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推理与证明易错题---教师版分析

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推理与证明易错题1．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．有超级可判断乙去过的城市为（ ）A ．AB ．BC ．CD ．不确定 【答案】A 【解析】试题分析：丙说：我们三人去过同一城市，则说明乙至少去过一个城市．但乙说：我没去过C 城市．所以乙可能只去过A 城市或B 城市或A ，B 两个城市都去过．但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，且乙又没去过C 城市，所以三人去过的同一城市为A 城市．但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，所以乙只去过一个城市为A 城市，甲去过两个城市A ，C ． 故A 正确． 考点：推理．2．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．有超级可判断乙去过的城市为（ ）A ．AB ．BC ．CD ．不确定 【答案】A 【解析】试题分析：丙说：我们三人去过同一城市，则说明乙至少去过一个城市．但乙说：我没去过C 城市．所以乙可能只去过A 城市或B 城市或A ，B 两个城市都去过．但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，且乙又没去过C 城市，所以三人去过的同一城市为A 城市．但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，所以乙只去过一个城市为A 城市，甲去过两个城市A ，C ．故A 正确．考点：推理．3．用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A.方程02=++b ax x 没有实根B.方程02=++b ax x 至多有一个实根C.方程02=++b ax x 至多有两个实根D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根 【答案】A【解析】反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“方程20x ax b ++=至少有一实根”的反面是“方程20x ax b ++=没有实根”，故选A. 考点：反证法.4．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa b c++，类比这个结论可知：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S —ABC 的体积为V ，则R 等于 A ．1234V S S S S +++ B ．12342VS S S S +++C ．12343V S S S S +++ D ．12344VS S S S +++【答案】C 【解析】试题分析：四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥，其高都是R ，四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积，因此R S R S R S R S V 432131313131+++=，解得43213S S S S V R +++=. 考点：类比推理的应用.5．对于任意正整数n ，定义“!!n ”如下： 当n 是偶数时，!!(2)(4)642n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅， 当n 是奇数时，!!(2)(4)531n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅现在有如下四个命题：①(2003!!)(2002!!)20032002321⋅=⨯⨯⨯⨯⨯；②10012002!!210011000321=⨯⨯⨯⨯⨯⨯；③2002!!的个位数是0； ④2003!!的个位数是5。

其中正确．．的命题有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D【解析】试题分析：根据条件中的描述，可以做出如下判断， ①：(2003!!)(2002!!)(2003200131(200220002321⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯4)=20032002，正确；②：10012002!!200220002210011000321=⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯4，正确；③：2002!!2002200042=⨯⨯⋅⋅⋅⨯，等号右边的因子中有末位是0的整数，显然乘积的个位数是0；正确④：2003!!(20032001531=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯，等号右边的因子中有末位是5的整数，显然乘积的个位数是5，正确，∴正确的命题有4个. 考点：新定义类材料阅读题. 6．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1) 【答案】B【解析】依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n ＋1，且每组共有n 个“整数对”，这样前n 组一共有()12n n +个“整数对”，注意到()101012+<60<()111112+，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)，选B.7．①由“若a ，b ，c ∈R ，则(ab)c ＝a(bc)”类比“若a 、b 、c 为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；②在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，猜想a n ＝2n－2；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中，正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：①显然错误,向量没有结合律;②根据221+=+n n a a ,可构造出)(21m a m a n n +=++,即2=m ,可得2221=+++n n a a ,该数列是公比为2,首项是221=+a 的等比数列, 所以其通项公式为n n a 22=+,可得22-=nn a ,正确;③四面体就是三棱锥,可看作是底面三角形中任取一点,将其向上提而形成的几何体,显然三个侧面的面积之和大于底面面积.正确.考点：向量运算定律;利用递推公式构造等比数列求通项公式;空间几何的猜想.类比推理. 8．给出命题：若,a b 是正常数，且a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，则号成立)x 值分别为（ ） A．11+．11+C ．25．25，15【答案】D【解析】试题分析：本题先从给出的命题中进行学习，获取一些基本的信息，进而利用这一信息进行作答．依题意可得2222923(23)()2512212212f x x x x x x x +=+=+≥=--+-，当且仅当23212x x =-即15x =时等号成立，故选D ．考点：创新学习题．9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2n n S n a =*()n ∈N ，可归纳猜想出n S 的表达式为( )A【答案】A 【解析】试题分析：1121111S a ⨯===+；22214S a a =+=，解得213a =，2422321S ⨯∴==+；3331193S a a =++=，解得316a =，3323231S ⨯∴==+；4441111636S a a =+++=，解得4110a =，4824541S ⨯∴==+；于是猜想：21n nS n =+。

