弹性力学学习心得
孙敬龙S4
大学时期就学过弹性力学，当时的课本是徐芝纶教授的简明版教程，书的内容很丰富但是只学了前四章，学的也是比较糊涂。研究生一年级又学了一次弹性力学（弹性理论），所有课本是秦飞教授编著的，可能是学过一次的原因吧，第二次学习感觉稍微轻松点了，但是能量原理那一章还是理解不深入。弹性力学是一门较为基础的力学学科，值得我们花大量的时间去深入解读。
弹性力学主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
弹性力学的发展大体分为四个时期。人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。第二个时期是理论基础的建立时期。这个时期的主要成就是，从1822～1828年间，在?柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。在他的论文中，理论结果和实验结果密切吻合，为弹性力学的正确性提供了有力的证据；1881年德国的赫兹解出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布；1898年德国的基尔施在计算圆孔附近的应力分布时，发现了应力集中。这些成就解释了过去无法解释的实验现象，在提高机械、结构等零件的设计水平方面起了重要作用，使弹性力学得到工程界的重视。在这个时期，弹性力学的一般理论也有很大的发展。一方面建立了各种关于能量的定理(原理)。另一方面发展了许多有效的近似计算、数值计算和其他计算方法，如著名的瑞利——里兹法，为直接求解泛
函极值问题开辟了道路，推动了力学、物理、工程中近似计算的蓬勃发展。从20世纪20年代起，弹性力学在发展经典理论的同时，广泛地探讨了许多复杂的问题，出现了许多边缘分支：各向异性和非均匀体的理论，非线性板壳理论和非线性弹性力学，考虑温度影响的热弹性力学，研究固体同气体和液体相互作用的气动弹性力学和水弹性理论以及粘弹性理论等。磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来。此外，还建立了弹性力学广义变分原理。这些新领域的发展，丰富了弹性力学的内容，促进了有关工程技术的发展。
弹性力学开始的时候感觉很难，但是慢慢地看进去了，它具有特殊性；一般情况下，数学知识要具备，对于工程人员来讲，必要的方程解法是必须的；而且书上的例题是应该一步一步做。仔细研究一本弹力书即可。力学解决的是在外力作用下结构的响应，即求内力与变形；力学需要解决三方面的问题：（1）材料本构关系，它解决的是应力与应变之间的关系，对于弹性力学而言是线弹性的，满足虎克定律；二维平面应力与平面应变的本构（物理）方程是三维块体的特殊形式；（2）几何关系：应变与位移之间的关系；（3）平衡方程：内外力之间的平衡关系。如何建立外力与变形的关系，从一下关系可知：外力<＝[平衡]＝>内力<＝[本构]＝>应变<＝[几何]＝>变形为了消除刚体位移，还要引入边界条件，至此弹性力学问题变成了数学的偏微分方程，但直接求解还是有相当难度的；半解析法还是需要一些力学分析。弹性力学有大部分内容是涉及求解的，如平面应力（变）、轴对称、空间问题讲的都是解法，因此需要一定的数学功底。
通过对弹性力学的学习，我感觉整本书主要针对微分方程解未知数而剩下的问题就是如何求解这些方程的问题，这也是数学和力学结合最紧密的地方。而求解的方法无外乎两种:基于位移的求解和基于应力的求解，而前人的研究大部分都是如何使这些方程求解起来更方便。例如，应力函数的引入就是因为同时满足平衡方程和应力表达的相容方程是很难找到的再例如伽辽金位移函数它使得原本要求的方程(非齐次微分方程)转化为求拉普拉期方程，而拉普拉斯方程在数学上已经研究的很透彻因而大大简化了求解的难度，而近代即二十世纪以来发展起来的能量法更是如此:对位移的变分方程代替了以位移表达的平衡方程及应力边界条件，对应力的变分代替了相容方程及位移边界条件，这无疑都大大简化了弹性力学基本方程的求解过程。二十一世纪随着计算机的发展，人们已经借助计算机避免了繁琐的计算，因而会有更多更精确的方法被发现(例如有限单元法.这使得许多从前很难解决的问题基本上都能获得满足工程精度的解答。弹性力学的发展会更加迅速，它的应用范围更加广泛，前景是非常可观的.
参考资料：[1] 秦飞等.2011.弹性与塑性性理论基础.
[2]徐芝纶.2003.弹性力学简明教程.第三版.
[3] 弹性力学发展简史.
