数值稳定性和病态问题探析_薛洪

说明如下：
设输入数据ｘ的近似值为ａ，它的相对
误差
函数值ｆ（ｘ）的近似值为ｆ
（ａ）， 那么ｆ（ａ）的相对误差为：
从上述计算可明显看出这种算法是不 稳定的。
若该算法的计算值为 ，Ｉｎ的精确 解由 Ｍａｔｌａｂ 库函数求出，记为： ， 由 Ｉｎ＝１－ｎ Ｉｎ－１得到
这说明，函数的相对误差与输入数 据（这里为自变量）的相对误差成正 比，比例系数为函数在该点处的条件 数。因此条件数越大，函数求值的相对 误差就越大。
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试看下面的例子： Байду номын сангаас１ 求积分值
＜２＞的初值用ＭａｔＬａｂ的库函数ｑｕａｄ８ 计算的结果是
因此算法＜１＞是不稳定的。对于算法 ＜２＞：
假如计算机十进制尾数为４位，算法
＜１＞计算值为 ，
算法＜２＞计算值为 １：
，计算结果如表
从而 定的。
表１
，显然算法＜２＞是稳
解 由于Ｉｎ＋５Ｉｎ－１ ＝
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例２积分
＝
可得到两个递推公式：
＜１＞
ｎ＝１，２，３…８
＜２＞．
２，１ ＜１＞的初值为：
ｎ＝８，７，６…
其中 是由库函数ｑｕａｄ８求出的Ｉ
的近似值，取５位有效数字．由数值稳定的定 义可以看出，算法＜１＞是不稳定的，而算法 ＜２＞则是稳定的。
分析：＜１＞算法由
知误差
满足
引子 对一个问题的求解可以有多种不同的
例：函数 ｙ ＝ ｘ ｎ 求值的条件数为
（常数），固是非病态
的。 请读者求 ｙ ＝ Ｉ ｎ ｘ 和 Ａ ｘ ＝ ｂ 其中
的条件数。
因此，该算法不稳定。 上面讨论的数值稳定性是对算法而言 的，算法的不同直接影响到结果的不 同，这样就引入另一个数学概念：病态 数学问题。 定义２ 所为病态数学问题是指这样 的数学问题：当它的输入数据（如参 数、初始值等）有微小摄动时，会引起 解的大扰动。相反的情形是良态数学问 题。 由于计算工具的原因总会存在有舍入 误差，所以对于病态数学问题，用任何 算法求数值解都是不稳定的。由此可 见，病态数学问题是数学模型自身的问 题，与算法无关。但是，有一点必须指 明：良态的数学问题的算法也未必是数 值稳定的。 病态和良态是相对的，界限比较模
参考文献 １复旦大学数学系编．数学分析．高等教育 出版社． １９９０ ２李庆杨等编．现代数值分析．高等教育出 版社． １９９５ ３ｃｉａｒｌｅｔ ｐ．Ｇ著．矩阵数值分析与最优化．高 等教育出版社 作者简介 薛洪，周口广播电视大学讲师。 袁芳文，男，３７ 岁，在读硕士。
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完善金融立法，尽快修改与世贸组织 基本法律规则不符的法律规范，抓紧 制定目前尚处于空白的金融法律制度。
５．坚持以推动金融制度创新为根本 保证。要通过金融交易制度创新创造 出新的金融交易载体、改变金融交易 流程、建立新型的金融交易空间；要 通过金融组织制度创新完善金融机构 的产权制度、健全其法人治理结构和 内部组织结构，从而降低金融机构的 经营成本、提高其经营效率和经济效 益；要通过金融保障制度创新，有效 保障金融交易活动公平、顺利进行， 提高金融运行效率，防范金融风险， 保护金融当事人权益。
当然，推动金融创新，还要注意 防范金融创新的风险。比如，金融创 新可能会加剧金融市场的脆弱性，并 影响货币政策的有效性；可能会给金 融机构带来信用风险、市场风险、流 动性风险和运作风险等等。
事实上，我国的金融改革正是一 个金融不断创新的过程。目前，我国 的金融创新已进入深化金融改革和适 应加入世贸组织后金融对外开放的新 阶段，我们只有结合中国国情，积极 推动金融创新，才能提高我国金融业 的运行效率，才能应对金融全球化的 挑战。这是保持我国经济增长的原动 力之一，也是建设创新型国家的一个 必要条件。
