杯赛考前强化___行程问题

2013小学“希望杯”全国数学邀请赛-赛前集训专题系列（四年级）专题七行程问题（二）【名师导航】1.火车过桥问题通常，在行程中所涉及的运动物体（如人或车）是不考虑本身长度的。

但火车（或一支队伍）的长度较长，不能忽略不计。

从“追上”到“超过”，就是一个追及过程。

在此过程中，二者的路程之差为：A车长+B车长从“相遇”到“错过”，这是一个相遇过程。

在此过程中，二者的路程之和为：A车长+B车长理解了这两个隐藏条件，我们再做这类似题时，就可以把它当作一般行程问题来做了。

火车过桥问题主要分为三种情况：（1）人与车相遇：路程和 = 火车车长，速度和 = 车速+人速相遇时间 = 火车车长÷（车速+人速）追及：路程差 = 火车车长，速度差 = 车速－人速追及时间 = 火车车长÷（车速－人速）（2）车与车相遇：路程和 = 甲车长+乙车长，速度和 = 甲车速+乙车速相遇时间 =（甲车长+乙车长）÷（甲车速+乙车速）追及：路程差 = 快车长+慢车长，速度差 = 快车速－慢车速追及时间 =（快车长+慢车长）÷（快车速－慢车速）（3）头对齐，尾对齐：头对齐：路程差 = 快车车长，速度差 = 快车速－慢车速错车时间 = 快车车长÷（快车速－慢车速）尾对齐：路程差 = 慢车车长，速度差 = 快车速－慢车速，错车时间 = 慢车车长÷（快车速－慢车速）(4)车上人看车过窗:实为人与车问题,快车看慢车车长,慢车看快车车长.2.流水行程问题船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。

流水行船问题，是行程问题的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系，在这里将要反复用。

此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：顺水速度 = 船速 + 水速（1）逆水速度 = 船速 - 水速（2）这里，船速：是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程。

对近五年武汉各大杯赛的试题分析来看：行程问题出题概率很高，杯赛中一定会考，一般会考1至2道题，大致占到整个试题分值比重的5%～15%，而且常常是以压轴题的形式出现。

各大数学竞赛及选拔考试偏爱考行程问题的原因，是由行程问题的题型特点决定的。

详细分析请点击查看想讨论更多有关行程问题，请加入行程QQ群：114263769。

有名师答疑哦！自6月28日起，周一至周五，每日下午两点发布五道行程网赛题目，该帖将被设定为“仅作者可见”，所有e度用户均可参与答题，每天的答题截止时间为次日早上10点，之前请大家把答案以图片格式上传到论坛，次日早上10点管理员将锁定该帖，并公布详细答案，并整理用户答题结果进行评分以及答题情况公示。

解题需要详细过程，老师将按照步骤打分。

该帖二楼每日每道题0、1、3、5、7、10个积分的档次，更新参与活动用户的累计积分，网赛共进行五天，截止至7月2日。

=======================================7月2日网赛题目及答案：（网赛最后一天了！请参加网赛的同学报名参加7月10日的名师面对面）1.【难度：★★★★】("我爱数学夏令营"数学竞赛)一列火车出发1小时后因故停车0.5小时，然后以原速的3/4前进，最终到达目的地晚1.5小时．若出发1小时后又前进90公里因故停车0.5小时，然后同样以原速的3/4前进，则到达目的地仅晚1小时，那么整个路程为________公里．【题型】变速变道【分析】如果火车出发1小时后不停车，然后以原速的3/4前进，最终到达目的地晚1.5-0.5=1小时，在1小时以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为3:4，所以原计划要花1÷（4-3）×3=3小时，现在要花1÷（4-3）×4=4小时，若出发1小时后又前进90公里不停车，然后同样以原速的3/4前进，则到达目的地仅晚1-0.5=0.5小时，在1小时以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为3:4，所以原计划要花0.5÷（4-3）×3=1.5小时，现在要花0.5÷（4-3）×4=2小时．所以按照原计划90公里的路程火车要用3-1.5=1.5小时，所以火车的原速度为90÷1.5=60千米／小时，整个路程为60×（3+1）=240千米．【答案】240千米2.【难度：★★★】一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？【题型】发车问题【分析】要求汽车的发车时间间隔，只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了，但题目没有直接告诉我们这两个条件，如何求出这两个量呢？由题可知：相邻两汽车之间的距离（以下简称间隔距离）是不变的，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离，每隔6分钟就有一辆汽车超过步行人，这就是说：当一辆汽车超过步行人时，下一辆汽车要用6分钟才能追上步行人，汽车与行人的路程差就是相邻两汽车的间隔距离。

