河北省2019—2020学年度上学期衡水中学高三年级五调考试数学(12月)数学理试题

2019-2020学年度上学期高三年级六调考试文数试卷本试卷共4页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效. 5．考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看考题视频讲解.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22(,)|12x A x y y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，21(,)|2B x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个2.已知,m n ∈R ，则“10mn->”是“0m n ->”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件3.复数z 满足(1-2 ) -2 3 i z i =+．则z =（ ） A.1855i - B. 8155i -+ C. 1855i -- D. 81i 55-- 4.函数11()212xf x =+-的大致图象为（ ）A. B. C. D.5.在ABC ∆中，D 在边AC 上满足12AD DC =u u u v u u uv ，E 为BD 的中点，则CE =uu u v（）A. 5163BA BC -u u u v u u u vB. 1536BA BC -u u u v u u u vC. 1536BA BC +u u u v u u u vD. 5163BA BC +u u u v u u u v6.“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，已知乙扮演杨贵妃，甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为（ ）A. 12B.14 C. 16D. 1127.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，其中(,0),(,2),(,0)M m N n P π，且0, 0m n <>，则函数()f x 在下列区间中一定具有单调性的是（ ）A. 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. 2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭8.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，AC 交BD 于点, O E 为AD 的中点，点F 在PA 上，AP AF λ=，//PC 平面BEF ，则λ的值为（ ）A. 1B. 32C. 2D. 39.设函数1()44,()ln xf x e xg x x x=+-=-，若()()120f x g x ==，则（ ） A. ()()120g x f x << B. ()()120g x f x << C. ()()210f x g x <<D. ()()210f x g x <<10.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过点（-2，0）且斜率为k 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，且满足||2||AF BF =，则k 的值是（ ） A.33B.223C. 22±D. 223±11.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想221(0,1,2,)nn F n =+=L 是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出56416700417F =*，不是质数．现设n a =()2log 1,(1,2,)n F n -=L ，n S 表示数列{}n a 的前n 项和．则使不等式221231222n n n S S S S S S +++⋯+<22020n成立的最小正整数n 的值是（提示1021024=）（ ） A. 11B. 10C. 9D. 812.已知对任意21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦等式2ax e x >恒成立（其中 2.71828e =L 是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（ ）A. 2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， B. 1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C. 1,2e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. 24e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知实数x ，y 满足约束条件02601x y x y x -⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则 3 2 z x y =+的最大值为______．14.某市农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月4日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：根据表中12月1日至12月3日的数据，求得线性回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆ8a =-，则求得的ˆb =_____；若用12月4日的数据进行检验，检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算发芽数ˆy，再求ˆy 与实际发芽数 y 的差，若差值的绝对值不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，则求得的线性回归方程_____（填“可靠”或“不可靠”）．15.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 与圆222x y a +=相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点P ，若114F P FT =u u u v u u u v，则双曲线C 的离心率为______. 16.已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的对边，2222cos cos b c ac C c A a +=++，且2ABC S ∆=，则ABC ∆周长的最小值为_____．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表：(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认选谁合适?请说明理由.(2)若数学竞赛分初赛和复赛，初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被润汰. 