故A 正确。

考点：归纳猜想。

10．“设ABC RT ∆的两边AB ，AC 互相垂直，则222BC AC AB =+”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，在立体几何中，可得类似的结论是“设三棱锥BCD A -中三边AB 、AC 、AD 两两互相垂直，则___________”．【答案】2222BCD ADB ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++【解析】试题分析：AE BC ⊥与点E ，连接DE ．,,AD AB AD AC AB AC A ⊥⊥=，AD ∴⊥面ABC ，BC ⊂面ABC ，AD BC ∴⊥，,AE BC AEAD A ⊥=，BC ∴⊥面AED ，DE ⊂面AED ，BC DE ∴⊥．222222111222ABC ACD ADBS S S AB AC AC AD AD AB ∆∆∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222221144AD AB AC AD AB AC =++， ()22222144AD AB AC BC AE =++ 22221144AD BC BC AE =+ ()222221144BC AD AE BC DE =+=2BCD S ∆= 即2222ABC ACD ADB BCD S S S S ∆∆∆∆++=．考点：1类比推理；2线线垂直，线面垂直．11．甲、乙、丙、丁四个质点同时从某一点出发向同一个方向运动，其轨迹f i （x ）（i=1，2，3，4）关于时间x （x ≥0）的函数关系式分别为1()21x f x =-， 22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当x ＞1时，甲在最前面； ②当x ＞1时，乙在最前面；③当0＜x ＜1时，丁在最前面，当x ＞1时，丁在最后面； ④丙不可能在最前面，也不可能在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为___________ （把正确结论的序号都填上，多填，错填或少填均不得分）．【答案】③④⑤【解析】试题分析：因为路程f i （x ）（i=1，2，3，4）关于时间x （x ≥0）的函数关系是： f 1（x ）＝2x−1，f 2（x ）＝x 2，f 3（x ）=x ，f 4（x ）=log 2（x+1），它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型． 当x=2时，f 1（2）=3，f 2（2）=4，∴命题①不正确； 当x=4时，f 1（5）=31，f 2（5）=25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x ＜1时，丁走在最前面，当x ＞1时，丁走在最后面，命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．故答案为：③④⑤．考点：几种基本初等函数的变化趋势，关键是注意到对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，属于基础题．【方法点睛】分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．12．观察下列一组等式：①223sin 30+cos 60+sin 30cos60=4，②223sin 15+cos 45+sin15cos 45=4， ③223sin 45+cos 75+sin 45cos75=4，……，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：__ ____网] 【答案】223sin cos (30)sin cos(30)4x x x x ++++=【解析】解：观察下列一组等式：①sin 230°+cos 260°+sin30°cos60°=3 /4 ，②sin 215°+cos 245°+sin15°cos45°=3 /4 ，③sin245°+cos 275°+sin45°cos75°=3/ 4 ，…， 照此规律，可以得到的一般结果应该是 sin 2（30°+x ）+sin （30°+x ）cos （30°-x ）+cos 2（30°-x ），右边的式子：3 /4 ，故答案为：sin 2（30°+x ）+sin （30°+x ）cos （30°-x ）+cos 2（30°-x ）=3 /413．在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立；在凸四边形ABCD 中， 不等式1111162A B C D π+++≥成立；在凸五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立，，依此类推，在凸n 边形12n A A A 中，不等式12111nA A A +++≥__ ___成立.【答案】()22n n π-【解析】试题分析：我们可以利用归纳推理的方法得到不等式()2121112n n A A A n π++-+≥，从而得出结论． 考点：归纳推理.14．如图.小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量OA 围绕着点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则=6+6θcos θsin .