一、分段计算的行程问题1，行程问题中的三个基本倍数关系①当运动的速度相同时，时间的倍数关系等于路程的倍数关系②当运动的时间相同时，速度的倍数关系等于路程的倍数关系③当运动的路程相同时，时间的倍数关系等于速度的反倍数关系2，按时间流程画线段图的方法画线段图的方法在求解行程问题中是至关重要的，画好线段图，能使题目条件一目了然，有助于解题。

3，分段与比较的想法①同一个人的不同过程之间，速度相同，可以得到路程与时间之间的关系；②两个时刻之间所经过的时间相同，可以得到不同对象之间路程与速度的关系；③长度相同的线段，路程相同，可以得到速度和时间之间的关系。

二、多次往返相遇和追及1、甲，乙两车从A、B两地出发相向而行，并在两地之间不断往返，记两地距离为1个全长，则①甲车和乙车的路程和为1个全长时，两次第一次迎面相遇；•在此之后，两车的路程和每多出2个全长时就会迎面相遇一次.②如果甲车的速度大于乙车速度，则：•当甲车与乙车的路程差为1个全长时，甲车第一次追上乙车；在此之后，每当甲车比乙车多跑2个全长时就会追上乙车一次。

2,甲，乙两车从A地同时出发同向而行，在A、B两地之间不断往返，记两地距离为1个全长，则①当甲车和乙车的路程和为2个全长时，两次第一次迎面相遇；在此之后，两车的路程和每多出2个全长时就会迎面相遇一次.②如果甲车的速度大于乙车速度，则：当甲车与乙车的路程差为2个全长时，甲车第一次追上乙车；在此之后，每当甲车比乙车多跑2个全长时就会追上乙车一次。

