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数据结构中的关键路径算法解析关键路径算法是一种用于确定项目关键路径的方法，它可以帮助我们找到项目中耗时最长的路径，从而可以合理地安排任务和资源，提高项目完成的效率。
在数据结构中，关键路径算法也有着重要的应用。
本文将对数据结构中的关键路径算法进行解析和讨论。
一、什么是关键路径算法？关键路径算法是一种基于网络图的分析工具，它通过构建工程项目的网络模型，确定项目中的关键路径，以便更好地控制和管理项目进度。
关键路径是指项目中最长时间的路径，这条路径上的每个任务都是不能延误的，否则将会对整个项目的完成时间产生直接影响。
二、关键路径算法的基本步骤1. 创建网络图：将项目的任务和其所需的时间以及任务之间的依赖关系表示为有向无环图（DAG），其中顶点表示任务，边表示任务之间的依赖关系。
2. 计算任务的最早开始时间（ES）和最迟开始时间（LS）：从图的起点开始，依次计算每个任务的最早开始时间，即该任务能够开始执行的最早时间；然后从图的终点开始，逆序计算每个任务的最迟开始时间，即该任务必须在何时开始以保证项目能够按时完成。
3. 计算任务的最早完成时间（EF）和最迟完成时间（LF）：根据任务的最早开始时间和所需时间计算出任务的最早完成时间，即该任务能够完成的最早时间；然后根据任务的最迟开始时间和所需时间计算出任务的最迟完成时间，即该任务必须在何时完成以保证项目能够按时完成。
4. 计算任务的总时差（TF）：总时差等于任务的最迟完成时间减去最早完成时间，表示任务可以延误的时间。
5. 确定关键路径：根据任务的总时差，将总时差为零的任务连接起来，形成关键路径。
三、关键路径算法的实例为了更好地理解关键路径算法的应用，我们以一个简单的工程项目为例进行说明。
假设有以下任务需要完成：任务A：7天任务B：5天任务C：10天任务D：6天任务E：3天任务F：8天任务之间的依赖关系如下所示：A ->B -> D -> FA -> C -> E -> F首先，我们可以根据这些任务和依赖关系创建一个有向无环图（DAG），然后按照上述算法的步骤进行计算。
项目管理-进度计划：关键路径法详解项目管理-进度计划：关键路径法详解摘要: CPM（Critical Path Method:关键路径法）是项目管理中最基本也是非常关键的一个概念，它上连着WBS（工作分解结构），下连着执行进度控制与监督。
关键路径是项目计划中最长的路线。
它决定了项目的总实耗时间。
项目经理必须把注意力集中于那些优先等级最高的任务，确保它们准时完成，关键路径上的任何活动的推迟将使整个项目推迟。
向关键路径要时间，向非关键路径要资源。
所以在进行项目操作的时候确定关键路径并进行有效的管理是至关重要的。
关键路径法：定义关键路径法(Critical Path Method，CPM)，又称关键线路法。
一种计划管理方法。
它是通过分析项目过程中哪个活动序列进度安排的总时差最少来预测项目工期的网络分析。
它用网络图表示各项工作之间的相互关系，找出控制工期的关键路线，在一定工期、成本、资源条件下获得最佳的计划安排，以达到缩短工期、提高工效、降低成本的目的。
CPM中工序时间是确定的，这种方法多用于建筑施工和大修工程的计划安排。
它适用于有很多作业而且必须按时完成的项目。
关键路线法是一个动态系统，它会随着项目的进展不断更新，该方法采用单一时间估计法，其中时间被视为一定的或确定的。
关键路径法：起源关键路线法是一种网络图方法，最早出现于20世纪50年代，由雷明顿-兰德公司(Remington- Rand)的JE克里(JE Kelly)和杜邦公司的MR 沃尔克(MR Walker)在1957年提出的，用于对化工工厂的维护项目进行日程安排。
这种方法产生的背景是，在当时出现了许多庞大而复杂的科研和工程项目，这些项目常常需要运用大量的人力、物力和财力，因此如何合理而有效地对这些项目进行组织，在有限资源下以最短的时间和最低的成本费用下完成整个项目就成为一个突出的问题，这样CPM就应运而生了。