【答案】-1 【解析】试题分析：从图中得出，第一个到第二个OA 转过了60度，第二个到第三个转过了120度，依次类推每一次边上是60度转角是120度，共有6个转角一共就是1080度，所以=6+6θcos θsin1180cos 180sin -=+ . 考点：观察图形特点的能力.15．[2014·长春调研]用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 条“金鱼”需要火柴棒的根数为________．【答案】6n ＋2【解析】由图形间的关系可以看出，第一个图中有8根火柴棒，第二个图中有8＋6根火柴棒，第三个图中有8＋2×6根火柴棒，以此类推第n 个“金鱼”需要火柴棒的根数是8＋6(n －1)，即6n ＋2. 16．（5分）（2011•陕西）观察下列等式 1=1 2+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为 ． 【答案】5+6+7+8+9+10+11+12+13=81【解析】试题分析：根据题意，观察等式的左边，分析可得规律：第n 个等式的左边是从n 开始的（2n ﹣1）个数的和，进而可得答案． 解：根据题意，观察可得，第一个等式的左边、右边都是1，第二个等式的左边是从2开始的3个数的和， 第三个等式的左边是从3开始的5个数的和， …其规律为：第n 个等式的左边是从n 开始的（2n ﹣1）个数的和，第五个等式的左边应该是从5开始的9个数的和，即5+6+7+8+9+10+11+12+13，计算可得，其结果为81；故答案为：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．点评：本题考查归纳推理，解题时要认真分析题意中的等式，发现其变化的规律，注意验证即可． 17．数列{}n a 的前n 项和为n S .若数列{}n a 的各项按如下规则排列：1121231234121,,,,,,,,,,,2334445555n n n n-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅则15_____;a =若存在正整数k ，使110,k S -<10k S >，则_______.k a =【答案】1556,67k a a == 【解析】试题分析：从题中可看出分母1n +出现n 次，当分母为1n +时，分子依次为1,2,3,,n 共n 个，由于1234515++++=，因此1556a =，计算分母为1n +的各分数的和，依次为135,1,,2,,3,222，而13512310.510222+++++=>，但135127.510222++++=<，再计算1234512777777++++=，而119729102714+=<，故67k a =. 考点：归纳推理.18．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：222c a b =+.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O LMN -，如果用123,,S S S 表示三个侧面面积，4S 表示截面面积，那么类比得到的结论是 ．【答案】22221234S S S S ++= 【解析】试题分析：建立从平面图形到空间图形的类比，于是可猜想:22221234S S S S ++=，故答案为22221234S S S S ++=.对22221234S S S S ++=的证明如下：设,,OM a ON b OL c ===，则由,,OM ON OL 两两垂直可得MN ML NL =在MNL ∆中，由余弦定理可得222cos 2MN ML NL LMN MN ML+-∠=⋅即2222cos 2MN ML NL LMN MN ML +-∠==⋅所以sin LMN ∠===所以41sin 2S MN ML LMN =⋅∠=即22222222222224123111111()()()444222S a c a b b c ac ab bc S S S =++=++=++.考点：合情推理中的类比推理.19．选修4-5：不等式选讲 （1）解不等式：422-<-x x ；（2）记（1）中不等式的解集为A ，当A b a ∈,时，证明：ab b a +<+42． 【答案】（1）{}22<<-x x ；（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）不等式224x x -<-，即()()22224x x -<-，由此求得不等式的解集． （2）由题意可得2222a b -<<-<<，，用比较法证得22420ab a b+-+>，可得不等式24a b ab +<+成立．试题解析：（1）两边平方得，16848422+-<+-x x x x ，整理得042<-x ，解得22<<-x ． 所以原不等式的解集为{}22<<-x x ． （2）由（1）可得，{}22<<-=x x A ，当A b a ∈,时，则22<<-a ，22<<-b ．即42<a ，42<b ，所以042>-a ，042>-b ．所以0)4)(4(22>--b a ．即044162222>+--b a b a ．也就是22221644b a b a +<+，所以2222816484b a ab b ab a ++<++， 即22)4()22(ab b a +<+，即ab b a +<+42． 考点：1．绝对值不等式；2．不等式证明． 20．在数列{n a }中，16a =，且111n n n a a a n n---=++*(,2)n N n ∈≥， （1）求234,,a a a 的值；（2）猜测数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明。