航空发动机结构与强度课程设计思考 一、航空发动机构造与强度课程设计的作用 对于飞行器动力工程的学生，航空发动机构造与强度的课程设计显得尤为重要。课程设计的重要性主要体现在航空发动机构造和强度课程的特点。实践性是航空发动机构造与强度课程最显著的特点。本课程研究的是实际发动机的结构及其强度，从表面上看，内容简单、易懂，理论性、系统性不强。但是要学生自己分析，则往往无从下手，特别是碰到实际的结构分析、结构设计更是束手无策。因此，通过课程设计这个教学环节，完成航空发动机某一结构的设计，起到加深对课堂教学内容的理解，实现理论向实践的转化，巩固理论知识的重要作用。航空发动机构造与强度课程的第二个重要特点是多学科综合的特点。实际的航空发动机结构是一个容纳多学科的、相互渗透的、具体的统一体，一个发动机具体结构的诞生是多学科综合的结果。即使一个简单的叶片结构设计都涉及到气体动力学、传热学、弹性力学、疲劳与断裂力学、有限元分析方法等等。因此本课程的教材涉及的内容多，知识面广，几乎包括了所学过的所有课程。总体上看显得内容繁杂，没有系统性和规律性。这给学生的学习带来了困难。而在完成课程设计的过程中，学生需要综合运用《航空发动机构造》、《航空发动机强度计算》等专业课程以及《弹性力学》、《有限元分析方法》、《机械制图》等专业基础课程的知识，需要查阅国家标准、材料手册等相关资料。因此，航空发动机构造与强度课程设计作为航空发动机构造与强度课程的后续教学环节，起到了提高学生综合运用相关专业课程的能力、加深对航空发动机构造的与强度认识和理解的重
要作用。综上所述可知，课程设计作为大学实践教学环节的组成部分，是实现理论与实践相结合的重要环节。而航空发动机构造与强度课程设计，由于航空发动机构造与强度课程的实践性和多学科性的特点，其课程设计对于提高学生的综合运用学科的能力以及加深对课程的认识和理解尤为重要。 二、工科相关课程设计的研究进展 美国麻省理工学院提出了高等工科教育要“回归工程实践”的教育理念。在《中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》中，明确提出以培养学生的创新精神和实践能力为实施素质教育的重点。清华大学老教授容文盛指出课程设计作为大学某一课程的综合性教学实践环节，它不仅仅是理论教学的辅助环节，而是全面培养学生必不可少的组成部分。因此，如何更好地开展课程设计实现培养高素质人才的目标成为各大高校教师积极探索和思考的问题。西南交通大学的鲁汉清教授提出要发挥课程设计的优势提高学生的综合素质和能力，在课程设计中要注意处理好以下几个关系： （1）人文素质和工程素质的关系。工程素质是工科学生课程设计培养的主要目标，鲁教授提出工程素质是与人文素质不可分割的，借助课程设计，树立起学生老实做人、严谨治学的思想，为工程素质的培养打下良好的基础。 （2）知识、能力与素质教育的关系。鲁教授提出在课程设计的过程中可以通过以下两个途径促进学生的知识、能力与素质教育的协调发展：第一，设计题目的设置向产品设计的方向靠拢，让学生接受真实产品设计的完整过程的训练和熏陶。第二，计算机模拟和实物讲解相结合，计算机模拟的最大优点是可以进行设计结果的快速仿真分析，实物讲解可以直观地提供设计结果。课程设计可以充分
弹性力学与有限元分析复习题及其答案 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135'ο。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。 20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
《弹性力学》教学大纲 课程代码：101000151a 课程英文名称：Theory of Elasticity 课程性质：专业选修课 适用专业：土木工程专业 总学时数：30 其中：讲课学时：30 实验学时：0 总学分数：2 编写人：审定人： 一、课程简介 （一）课程教学目的与任务 本课程是土木工程专业限定选修的一门专业基础课。本课程的教学目的，是使学生在理论力学和材料力学等课程的基础上进一步掌握弹性力学的基本概念、基本原理和基本方法，了解弹性体简单的计算方法和有关解答，提高分析与计算的能力，为学习有关专业课程打下初步的弹性力学基础。 （二）课程教学的总体要求 1、理解弹性力学的基本假定，进一步理解体力、面力、应力、应变和位移的基本概念，熟悉记号和符号的有关规定。 2、掌握平面应力问题和平面应变问题的特点，熟悉平面问题的基本方程，了解按应力求解平面问题的基本思路和步骤。 3、能正确写出边界条件，能正确理解和应用圣维南原理。 4、通过实例，了解平面问题逆解法和半逆解法的基本思路。 5、通过实例，掌握弹性力学平面问题的极坐标解答。 6、通过实例，理解位移单值条件和孔边应力集中等概念。 7、了解差分法在弹性力学平面问题中的应用。 8、理解有限单元法的基本概念及原理，通过平面问题常应变三角形单元的应用，了解有限单元法的计算步骤。 （三）课程的基本内容 1、绪论 2、平面问题的基本理论 3、平面问题的直角坐标解答 4、平面问题的极坐标解答 5、用差分法解平面问题 6、用有限单元法解平面问题 （四）先修课程及后续课程 先修课程:高等数学、理论力学、材料力学、结构力学
二、课程教学总体安排 （一）学时分配建议表 （二）推荐教材及参考书目 1、教材 徐芝纶.《弹性力学简明教程》（第四版），高等教育出版社，2013年6月。 2、参考书目 （1）王润富.弹性力学简明教程学习指导【M】.北京：高等教育出版社，2004. （2）卓家寿. 弹性力学中的有限元法【M】.北京：高等教育出版社，1987 （3）吴家龙. 弹性力学【M】.北京：高等教育出版社，2001 （4）杨桂通. 弹性力学【M】.北京：高等教育出版社，1998 （5）王建学，徐秉业.弹性力学【M】.北京：清华大学出版社，2007. （6）王敏中, 王炜, 武际可. 弹性力学教程【M】. 北京：北京大学出版社, 2002 （7）陆明万, 罗学富. 弹性理论基础【M】. 北京：清华大学出版社，1990 （三）课程考核方式 1、考核方式 考查 2、成绩构成 考试成绩占80%，平时作业占10%，平时考勤占10%。 三、课程教学内容及基本要求 （一）绪论（1 学时） 1、教学目的 （1）熟练掌握弹性力学的基本假定、体力、面力、应力、应变和位移的基本概念；（2）掌握记号和符号的有关规定。 2、教学重点与难点
