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初三数学反比例函数的专项培优练习题附答案.doc

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初三数学反比例函数的专项培优练习题附答案一、反比例函数1．如图，直线y=﹣ x+b 与反比例函数y=的图象相交于A（ 1， 4）， B 两点，延长AO 交反比例函数图象于点C，连接 OB．（1）求 k 和 b 的值；（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围；（3）在 y 轴上是否存在一点P，使 S△PAC △AOBP 坐标，若不存在请说= S ？若存在请求出点明理由．【答案】（1）解：将A（ 1， 4）分别代入y=﹣ x+b 和得：4=﹣1+b，4=，解得：b=5，k=4（2）解：一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围为：x＞ 4 或 0＜ x＜1（3）解：过 A 作 AN⊥ x 轴，过 B 作 BM⊥ x 轴，由（1）知，b=5，k=4，∴直线的表达式为：y=﹣ x+5，反比例函数的表达式为：由，解得： x=4，或 x=1，∴B（ 4，1），∴，∵，∴，过 A 作 AE⊥ y 轴，过 C 作 CD⊥y 轴，设 P（ 0，t ），∴S△PAC=OP?CD+ OP?AE=OP（ CD+AE）=|t|=3 ，解得： t=3， t=﹣ 3，∴P（ 0， 3）或 P（0，﹣ 3）．【解析】【分析】（ 1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；（ 3）过 A 作 AM⊥ x 轴，过 B 作 BN⊥ x 轴，由（ 1）知， b=5， k=4，得到直线的表达式为： y=﹣ x+5，反比例函数的表达式为：列方程，求得B（ 4 ，1），于是得到，由已知条件得到，过 A 作 AE⊥ y 轴，过 C 作 CD⊥ y 轴，设 P（ 0，t ），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．2．如图，反比例函数y1=的图象与一次函数y2= x 的图象交于点A、 B，点 B 的横坐标是4，点 P（ 1，m）在反比例函数 y1= 的图象上．（1）求反比例函数的表达式；（2）观察图象回答：当 x 为何范围时， y1＞ y2；（3）求△ PAB的面积．【答案】（1）解：把 x=4 代入 y2=x，得到点 B 的坐标为（ 4， 1），把点B（4，1）代入y1= ，得 k=4．反比例函数的表达式为 y1=（2）解：∵点 A 与点 B 关于原点对称，∴ A 的坐标为（﹣ 4，﹣ 1），观察图象得，当x＜﹣ 4 或 0＜ x＜ 4 时， y1＞ y2（3）解：过点 A 作 AR⊥y 轴于 R，过点 P 作 PS⊥ y 轴于 S，连接 PO，设 AP 与 y 轴交于点 C，如图，∵点 A 与点 B 关于原点对称，∴OA=OB，△AOP=S△ BOP ，∴S△PAB△AOP∴S=2S．y1=中，当x=1时，y=4，∴P（ 1， 4）．设直线 AP 的函数关系式为y=mx+n ，把点 A（﹣ 4，﹣ 1）、 P（1 ，4）代入 y=mx+n ，则，解得．故直线 AP 的函数关系式为y=x+3，则点 C 的坐标（ 0，3）， OC=3，∴S△AOP=S△AOC+S△POC=OC?AR+ OC?PS=× 3× 4+ × 3×1=，∴S△PAB=2S△AOP=15．【解析】【分析】（ 1）把x=4 代入 y2= x，得到点 B 的坐标，再把点 B 的坐标代入y1=，求出 k 的值，即可得到反比例函数的表达式；（2）观察图象可知，反比例函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式y1＞ y2的解集；（ 3）过点A 作 AR⊥y 轴于 R，过点 P 作 PS⊥ y 轴于 S，连接 PO，设 AP 与 y 轴交于点C，由点 A 与点B 关于原点对称，得出△AOP=S△BOP ，S△PAB=2S△AOP ．求出P点坐标，利用OA=OB，那么 S待定系数法求出直线AP 的函数关系式，得到点 C 的坐标，根据 S△AOP△AOC△POC求出=S+SS△AOP=，则S△PAB=2S△AOP=15．3．已知点 A， B 分别是 x 轴、 y 轴上的动点，点 C， D 是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（ A， B， C， D 各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1 图象的其中一个伴侣正方形．（1）若某函数是一次函数 y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数y= （ k＞ 0），他的图象的伴侣正方形为ABCD，点 D（ 2，m）（ m＜ 2）在反比例函数图象上，求m 的值及反比例函数解析式；（3）若某函数是二次函数y=ax2+c（ a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD， C、D 中的一个点坐标为（ 3， 4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标________，写出符合题意的其中一条抛物线解析式________，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数 ________．【答案】（1）解：如图1，当点 A 在 x 轴正半轴，点 B 在∵OC=0D=1，∴正方形 ABCD的边长 CD= 当点 A 在 x 轴负半轴、点 B 在设小正方形的边长为a，y 轴负半轴上时，；∠ OCD=∠ ODC=45 ，°y 轴正半轴上时，易得 CL=小正方形的边长=DK=LK，故 3a=CD=．解得 a=，所以小正方形边长为，∴一次函数y=x+1 图象的伴侣正方形的边长为或（2）解：如图2，作 DE， CF分别垂直于x、 y 轴，易知△ ADE≌ △ BAO≌△ CBF此时， m＜ 2， DE=OA=BF=m， OB=CF=AE=2﹣ m，∴O F=BF+OB=2，∴C 点坐标为（ 2﹣m， 2），∴2m=2 （ 2﹣ m），解得 m=1．反比例函数的解析式为 y= ．（3）（ 3， 4）； y=﹣x2+ ；偶数【解析】【解答】解：（3）实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3， 4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合①当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，点 C 坐标为（ 3， 4）时：另外一个顶点为（ 4， 1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；②当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，点 D 坐标为（ 3， 4）时：不存在，③当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点 C 坐标为（ 3，4）时：不存在④当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点 D 坐标为（ 3， 4）时：另外一个顶点C 为（﹣⑤ 当点1， 3），对应的函数的解析式是A 在 x 轴负半轴上，点B 在 yy= x2+ ；轴负半轴上，点 D 坐标为（3， 4）时，另一个顶点 C的坐标是（ 7，﹣ 3）时，对应的函数解析式是y=﹣⑥当点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点；C 坐标为（3， 4）时，另一个顶点 D的坐标是（﹣ 4， 7）时，对应的抛物线为 y= x2+ ；∵由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．【分析】解答此题时，要特别注意认真读题，分析题意，注意已知条件点A， B 分别是x 轴、 y 轴上的动点，点C， D 是某个函数图象上的点。

（1）一次函数 y=x+1 的图像与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，正确画出图形，再利用正方形的性质确定相关点的坐标，从而计算出正方形的边长；（2）由于 ABCD 是正方形，添加辅助线，作DE， CF 分别垂直于 x、 y 轴，得到的等腰直角三角形都是全等的，再利用点D（ 2， m）的坐标表示出点 C 的坐标，从而可以求解；（3）抛物线的开口可能向上，也可能向下，当抛物线的开口向上时，正方形的另一个顶点也在抛物线上，这个点可能在（ 3 ， 4 ）的左侧，也可能在（3， 4）的右侧，因此过点（3， 4）作 x 轴的垂线，利用全等三角形确定线段的长，即可求出抛物线上另一个点的坐标；当抛物线开口向下时也一样分两种情况来讨论；由抛物线的伴侣正方形的定义知一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，因此所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数。