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推理与证明易错题---教师版分析

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推理与证明易错题1．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．有超级可判断乙去过的城市为（ ）A ．AB ．BC ．CD ．不确定 【答案】A 【解析】试题分析：丙说：我们三人去过同一城市，则说明乙至少去过一个城市．但乙说：我没去过C 城市．所以乙可能只去过A 城市或B 城市或A ，B 两个城市都去过．但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，且乙又没去过C 城市，所以三人去过的同一城市为A 城市．但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，所以乙只去过一个城市为A 城市，甲去过两个城市A ，C ．故A 正确．考点：推理．2．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．有超级可判断乙去过的城市为（ ）A ．AB ．BC ．CD ．不确定 【答案】A 【解析】试题分析：丙说：我们三人去过同一城市，则说明乙至少去过一个城市．但乙说：我没去过C 城市．所以乙可能只去过A 城市或B 城市或A ，B 两个城市都去过．但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，且乙又没去过C 城市，所以三人去过的同一城市为A 城市．但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，所以乙只去过一个城市为A 城市，甲去过两个城市A ，C ．故A 正确．考点：推理．3．用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A.方程02=++b ax x 没有实根B.方程02=++b ax x 至多有一个实根C.方程02=++b ax x 至多有两个实根D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根 【答案】A【解析】反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“方程20x ax b ++=至少有一实根”的反面是“方程20x ax b ++=没有实根”，故选A. 考点：反证法.4．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa b c++，类比这个结论可知：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S —ABC 的体积为V ，则R 等于 A ．1234V S S S S +++ B ．12342VS S S S +++C ．12343V S S S S +++ D ．12344VS S S S +++【答案】C 【解析】试题分析：四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥，其高都是R ，四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积，因此R S R S R S R S V 432131313131+++=，解得43213S S S S V R +++=. 考点：类比推理的应用.5．对于任意正整数n ，定义“!!n ”如下： 当n 是偶数时，!!(2)(4)642n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅， 当n 是奇数时，!!(2)(4)531n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅现在有如下四个命题：①(2003!!)(2002!!)20032002321⋅=⨯⨯⨯⨯⨯；②10012002!!210011000321=⨯⨯⨯⨯⨯⨯；③2002!!的个位数是0； ④2003!!的个位数是5。

高考数学压轴专题人教版备战高考《推理与证明》易错题汇编含答案解析

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【最新】数学《推理与证明》专题解析一、选择题1．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（ ）A ．cos sin x x --B ．cos sin x x -C ．sin cos x x +D ．cos sin x x -+【答案】A 【解析】 【分析】根据归纳推理进行求解即可． 【详解】解：由题意知：()sin cos f x x x =-，1()()cos sin f x f x x x '==+，[]1'2()()sin cos f x f x x x ==-+， []'23()()cos sin f x f x x x ==--， []'34()()sin cos f x f x x x ==-，L照此规律，可知：[]'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，故选：A. 【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．2．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可 【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可故选：D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题3．观察下图：12343456745678910LL则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017 B ．1009C ．1010D ．1011【答案】B 【解析】 【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可 【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数 且这21n -个数成公差为1的等差数列 所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n = 故选：B 【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.4．若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( ) A ．12nn c c c d n++⋯+=B ．12nn c c c d n⋅⋅⋯⋅=C．n d =D．n d =【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论． 【详解】解：Q 数列{}n a 是等差数列，则()12112n n na a a a d n -++⋯++=，∴数列12112n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列Q 正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ，则()112121111n n nn n c c c c c q c q c q--⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅∴121n n d c q-=∴n d =故选：D ． 【点睛】本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．5．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．6．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ）A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 【答案】C 【解析】“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选C.7．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ） A ．147 B ．294C ．882D ．1764【答案】A 【解析】 【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值. 【详解】 依题意列表如下：上列乘6 上列乘5 上列乘2 16 30 60 123153013 2 10 2014 32 1521515 656121615 10所以6603020151210147S =+++++=.故选：A 【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.8．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}n a 的递堆公式11(),n n a a n n N *+=++∈其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④【答案】D 【解析】由图形可得：a 1=1,a 2=1+2，… ∴()1122n n n a n +=++⋯+=.所以①a 5=15； 正确；②an −a n −1= n ,所以数列{a n }不是一个等差数列；故②错误； ③数列{an }不是一个等比数列；③错误； ④数列{a n }的递推关系是a n +1=a n +n +1(n ∈N ∗).正确； 本题选择D 选项.点睛： 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B 【解析】【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；综上可得，获奖人为乙.故选：B.【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.10．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是A．甲B．乙C．丙D．无法预测【答案】A【解析】【分析】若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次。