第二章 平面问题的基本理论 【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 x y 2 h 1h b g ρo () 2h b >> h x y l /2/2 h M N F S F 1 q q 图2-17 图2-18 【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。 【解答】图2-17： 上（y =0） 左(x =0) 右（x =b ） l 0 -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件： ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件： () () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件： ()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为： 10,,0s N F F ghb M ρ==-=
由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有： ()()()22210000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=?? ??? ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15） l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q -/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有 /20/2/2 0/2/20 /2()()()h xy x S h h x x N h h x x h dx F dx F ydx M τσσ=-=-=-?=-??=-???=-???? ③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。 首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力： 110,x N N N N F F F q l F q l F ''=+=?=-∑ 0,0y S S S S F F F ql F ql F ''=++=?=--∑ 2 211110,'02222 A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=?=---∑ 由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故 M ' N F 'S F '
《桥梁工程》课程设计 姓名：粟峰 班级：交建12-1班 学号： 02120482 中国矿业大学力学与建筑工程学院 二О一五年一月
中国矿业大学桥梁工程课程设计简支梁桥课程设计 装配式钢筋混凝土T型梁桥设计 设计说明书 课程编号：021141 《桥梁工程》课程设计大纲 2周2学分 一、课程设计性质、目的及任务 桥梁工程课程设计是土木工程专业交通土建专业方向重要的实践性教学环节，是学生修完《桥梁工程》课程后对梁式桥设计理论的一次综合性演练。其目的是使学生深入理解梁式桥的设计计算理论，为今后独立完成桥梁工程设计打下初步基础。其任务是通过本次课程设计，要求熟练掌握以下内容： 1．梁式桥纵断面、横断面的布置，上部结构构件主要尺寸的拟定。 2．梁式桥内力计算的原理，包括永久作用的计算、可变作用的计算（尤其是各种荷载横向分布系数的计算）、作用效应的组合。 3．梁式桥纵向受力主筋的配置、弯起钢筋和箍筋的配置，以及正截面抗弯、斜截面抗剪、斜截面抗弯和挠度的验算，预拱度的设置。 4．板式橡胶支座的设计计算。 二、适用专业 交通土建专业 三、先修课程 材料力学、弹性力学、结构力学、结构设计原理、地基与基础工程、交通规划与道路勘测设计、道路工程、桥涵水力水文 四、课程设计的基本要求 本设计为装配式钢筋混凝土简支T型梁桥设计（上部结构），其下部结构为重力式桥墩和U型桥台，支座拟采用板式橡胶支座。学生在教师的指导下，在两周设计时间内，综合应用所学理论知识和桥梁工程实习所积累的工程实践经验，贯彻理论联系实际的原则，独立、认真地完成装配式钢筋混凝土T型梁桥的设计。 基本要求为：计算书应内容完整，计算正确，格式规范，叙述简洁，字迹清楚、端正，图文并茂；插图应内容齐全，尺寸无误，标注规范，布置合理。
应力应变关系 弹性模量 ||广义虎克定律 1.弹性模量 对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括: a 弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即 b 切变模量切应力与相应的切应变之比,即 c 体积弹性模量三向平均应力 与体积应变θ(=εx+εy+εz)之比,即 d 泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即 此外还有拉梅常数λ。对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。 2.广义虎克定律 线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质。 A 各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3-3 广义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、φ代替。对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。 B 用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即 体积弹性定律 应力偏量与应变偏量关系式 在直角坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。