已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大?并说明理由.18.设数列{}n a 的前n 项和n S ，满足()*122,n n S S n n n N -=+∈…，且11a=．（1）求证：数列{}1n a +是等比数列；（2）若()1n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.如图所示，已知正方形ABCD 所在平面垂直于矩形ACEF 所在的平面，AC 与BD 的交点为,,O M P 分别为, AB EF 的中点，2AB =，1AF =．（1）求证：平面PCD ⊥平面PCM ； （2）求三棱锥-O PCM 底面PCM 上的高．20.已知椭圆22:14x C y +=的左右顶点为A ，B ，点P ，Q 为椭圆上异于A ，B 的两点，直线AP 与直线BQ的斜率分别记为12,k k ，且214k k =． （Ⅰ）求证：BP BQ ⊥；（Ⅱ）设APQ ∆，BPQ ∆的面积分别为1S ，2S ，判断12S S 是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由．21.已知函数ln (),()1x a a xf xg x ae x-==-，且1y x =-曲线()y f x =的切线． （1）求实数a 的值以及切点坐标 （2）当0x >时，求证：()()g x f x …．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C ：4cos 4sin x y ββ=⎧⎨=⎩，（β为参数），将曲线1C 上的所有点的横坐标缩短为原来的122C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3sin 3ρπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求曲线2C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线1C 交于不同的两点A ，B ，点M为抛物线2y =-的焦点，求MA MB ⋅的值． 23.已知函数()|-3||2 -4|f x x x =+，()|-||1|g x x a x =++． （1）解不等式()10f x …； （2）若()f x 的最小值为M ，且存在x ∈R ，使()M g x …成立，求实数a 的取值范围．。

河北省衡水中学2019届高三上学期五调考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合B对应不等式的解集，然后求其与集合A的交集即可.【详解】因为,又，所以.故选A.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题型.2.满足（是虚数单位）的复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将原式子变形为，再由复数的除法运算得到结果.【详解】∵，∴，即，故选A.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，复数的常考内容有：z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．3.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2详解：：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=-8，∴a2=-6．故选D.点睛：本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．4.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳【答案】D【解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故A，B，C错.本题选择D选项.5.在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，其终边上的一点P的坐标为（其中），则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，可知角中终边上一点的坐标为且，则，所以，又由，故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中根据三角函数的定义，求得的值，再由余弦的倍角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作OA⊥于点A，于点B，可得，，，结合双曲线定义可得从而得到双曲线的渐近线方程.【详解】如图，作OA⊥于点A，于点B，∵与圆相切，∴，，又点M在双曲线上，∴整理，得，∴∴双曲线的渐近线方程为故选：A【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a，b的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果. 【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解．【详解】设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）．平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，在△A2BM中，．故选：A．【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．9.在等腰直角三角形中，，点为所在平面上一动点，且满足,求的取值范围A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，用参数方程表示点P的坐标，从而求出的取值范围．【详解】根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示则A（0，2），B（2，0），C（0，0），由||=1知，点P在以B为圆心，半径为1的圆上，设P（2+cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）；则=（cosθ，sinθ），又+=（2，2）；∴•（+）=2cosθ+2sinθ=2sin（θ+），当θ+=，即θ=时，•（+）取得最大值2，当θ+=，即θ=时，•（+）取得最小值﹣2，∴•（+）的取值范围是[﹣2，2]．故选：D．【点睛】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.10.如图，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设BC的中点是E，连接DE，由四面体A′­BCD的特征可知，DE即为球体的半径.【详解】设BC的中点是E，连接DE，A′E，因为AB＝AD＝1，BD＝由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD为直角三角形所以DE为球体的半径故选A【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R的方程.11.