(易错题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(包含答案解析)(2)

(易错题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(包含答案解析)(2)

一、选择题1．正整数按下表的规律排列，则上起第2005行，左起第2006列的数应为（ ）A ．22005B ．22006C ．20052006+D ．20052006⨯2．将正整数1，2，3，4，按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从左往右数第1个数是（ ）A ．381B ．361C ．362D ．4003．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列{}n a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则57S ＝（ ）A ．265B ．521C ．1034D ．20594．将正奇数数列1，3，5，7，9，⋅⋅⋅依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，⋅⋅⋅，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中（ ） A ．第404组 B ．第405组C ．第808组D ．第809组5．将正整数1,2,3,4,,,n 按第k 组含1k +个数分组：()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,,那么2019所在的组数为（ ）A ．62B ．63C ．64D ．656．在ABC △中，若AC BC ⊥，AC b =，BC a =，则ABC △的外接圆半径22a b r +=，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA 、SB 、SC 两两互相垂直，SA a =，SB b =，SC c =，则四面体S ABC -的外接球半径R =（ ）A ．2222a b c ++B ．2223a b c ++ C ．33333a b c ++ D ．3abc7．已知三个月球探测器α，β，γ共发回三张月球照片A ，B ，C ，每个探测器仅发回一张照片.甲说：照片A 是α发回的；乙说：β发回的照片不是A 就是B ；丙说：照片C 不是γ发回的，若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则发回照片B 的探测器是（ ） A ．αB ．βC ．γD ．以上都有可能8．小明在期中考后,想急迫地核对答案,于是他来到数学组办公室,寻找出卷的老师．此时办公室正好有四位老师,他们发现小明不认识他们中的任何一位,于是他们每人说了一句话: 甲说:“我这学期还没出过考试卷呢！” 乙说：“丁出的这次考卷！” 丙说:“是乙出的试卷！” 丁说:“出卷的不是我！”他们告诉小明,只有一位老师说了假话,而且出卷老师就在其中,那么请问到底是谁出的期中试卷（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．在二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；在三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度为（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知正三角形ABC 的边长是a ，若D 是ABC 内任意一点，那么D 到三角形三边的距离之和是定值32a .若把该结论推广到空间，则有：在棱长都等于a 的正四面体ABCD 中，若O 是正四面体内任意一点，那么O 到正四面体各面的距离之和等于（ ）A 3B 6C 6aD 3 11．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=，求得152x +=. 类似上述过程，则222+++=A ．1312+ B ．3C ．2D ．2212．用反证法证明命题：“若,a b ∈R ，且220a b +=，则a ，b 全为0”时，要做的假设是（ ）A ．0a ≠且0b ≠B ．a ，b 不全为0C ．a ，b 中至少有一个为0D ．a ，b 中只有一个为0二、填空题13．甲、乙、丙三名运动员，其中一名是足球运动员，一名是兵乓球运动员，一名是羽毛球运动员，已知丙的身高比羽毛球运动员高，甲与乒乓球运动员身高不同，乒乓球运动员比乙身高低，据此推断足球运动员是__14．观察下列式子：2222221311511171,1,1222332344+<++<+++≤，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为_________．15．如图是一个三角形数表，记,1n a ，,2n a ，…，,n n a 分别表示第n 行从左向右数的第1个数，第2个数，…，第n 个数，则当2n ≥，*n N ∈时，,2n a =______.16．观察下列等式，211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，从中可以归纳出一个一般性的等式是：__________()2*(21)n n =-∈N .17．将正整数有规律地排列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ……………则在此表中第45行第83列出现的数字是________18．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =__________．19．