，验证
Ｉ０＝１－ｅ－１，Ｉｎ＝１－ｎ Ｉ ｎ－１。取ｅ－１≈０．３６７９ 按递推公式Ｉｎ＝１－ｎ Ｉ ｎ－１，用４位有效数字 计算 Ｉ０，Ｉ１，…，Ｉ９。并证明这种算法 是不确定的。
解：由递推公式 Ｉｎ＝１－ｎ Ｉｎ－１
糊，病态越严重，对算法的稳定性的影 响就越大。通常我们引入条件数来衡量 问题的病态程度。条件数越大，病态可 能越严重。对不同的数学问题，条件数 的定义是不同的（此问题已超出本论文 的讨论范围）例如函数求值问题ｙ＝ｆ（ｘ）条 件数定义为：
６． 坚持以推动金融产品创新为基 本内容。在过去的一年中，央行积极 推动商业银行发行金融债和次级债； 开展商业银行设立基金管理公司试 点；推动信贷资产证券化、住房抵押 贷款证券化业务试点；推出企业短期 融资券；成功推出债券远期交易。这 些创新在金融市场发展中发挥了重要 作用。今后应继续大力推动金融产品 创新，在规范发展已推出金融产品的 同时，进一步加大新产品研发力度， 进一步发挥黄金市场的规避风险和投 融资功能。
基础及前沿研究 中国科技信息 ２００６ 年第 １１ 期 ＣＨＩＮＡ ＳＣＩＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ Ｊｕｎ．２００６
数值稳定性和 病态问题探析
薛 洪 袁芳文 周口广播电视大学 ４６６０００
摘 要 本文给出了数值稳定性和病态问题的定义， 提出不同的算法对计算的结果差异很大。稳 定性问题在计算建模时应注意。 关键词 稳定性；病态；条件数 Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｅ ｔｈｅｓｉｓ ｇｉｖｅｓ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｍｏｒｂｉｄｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ’ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ，ａｎｄ ｐｕｔｔｉｎｇ ｆｏｒｗａｒｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｈ ａｓｂ ｉｇｄ ｉｆｆｅｒｅｎｃｅｆ ｏｒｃ ｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｒ ｅｓｕｌｔ． Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｉｓｓｕｅ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｍｏｄｅｌｉｎｇ． Ｋｅｙｗｏｒｄ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；Ｍｏｒｂｉｄｉｔｙ；Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｎ ｕｍｂｅｒ
稳定性问题在计算机建模时应注意。 例如，当把一个实际问题转化为数学公 式而进一步用递推法在计算机上实现的时 候，一定要考虑其稳定性。而良态的数 学问题的寻求可望使稳定性问题得以解 决，但也未必。因此，在验证时一定要 选取一些有代表性的初值加以验算。此 外，条件数初始验证也能对任何算法求 数值解的稳定性界定有所帮助。
方法，难易迥异。在计算机科学中往往 把要解决的问题转化为数学模型来加以解 决。由于机器字长的限制和存贮空间的 有限性，不同的模型由于误差的存在， 往往使计算的结果存在很大的差异。若 执行的结果与精确解之间的误差很大的 话，势必会影响与之相关的数据的精确 度。这就引出了我们的问题：数值稳定 性。
定义１ 对于一个已经存在的算法， 若输入数据的误差在计算过程中迅速增长 而得不到控制，则称该算法是不稳定 的，否则是数值稳定的。