a1 0 ，a2 2 ，a3 2 。
S1. 求满足关系式 pj1 pj 的 j 的最大值，设为 i ，即 i max{ j | pj1 pj}。 S2. 求满足关系式 pi1 pk 的 k 的最大值，设为 h ，即 h max{k | pi1 pk} 。 S3. 排列 p1 p2 p3 pn1 pn 中 pi1 与 ph 互换得 p1 p2 p3 pn1 pn 。 S4. 令 p1 p2 pi1 pi pi1 pn 中 的 pi pi1 pn 的 顺 序 逆 转 便 得 到 下 一 个 排 列 p1 p2 p的排列为例，求 p1 p2 p3 p4 3421的下一个排列。
解：S1. i max{ j | pj1 pj} 2 S2. h max{k | pi1 pk } 2 S3. p1 和 p2 互换得 4321 S4. 将 4321 中的 321 逆转得 4123 就是所求。 以1, 2, , n 的排序利用字典排序生成法，可从1, 2, , n 开始，
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例题：请写出1234的全排列
Step1：以1234开始排序，在每个数字上标一向 左箭头。 箭头所指一侧相邻的数若比它小，则称该数处于活 动状态 Step2：找最大的处于活动状态的数m Step3：将m与其箭头所指的邻数互换位置 Step4：将所得排列中比m大的数p的方向调整， 即改为相反方向 Step5：重复Step2~Step4直至无活动状态的数
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例题：请写出1234的全排列 1 2 3 4
1234
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例题：请写出1234的全排列 1 2 4 3
1234 1243
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例题：请写出1234的全排列 1 4 2 3
1234 1243 1423
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例题：请写出1234的全排列 4 1 2 3
1234 1243 1423 4123
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例题：请写出1234的全排列 4 1 3 2
i-1者)
(4) 反排pj后面的数得到(q):
p1…pi-2 pj pnpj+1pi-1pj-1 ….pi+1 pi
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例题：设有排列(p) =2763541, 按照字典式排 序, 它的下一个排列是谁?
Step1:求 i=maxj pj-1pj (找最后一个正序)
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例题：设有排列(p) =2763541, 按照字典式排序, 它的下一个 排列是谁?
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例题：请写出1234的全排列
Step1：以1234开始排序，在每个数字上标一向 左箭头。 箭头所指一侧相邻的数若比它小，则称该数处于活 动状态 Step2：找最大的处于活动状态的数m Step3：将m与其箭头所指的邻数互换位置 Step4：将所得排列中比m大的数p的方向调整， 即改为相反方向 Step5：重复Step2~Step4直至无活动状态的数
1234 1243 1423 4123 4132
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例题：请写出1234的全排列 1 4 3 2
1234 1243 1423 4123 4132 1432
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例题：请写出1234的全排列
1 1234 1243 1423 4123 4132 1432
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1342
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例题：请写出1234的全排列
1 1234 1243 1423 4123 4132 1432
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例题：设有排列(p) =2763541, 按照字典式排序, 它的下一个 排列是谁?
Step3: Step4: 互换 反排 p p 与pj位置 i-1 j后面的数
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例题：设有排列(p) =2763541, 按照字典式排序, 它的下一个 排列是谁?