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年）一书中，用如图A 所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士•帕斯卡的著作（1655年)介绍了这个三角形，近年来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”() Chinese triangle ，如图A .17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”，如图B .在杨辉三角中，相邻两行满足关系式：111r r r n n n C C C ++++=，其中n 是行数，r N ∈.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是__________．20．过正三角形的外接圆的圆心且平行于一边的直线分正三角形两部分的面积比为4∶5，类比此性质：过正四面体的外接球的球心且平行于一个面的平面分正四面体两部分的体积比为_______.三、解答题21．（1）设a ，b ，()0,1c ∈，用反证法求证：下列三个关于x 的方程210ax x b ++-=，210bx x c ++-=，210cx x a ++-=中至少有一个有实数根.（2）已知0b a >>，且01ab <≤，用分析法求证：3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭a b a b .22．用反证法证明：2，3，5不可能成等差数列． 23．已知非零向量a b ，，且a b ⊥，求证：2a b a b+≤+．24．已知函数3()3xf x x =+，数列{}n a 对于*n ∈N ，总有1()n n a f a +=，112a =. (1)求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想.25．如图（A ），（B ），（C ），（D ）为四个平面图形: （A ）（B ）（C ）（D ）（I ）数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将列联表补充完整；交点数 边数 区域数 （A ） 4 5 2（B ） 58（C ） 12 5（D ）15（II ）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为,,E F G ，试猜想,,E F G 间的数量关系（不要求证明）.26．数列{}n a 中，()11n a n n =+，前n 项的和记为n S ．（1）求123,,S S S 的值，并猜想n S 的表达式； （2）请用数学归纳法．．．．．证明你的猜想．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由给出排列规律可知，第一列的每个数为所该数所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1．由此能求出上起第2005行，左起第2006列的数． 【详解】解：由给出排列规律可知，第一列的每个数为所该数所在行数的平方， 而第一行的数则满足列数减1的平方再加1． 依题意有，左起第2006列的第一个数为20052+1， 故按连线规律可知，上起第2005行，左起第2006列的数应为20052+2005＝2005×2006． 故选D ． 【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．其中分析出数的排列规律是解答的关键．2．C解析：C 【分析】本题可根据图中数字的排列规律来思考，先观察每行数字的个数的规律，然后找到每行第一个数之间的规律，然后根据规律得出第20行的第1项的数字． 【详解】解：由图中数字排列规律可知：∵第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，第4行有7个数，… ∴第i 行有(21)i -个数.可设第i 行第j 个数字为.i j a ，其中121j i ≤≤-.观察每行的第1项，可得： 1.11a =， 2.12a =， 3.15a =， 4.110a =，… ∴ 1.11a =，2.1 1.11a a -=，3.1 2.13a a -=，4.1 3.15a a -=，….1 1.123i i a a i ---=.以上各项相加，可得：.1113523i a i =++++⋅⋅⋅+-（）(1)(123)12i i -+-=+2(1)1i =-+.∴220.1(201)1362a =-+=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查数列排列规律，等差数列的特点及求通项和求和．属于中档题．3．C解析：C 【分析】由归纳推理及等比数列前n 项和可得：即57a 在第11组中且为第11组中的第2个数，则01901571010222()1034S C C =++⋯+++=，得解．【详解】解：将1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，⋯． 分组为（1），(1,1)，(1，2，1)，(1，3，3，1)，(1，4，6，4，1)⋯ 则第n 组n 个数且第n 组n 个数之和为12n -， 设57a 在第n 组中， 则(1)(1)5722n n n n -+， 解得：11n =，即57a 在第11组中且为第11组中的第2个数，即为110C ，则01901571010222()1034S C C =++⋯+++=， 故选：C ． 【点睛】本题考查了归纳推理及等比数列前n 项和，属于中档题．4．B解析：B 【分析】求出2021为第1011个正奇数，再根据题中的规则分析组数的规律可得答案. 【详解】正奇数数列1,3,5,7,9...