4．如图， P 、 P （ P 在 P 的右侧）是y= （ k＞ 0）在第一象限上的两点，点 A 的坐标为1 2 2 1 1（2， 0）．（ 1）填空：当点 P1的横坐标逐渐增大时，11的面积将 ________（减小、不变、增△ P OA大）（2）若△ P1OA1与△ P2A1A2均为等边三角形，① 求反比例函数的解析式；②求出点P2的坐标，并根据图象直接写在第一象限内，当x 满足什么条件时，经过点P1、 P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值．【答案】（1）减小（2）解：①如图所示，作P1B⊥ OA1于点 B，∵A1的坐标为（ 2， 0），∴OA1=2，∵△ P1 OA1是等边三角形，∴∠ P1 1°，OA =60又∵ P1 B⊥ OA1 ，∴OB=BA1=1，∴P1B= ，∴P1的坐标为（ 1，），代入反比例函数解析式可得k= ，∴反比例函数的解析式为y=；②如图所示，过P2作 P2C⊥ A1A2于点 C，∵△ P2 A1A2为等边三角形，∴∠ P2 A1A2=60 °，设A1C=x，则 P2C=x，∴点 P 的坐标为（2+x，x），2代入反比例函数解析式可得（2+x）x=，解得 x1= ﹣ 1， x2=﹣﹣ 1（舍去），∴OC=2+ ﹣ 1= +1， P2﹣ 1）=﹣，C= （∴点 P2的坐标为（+1，﹣），∴当 1＜ x＜+1 时，经过点 P1、 P2 的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值【解析】【解答】解：（1）当点 P1 的横坐标逐渐增大时，点P1离 x 轴的距离变小，而OA1的长度不变，故△ P1 OA1的面积将减小，故答案为：减小；【分析】（ 1）当点 P1的横坐标逐渐增大时，点 1 轴的距离变小，而 1P 离 x OA 的长度不变，故△ P1 12）①由 1 的坐标为（11 是等边三角形，OA 的面积将减小；（ A 2， 0），△P OA求出 P1的坐标，代入反比例函数解析式即可；2 1 2 2②由△ P A A 为等边三角形，求出点P 的坐标，得出结论.5．如图，一次函数y=kx+b 的图象交反比例函数y=（x＞0）的图象于A（ 4 ， -8）、 B （m， -2）两点，交x 轴于点 C．（1）求反比例函数与一次函数的关系式；（2）根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？（3）以 O、 A、 B、 P 为顶点作平行四边形，请直接写出点P 的坐标．【答案】（ 1）解：∵反比例函数y=（x＞0）的图象于A（4， -8），∴k=4 ×（ -8） =-32．∵双曲线 y=过点B（m，-2），∴m=16 ．由直线 y=kx+b 过点 A，B 得：，解得，，∴反比例函数关系式为，一次函数关系式为（2）解：观察图象可知，当 0＜x＜ 4 或 x＞16 时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）解：∵ O（ 0， 0）， A（ 4， -8）、 B（ 16， -2），分三种情况：①若 OB∥AP，OA∥ BP，∵O（0 ，0）， A（ 4，-8），∴由平移规律，点B（ 16， -2）向右平移 4 个单位，向下平移8 个单位得到P 点坐标为（20， -10）；②若 OP∥ AB， OA∥ BP，∵A（4， -8）， B（ 16，-2），∴由平移规律，点O（ 0， 0）向右平移12 个单位，向上平移 6 个单位得到P 点坐标为（12， 6）；③若 OB∥ AP， OP∥AB，∵B（ 16， -2）， A（ 4，-8），∴由平移规律，点 O（0， 0）向左平移 12 个单位，向下平移 6 个单位得到 P 点坐标为（ - 12， -6）；∴以 O，A， B， P 为顶点作平行四边形，第四个顶点P 的坐标为（ 12， 6）或（ -12， -6）或（20， -10）【解析】【分析】（ 1）将点 A（ 4， -8）， B（ m， -2）代入反比例函数 y= （ x＞0）中，可求 k、 a；再将点 A（ 4， -8）， B（ m， -2）代入 y=kx+b 中，列方程组求k、 b 即可；（2）根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值大于反比例函数的值时x 的范围；（ 3）根据平行四边形的性质，即可直接写出．6．如图，已知直线y＝x 与双曲线y＝交于A、B两点，且点A 的横坐标为.（1）求 k 的值；（2）若双曲线 y＝上点 C 的纵坐标为 3，求△ AOC的面积；（3）在坐标轴上有一点 M ，在直线 AB 上有一点 P，在双曲线 y＝上有一点 N，若以 O、M、 P、 N 为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P 的坐标 .【答案】（ 1）解：把x=代入，得y=，∴A（，1），把点代入，解得：；（2）解：∵把 y=3 代入函数，得x=，∴C，设过，两点的直线方程为：，把点，，代入得：，解得：，∴，设与轴交点为，则点坐标为，∴；（ 3 ）解：设点坐标，由直线解析式可知，直线与轴正半轴夹角为，∵以、、、为顶点的四边形是有一组对角为的菱形，在直线上，∴点只能在轴上，∴点的横坐标为，代入，解得纵坐标为：，根据，即得：，解得：.故点坐标为：或.【解析】【分析】（ 1）先求的 A 点纵坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先求出 C 点坐标，再用待定系数法求的直线AC 的解析式，然后求得直线AC 与 x 的交点坐标，再根据求解即可；（3）设点坐标，根据题意用关于a 的式子表示出N 的坐标，再根据菱形的性质得，求出 a 的值即可 .7．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点B、 C 在第一象限，且四边形OABC是平行四边形，OC=2，sin∠AOC=，反比例函数y=的图象经过点 C 以及边 AB 的中点 D．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）四边形 OABC的面积．【答案】（1）解：过 C 作 CM⊥ x 轴于 M，则∠ CMO=90°，∵OC=2，sin∠AOC==，∴MC=4，由勾股定理得：OM= =2，∴C 的坐标为（2，4），代入 y=得：k=8，所以这个反比例函数的解析式是y=（2）解：过B 作 BE⊥ x 轴于 E，则 BE=CM=4， AE=OM=2，过 D 作 DN⊥ x 轴于 N，∵D 为 AB 的中点，∴DN==2， AN==1，把 y=2 代入 y=得：x=4，即 ON=4，∴OA=4﹣1=3，∴四边形 OABC的面积为OA× CM=3 × 4=12【解析】【分析】（ 1）过 C 作 CM⊥ x 轴于 M ，则∠ CMO=90°，解直角三角形求出CM，根据勾股定理求出OM，求出 C 的坐标，即可求出答案；（2）根据 D 为中点求出DN 的值，代入反比例函数解析式求出ON，求出 OA，根据平行四边形的面积公式求出即可．8．如果三角形的两个内角α与β满足 2α +β =90，那°么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.（1）若△ ABC 是“准互余三角形”，∠ C＞ 90°，∠ A=60°，则∠B=________°；（2）如图①，在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=4， BC=5.若 AD 是∠BAC 的平分线，不难证明△ ABD 是“准互余三角形”试.问在边 BC上是否存在点 E（异于点 D），使得△ ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由.（3）如图②，在四边形 ABCD 中， AB=7， CD=12， BD⊥ CD，∠ ABD=2∠BCD，且△ABC 是“准互余三角形”，求对角线AC 的长 .【答案】（ 1） 15（2）解：如图①中，在Rt△ ABC中，∵ ∠ B+∠BAC=90°，∠ BAC=2∠ BAD，∴∠ B+2∠BAD=90 ，°∴△ ABD 是“准互余三角形”，∵△ ABE 也是“准互余三角形”，∴只有 2∠ B+∠ BAE=90 ，°∵∠ B+∠BAE+∠ EAC=90 ，°∴∠ CAE=∠ B，∵∠ C=∠ C=90 ，°∴△ CAE∽ △ CBA，可得 CA2=CE?CB，∴C E= ，∴B E=5﹣= .（3）解：如图②中，将△ BCD沿 BC 翻折得到△BCF.∴CF=CD=12，∠BCF=∠ BCD，∠CBF=∠ CBD，∵∠ ABD=2∠ BCD，∠BCD+∠CBD=90 ，°∴∠ ABD+∠ DBC+∠CBF=180 ，°∴A、B、 F 共线，∴∠ A+∠ ACF=90 °∴2∠ ACB+∠ CAB≠ 90，°∴只有 2∠ BAC+∠ ACB=90 ，°∴∠ FCB=∠ FAC，∵ ∠ F=∠ F，∴△ FCB∽ △ FAC，∴CF2=FB?FA，设 FB=x，则有： x（ x+7） =122，∴x=9 或﹣ 16（舍去），∴AF=7+9=16，在 Rt△ ACF中， AC=【解析】【解答】（ 1）∵ △ ABC是“准互余三角形”，∠ C＞ 90°，∠ A=60°，∴2∠ B+∠A=90 ，°解得，∠ B=15°；【分析】（ 1 ）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（ 2 ）只要证明△CAE∽△ CBA，可得 CA2=CE?CB，由此即可解决问题；（ 3）如图②中，将△ BCD沿 BC翻折得到△ BCF只.