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点.若，则直线的斜率为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得圆心即为抛物线的焦点，故直线过圆心，于是为圆的直径，所以．设直线，将其代入抛物线方程消去x得到关于y的一元二次方程，然后根据弦长公式可得，于是得到．【详解】由题设可得圆的方程为，故圆心为，为抛物线的焦点，所以所以．设直线,代入得，设直线l与抛物线C的交点坐标为，则，则，所以，解得．故选C．【点睛】（1）本题考查直线和抛物线的位置关系、圆的方程、弦长的计算，意在考查分析推理和计算能力．(2) 弦长公式对有斜率的直线才能使用，此时公式为，其中表示直线的斜率，是直线和椭圆的方程组消去化简后中的系数，是的判别式．对于斜率不存在的直线，则弦长为．12.已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将函数恰有2个零点转化为两函数与有两不同交点，作出函数图像即可求出结果.【详解】由题意函数恰有2个零点，即是方程有两不等实根，即是两函数与有两不同交点，作出函数图像如下图，易得当时，有两交点，即函数恰有2个零点.故选B. 【点睛】本题主要考查数形结合思想处理函数零点问题，只需将函数有零点转化为两函数有交点的问题来处理，作出函数图像，即可求出结果，属于中档试题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）.为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在（元）段应抽出____________________人．【答案】25【解析】【分析】利用频率分布直方图的纵坐标是频率除以组距，所以频率等于纵坐标乘以组距，求出段的频率，结合样本容量即可求出结果.【详解】由题意，月收入在（元）段的频率为，所以月收入在（元）段应抽出的人数是.【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题型.14.中，角，，的对边分别为，，，，，，则的面积等于__________．【答案】【解析】【分析】先由正弦定理得a=b，然后由余弦定理求得a、b，在用面积公式求得的面积.【详解】化解得：即：A=B又解得：a=b=【点睛】本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式，解题中主要利用正、余弦定理对边角进行转化.15.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】∵函数的定义域为，恒成立,即等价于，令，则，令，则在上恒成立，∴在上单调递增，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，则，故，故答案为.点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解；在该题中最大的难点是运用二次求导来求函数的最小值.16.如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．下列命题正确的为_____.①存在点，使得//平面；②对于任意的点，平面平面；③存在点，使得平面；④对于任意的点，四棱锥的体积均不变．【答案】②④【解析】①为棱上的中点时，此时也为棱上的中点，此时；满足//平面，∴①正确．②平面，∴不可能存在点，使得，∴②错误．③连结则平面，而平面，∴平面平面，成立，∴③正确．④四棱锥B1-BED1F的体积等于设正方体的棱长为1，∵无论在何点，三角形的面积为为定值，三棱锥的高，保持不变．三角形的面积为为定值，三棱锥的高为，保持不变．∴三棱锥和三棱锥体积为定值，即四棱锥的体积等于为定值，∴④正确．故答案为：①③④三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数的最小正周期为．求的值；中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积，求b．【答案】(1)(2)3【解析】【分析】（1）化简，根据函数的最小正周期即可求出的值2）由（1）知，.由，求得，再根据的面积，解得，最后由余弦定理可求出.【详解】（1）故函数的最小正周期，解得.（2）由（1）知，.由，得（）.所以（）.又，所以.的面积，解得.由余弦定理可得，所以.【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．18.等差数列的公差大于0，且是方程的两根，数列的前项的和为，且．（1）求数列，的通项公式；（2）记,求数列的前项和．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由已知条件得a3=5，a5=9，由此求出a n=a5+（n-5）d=2n-1；由，推导出{b n}是等比数列，，，由此求出．（2）由（1）知，由此利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和T n【详解】（1）∵是方程的两根，且数列的公差，∴，公差∴又当时，有1－当∴数列是等比数列，∴（2）由（1）知∴T n＝，①，②①-②，得即【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19.如图，三棱柱中，平面，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正切值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)先证平面,可得，再由四边形为正方形可得，从而可得平面，进而可得；(2)由平面可得是直线与平面所成的角，利用勾股定理求出OA,OB,即可得出.【详解】证明（1）平面，平面，又，即，，平面，平面，.，四边形为正方形，，又，平面，又平面，.（2）设，连接.由（1）得平面，是直线与平面所成的角.设，则，，，在中，，直线与平面所成角的正切值为.【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，以及直线与平面所成的角，属于中档题型. 20.为提高衡水市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游3名，其中高级导游1名.从这6名导游中随机选择2人参加比赛.（1）求选出的2名都是高级导游的概率；（2）为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献范围是（单位：万元），求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)用列举法求出基本事件数，即可计算所求的概率值；(2)根据题意知，所求概率为几何概型问题，由几何概型计算公式即可求出结果.【详解】（1）设来自甲旅游协会的3名导游为，其中为高级导游，来自乙旅游协会的3名导游为，其中为高级导游，从这6名导游中随机选择2人参加比赛，有下列基本情况：，，，，；；；；共15种，其中选出的2名都是高级导游的有，，，共3种所以选出的2人都是高级导游的概率为.（2）依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献为（单位：万元），则且，则，属于几何概型问题作图，由图可知，，所求概率为.