的通项公式为21,n a n =- 则2021为第1011个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，共20251010⨯=个数，共2022404⨯=组. 故原数列中的2021位于分组序列中第405组 故选：B. 【点睛】本题考查了与数列有关的推理问题，需要分析数字的总数，再分析组数.属中档题.5．B解析：B 【分析】观察规律，看每一组的最后一个数与组数的关系，可知第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +，然后再验证求解. 【详解】观察规律，第一组最后一个数是2=2， 第二组最后一个数是5=2+3， 第三组最后一个数是9=2+3+4，……， 依此，第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +. 当62n =时，()320152n n +=，所以2019所在的组数为63. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推，还考查了推理论证的能力，属于中档题.6．A解析：A 【解析】 【分析】四面体S ABC -中，三条棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，则可以把该四面体补成长方体，长方体的外接球就是四面体的外接球，则半径易求. 【详解】四面体S ABC -中，三条棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，则可以把该四面体补成长方体，SA a =，SB b =，SC c =是一个顶点处的三条棱长.所以外接球的直径就是长方体的体对角线，则半径2R =.故选A. 【点睛】本题考查空间几何体的结构，多面体的外接球问题，合情推理.由平面类比到立体，结论不易直接得出时，需要从推理方法上进行类比，用平面类似的方法在空间中进行推理论证，才能避免直接类比得到错误结论.7．A解析：A【分析】结合题中条件，分别讨论甲对、乙对或丙对的情况，即可得出结果.【详解】如果甲对，则β发回的照片是C，故丙也对，不符合条件，故甲错误；如果乙对，则丙错误，故照片C是γ发回的.得到照片A是由β发回，照片B是由α发回.符合逻辑，故照片B是由α发回；如果丙对，则照片C是由β发出，甲错误，可以推出α发出照片B，γ发出照片A，故照片B是由α发出.故选A【点睛】本题主要考查推理分析，根据合情推理的思想，进行分析即可，属于常考题型.8．B解析：B【分析】不妨假设甲出的试卷，再检验四位老师说的话的真假，再用同样的方法逐一判断即可得解.【详解】解：假设甲出的试卷，则甲、乙、丙说了假话，与题设矛盾，故出卷的不是甲，假设乙出的试卷，则只有乙说了假话，与题设相符，故出卷的是乙，假设丙出的试卷，则乙、丙说了假话，与题设矛盾，故出卷的不是丙，假设丁出的试卷，则丙、丁说了假话，与题设矛盾，故出卷的不是丁，故选B.【点睛】本题考查了简单的推理，重点考查了阅读理解能力，属基础题.9．B解析：B【解析】【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出，高维度的测度的导数是低一维的测度，从而得到，求出所求。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《推理与证明》易错题汇编附答案解析

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【最新】《推理与证明》专题解析一、选择题1．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f =，…，可推出(10)f =（ ） A ．271 B ．272C ．273D ．274【答案】A 【解析】 【分析】观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数． 【详解】由图可知，()11f =，()212667f =+⨯-=，()()312362619f =++⨯-⨯=， ()()212362619f =++⨯-⨯=， ()()4123463637f =+++⨯-⨯=，…()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=故选A. 【点睛】此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-2．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=【答案】C 【解析】 【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解． 【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理； 对于B 中， 猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28 B ．76C ．123D ．199【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.4．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=A ．()f xB ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．5．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 A ．甲 B ．乙C ．丙D ．无法预测【答案】A 【解析】 【分析】若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次。