要证明△ FCB∽ △ FAC，可得 CF2=FB?FA，设 FB=x，则有： x（ x+7）=122 ，推出 x=9 或﹣ 16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；A（ 3， 3），与x 轴正半轴交于 B 9．已知如图，二次函数的图象经过点，与 y 轴交于 C 点，△ ABC的外接圆恰好经过原点O.（1）求 B 点的坐标及二次函数的解析式；（2）抛物线上一点 Q（m， m+3），（ m 为整数），点 M 为△ABC 的外接圆上一动点，求线段QM 长度的范围；（3）将△ AOC 绕平面内一点 P 旋转 180°至△ A'O'C'（点 O'与 O 为对应点），使得该三角形的对应点中的两个点落在的图象上，求出旋转中心P 的坐标 .【答案】（ 1）解：如图，过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D， AE⊥ x 轴于点 E，∴∠ ADC=∠ AEB=90 °∵二次函数与 y 轴交于点C，点 C 坐标为（0， 2）∵点 A 坐标（ 3 ，3）∴DA=AE=3∵∠ DAC+∠ CAE=90°∠EAB+∠ CAE=90 °∴∠ DAC=∠ EAB∴△ ACD≌ △ ABE∴EB=CD=3-2=1OB=3+1=4∴点 B 的坐标为（ 4，0）将 A（ 3， 3） B（ 4， 0）代入二次函数中得：解得：二次函数的解析式为：（2）解：将点Q（ m， m+3）代入二次函数解析式得：m1=1； m2=（舍）∴m=1∴点 Q 坐标为 (1,4)由勾股定理得：BC=2设圆的圆心为N∵圆经过点O，且∠ COB=90 °∴BC 是圆 N 的直径，∴圆 N 的半径为，N的坐标为（2,1）由勾股定理得，QN=半径 r=，则≤QM≤（3）解：当点 A 的对称点，点O的对称点在抛物线上时，如图设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3得：解得：∴的坐标为（）∴旋转中心P 的坐标为当点 A 的对称点，点C的对称点在抛物线上时，如图设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3得：解得：∴的坐标为（）∴旋转中心P 的坐标为综上所述，旋转中心P 的坐标为或【解析】【分析】（ 1）过点 A 作 AD⊥ y 轴于点 D， AE⊥ x 轴于点 E，求证△ ACD≌ △ ABE，进而求得点 B 坐标，再将 A、B 两点坐标代入二次函数解析式，即可解答；（2）将点 Q （m， m+3）代入二次函数解析式，求得m 的值，进而且得点 Q 坐标，根据圆的性质得到BC 是圆 N 的直径，利用勾股定理即可求得BC，进而求得 N 的坐标，再利用勾股定理求得QN 的长，确定取值范围即可；（3）分两种情况：当点 A 的对称点，点 O 的对称点在抛物线上时，利用旋转180°可知，∥，设点的横坐标为 m，则点的横坐标为 m-3 ，利用列出式子，即可求得 m 的值，利用旋转中心和线段中点的特点，即可求得旋转中心P 的坐标；当点 A 的对称点，点 C 的对称点在抛物线上时，设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3，同理可求得m 的值以及旋转中心 P 的坐标 .10．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣ 3， 0）， C（1， 0）， BC＝AC．（1）在 x 轴上找一点 D ，连接 DB ，使得△ ADB 与△ ABC相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（2）在（ 1）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m ，问是否存在这样的 m ，使得△APQ 与△ ADB 相似？如存在，请求出 m 的值；如不存在，请说明理由．【答案】（ 1）解：如图1，过点 B 作 BD⊥ AB ，交 x 轴于点 D ，∵∠ A＝∠ A ，∠ ACB＝∠ ABD＝ 90 °，∴△ ABC∽ △ ADB ，∴∠ ABC＝∠ ADB ，且∠ ACB＝∠ BCD＝ 90 °，∴△ ABC∽ △ BDC ，∴∵A（﹣ 3， 0）， C（1， 0），∴AC＝ 4，∵BC＝AC．∴BC＝ 3，∴AB＝＝＝5，∵，∴，∴CD＝，∴AD＝ AC+CD＝4+＝，∴OD＝ AD﹣ AO＝，∴点 D 的坐标为：（， 0）；（2）解：如图2，当∠APC＝∠ABD＝90°时，∵∠ APC＝∠ ABD＝ 90 °，∠ BAD＝∠ PAQ ，∴△ APQ∽ △ABD ，∴，∴∴m＝，如图 3，当∠AQP＝∠ ABD＝ 90°时，∵∠ AQP＝∠ ABD＝ 90 °，∠ PAQ＝∠ BAD ，∴△ APQ∽ △ADB ，∴，∴∴m＝；综上所述：当m＝或时，△APQ与△ADB相似．【解析】【分析】（ 1 ）如图1，过点 B 作BD⊥ AB，交x 轴于点D，可证△ABC∽ △ ADB ，可得∠ ABC＝∠ ADB ，可证△ ABC∽ △ BDC ，可得，可求CD 的长，即可求点 D 坐标；（ 2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．11 ．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．（1）求抛物线的解析式和顶点的坐标；（2）判断的形状，证明你的结论；（3）点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值．【答案】（ 1）解：∵点在抛物线上，∴，解得，∴ 抛物线解析式为，∵，∴点坐标为；（2）解：为直角三角形，证明如下：在中，令∴为，且为∴，，由勾股定理可求得又，∴，∴为直角三角形；，可得，，，解得或，，（3）解：∵，∴点关于如图，连接轴的对称点为，交轴于点，则，即为满足条件的点，设直线解析式为，把、坐标代入可得，解得，∴ 直线解析式为，令，可得，∴．【解析】【分析】（ 1）把 A 点坐标代入可求得 b 的值，可求得抛物线的解析式，再求 D 点坐标即可；（2）由解析式可求得A、 B、 C 的坐标，可求得AB、 BC、 AC 的长，由勾股定理的逆定理可判定△ABC 为直角三角形；（3）先求得 C 点关于 x 轴的对称点E，连接 DE，与轴交于点M，则 M 即为所求，可求得DE 的解析式，令其y=0，可求得M 点的坐标，可求得 m．12．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M （ 1， 3）的特征线有：x=1， y=3 ，y=x+2， y=﹣ x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、 C 分别在 x 轴和 y 轴上，抛物线经过B、C两点，顶点 D 在正方形内部．（1）直接写出点 D（ m， n）所有的特征线；（2）若点 D 有一条特征线是 y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点 P 是 AB 边上除点 A 外的任意一点，连接OP ，将△ OAP沿着 OP 折叠，点 A 落在点 A′的位置，当点 A′在平行于坐标轴的 D 点的特征线上时，满足（ 2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP 上？【答案】（ 1）解：∵点 D（ m ， n），∴点 D（ m ， n）的特征线是 x=m ， y=n ，y=x+n﹣ m ， y=﹣ x+m+n；（ 2 ）解：点 D 有一条特征线是y=x+1 ，∴ n ﹣ m=1 ，∴ n=m+1 ．∵抛物线解析式为，∴，∵四边形 OABC是正方形，且 D 点为正方形的对称轴，D（ m ， n），∴ B（ 2m ，2m），∴，将n=m+1 带入得到 m=2， n=3；∴D（ 2， 3），∴抛物线解析式为．（3）解：①如图，当点 A′在平行于 y 轴的 D 点的特征线时：根据题意可得，∴MN == ② 如图，D（ 2，3 ），∴ OA′=OA=4，OM=2，∴∠ A′OM=60°，∴∠ A′OP=∠ AOP=30°，，∴抛物线需要向下平移的距离==．当点A′在平行于x 轴的 D 点的特征线时，设A′（ p ， 3），则OA′=OA=4， OE=3， EA′= = ，∴ A′F=4﹣，设P（ 4，c）（ c＞ 0），，在Rt△ A′FP 中，（4﹣） 2+（3﹣ c）2=c2，∴c=，∴P（4，），∴直线OP解析式为y=x ，∴ N（ 2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．综上所述：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP 上．【解析】【分析】（ 1）根据特征线直接求出点 D 的特征线；（ 2）由点 D 的一条特征线和正方形的性质求出点 D 的坐标，从而求出抛物线解析式；（2）分平行于x 轴和 y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可．。