【点睛】本题主要考查古典概型和几何概型，属于常规题型.21.已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦点，的距离之和为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线：（）与椭圆交于不同两点，，且，若点满足，求的值．【答案】（1）；（2）的值为或．【解析】【分析】（1）由已知求得，又由，由此能求出椭圆的方程；（2）由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线的性质，结合已知，即可求出的值．【详解】（1）由已知，得，又，∴，∴椭圆的方程为．（2）由得①∵直线与椭圆交于不同两点、，∴，得，设，，∴．又由，得，解得．据题意知，点为线段的中垂线与直线的交点，设的中点为，则，，当时，，此时，线段的中垂线方程为，即．令，得．当时，，∴此时，线段中垂线方程为，即．令，得．综上所述，的值为或．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．22.已知函数，其中．(1)试讨论函数的单调性；(2)若，且函数有两个零点，求实数的最小值．【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【分析】⑴求出，分别讨论的范围，求出单调性⑵等价于有两个零点，结合⑴中的结果求导后判定函数的单调性，研究零点问题【详解】(1) ，则当时，，所以函数在上单调递增；当时，若，则，若，则所以函数在上单调递减，在上单调递增；综上可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；(2) 函数有两个零点等价于有两个零点.由(1)可知，当时，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意。

z 2019 届河北省衡水中学高三上学期五调考试数学（文）试题一、单选题1．已知 ，，则 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求出集合 B 对应不等式的解集，然后求其与集合 A 的交集即可.【详解】因为,又 ，所以 .故选 A.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题型.2．满足（ 是虚数单位）的复数（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】将原式子变形为【详解】，再由复数的除法运算得到结果.∵ ，∴ ，即 ，故选 A.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，复数的常考内容有： ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与复平面上的点 Z(a ，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中 O 是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数 z 的共轭复数记作 ．3．已知等差数列 的公差为 ，若 ， ， 成等比数列，则 等于（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：利用等差数列{a}的公差为2，a，a，a成等比数列，求出a，即可求n1341出a2详解：：∵等差数列{a}的公差为2，a，a，a成等比数列，n134∴（a+4）2=a（a+6），111∴a=-8，1∴a=-6．2故选D.点睛：本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．4．某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳【答案】D【解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故A，B，C错.本题选择D选项.5．在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，其终边上的一点P的坐标为（其中），则A．B．C．D．【答案】C【解析】根据三角函数的定义，求得解.【详解】由题意，可知角中终边上一点的坐标为且所以，，再由余弦的倍角公式，即可求，则，又由，故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中根据三角函数的定义，求得的值，再由余弦的倍角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．已知双曲线线，交双曲线右支于点，若的左、右焦点分别为，过作圆的切，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作OA⊥于点A，于点B，可得，，，结合双曲线定义可得从而得到双曲线的渐近线方程.【详解】如图，作OA⊥于点A，于点B，∵∴与圆相切，，，又点M在双曲线上，∴整理，得，∴∴双曲线的渐近线方程为故选：A【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a，b的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.7．某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8．如图，已知三棱柱中点，则异面直线和的各条棱长都相等，且所成的角为()底面，是侧棱的A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解．【详解】设棱长为 a ，补正三棱柱 ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移 AB 1 至 A 2B ，连接 A 2M ，∠MBA 2 即为 AB 1 与 BM 所成的角，在 A △2BM 中，．故选：A ．【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．9．在等腰直角三角形,求中，的取值范围，点 为 所在平面上一动点，且满足A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，用参数方程表示点P 的坐标，从而求出的取值范围．【详解】根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示则 A （0，2），B （2，0），C （0，0），由| |=1 知，点 P 在以 B 为圆心，半径为 1 的圆上，设 P （2+cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）；则又=（cosθ，sinθ），+=（2，2）；∴•（+）=2cosθ+2sinθ=2sin（θ+），当θ+=，即θ=时，•（+）取得最大值2，当θ+=，即θ=时，•（+）取得最小值﹣2，∴•（+）的取值范围是[﹣2，2]．故选：D．【点睛】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.10．如图，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设BC的中点是E，连接DE，由四面体A′BCD的特征可知，DE即为球体的半径.