弹性力学基本方程及其解法 弹性力学基本方程 || 边界条件 || 按位移求解的弹性力学基本方法 || 按应力求解的弹性力学基本方程 || 平面问题的基本方程 || 基本方程的解法 || 二维和三维问题常用的应力、位移公式 1.弹性力学基本方程 在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。这15个未知量可由15个线性方程确定，即 (1)3个平衡方程[式（2-1-22）]，或用脚标形式简写为 (2)6个变形几何方程[式（2-1-29）]，或简写为 (3)6个物性方程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为 或 2.边界条件 弹性力学一般问题的解，在物体内部满足上述线性方程组，在边界上必须满足给定的边界条件。弹性力学问题按边界条件分为三类。 a 应力边界问题在边界Sσ表面上作用的表面力分量为F x、F y、F z.。面力与该点在物体内的应力分量之间的关系，即力的边界条件为 式中，l nj=cos(n,j)为边界上一点的外法线n对j轴的方向余弦。 这一类问题中体积力和表面力是已知的，求解体内各点的位移、应变和应力。 b 位移边界问题在边界S x上给定的几何边界条件为
重庆大学本科学生课程设计任务书 课程设计题目有限元程序设计 学院资源及环境科学学院专业工程力学年级2010级 已知参数和设计要求： 1.独立完成有限元程序设计。 2.独立选择计算算例，并能通过算例判断程序的正确性。 3.独立完成程序设计报告，报告内容包括理论公式、程序框图、程序本 体、计算算例，算例结果分析、结论等。 学生应完成的工作： 1.复习掌握有限单元法的基本原理。 2.掌握弹性力学平面问题3节点三角形单元或4节点等参单元有限元方法 的计算流程，以及单元刚度矩阵、等效节点载荷、节点应变、节点应力 和高斯积分等的计算公式。 3.用Fortran语言编写弹性力学平面问题3节点三角形单元或4节点等参 单元的有限元程序。 4.在Visual Fortran 程序集成开发环境中完成有限元程序的编辑和调试 工作。 5.利用编写的有限元程序，计算算例，分析计算结果。 6.撰写课程设计报告。 目前资料收集情况（含指定参考资料）： 1.王勖成，有限单元法，北京：高等教育出版社，2002。 2.O.C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, Finite Element Method, 5th Eition, McGraw-Hall Book Company Limited, 2000。 3.张汝清，董明，结构计算程序设计，重庆：重庆大学出版社，1988。 课程设计的工作计划： 1.第1周星期一上午：教师讲解程序设计方法，程序设计要求和任务安 排。 2.第1周星期一至星期二完成程序框图设计。 3.第1周星期三至第2周星期四完成程序设计。 4.第2周星期五完成课程设计报告。 任务下达日期 2013 年 6 月 6 日完成日期 2013 年 07 月 03 日 指导教师（签名） 学生（签名）
第十章弹性力学空间问题知识点 空间柱坐标系 空间轴对称问题的基本方程空间球对称问题的基本方程布西内斯科解 分布载荷作用区域外的沉陷弹性球体变形分析 热应力的弹性力学分析方法坝体热应力 质点的运动速度与瞬时应力膨胀波与畸变波柱坐标基本方程 球坐标的基本方程 位移表示的平衡微分方程乐普位移函数 载荷作用区域内的沉陷球体接触压力分析 受热厚壁管道 弹性应力波及波动方程应力波的相向运动 一、内容介绍 对于弹性力学空间问题以及一些专门问题，其求解是相当复杂的。 本章的主要任务是介绍弹性力学的一些专题问题。通过学习，一方面探讨弹性力学空间问题求解的方法，这对于引导大家今后解决某些复杂的空间问题，将会有所帮助。另一方面，介绍的弹性力学专题均为目前工程上普遍应用的一些基本问题，这些专题的讨论有助于其它课程基本问题的学习，例如土建工程的地基基础沉陷、机械工程的齿轮接触应力等。 本章首先介绍空间极坐标和球坐标问题的基本方程。然后讨论布希涅斯克问题，就是半无限空间作用集中力的应力和沉陷。通过布希涅斯克问题的求解，进一步推导半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷、以及弹性接触问题。 另一方面，本章将介绍弹性波、热应力等问题的基本概念。 二、重点 1、空间极坐标和球坐标问题； 2、布希涅斯克问题； 3、半无限空间作 用均匀分布力的应力和沉陷；弹性接触问题；4、弹性波；5、热应力。