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中考数学复习《反比例函数》专项测试卷(带答案)

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中考数学复习《反比例函数》专项测试卷(带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．若点()1,2A x ，()2,1B x -和()3,4C x 都在反比例函数8y x=的图像上，则1x ，2x 和3x 的大小关系是( ) A.123x x x <<B.231x x x <<C.132x x x <<D.213x x x <<2．若点()26-，在反比例函数ky x=的图象上，则下列说法正确的是( ) A.该函数的图象经过点()34--，B.该函数的图象位于第一、三象限C.当0x >时，y 的值随x 值的增大而增大D.当1x >-时，4y >3．如图，在同一平面直角坐标系中函数y ax a =+与函数ay x=的图象可能是( ) A. B. C. D.4．如图，点A 是双曲线()160y x x =-<上的一点，点B 是双曲线()60y x x=-<上的一点，AB 所在直线垂直x 轴于点C ，点M 是y 轴上一点，连接MA 、MB ，则MAB △的面积为( )A.5B.6C.10D.165．如图，点A ，B 为反比例函数()0ky x x=>的图象上的两点，且满足45AOB ∠=︒，若点A 的坐标为()3,5，则点B 的坐标是( ).A.15215,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.1010,2⎛ ⎝⎭C.()8,2D.()8,36．如图，已知点A 、B 分别在反比例函数y ＝1x （x ＞0），y ＝－4x（x ＞0）的图象上，且OA⊥OB ，则OBOA的值为( )A.4B.2C.14D.127．如图,在ABC 中2AC BC == 90ACB ∠=︒ AC x ∥轴 点D 是AB 的中点 点C 、D 在(k 0,x 0)ky x=≠>的图象上 则k 的值为( )A.1-B.2-C.1D.28．已知蓄电池的电压为定值（电压三星近总度阻） 使用蓄电池时 电流（单位：A ）与电阻尺（单位：Ω）是反比例函数关系 它的图象如图所示 下列说法不正确的是( )A.函数解析式为60I R=B.蓄电池的电压是C.当6ΩR =时 8A I =D.当10A I ≤时 6R ≥Ω9．如图 在平面直角坐标系中直线24y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点 以AB 为边在第一象限作正方形ABCD 点D 在双曲线()0ky k x=≠上.将正方形沿x 轴负方向平移a 个单位长度后 点C 恰好落在该双曲线上 则a 的值( )A.1B.2C.3D.410．如图 直线22y x =-与x 轴 y 轴分别交于点A B 与反比例函数()0ky k x=>图像交于点C .点D 为x 轴上一点（点D 在点A 右侧） 连接BD 以BA BD 为边作ABDE E 点刚好在反比例函数图像上 设(),E m n 连接EC DC 若1()2ACED S AD AD n =+四边形 则k 的值为( )A.8B.10C.12D.1611．如图 直线y kx =与双曲线3y x -=在同一坐标系中如图所示 则不等式3x-<的解集为( )A.01x <<B.1x <-C.1x <-或01x <<D.10x -<<或1x >12．智能手机已遍及生活中的各个角落 手机拍照功能也越来越强 高档智能手机还具有调焦（调整镜头和感光芯片的距离）的功能.为了验证手机摄像头的放大率（摄像头的放大率是指成像长度与实物长度的比值 也可计算为像距与物距的比值） 小明用某透镜进行了模拟成像实验 得到如图所示的像距v 随物距u 变化的关系图像 下列说法不正确的是( )A.当物距为45.0cm 时 像距为13.0cmB.当像距为15.0cm 时 透镜的放大率为2C.物距越大 像距越小D.当透镜的放大率为1时 物距和像距均为20cm13．某商家设计了一个水箱水位自动报警仪 其电路图如图1所示 其中定值电阻110ΩR =2R 是一个压敏电阻 用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中放入水箱底部 受力面水平 承受水压的面积S 为0.012m 压敏电阻的阻值随所受液体压力F 的变化关系如图2所示（水深h 越深 压力F 越大） 电源电压保持6V 不变 当电路中的电流为0.3A 时 报警器（电阻不计）开始报警 水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：UI R=1000Pa 1kPa =）.则下列说法中不正确的是( )2R F pS =A.当水箱未装水（）时 压强p 为0kPaB.当报警器刚好开始报警时 水箱受到的压力F 为40NC.当报警器刚好开始报警时 水箱中水的深度h 是0.8mD.若想使水深1m 时报警 应使定值电阻1R 的阻值为 二、填空题14．一个圆柱形蓄水池的底面半径为x cm 蓄水池的侧面积为40π2cm 则这个蓄水池的高h （cm ）与底面半径x （cm ）之间的函数关系式为_____.15．在反比例函数12my x-=的图象上的图象在二、四象限 则m 的取值范围是_______. 16．若点()11,A y -、21,4B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()31,C y 都在反比例函数21x k y +=（k 为常数）的图象上 则1y 、2y 、3y 的大小关系为_____.17．如图 点(3,1)P -是反比例函数m y x =的图象上的一点 设直线y kx =与双曲my x=的两个交点分别为P 和P 当mkx x>时 写出x 的取值范围_____.18．如图 在平面直角坐标系xOy 中正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴上 OA ＝10 点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点 将⊥OAD 沿直线OD 折叠后得到⊥OA ′D 若反比例函数y kx=（k ≠0）的图象经过A ′点 则k 的值为_____. 0m h =12Ω19．如图 在平面直角坐标系中直线12y k x =+与x 轴交于点A 与y 轴交于点B 与双曲线2(0)k y x x=>交于点C 连接OC .若52,sin 5OBC S BOC =∠=△ 则12k +的值是______.20．如图 点1A 2A 3A …在反比例函数()10y x x=>的图象上 点1B 2B 3B … n B 在y 轴上 且11212323B OA B B A B B A ∠=∠=∠=直线y x =与双曲线1y x=交于点1A 111B A OA ⊥ 2221B A B A ⊥ 3323B A B A ⊥ … 则2023B 的坐标是________.三、解答题21．如图所示 一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于两点(1),A n (2,1)B -- 与y 轴相交于点C .(1)求反比例函数和一次函数解析式； (2)直接写出：不等式mkx b x+>解集是______； (3)依据相关数据求AOB 的面积.22．如图 菱形OABC 的边OA 在y 轴正半轴上 点B 的坐标为()48，.反比例函数11k y x=的图象经过菱形对角线AC OB ，的交点D 设直线OC 的解析式为22y k x =.(1)求反比例函数的解析式； (2)求菱形OABC 的边长；(3)请结合图象直接写出不等式120k k x x-<的解集. 23．如图▱OABC 的顶点O 与坐标原点重合 边OA 在x 轴正半轴上 60AOC ∠=︒2OC = 反比例函数()0ky x x=>的图像经过顶点C 与边AB 交于点D.(1)求反比例函数的表达式.(2)尺规作图：作OCB ∠的平分线交x 轴于点E.（保留作图痕迹 不写作法） (3)在（2）的条件下 连接DE 若DE CE ⊥ 求证：AD AE =. 24．如图 已知一次函数26y x =+与反比例函数()0ky x x=>的图象交于点()1,A m 与x 轴交于点B .(1)填空：m 的值为______ 反比例函数的解析式为______； (2)直接写出当0x >时 26kx x+<的解集； (3)点P 是线段AB 上一动点（不与A 、B 点重合） 过P 作直线PM x ∥轴交反比例函数的图象于点M 连接BM .若PMB △的面积为S 求S 的取值范围.25．如图 已知抛物线2y x bx =+与x 轴交于O (4,0)A 两点 点B 的坐标为(0,3)-. （1）求抛物线的对称轴；（2）已知点P 在抛物线的对称轴上 连接OP BP .