【详解】设BC的中点是E，连接DE，A′E，因为AB＝AD＝1，BD＝由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD为直角三角形所以DE为球体的半径故选A【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.11．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点.若，则直线的斜率为A．C．B．D．【答案】C【解析】由题意得圆心即为抛物线的焦点，故直线过圆心，于是为圆的直径，所以．设直线次方程，然后根据弦长公式可得，将其代入抛物线方程消去x得到关于y的一元二，于是得到．【详解】由题设可得圆的方程为，故圆心为所以所以，为抛物线的焦点，．设直线,代入得，设直线l与抛物线C的交点坐标为，则，则，所以，解得．故选C．【点睛】（1）本题考查直线和抛物线的位置关系、圆的方程、弦长的计算，意在考查分析推理和计算能力．(2)弦长公式对有斜率的直线才能使用，此时公式为斜率，是直线和椭圆的方程组消去化简后，其中表示直线的中的系数，是的判别式．对于斜率不存在的直线，则弦长为．12．已知定义在上的函数数的取值范围是（）A．B．，若函数恰有2个零点，则实C．【答案】B【解析】将函数D．恰有2个零点转化为两函数与有两不同交点，作出函数图像即可求出结果.【详解】由题意函数与恰有2个零点，即是方程有两不等实根，即是两函数有两不同交点，作出函数图像如下图，.易得当时，有两交点，即函数恰有2个零点.故选B.【点睛】本题主要考查数形结合思想处理函数零点问题，只需将函数有零点转化为两函数有交点的问题来处理，作出函数图像，即可求出结果，属于中档试题二、填空题13．某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）.为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在（元）段应抽出____________________人．【答案】25【解析】利用频率分布直方图的纵坐标是频率除以组距，所以频率等于纵坐标乘以组距，求出【详解】段的频率，结合样本容量即可求出结果.由题意，月收入在所以月收入在（元）段的频率为（元）段应抽出的人数是.，【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题型.14．中，角，，的对边分别为，，，，，，则的面积等于__________．【答案】【解析】先由正弦定理得a=b，然后由余弦定理求得a、b，在用面积公式求得积.【详解】的面化解得：即：A=B又解得：a=b=【点睛】本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式，解题中主要利用正、余弦定理对边角进行转化.15．已知函数__________．【答案】【解析】∵函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是的定义域为，恒成立,即等价于，令，则，令，则在上恒成立，∴故当时，在上单调递增，，函数单调递减；当故时，，函数单调递增，则，故答案为.，点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解；在该题中最大的难点是运用二次求导来求函数的最小值. 16．如图，在正方体点．下列命题正确的为_____.中，点是棱上的一个动点，平面交棱于①存在点，使得//平面；②对于任意的点，平面平面；③存在点，使得平面④对于任意的点，四棱锥【答案】②④；的体积均不变．【解析】此时 ；满足//平面 ① 为棱 上的中点时，此时 也为棱 上的中点，，∴①正确．②③连结平面则 ，∴不可能存在点 ，使得平面 ，而 平面 ，∴②错误．，∴平面 平面 ，成立，∴③正确．④四棱锥 B 1-BED 1F 的体积等于 设正方体的棱长为 1，∵无论在何点，三角形 的面积为 为定值，三棱锥 的高，保持不变．三角形，保持不变．的面积为 为定值，三棱锥 的高为∴三棱锥和三棱锥 体积为定值，即四棱锥的体积等于为定值，∴④正确．故答案为：①③④ 三、解答题 17．已知函数求 的值；中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，求 b ．的最小正周期为 ．， ， 面积 ，【答案】(1)(2)3【解析】（1）化简，根据函数的最小正周期即可求出的值2）由（1）知，.由，求得，再根据的面积，解得，最后由余弦定理可求出.【详解】（1）故函数的最小正周期，解得.（2）由（1）知，.由，得（）.所以（）.又，所以.的面积，解得.由余弦定理可得，所以.【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．18．（题文）（题文）等差数列的公差大于0，且是方程的两根，数列的前项的和为，且．（1）求数列，的通项公式；（2）记,求数列的前项和．（ （【答案】 1）， ；（2）【解析】 1）由已知条件得 a 3=5，a 5=9，由此求出 a n =a 5+（n-5）d=2n-1；由 ，推导出{b n }是等比数列，， ，由此求出 ．（2）由（1）知【详解】（1）∵是方程 ，由此利用错位相减法能求出数列{c n }的前 n 项和 T n的两根，且数列 的公差 ，∴，公差∴又当时，有 1－当∴数列 是等比数列，∴（2）由（1）知∴T n ＝，①，②①-②，得（即【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19．如图，三棱柱中，平面，，.（1）求证：（2）求直线；与平面所成角的正切值.【答案】1）见解析；（2）【解析】(1)先证，从而可得平面平面,可得，进而可得，再由四边形；为正方形可得(2)由平面可得即可得出.是直线与平面所成的角，利用勾股定理求出OA,OB,【详解】证明（1）平面，平面，又，即，，平面.，平面，，四边形为正方形，.（ .平面，又，又.，平面 ，（2）设，连接.由（1）得平面，是直线 与平面所成的角.设，则，，，在中， ，直线 与平面所成角的正切值为 .【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，以及直线与平面所成的角，属于中档题型 20．为提高衡水市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游 3 名，其中高级导游 2 名；乙旅游协会的导游 3 名，其中高级导游 1 名.从这 6 名导游中随机选择 2 人参加比赛.（1）求选出的 2 名都是高级导游的概率；（2）为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是 （单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献范围是（单位：万元），求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献概率.【答案】 1） ；（2）【解析】(1)用列举法求出基本事件数，即可计算所求的概率值；(2)根据题意知，所求概率为几何概型问题，由几何概型计算公式即可求出结果【详解】（1）设来自甲旅游协会的3名导游为，其中为高级导游，来自乙旅游协会的3名导游为，其中为高级导游，从这6名导游中随机选择2人参加比赛，有下列基本情况：，，，，；；；；共15种，其中选出的2名都是高级导游的有，，，共3种所以选出的2人都是高级导游的概率为.