§10.1 柱坐标表示的弹性力学基本方程 学习思路: 对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关。但是，对于某些问题，特别是空间问题，不同的坐标系对于问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。某些坐标系可以使得一些特殊问题的边界条件描述简化。因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。 例如对于弹性力学的轴对称或者球对称问题，如果应用直角坐标问题可能得不到解答，而分别采用柱坐标和球坐标求解将更为方便。 本节讨论有关空间柱坐标形式的基本方程。特别是关于空间轴对称问题的基本方程。 学习要点： 1、空间柱坐标系； 2、柱坐标基本方程； 3、空间轴对称问题的基本方程。 1、空间柱坐标系 在直角坐标系下，空间任意一点M的位置是用3个坐标（x，y，z）表示的，而在柱坐标系下，空间一点M的位置坐标用（ρ，?，z）表示。 直角坐标与柱坐标的关系为：x =ρ cos ?，y =ρ sin ? ，z = z 柱坐标下的位移分量为：uρ，u? ， w 柱坐标下的应力分量为：σρ，σ? σz，τρ?，τ? z，τzρ 柱坐标下的应变分量为：ερ，ε? εz，γρ?，γ? z，γzρ 以下讨论柱坐标系的弹性力学基本方程。 2、柱坐标基本方程
华中科技大学土木工程与力学学院 《弹性力学》试卷 2003~2004学年度第一学期 一. 如图所示为两个平面受力体，试写出其应力边界条件。（固定边不考虑） x （a）（b） 二.已知等厚度板沿周边作用着均匀压力σx=σy= - q ，若O点不能移动或转动， 试求板内任意点A(x,y)的位移分量。 q x 三.如图所示简支梁，它仅承受本身的自重，材料的比重为γ, 考察Airy应力函 数：y Dx Cy By y Ax2 3 5 3 2+ + + = ? 1．为使?成为双调和函数，试确定系数A、B、C、D之间的关系； 2．写出本问题的边界条件。并求各系数及应力分量。
四. 如图所示一圆筒，内径为a ，外径为b ，在圆筒内孔紧套装一半径为a 的刚性圆柱体，圆筒的外表面受压力q 的作用，试确定其应力r σ，θσ。 q
五. 如图所示单位厚度楔形体，两侧边承受按 τ=qr 2（q 为常数）分布的剪应力作用。试利用应力函数 θθθφ2cos 4cos ),(4244r b r a r += 求应力分量。 O y qr 2 qr 2 x 六. 设]27 4)3(1[),(22 32 2 a xy x a y x m y x F ---+=，试问它能否作为如图所示高为a 的等边三角形杆的扭转应力函数(扭杆两端所受扭矩为M)？若能，求其应力分 量。 (提示：截面的边界方程是3a x -=，3 323a x y ±= 。) α α
1．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）薄板小挠度弯曲时，体力可以由薄板单位面积内的横向荷载q 来等代。 (√) （2）对于常体力平面问题，若应力函数),(y x ?满足双调和方程02 2 =???，那么由) ,(y x ?确定的应力分量必然满足平衡微分方程。 （√） （3）在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的结 果会有所差别。 （×） （4）如果弹性体几何形状是轴对称时，就可以按轴对称问题进行求解。 （×） （5）无论是对于单连通杆还是多连通杆，其载面扭矩均满足如下等式： ??=dxdy y x F M ),(2,其中),(y x F 为扭转应力函数。 （×） （6）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。 （√） （7）平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不同。 （√） （8）对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。 (×) （9）位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。（√） （10）三个主应力方向一定是两两垂直的。 (×) 2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。）（共20分，每小题2分） (1)弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的 应力、应变和位移 的一门学科。 (2)平面应力问题的几何特征是： 物体在一个方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸 。 (3)平衡微分方程则表示物体 内部 的平衡，应力边界条件表示物体 边界 的平衡。 (4) 在通过同一点的所有微分面中，最大正应力所在的平面一定是 主平面 。 (5)弹性力学求解过程中的逆解法和半逆解法的理论基础是： 解的唯一性定律 。 (6)应力函数()4 2 2 4 ,cy y bx ax y x ++=Φ如果能作为应力函数，其c b a ,,的关系应该是 033=++c b a 。
弹性力学中的基本假定1连续性假定在物体体积内都被连续介质所充满，没有任何空隙，亦即从宏观角度上认为物体是连续的。因此，所有的物理量均可以用连续函数来表示，从而可以应用数学分析工具2完全弹性假定物体是完全弹性的。这个假定包含两点含义：a.当外力取消时，物体回复到原状，不留任何残余变形，即所谓“完全弹性”b.应力与相应的应变成正比，即所谓“线性弹性”。根据完全弹性假定，物体中的应力与应变之间的物理关系可以用胡克定律来表示3均匀性物体是由同种材料组成的，物体内任何部分的材料性质均相同。这样，物体的弹性常数等不随位置坐标而变化4各向同性物体内任一点各方向的材料性质都相同。这样，弹性常数等也不随方向而变化。凡符合以上四个假定的物体，称为理想弹性体5小变形假定假定物体的位移和应变是微小的。物体在受力后，其位移远小于物体的尺寸，其应变远小于1。用途：a.简化几何方程，使几何方程成为线性方程。b.简化平衡微分方程面力是作用于物体表面上的外力 体力是作用于物体体积内的外力 应力单位截面积上的内力 切应力互等定理作用于两个互相垂直面上，并且垂直于该两面交线的切应力是互等的 形变就是物体形状的改变。