若要使OP BP +的值最小 求出点P 的坐标；（3）将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折 其余部分保持不变 得到一个新的图象.当直线(0)y x m m =+≠与这个新图象有两个公共点时 在反比例函数y mx=的图象中y 的值随x 怎样变化？判断并说明理由.26．如图 在平面直角坐标系中正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数()10,0ky k x x=>>的图象上 边AB 在x 轴上 点F 在y 轴上 已知23AB =.（1）判断点E 是否在该反比例函数的图象上 请说明理由；（2）求出直线EP ：()20y ax b a =+≠的解析式 并根据图象直接写出当0x >时 不等式kax b x+>的解集. 27．如图① 有一块边角料ABCDE 其中AB BC DE EA 是线段 曲线CD 可以看成反比例函数图象的一部分.测量发现：90A E ∠=∠=︒ 5AE = 1AB DE == 点C 到AB AE 所在直线的距离分别为2 4.（1）小宁把A B C D E 这5个点先描到平面直角坐标系上 记点A 的坐标为()1,0-；点B 的坐标为()1,1-.请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE ； （2）求直线BC 曲线CD 的函数表达式；（3）小宁想利用这块边角料截取一个矩形MNQP 其中M N 在AE 上（点M 在点N 左侧）点P 在线段BC 上 点Q 在曲线CD 上.若矩形的面积是53则=_________.参考答案1．答案：B解析：将三点坐标分别代入函数解析式8y x=得： 182x = 解得14x =； 28-1x =解得28x =-； 384x =解得； 824-<<故选：B. 2．答案：C解析：⊥点()26-，在函数ky x=的图象上 ⊥2(6)120k =⨯-=-< ⊥函数ky x=位于第二、四象限 在每个象限内 y 的值随x 的增大增大 ⊥()341212-⨯-=≠-⊥该函数的图象不经过点()34--，把=1x -代入12y x=求得12y = ⊥当10x -<<时 12y > 综上 只有选项C 说法正确 故选：C. 3．答案：A解析：当0a ＞时 一次函数图像经过第一、二、三象限 反比例函数图像位于一、三象限 可知A 符合题意；32x =231x x x ∴<<当0a ＜时 一次函数图像经过第二、三、四象限 反比例函数图像位于二、四象限 可知B C D 不符合题意.故选：A.4．答案：A解析：如图所示 作MN BA ⊥交BA 的延长线于N则12AMB S BA MN =⋅设点A 的坐标为16a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， <0aAB 所在直线垂直x 轴于点CB ∴点坐标为6a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，16610AB a a a ⎛⎫∴=---=- ⎪⎝⎭ MN a =()11101105222ABM S AB MN a a a a ⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⨯-⨯=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.5．答案：A解析：将OA 绕O 点顺时针旋转90︒到OC 连接AB 、CB作AM y ⊥轴于MCN x ⊥轴于N点A 的坐标为()3,53AM ∴= 5OM =45AOB ∠=︒45BOC ∠=︒∴在AOB 和COB △中OA OC AOB COBOB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)AOB COB ∴△≌△AB CB ∴=90AOM AON CON AON ∠+∠=︒=∠+∠AOM CON ∴∠=∠ 在AOM 和CON 中AOM CON AMO ONCOA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ (AAS)AOM CON ∴△≌△3CN AM ∴== 5ON OM == (5,3)C ∴-点A 为反比例函数(0)k y x x=>图象上的点 3515k ∴=⨯= 15y x ∴=设B 点的坐标为15(,)m m AB CB =22221515(3)(5)(5)(3)m m m m ∴-+-=-++解得215m =（负数舍去）15215,B ⎛∴ ⎝⎭故选A.6．答案：B解析：作AC y ⊥轴于C BD y ⊥轴于D 如图点A 、B 分别在反比例函数1(0)y x x => 4(0)y x x=->的图象上 11122OAC S ∆∴=⨯= 1|4|22OBD ∆=⨯-=OA OB ⊥90AOB ∠=︒∴90AOC BOD ∴∠+∠=︒AOC DBO ∴∠=∠Rt AOC Rt OBD ∴∆∆∽ ∴212()2AOC OBD S OA S OB ∆∆== ∴12OA OB =. ∴2OB OA=. 故答案为B. 7．答案：B解析：设(0,)A b 根据题意(2,)C b - (2,2)B b -+点D 是AB 的中点(1,1)D b ∴-+点C 、D 在(k 0,x 0)k y x=≠>的图象上 2(1)k b b ∴=-=-+解得1b =22k b ∴=-=-故选：B.8．答案：C解析：设图象过蓄电池的电压是A 、B 选项正确 不符合题意；当=6ΩR 时 (A 6010)6I ==∴C 选项错误 符合题意；当10I =时 6R =由图象知：当10A I ≤时 6R ≥Ω∴D 选项正确 不符合题意；故选：C.9．答案：B解析：作CE y ⊥轴于点E 交双曲线于点G 作DF x ⊥轴于点F在24y x =-+中令0x = 解得4y =∴B 的坐标是(0,4)令0y = 解得2x =∴A 的坐标是(2,0)kI R =(5,12)60k ∴=60I R ∴=∴60V ∴4OB ∴= 2OA =90BAD ∠=︒90BAO DAF ∴∠+∠=︒直角ABO △中90BAO OBA ∠+∠=︒DAF OBA ∴∠=∠在OAB △和FDA △中DAF OBA BOA AFD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)OAB FDA ∴≌△△同理 OAB FDA BEC ≌≌△△△ 4AF OB EC ∴=== 2DF OA BE ===∴D 的坐标是(6,2) C 的坐标是(4,6)点D 在双曲线(0)k y k x=≠上 6212k ∴=⨯=∴函数的解析式是：12y x =把6y =代入12y x=得：2x = 422a ∴=-=故选B.10．答案：C解析：直线与x 轴 y 轴分别交于点A B(1,0)A ∴ (0,2)B -作EF x ⊥轴于F 如图所示：22y x =-四边形是平行四边形在和中E 点刚好在反比例函数图像上设C 的纵坐标为hABDE AE BD ∴=//DE AB DAE ADB ∴∠=∠AEF △DBO △EAF BDO AFE DOB AE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)AEF DBO ∴≌△△2EF OB ∴==AF OD =1DF OA ∴==(,)E m n 2m AD ∴=+2n =2(2)k mn AD ∴==+122AD k ∴=-//DE BC AED CED S S ∴=△△()11122222ACD CED ACD AED ACED S S S S S AD h AD AD h ∴=+=+=⋅+⋅=+四边形△△△△()12ACED S AD AD n =+四边形122h AD k ∴==-C 的纵坐标为代入得解得反比例函数图像经过点C 解得 20k =（舍去） 12k∴=故选：C.11．答案：D解析：有题意可知 当3y =时 33x= 解得=1x - ∴直线y kx =与双曲线3y x=在第二象限交点的坐标为1,3)- 由中心对称可得 直线y kx =与双曲线3y x=在第四象限交点的坐标为3)- ∴观察图象可得 不等式3kx x<的解集为10x <<或1x >. 故选：D.12．答案：B解析：由函数图象可知：当物距为45.0cm 时 像距为13.0cm 故选项A 说法正确；由函数图象可知：当像距为15.0cm 时 物距为300cm ． 放大率为15.00.530.0= 故选项B 说法错误；由函数图象可知：物距越大 像距越小 故选项C 说法正确；由题意可知：当透镜的放大率为1时 物距和像距均为20cm 故选项D 说法正确 故选：B.13．答案：B解析：A.由图3得：当0h =时 0p = 故此项说法正确；122-22y x =-12222x -=-14x k =11(,2)42C k k ∴-(0)k y k x=>11(2)42k k k ∴-=112k =B.当报警器刚好开始报警时 260.310R =+ 解得210R =Ω 由图2可求得：2800R F =80010F∴= 解得80F N = 故此项说法错误； C.当报警器刚好开始报警时 由上得80F N = 则有800.01p =⨯ 8P p k a ∴= 由图3求得10p h = 810h = 解得：0.8h = 故此项说法正确；D.