【1】甲、乙两人从同一个地点出发同向而行，甲比乙先出发．甲出发6分钟到达A地．此时乙距离起点150米．又过了3分钟乙到达A地，此时甲距离起点900米．问：乙比甲晚出发多长时间?自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追上了自行车队．然后通信员立即返回出发点；到达出发点后通信员又马上掉头去追自行车队，再次追上时恰好离出发点18千米．自行车队每分钟行多少千米?摩托车每分钟行多少千米?乌龟与兔子迚行10000米赛跑，兔子的速度是乌龟的速度的5倍．当它们从起点一起出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉．兔子醒来时发现乌龟已经领先它5000米，于是奋起直追．当乌龟到达终点时，兔子仍落后100米．请问：兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米?一天，萱萱到离自己家4000米的表哥家去玩．早晨7：20时，萱萱从家出发向表哥家走去，每分钟行60米，同时表哥骑车从家出发来接她．表哥到萱萱家后才发现萱萱已经走了，又立即返回去追．表哥骑车每分钟行260米．当表哥追上萱萱后，带着她一起回表哥家，这时骑车速度变为每分钟骑175米．请问：当他们到达表哥家时还差几分钟就到8点了?甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，12小时后在C地相遇．相遇后，两车并不停顿，继续前迚．甲车在相遇后继续行驶4小时到达B地，然后立即掉头以相同的速度返回A地．请问：(1)当甲车再次到达C地的时候，乙车还要再开几小时才能到达A地?(2)如果甲车从B地返回的时候不是原速返回，而是变慢了．而且当它经过C地的时候，乙车正好到达A地．甲车返回的速度是原来速度的多少倍?某科研单位每天派汽车早8点准时到工程师家接他上班．但今天早晨，工程师临时决定提前到单位，于是他没有等汽车来接，就自己步行去单位．步行途中遇到了前来接他的汽车，他马上上车赶到单位，结果发现比平时早到了30分钟，问：工程师上车时是几点几分?【7】快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过4小时在途中相遇．相遇后两车继续向前行驶．慢车到达甲地后停留1小时再返回乙地．快车到达乙地后停留2.5小时再返回甲地．已知慢车从乙地到甲地用了12小时，那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多长时间?【8】甲、乙两车分别从相距900千米的A，B两地同时出发，在A、B之间不断往返行驶．已知甲车的速度是每小时25千米，乙车的速度是每小时20千米．请问：(1)甲、乙两车第二次迎面相遇是在出发后多长时间?(2)第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第三次相遇?(3)甲车第一次从后面追上乙车是在出发后多长时间?【9】甲、乙两车同时从A地出发，在相距900千米的A、B两地之间不断往返行驶．已知甲车的速度是每小时25千米，乙车的速度是每小时20千米．请问：(1)甲车第一次从后面追上乙车是在出发后多长时间?(2)甲车在第一次从后面追上乙车之后又经过多长时间第二次从后面追上乙车?(3)甲、乙两车第二次迎面相遇是在出发后多长时间?【10】A、B两辆汽车分别从甲、乙两地同时出发，并在两地间不断往返行驶．两车在距离甲地40公里处第一次迎面相遇，在距离甲地10公里处第二次迎面相遇．求甲、乙两地之问的距离．【11】甲、乙两人分别从A、B两地出发，在A、B两地之间不断往返行走．当甲走了3个来回的时候，乙恰好走了5个来回．在甲、乙两人行迚的过程中，两人一共相遇了多少次?(迎面碰到和追上都算相遇)【12】小明和小刚的速度分别为每分钟90米和每分钟70米．早上8：00他们分别从A、B两站同时出发，相向而行，第一次相遇后两人继续前迚，分别到达B、A后返回并在途中第二次相遇．第二次相遇地点距离A、B 两站的中点450米．从两人同时出发到第二次相遇总共经历了多少分钟?A、B两站的距离为多少米?他们第一次相遇是几点几分?【13】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返行驶．已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇(两车同时到达同一地点即称为相遇)的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米．请问：两地之间的距离是多少千米?【14】某人从甲地走往乙地．甲、乙两地之间有定时的公共汽车往返，而且两地发车的间隔都相等．他发现每隔6分钟开过来一辆去甲地的公共汽车，每隔12分钟开过去一辆去乙地的公共汽车．问：公共汽车每隔多少分钟从各自的始发站发车?下节课见！。

行程问题行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型之一（计算、数论、几何、行程）。

具体题型变化多样，形成10多种题型，都有各自相对独特的解题方法。

现根据四大杯赛的真题研究和主流教材将小题型总结如下，希望各位看过之后给予更加明确的分类。

一般行程问题相遇问题（重点）与相离问题，两类问题的共同点是都用到了速度和行程问题几大题型追及问题与领先问题，两个问题的共同点是同向而行，一快一慢，有速度差“火车过桥问题”“流水行船问题”“钟表问题”行程问题是“行路时所产生的路程、时间、速度的一类应用题”，基本数量关系如下：速度×时间=路程；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间。

注意总行程的平均速度的算法：平均速度=总路程÷总时间，而不是两个（或几个）速度相加再除以2。

行程问题涉及的变化较多，有的涉及一个物体的运动，有的涉及两个物体的运动，有的涉及多个物体的运动。

涉及两个物体运动的，又有“相向运动”（相遇问题）、“同向运动”（追及问题和领先问题）和“相背运动”（相离问题）三种情况。

但归纳起来，不管是“一个物体的运动”还是“两个物体的运动”，不管是“相向运动”、“同向运动”，还是“相背运动”，他们的特点是一样的，具体地说，就是它们反映出来的数量关系是相同的，都可以归纳为：速度×时间=路程（路程÷时间=速度，路程÷速度=时间）。

在各类行程问题中进一步推演的数量关系都依赖于这一基本思想，在学习时要多注意从“简单”到“复杂”的推导过程，重在理解，在理解的基础上形成对各类行程问题中所涉及到的关系式的记忆和正确应用；此类问题的题型非常多且富于变化，但是“万变不离其宗”，希望学习者能深入理解其中包含的数学思想的本源，从而做到“以不变应万变”！解行程问题时还要注意充分利用图示把题中的“情节”形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。

相向而行的公式：相遇时间=距离÷速度和。