通过任一点作3个沿正坐标方向的微分线段，并以这些微分线段的应变来表示该点的形变 成为平面应力问题条件1等厚度薄板2面力只作用于板边，其方向平行与中面，且沿厚度不变3体力作用于体积内，其方向平行于中面，且沿厚度不变4约束只作用于板边，其方向平行于中面，且沿厚度不变 成为平面应变问题条件1常截面长住体2面力作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变3体力作用于体积内，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变4约束作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变 平衡微分方程表示区域内任一点（x，y）的微分体的平衡条件 平衡问题中一点应力状态1求斜面应力分量2由斜面应力分量求斜面上的正应力和切应力3求一点的主应力及应力方向4求一点的最大和最小的正应力和切应力 几何方程表示任一点的微分线段上，形变分量与位移分量之间的关系式 形变与位移的关系1如果物体的位移确定，则形变完全确定2当物体的形变分量确定时，位移分量不完全确定 边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。可分为：位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件 位移边界条件实质上是变形连续条件在约束边界上的表达式 应力分量和正的面力分量的正负号规定不同在正坐标面上，应力分量与面力分量同号；在负坐标面上，应力分量与面力分量异号 应力边界条件两种表达方式：1在边界点取出一个微分体，考虑其平衡条件2在同一边界上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相同，方向一致） 圣维南原理如果把物体的一小部分边界上的面力，变化为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同）那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计只能应用于一小部分边界上（又称局部边界、小边界和次要边界） 圣维南原理推广如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么这个面力就只会使近处产生显著的应力而远处的应力可以不计 应力边界条件上应用圣维南原理就是在小边界上将精确的应力边界条件式，代之为静力等效的主矢量和主矩的条件 形变协调条件的物理意义1形变协调条件是连续体中位移连续性的必然结果2形变协调条件是形变对应的位移存在且连续的必要条件
弹性力学在土木工程中的应用 摘要：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产的应力、弹性力学，应变和位移，从而解决结构或设计中所提生出的强度和刚度问题。在土木工程方面，建筑物能够通过有效的弹性可以抵消部分晃动，从而减少在地震中房屋倒塌的现象；对于水坝结构来说，弹性变化同样具有曲线性，适合不断变化的水坝内部的压力，还有大型跨顶建筑、斜拉桥等等。弹性力学在土木工程中还有一些重要应用实例，如：地基应力与沉降计算原理、混凝土板的计算方法、混凝土材料受拉劈裂试验的力学原理、混凝土结构温度裂缝分析、工程应变分析、结构中的剪力滞后问题等。 关键词：弹性力学、力学、弹性变形、有限元法、强度、土木工程
正文： 弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。 弹性力学弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。 对于物体弹性变形，变形的机理，应从材料内部原子间里的作用来分析。实际上，固体材料之所以能保持其内部结构的稳定性是由于组成该固体材料（如金属）的原子间存在着相互平衡的力，吸力使原子间密切联系在一起，而短程排斥力则使各原子间保持一定的距离在正常情况下，这两种力保持平衡，原子间的相对位置处于规则排列的稳定状态。受外力作用时，这种平衡被打破，为了恢复平衡，原子便需产生移动和调整，使得吸力、斥力和外力之间取得平衡。因此，如果知道了原子之间的力相互之间的定律，原则上就能算出晶体在一定弹性力作用下的反应。实际上，固体结构的内部是多样的、复杂的。例如：夹杂、微孔、晶
板壳理论课程设计 对工科各专业说来，弹性力学的任务和材料力学、结构力学的任务一样，是分析各种结构或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。然而，它们之间还存在着一些不同。材力中，基本上只研究杆状结构，即长度远大于高度和宽度的构件。而材料力学中主要研究的是这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。结构力学中，主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即杆件系统。至于非杆状结构，则是弹性力学的主要研究内容。在弹性力学中，研究杆状结构一般都不用诸如一些关于构建的形变状态或应力分布的假定，因而得到的结果就比较精确。 从8个方程8个未知量，到圣维南原理、相容方程；从逆解法、半逆解法到差分法、变分法，邱老师的课讲的十分生动，同学们也听得十分认真。到弹性力学下册，也就是板壳理论，主要是研究薄板的小挠度变形及其应力、应变。求解四边简支矩形薄板在载荷下的挠度，以及矩形薄板的莱维法解及一般解法。另外，变厚度矩形和圆形薄板的挠度求解问题。差分法中引进了较为精确的边界条件以及在均布载荷和集中载荷下的不同解法。 在课程设计的过程中，在自学Matlab 的过程中完成了纳维解法中挠度表达式的表示和循环收敛过程，并且完成了差分法中不同网格划分下的差分方程化为矩阵形式后的求解过程。除此之外，还学会了使用ABAQUS 创建板并定义厚度以减少同等情况下创建实体添加边界条件不准确对计算结果产生的影响。尽管和差分法与精确解的误差分析相比，误差还是比较大，但相比于创建三维实体并在底边添加约束条件相比，误差还是减少了很多。 在计算过程中，先是采用厚度0.2m 薄板，有限元方法的误差过大，而当把薄板的厚度改为0.1m 时，误差变小。两种厚度的薄板都进行了同样的计算。 四边简支的薄板在均布载荷作用下位移的最大值，薄板的尺寸为长宽高： 110.1??，均布载荷为21000/q N m =，弹性模量E=205GPa ，泊松比=0.3μ， 分别用：纳维法、差分法以及有限元方法进行求解并比较求得的结果。 得到结果如下：