当报警器刚好开始报警时：1260.3R R =+ 1220R R ∴+=Ω 当1h =时 10110kPa p =⨯= 100000.01100F N ∴=⨯= 28008100R ==Ω 120812R ∴=-=Ω 故此项说法正确. 故选：B.14．答案：20h x = 解析：根据题意 得240x h ππ⋅= ⊥20h x=. 故答案为：20h x=. 15．答案：12m > 解析：由题意得 反比例函数12m y x -=的图象在二、四象限内 则120m -< 解得12m >. 故答案为12m >. 16．答案：213y y y << 解析：反比例函数2(1k k y x+=为常数） 210k +> ∴该函数图象在第一、三象限 在每个象限内y 随x 的增大而减小点1(1,)A y -、1(4B 2)y 、3(1,)C y 都在反比例函数2(1k k y x +=为常数）的图象上 114-<- 点A 、B 在第三象限 点C 在第一象限213y y y ∴<<故答案为：213y y y <<.17．答案：-3＜x ＜0或x ＞3 解析：⊥直线y =kx 与双曲线y =m x的两个交点分别为P 和P ′ P （-3 1） ⊥P ′的坐标为（3 -1）当mx ＞kx 时 x 的取值范围为-3＜x ＜0或x ＞3故答案为：-3＜x ＜0或x ＞3. 18．答案：48解析：如图所示：过A '作EF OC ⊥于F 交AB 于E⊥90OA D '∠=︒90OA F DA E ∴∠'+∠'=︒⊥90A F AOF O ∠'+∠'=︒D AOF AE ∴'=∠'∠D A FO AE '=∠∠'A OF DA E ∴''∠△△设A '（m n ）OF m ∴= A F n '=.正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴上 OA ＝10点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点∴ 103DE m = 10A E n '=-.310103m n m m ==-- 解得：m =6 n =8. ∴A '（6,8） ∴ 反比例函数中k =xy （0k ≠）=48 故答案为：48.19．答案：9解析：据题意可知(0,2)B 设(,)Cx y 52,sin OBC S BOC =∠=△1222x ∴⨯= 52xOC = 解得2,25x OC ==2225OC x y =+=即2425y +=得4y = 故(2,4)C 将(2,4)C 代入直线12y k x =+ 双曲线2(0)k y x x => 得到 121,8k k == 故12189k k +=+= 故答案为：9.20．答案：(0,22023解析：联立1y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =由题意可知145AOB ∠=︒111B A OA ⊥11OA B ∴△为等腰直角三角形1122OB OA ∴==过2A 作22A H OB ⊥交y 轴于H 则容易得到21A H B H = 设21A H B H x == 则()2,2A x x +()21x x ∴+=解得121x = 221x =-（舍去）2121A H B H ∴== 1212222B B B H ==2222222OB ∴=+=同理可得323OB =则2n OB n =即(0,2n B n(20230,22023B ∴故答案为：(0,22023. 21．答案：(1)2y x = 1y x =+ (2)1x >或20x -<<(3)32解析：（1）反比例函数m y x =的图象过(2,1)--∴反比例函数的解析式为：2y x = 点(1),A n 在反比例函数图象上∴12n ⨯=∴2n =∴点A 的坐标为(1,2)将点A B 坐标代入一次函数y kx b =+中得221k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得11k b =⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为：1y x =+.（2）根据图象可知 不等式0m kx b x+>>的解集是：1x >或20x -<<. 故答案为：1x >或20x -<<； （3）过点A 作AG y ⊥轴于点G 过点B 作BH y ⊥轴于点H 如下图所示：一次函数1y x =+与y 轴相交于点C∴C 点坐标为(0,1)∴1OC =A 点坐标为(1,2)∴1AG =B 点坐标为(2,1)--∴2BH =∴11123222AOB AOC BOC S S S ⨯⨯=+=+=△△△. 22．答案：(1)18y x = (2)5 (3)463x <或63x << 解析：（1）⊥菱形OABC 的对角线交于点D⊥OD DB =⊥点B 的坐标为()48，⊥点D 的坐标为()24， 又⊥反比例函数11k y x=经过点D ⊥1248k =⨯= ⊥18y x =； （2）过点B 作BE y ⊥轴于点E设OA AB a == 则8AE a =- 4BE =在Rt ABE 中222BE AE AB += 即()22248x x +-= 解得：5x =⊥菱形OABC 的边长为5；（3）⊥点B 的坐标为()48， 5BC =⊥点C 的坐标为()43，代入22y k x =得：234k = 解得：234k =⊥234y x =令1y y = 则834x x = 解得：63x =±结合图象 不等式120k k x x -<的解集为463x <或463x <<.23．答案：(1))30y x =>(2)见解析(3)见解析解析：（1）过点C 作CF OA ⊥于点F 如解图所示.在Rt COF △中2OC = 60COF ∠=︒30sin 6023CF C ∴=⋅==︒1cos60212OF OC =⋅︒=⨯=.(1,3C ∴. 把(3C 代入反比例函数()0ky x x =>中得3k =∴反比例函数的表达式为)30y x =>.（2）如解图所示 所作射线CE 即为所求.（3）证明：在OABC 中//OC AB //CB OA .60AOC ∠=︒120OCB OAB ∴∠=∠=︒. CE 平分OCB ∠60OCE BCE OEC ∴∠=∠=∠=︒.DE CE ⊥90CED ∴∠=︒.180609030AED ∴∠=︒-︒-︒=︒.1801203030ADE ∴∠=︒-︒-︒=︒.AED ADE ∴∠=∠.AD AE ∴=.24．答案：(1)8 8y x= (2)01x << (3)S 的取值范围是2504S <≤ 解析：（1）⊥一次函数26y x =+的图象经过点()1,A m ⊥268m =+=⊥点()18A ，⊥反比例函数()0k y x x =>的图象经过点()18A ， ⊥188k =⨯=⊥反比例函数的解析式为8y x=； 故答案为：8 8y x =；（2）观察图象得 26k x x+<的解集为1x <<； （3）设点P 的纵坐标为n ⊥点P 在线段AB 上 点M 在8y x =的图象上 ⊥0n << 点P 的横坐标为62n -⊥PM x ∥轴⊥点M 的坐标为8n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ⊥862n MP n -=. ⊥()21186125322244PMBn S MP n n n n -⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯=--+ ⎪⎝⎭. ⊥08n << 且104-<⊥当03n <<时 S 随n 的增大而增大 当38n ≤<时 S 随n 的增大而减小. ⊥当3n =时 △的面积最大 最大值为254 ⊥S 的取值范围是2504S <≤. 25．答案：（1）抛物线的对称轴为直线2x =（2）点P 的坐标为32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （3）y 的值随x 的增大而增大解析：（1）由题意得：2440b +=4b ∴=-∴函数关系式为：24y x x =-∴对称轴为：4222b x a -=-=-=； （2）由题意得：OP PB +的值最小 实际就是在同一直线一旁有两点 在直线上求点只要取O 点关于直线2x =对称的点 过AB 的直线与直线的交点就是点P设过AB 的直线为 由在上()4,0A 2x =3y kx =-()4,0B 3y kx =-得34k =334AB y x =-P 在直线2x =上332342y ∴=⨯-=-32,2P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭； （3）24y x x =-在x 轴下方的部分沿x 轴翻转当直线()0y x m m =+≠有两个不相同的解0∴∆> 2340m -⨯> 得94m <又0> 904m ∴<< 在反比例函数m y x=中 904m k <=< y 随x 的增大而减小. 26．