Step4: Step5: 反排 得到答案 pj后面的数
1234 1243 1423 4123 4132 1432
13 42 4321 1324 3124 3142 3412 4312
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例题：请写出1234的全排列 3 4 2 1
1234 1243 1423 4123 1 4132 1432
13 42 4321 1324 3421 3124 3142 3412 4312
3 1234 1243 1423 4123 4132 1432
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1342 1324 3124 3142 3412
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例题：请写出1234的全排列
4 1234 1243 1423 4123 4132 1432
3
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1342 1324 3124 3142 3412 4312
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例题：请写出1234的全排列 4 3 2 1
Satisfy the existence of a certain condition
存 在
引入
算 法
优化算法
Optimization algorithm
计算出满足条件配置的数目
Calculate the number of conditions that meet the conditions
计 数
组合数学
排列组合的生成算法
GENERATION ALGORITHM OF PERMUTATION AND COMBINATION
满足一定条件配置的存在性
Satisfy the existence of a certain condition
存 在
引入
算 法
优化算法
Optimization algorithm
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例题：请写出1234的全排列
Step1：以1234开始排序，在每个数字上标一向 左箭头。 箭头所指一侧相邻的数若比它小，则称该数处于活 动状态 Step2：找最大的处于活动状态的数m Step3：将m与其箭头所指的邻数互换位置 Step4：将所得排列中比m大的数p的方向调整， 即改为相反方向 Step5：重复Step2~Step4直至无活动状态的数
2134 2143 2314 2341 2413 2431
3124 3142 3214 3241 3412 3421
4123 4132 4213 4231 4212 4321
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求(p)=p1pi-1pi…pn的下一个排列(q):
(1) 求 i =maxj pj-1pj (找最后一个正序) (2) 求 j=maxk pi-1pk(找最后大于p (3) 互换pi-1与pj得 p1…pi-2 pj pipi+1pj-1 pi-1 pj+1…pn
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例题：请写出1234的全排列 3 2 4 1
1234 1243 1423 4123 1 4132 1432
13 42 4321 1324 3421 3124 3241 3142 3412 4312
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例题：请写出1234的全排列 3 2 1 4
1234 1243 1423 4123 1 4132 1432
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例题：请写出1234的全排列
Step1：以1234开始排序，在每个数字上标一向 左箭头。 箭头所指一侧相邻的数若比它小，则称该数处于活 动状态 Step2：找最大的处于活动状态的数m Step3：将m与其箭头所指的邻数互换位置 Step4：将所得排列中比m大的数p的方向调整， 即改为相反方向 Step5：重复Step2~Step4直至无活动状态的数
13 42 1324 3124 3142 3412 4312
4321 3421 3241 3214
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例题：请写出1234的全排列 2 3 1 4
1234 1243 1423 4123 1 4132 1432
13 42 1324 3124 3142 3412 4312
4321 3421 3241 3214 2314
计算出满足条件配置的数目
Calculate the number of conditions that meet the conditions
计 数
构造所有配置的算法
An algorithm for constructing all configurations is construced
优 化
满足一定条件配置的存在性
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例题：请写出1234的全排列
Step1：以1234开始排序，在每个数字上标一向 左箭头。 箭头所指一侧相邻的数若比它小，则称该数处于活 动状态 Step2：找最大的处于活动状态的数m Step3：将m与其箭头所指的邻数互换位置 Step4：将所得排列中比m大的数p的方向调整， 即改为相反方向 Step5：重复Step2~Step4直至无活动状态的数
3
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4
1342 1324
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例题：请写出1234的全排列
3 1234 1243 1423 4123 4132 1432
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4
1342 1324 3124
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例题：请写出1234的全排列
3 1234 1243 1423 4123 4132 1432
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1342 1324 3124 3142
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例题：请写出1234的全排列
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邻位互换生成算法的思想是很自然的一种想 法, 其中蕴涵递归的思想. 是由Johnson-Trotter首先提出的. 通过把n插入到n-1阶排列的不同位置得到n 阶排列: n=1: 1 n=2: 12, 21. n=3: 123, 132, 312; 321, 231, 213.
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例题：请写出1234的全排列
13 42 1324 3124 3142 3412 4312
4321 2431 3421 3241 3214 2314 2341
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例题：请写出1234的全排列 4 2 3 1
1234 1243 1423 4123 1 4132 1432
13 42 1324 3124 3142 3412 4312
4321 2431 3421 4231 3241 3214 2314 2341
Step2: Step1: 求求 j=max i=max k j p pj-1 p p ( ( 找最后一个正序 找最后大于pi-1者 ) ) i-1 jk
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例题：设有排列(p) =2763541, 按照字典式排序, 它的下一个 排列是谁?
Step2:求 j=maxk pi-1pk(找最后大于pi-1者)
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例题：请写出1234的全排列
Step1：以1234开始排序，在每个数字上标一向 左箭头。 箭头所指一侧相邻的数若比它小，则称该数处于活 动状态 Step2：找最大的处于活动状态的数m Step3：将m与其箭头所指的邻数互换位置 Step4：将所得排列中比m大的数p的方向调整， 即改为相反方向 Step5：重复Step2~Step4直至无活动状态的数