有限元大作业程序设计 学校：天津大学 院系：建筑工程与力学学院 专业：01级工程力学 姓名：刘秀 学号：\\\\\\\\\\\ 指导老师：
连续体平面问题的有限元程序分析 [题目]： 如图所示的正方形薄板四周受均匀载荷的作用，该结构在边界 上受正向分布压力， m kN p 1=，同时在沿对角线y 轴上受一对集中压 力，载荷为2KN ，若取板厚1=t ，泊松比0=v 。 [分析过程]： 由于连续平板的对称性，只需要取其在第一象限的四分之一部分参加分析，然后人为作出一些辅助线将平板“分割”成若干部分，再为每个部分选择分析单元。采用将此模型化分为4个全等的直角三角型单元。利用其对称性，四分之一部分的边界约束，载荷可等效如图所示。
[程序原理及实现]： 用FORTRAN程序的实现。由节点信息文件NODE.IN和单元信息文件ELEMENT.IN，经过计算分析后输出一个一般性的文件DATA.OUT。模型基本信息由文件为BASIC.IN生成。 该程序的特点如下： 问题类型：可用于计算弹性力学平面问题和平面应变问题 单元类型：采用常应变三角形单元 位移模式：用用线性位移模式 载荷类型：节点载荷，非节点载荷应先换算为等效节点载荷 材料性质：弹性体由单一的均匀材料组成 约束方式：为“0”位移固定约束，为保证无刚体位移，弹性体至少应有对三个自由度的独立约束 方程求解：针对半带宽刚度方程的Gauss消元法
输入文件：由手工生成节点信息文件NODE.IN，和单元信息文件ELEMENT.IN 结果文件：输出一般的结果文件DATA.OUT 程序的原理如框图：
固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其他外界因素作用下产生的变形和内力，又称弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。 弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。 人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。 弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动（或平衡）规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。 ①变形连续规律弹性力学（和刚体的力学理论不同）考虑到物体的变形，但只限于考虑原来连续、变形后仍为连续的物体，在变形过程中，物体不产生新的不连续面。如果物体中本来就有裂纹，则弹性力学只考虑裂纹不扩展的情况。 反映变形连续规律的数学方程有两类：几何方程和位移边界条件。几何方程反映应变和位移的联系，它的力学含义是，应变完全由连续的位移所引起，
第五章弹性力学边值问题 本章任务 总结对弹性力学基本方程 讨论求解弹性力学问题的方法
目录 §5.1弹性力学基本方程 §5.2问题的提法 §5.3弹性力学问题的基本解法 解的唯一性 §5.4圣维南局部影响原理 §5.5叠加原理
§5.1弹性力学基本方程 ?总结弹性力学基本理论； ?讨论已知物理量、基本未知量；以及物理量之间的关系——基本方程和边界条件。
弹性力学基本方程 1.平衡微分方程 000=+??+??+??=+??+??+??=+??+??+??bz z yz z by zy y xy bx zx yx x F z y x F z y x F z y x στττστττσ0 ,=+bj i ij F σ2.几何方程 x w z u z v y w y u x v z w y v x u zx yz xy z y x ??+??=??+??=??+??=??=??=??=γγγεεε,,,,,),,(2 1i j j i ij u u +=ε
3.变形协调方程 y x z y x z z x z y x y z y z y x x z x x z z y z y y x y x z xy xz yz y xy xz yz x xy xz yz xz z x yz y z xy x y ???=??-??+???????=??+??-???????=??+??+??-?????=??+?????=??+?????=??+??εγγγεγγγεγγγγεεγεεγεε2222222222222222222)(2)(2)(位移作为基本未知量时，变形协调方程自然满足。