答案：（1）点E 在该反比例函数的图象上 理由见解析（2）39y x =+ 323x <<解析：（1）六边形ABCDEF 为正六边形 23AB =23AB AF ∴== 60FAO =︒cos 603OA AF ∴=⋅︒= sin603AF =⋅︒=()0,3F ∴ )3,0A 连接PF PA六边形ABCDEF 为正六边形PE PF PA PB ∴=== 60EPF FPA APB ∠=∠=∠=︒EFP ∴△ FAP △ ABP △为等边三角形23AF PF ∴==()23,3P ∴ 把()23,3P 代入1k y x =得：23=解得：63k =043k ∴=-∴反比例函数表达式为163y x=. EFP △ FAP △为等边三角形∴点E 和点A 关于PF 对称)3,6E ∴ 把3x =代入163y x =得：13663y == ∴点E 在该反比例函数的图象上； （2）把()3,6E ()23,3P 代入()20y ax b a =+≠得： 6333a b a b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ 解得：39a b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩∴直线EP 的解析式为：39y x =+()3,6E ()23,3P由图可知 当323x <<时 k b x +>. 27．答案：（1）见解析（2）直线BC 的函数表达式3522y x =曲线的函数表达式4y x= （3）72 解析：（1）根据点A 的坐标为()1,0- 点B 的坐标为()1,1- 补全x 轴和y 轴 90A E ∠︒∠== 5AE = 1AB DE == 点C 到AB AE 所在直线的距离分别为2 4 ()1,4C ∴ ()4,1D根据AB BC DE EA 是线段 曲线CD 是反比例函数图象的一部分 画出图形ABCDE如图所示 （2）设线段BC 的解析式为y kx b =+ 把()1,1B - ()1,4C 代入得 14k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得 3252k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3522y x ∴=+设曲线CD 的解析式为'k y x =把()1,4C 代入得 '41k = '4= 4y x ∴=； （3）设(),0M m 则35,22P m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 435,352222Q m m ⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭3522PM m ∴=+ 43522m m =-+354352222PM PQ m m m ⎛⎫ ⎪⎛⎫⋅=+- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭23554223m m ∴--= 2915140m m ∴+-= 23m ∴= 或73m =-（舍去） 32572322PM ∴=⨯+=. 故答案为：72.。

九年级数学 反比例函数的专项 培优练习题及详细答案

九年级数学 反比例函数的专项 培优练习题及详细答案

九年级数学反比例函数的专项培优练习题及详细答案一、反比例函数1．如图，点A在函数y= （x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y= 图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；（2）试问：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．（3）试说明：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等．【答案】（1）解：∵点C在y= 的图象上，且C点横坐标为1，∴C（1，1），∵AC∥y轴，AB∥x轴，∴A点横坐标为1，∵A点在函数y= （x＞0）图象上，∴A（1，4），∴B点纵坐标为4，∵点B在y= 的图象上，∴B点坐标为（，4）；（2）解：设A（a，），则C（a，），B（，），∴AB=a﹣ = a，AC= ﹣ = ，∴S△ABC= AB•AC= × × = ，即△ABC的面积不发生变化，其面积为；（3）解：如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，∵AB∥x轴，∴△ABC∽△EFC，∴ = ，即 = ，∴EF= a，由（2）可知BG= a，∴BG=EF，∵AE∥y轴，∴∠BDG=∠FCE，在△DBG和△CFE中∴△DBG≌△CEF（AAS），∴BD=EF．【解析】【分析】（1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y= 可求得B点坐标；（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得△ABC的面积；（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．2．如图，已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= （x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；（2）当 x+b＜时，请直接写出x的取值范围．【答案】（1）解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示．∵反比例函数y= （x＜0）的图象过点A（﹣1，2），∴k=﹣1×2=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣（x＜0）；∵一次函数y= x+b的图象过点A（﹣1，2），∴2=﹣ +b，解得：b= ，∴一次函数解析式为y= x+ ．联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，解得：，或，∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，）．∵点A′与点A关于y轴对称，∴点A′的坐标为（1，2），设直线A′B的解析式为y=mx+n，则有，解得：，∴直线A′B的解析式为y= x+ ．令y= x+ 中x=0，则y= ，∴点C的坐标为（0，）（2）解：观察函数图象，发现：当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，∴当 x+ ＜﹣时，x的取值范围为x＜﹣4或﹣1＜x＜0【解析】【分析】（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求．由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，再根据点A′与点A关于y轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论；（2）根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集．3．如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点．（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；（2）当k=2时，求△AOB的面积；（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为S n，若S1+S2+…+S n= ，求n的值．【答案】（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+1和y= ，解得，，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）（2）解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+2和y= ，解得，，∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）设直线AB的解析式为：y=mx+n，∴∴，∴直线AB的解析式为：y=x+2∴直线AB与y轴的交点（0，2），∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；（3）解：当k=1时，S1= ×1×（1+2）= ，当k=2时，S2= ×2×（1+3）=4，…当k=n时，S n= n（1+n+1）= n2+n，∵S1+S2+…+S n= ，∴ ×（…+n2）+（1+2+3+…n）= ，整理得：，解得：n=6．【解析】【分析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形△AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形）的面积和或差；（3）利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.4．已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上．（1）k的值是________；（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若 = ，则b的值是________．【答案】（1）﹣2（2）3【解析】【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，n），则点Q的坐标为（m﹣1，n+2），依题意得：，解得：k=﹣2．故答案为：﹣2．（2）∵BO⊥x轴，CE⊥x轴，∴BO∥CE，∴△AOB∽△AEC．又∵ = ，∴ = = ．令一次函数y=﹣2x+b中x=0，则y=b，∴BO=b；令一次函数y=﹣2x+b中y=0，则0=﹣2x+b，解得：x= ，即AO= ．∵△AOB∽△AEC，且 = ，∴．∴AE= AO= b，CE= BO= b，OE=AE﹣AO= b．∵OE•CE=|﹣4|=4，即 b2=4，解得：b=3 ，或b=﹣3 （舍去）．故答案为：3 ．【分析】（1）设出点P的坐标，根据平移的特性写出Q点的坐标，由点P,Q均在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于k,m,n,b的四元次一方程组，两式作差即可求出k的值；（2）由BO⊥x轴，CE⊥x轴，找出△AOB∽△AEC．再由给定图形的面积比即可求出==，根据一次函数的解析式可以用含b的式子表示出OA,OB,由此即可得出线段CE,AE 的长，利用OE=AE﹣AO求出OE的长，再借助反比例函数K的几何意义得出关于b的一元二次方程，解方程即可得出结论。