（2）依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献为（单位：万元），则则，属于几何概型问题且，作图，由图可知，，所求概率为.【点睛】本题主要考查古典概型和几何概型，属于常规题型.21．已知椭圆：点，的距离之和为（．）的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线：（）与椭圆交于不同两点，，且，若点满足，求的值．（ （【答案】 1） ；（2） 的值为或 ．【解析】 1）由已知求得，又由 ，由此能求出椭圆的方程；（2）由，得 ，由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线的性质，结合已知，即可求出 的值．【详解】（1 ） 由已 知，得 ，又 ，∴ ，∴ 椭圆 的 方 程 为．（2）由得 ①∵直线 与椭圆 交于不同两点 、 ，∴设， ，∴，得 ，．又由，得 ，解得 ．据题意知，点 为线 段的 中 垂 线 与 直 线的 交 点 ， 设 的 中 点 为， 则垂线方程为， ，当 时， ，此时，线段 的中垂线方程为，即 ．令 ，得 ．当 时， ，∴此时，线段 中，即 ．令 ，得 ．综上所述， 的值为 或 ．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力（ 在时，函数在不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．22．已知函数 ，其中．(1)试讨论函数(2)若，且函数的单调性；有两个零点，求实数 的最小值．【答案】 1）见解析；（2）2【解析】⑴求出，分别讨论 的范围，求出单调性⑵等价于有两个零点，结合⑴中的结果求导后判定函数的单调性，研究零点问题【详解】(1)，则当当时，时，若，所以函数，则 在，若 上单调递增；，则所以函数 上单调递减，在 上单调递增；综上可知，当时，函数 在 上单调递增；当 时，函数 在 上单调递减，在上单调递增；(2) 函数有两个零点等价于有两个零点.由(1)可知，当 时，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意。

高考数学精品复习资料2019.520xx ～20xx 学年度上学期五调考试 高三年级数学（文科）试卷本试卷分为第I 卷（选择题）第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．设i 是虚数单位，则复数i－1＋i的虚部是( )A.i 2 B ．－12 C.12 D ．－i 22.已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀x R x q ，则( ) A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题C.命题)(q p ⌝∧是真命题D.命题)(q p ⌝∨是假命题 3.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）,该几何体的体积为（ ）3m ． A ．37B ．29C ．27D.494．以下四个命题：其中真命题为( )①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测， 这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程yˆ＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握 程度越大．A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③ 5．程序框图如图所示：如果上述程序运行的结果S ＝1320，那么判断框中应填入( ) A ．K ＜10? B ．K ≤10? C ．K ＜9? D ．K ≤11? 6.已知12+=x y 则2cos()3πα+等于（ ） A.45-B.35-C.45D.357. 已知菱形ABCD 的边长为4，0051ABC =∠，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（ ）A. 81π-B. 61π-C. 8πD.6π 8. 已知双曲线C 1：12222=-by a x (a >0，b >0)的焦距是实轴长的2倍.若抛物线C 2：py x 22=(p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为（ ） A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8y D ．x 2＝16y 9. 已知a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)．我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的数n 叫做“优数”，则在区间(1,2004)内的所有优数的和为( ) A ．1024B ．2003C ．2026D ．204810. 能够把圆O :1622=+y x 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的 “和谐函数”,下列函数不是．．圆O 的“和谐函数”的是（ ） A ．3()4f x x x =+ B ．5()15x f x nx -=+ C ．()tan 2x f x = D ．()x xf x e e -=+ 11.已知向量a ，b ，c 满足||||2a b a b ==⋅=，()(2)0a c b c -⋅-=，则||b c -的最小值为（ ）A．12- B．2 C．2 D．212．已知函数32()1()32x mx m n x f x +++=+的两个极值点分别为12,x x ，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，点),(n m P 表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图像上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,3]（B. 1,3（）C. [3+∞，）D. 3+∞（，）第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（每小题5分，共20分. 每小题的答案填在答题纸的相应位置） 13.如图是甲、乙两名篮球运动员20xx 年赛季每场比赛得分的 茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和为 . 14.在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =则ABC ∆的面积S 的最大值为 ．15.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AC 1、A 1B 1的中点．点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于 ． 16.已知数列}{n a 满足)2()1(,21111≥-=-=--n n n aa a a a n n n n ，则该数列的通项公式=n a _________． 三、解答题（共70分。