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第2讲导数的应用(一)
A级基础演练(时间：30分钟满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2013·石景山模拟)若函数h(x)＝2x－k
x＋
k
3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k
的取值范围是()．A．(－2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，2)
解析由条件得h′(x)＝2＋k
x2＝2x2＋k
x2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－
2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈(－2，＋∞)．
答案 A
2．(2013·郑州检测)函数f(x)＝(4－x)e x的单调递减区间是()．A．(－∞，4) B．(－∞，3)
C．(4，＋∞) D．(3，＋∞)
解析f′(x)＝e x＋(4－x)·e x＝e x(3－x)，令f′(x)<0，由于e x>0，∴3－x<0，解得x>3.
答案 D
3．(2013·安庆模拟)下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()．A．f(x)＝sin 2x B．f(x)＝x e x
C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x
解析sin 2x＝2sin x cos x，(sin 2x)′＝2(cos2x－sin2x)，在(0，＋∞)不恒大于
零；(x3－x)′＝3x2－1，在(0，＋∞)不恒大于零；(－x＋ln x)′＝－1＋1
x在(0，
＋∞)不恒大于零；(x e x)′＝e x＋x e x，当x∈(0，＋∞)时e x＋x e x>0，故选B.
答案 B
4．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e x·f(x)>e x
＋1的解集为 ( )．
A ．{x |x >0}
B ．{x |x <0}
C ．{x |x <－1或x >1}
D ．{x |x <－1或0 解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数，又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0. 答案 A 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．函数y ＝x －2sin x 在[0，π]上的递增区间是________． 解析 y ′＝1－2cos x ，令1－2cos x ≥0，得cos x ≤12，解得2k π＋π 3≤x ≤2k π＋53π，k ∈R ，又0≤x ≤π，∴π 3≤x ≤π. 答案 ⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤ π3，π 6．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________． 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)又y ′＝1 x ＋a ，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝x 0＋1， y 0＝ln (x 0＋a )，1 x 0＋a ＝1， 解 得a ＝2. 答案 2 三、解答题(共25分) 7．(12分)设函数f (x )＝ax 3－3x 2，(a ∈R )，且x ＝2是y ＝f (x )的极值点，求函数g (x )＝e x ·f (x )的单调区间． 解 f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)． 因为x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点． 所以f ′(2)＝0，即6(2a －2)＝0，因此a ＝1， 经验证，当a ＝1时，x ＝2是函数f (x )的极值点， 所以g (x )＝e x (x 3－3x 2)， g ′(x )＝e x (x 3－3x 2＋3x 2－6x ) ＝e x (x 3－6x )＝x (x ＋6)(x －6)e x . 因为e x >0，所以y ＝g (x )的单调增区间是(－6，0)和(6，＋∞)；单调减区间是(－∞，－6)和(0，6)． 8．(13分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 23. (1)求a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间； (3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围． 解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1. 当x ＝23时，得a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫ 23－1， 解之，得a ＝－1. (2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c . 则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫ x ＋13(x －1)，列表如下： 所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1 3)和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ －13，1. (3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x ， 有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ， 因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增， 所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立． 只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)． 探究提高 利用导数研究函数单调性的一般步骤： (1)确定函数的定义域；