初三数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案

初三数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案

初三数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案一、反比例函数1．如图1，已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A，B，反比例函数y= 经过点M．（1）若M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）．当a=﹣3时，设点M的横坐标为m，求k与m之间的函数关系式．（2）当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M，且OM= ，求a的值．（3）当a=﹣2时，将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′，如图2，M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点，求k的取值范围．【答案】（1）解：当a=﹣3时，y=﹣3x+2，当y=0时，﹣3x+2=0，x= ，∵点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合），∴0＜m＜，，DANG则，﹣3x+2= ，当x=m时，﹣3m+2= ，∴k=﹣3m2+2m（0＜m＜）（2）解：由题意得：，ax+2= ，ax2+2x﹣k=0，∵直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，∴△=4+4ak=0，ak=﹣1，∴k=﹣，则，解得：，∵OM= ，∴12+（﹣）2=（）2，a=±（3）解：当a=﹣2时，y=﹣2x+2，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位得到Rt△A′O′B′，∴A′（2，1），B′（1，3），点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点，当点M′与A′重合时，k=2，当点M′与B′重合时，k=3，∴k的取值范围是2≤k≤3【解析】【分析】（1）当a=﹣3时，直线解析式为y=﹣3x+2，求出A点的横坐标，由于点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）从而得到m的取值范围，由﹣3x+2= ,由X=m得k=﹣3m2+2m（0＜m＜）；（2）由ax+2= 得ax2+2x﹣k=0，直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，△=4+4ak=0，ak=﹣1，由勾股定理即可；（3）当a=﹣2时，y=﹣2x+2，从而求出A、B两点的坐标，由平移的知识知A′，B′点的坐标，从而得到k的取值范围。

九年级数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)附答案解析

九年级数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)附答案解析

九年级数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)附答案解析一、反比例函数1．如图，点A在函数y= （x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y= 图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；（2）试问：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．（3）试说明：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等．【答案】（1）解：∵点C在y= 的图象上，且C点横坐标为1，∴C（1，1），∵AC∥y轴，AB∥x轴，∴A点横坐标为1，∵A点在函数y= （x＞0）图象上，∴A（1，4），∴B点纵坐标为4，∵点B在y= 的图象上，∴B点坐标为（，4）；（2）解：设A（a，），则C（a，），B（，），∴AB=a﹣ = a，AC= ﹣ = ，∴S△ABC= AB•AC= × × = ，即△ABC的面积不发生变化，其面积为；（3）解：如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，∵AB∥x轴，∴△ABC∽△EFC，∴ = ，即 = ，∴EF= a，由（2）可知BG= a，∴BG=EF，∵AE∥y轴，∴∠BDG=∠FCE，在△DBG和△CFE中∴△DBG≌△CEF（AAS），∴BD=EF．【解析】【分析】（1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y= 可求得B点坐标；（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得△ABC的面积；（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．2．如图1，已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A，B，反比例函数y= 经过点M．（1）若M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）．当a=﹣3时，设点M的横坐标为m，求k与m之间的函数关系式．（2）当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M，且OM= ，求a的值．（3）当a=﹣2时，将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′，如图2，M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点，求k的取值范围．【答案】（1）解：当a=﹣3时，y=﹣3x+2，当y=0时，﹣3x+2=0，x= ，∵点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合），∴0＜m＜，，DANG则，﹣3x+2= ，当x=m时，﹣3m+2= ，∴k=﹣3m2+2m（0＜m＜）（2）解：由题意得：，ax+2= ，ax2+2x﹣k=0，∵直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，∴△=4+4ak=0，ak=﹣1，∴k=﹣，则，解得：，∵OM= ，∴12+（﹣）2=（）2，a=±（3）解：当a=﹣2时，y=﹣2x+2，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位得到Rt△A′O′B′，∴A′（2，1），B′（1，3），点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点，当点M′与A′重合时，k=2，当点M′与B′重合时，k=3，∴k的取值范围是2≤k≤3【解析】【分析】（1）当a=﹣3时，直线解析式为y=﹣3x+2，求出A点的横坐标，由于点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）从而得到m的取值范围，由﹣3x+2= ,由X=m得k=﹣3m2+2m（0＜m＜）；（2）由ax+2= 得ax2+2x﹣k=0，直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，△=4+4ak=0，ak=﹣1，由勾股定理即可；（3）当a=﹣2时，y=﹣2x+2，从而求出A、B两点的坐标，由平移的知识知A′，B′点的坐标，从而得到k的取值范围。