第三章 平面问题的直角坐标解答 【3-4】试考察应力函数3ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)? 【解答】⑴相容条件: 不论系数a 取何值，应力函数3ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25). ⑵求应力分量 当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得 6,0,0x y xy yx ay σσττ==== ⑶考察边界条件 上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上； 当a>0时，考察x σ分布情况，注意到0xy τ=，故y 向无面力 左端:0()6x x x f ay σ=== ()0y h ≤≤ () 0y x y x f τ === 右端:()6x x x l f ay σ=== (0)y h ≤≤ ()0y x y x l f τ=== 应力分布如图所示，当l h ?时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩 x y O x f x f 主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。 偏心距e ： 因为在A 点的应力为零。设板宽为b ，集中荷载p 的偏心距e ： 2()0/6/6 x A p pe e h bh bh σ=-=?= 同理可知，当a <0时，可以解决偏心压缩问题。 x y l O h 图3-8 e P P e A
【3-6】试考察应力函数223(34)2F xy h y h Φ= -，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画 出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。 【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25） 4444 22420?Φ?Φ?Φ ++=????x x y y ，显然满足 （2）将Φ错误！未找到引用源。代入式（2-24），得应力分量表达式 3 12,0,x y Fxy h σσ=-=2 234(1)2==--xy yx F y h h ττ （3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力： ①在主要边界上（上下边界）上，2h y =±，应精确满足应力边界条件式（2-15）， 应力()()/2/20,0y yx y h y h στ=±=±== 因此，在主要边界2h y =±上，无任何面力，即0,022x y h h f y f y ??? ?=±==±= ? ???? ? ②在x=0，x=l 的次要边界上，面力分别为： 22340:0,1-2x y F y x f f h h ?? === ??? 3 221234:,12x y Fly F y x l f f h h h ?? ==- =-- ??? 因此，各边界上的面力分布如图所示： ③在x=0，x=l 的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式： x=0上 x=l 上 x y l O /2h 图3-9 /2 h () l h ?
河南科技大学 课程设计说明书 课程名称应用软件基础 题目平面问题的有限元分析 院系规划与建筑工程学院 班级工程力学091班 学生姓名王亚洲 指导教师梅群 日期2012-09-05 目录
第一章概述 (1) 1、研究问题的目的及内容 (3) 1.1、研究问题的目的 (3) 1.2、研究的内容 (4) 1.3、PLANE82单元介绍 (4) 第二章计算实例分析 (5) 1、问题描述 (5) 2、问题分析 (5) 3、ANSYS求解步骤 (5) 3.1定义工作文件名和工作标题 (5) 3.2设置计算类型 (6) 3.3设置单元类型 (6) 3.4定义材料参数 (6) 3.5生成几何模型 (6) 3.6进行网格划分 (7) 3.7施加均布力、施加约束 (8) 3.8分析计算 (9) 3.9绘制图 (9) 4、问题结果及分析 (11) 5、总结 (11) 参考文献资料 (12) 程序清单 (12)
第一章概述 随着现代工业的不断发展，人们对产品质量的要求逐步提高，传统的产品设计技术目前已远远不能满足产品的功能和市场的要求。而现代设计技术是以电子计算机为手段，以网络为基础，建立在现在管理之上，运用工程设计的新理论、新方法，实现计算机结果最优化，设计过程高效化的设计技术，它是传统设计技术的延伸和发展，它使传统设计技术发生了质的飞跃。有限元法最早可上溯到20世纪40年代。Courant第一次应用定义在三角区域上的分片连续函数和最小位能原理来求解St.Venant扭转问题。现代有限单元法的第一个成功的尝试是在 1956年，Turner、Clough等人在分析飞机结构时，将钢架位移法推广应用于弹性力学平面问题，给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确答案。1960年，Clough进一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了"有限单元法"，使人们认识到它的功效。有限元法已成为非常普及的数字化分析方法，国际上已发布了众多的有限元分析软件，因此，甚至可以说只要你能够进行工程设计和画图，就可以进行有限元分析。因为在一个自动化程度很高的软件平台基础上，有限元分析完全可以由计算机来自动完成。优化设计英文名是optimization design，从多种方案中选择最佳方案的设计方法。它以数学中的最优化理论为基础，以计算机为手段，根据设计所追求的性能目标，建立目标函数，在满足给定的各种约束条件下，寻求最优的设计方案。 有限元方法担当重任，在国民经济建设中发挥了重大作用。经过几十年的发展，有限元法的应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题。分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等，从固体力学扩展到流体力学、传热学、电磁学、声学等连续介质领域。在工程分析中的作用已从分析和校核扩展到优化设计，并和计算机辅助设计相结合。在短短的几十年里，有限元方法已在机械、航空、航天、船舶、地下建筑、地震、热传导、化学反应中物质的传递和扩散以及流体和结构相互作用等几乎所有的科学技术领域得到了广泛的应用。