关键路径法：原理与网络步骤关键路径法（CPM）是一种网络分析技术，是确定网络图当中每一条路线从起始到结束，找出工期最长的线路，也就是说整个项目工期的决定是由最长的线路来决定的。
关键路径法关键路径法（Critical Path Method, CPM）是借助网络图和各活动所需时间（估计值），计算每一活动的最早或最迟开始和结束时间。
CPM法的关键是计算总时差，这样可决定哪一活动有最小时间弹性。
CPM算法的核心思想是将WBS分解的活动按逻辑关系加以整合，统筹计算出整个项目的工期和关键路径。
1．关键路径因网络图中的某些活动可以并行地进行，所以完成工程的最少时间是从开始节点到结束节点的最长路径长度，称从开始节点到结束节点的最长路径为关键路径（临界路径），关键路径上的活动为关键活动。
有关关键路径的具体求法，请阅读8.1.3节。
2．时差一般来说，不在关键路径上的活动时间的缩短，不能缩短整个工期。
而不在关键路径上的活动时间的延长，可能导致关键路径的变化，因此可能影响整个工期。
活动的总时差是指在不延误总工期的前提下，该活动的机动时间。
活动的总时差等于该活动最迟完成时间与最早完成时间之差，或该活动最迟开始时间与最早开始时间之差。
活动的自由时差是指在不影响紧后活动的最早开始时间前提下，该活动的机动时间。
活动自由时差的计算应按以下两种情况分别考虑：（1）对于有紧后活动的活动，其自由时差等于所有紧后活动最早开始时间减本活动最早完成时间所得之差的最小值。
例如，假设活动A的最早完成时间为4，活动A有两项紧后活动，其最早开始时间分别为5和7，则A的自由时差为1。
（2）对于没有紧后活动的活动，也就是以网络计划终点节点为完成节点的活动，其自由时差等于计划工期与本活动最早完成时间之差。
需要指出的是，对于网络计划中以终点节点为完成节点的活动，其自由时差与总时差相等。
此外，由于活动的自由时差是其总时差的构成部分，所以，当活动的总时差为0时，其自由时差必然为0，可不必进行专门计算。
3．费用斜率一项活动所用的时间可以有标准所需时间S和特急所需时间E，对应的费用分别为SC和EC，则活动的费用斜率的计算公式如下：C＝(EC－SC)/(S-E)由上述公式，我们可以发现，费用斜率描述的是某一项活动加急所需要的代价比，即平均每加急一个时间单位所需要付出的代价。
关键路径计算方法关键路径是项目管理中的一个重要概念，通过关键路径的计算可以确定项目的最短工期和关键任务，帮助项目经理和团队成员合理安排工作，提高项目的执行效率和成功率。
本文将介绍关键路径计算的方法和步骤。
一、关键路径的定义关键路径是指在项目网络图中，连接起始节点和终止节点的最长路径。
在这条路径上的任务被称为关键任务，它们的完成时间直接影响整个项目的工期。
如果关键任务延迟完成，整个项目的工期将延迟。
二、关键路径的计算方法关键路径的计算方法有两种，分别是前置法和后置法。
下面将详细介绍这两种方法的步骤。
1. 前置法的计算步骤：（1）绘制项目网络图，标注任务和其所需时间。
（2）计算每个任务的最早开始时间（EST）和最早完成时间（EFT）。
（3）计算每个任务的最晚开始时间（LST）和最晚完成时间（LFT）。
（4）根据计算得到的EST、EFT、LST、LFT，确定每个任务的浮动时间（TF）。
（5）找出浮动时间为0的任务，这些任务即为关键任务。
（6）按照关键任务的排列顺序，确定关键路径。
2. 后置法的计算步骤：（1）绘制项目网络图，标注任务和其所需时间。
（2）计算每个任务的最晚开始时间（LST）和最晚完成时间（LFT）。
（3）计算每个任务的最早开始时间（EST）和最早完成时间（EFT）。
（4）根据计算得到的EST、EFT、LST、LFT，确定每个任务的浮动时间（TF）。
（5）找出浮动时间为0的任务，这些任务即为关键任务。
（6）按照关键任务的排列顺序，确定关键路径。
三、关键路径计算的应用关键路径计算可以帮助项目经理和团队成员合理安排工作，提高项目的执行效率和成功率。
具体应用包括以下几个方面：1. 确定项目的最短工期：通过关键路径的计算，可以确定项目的最短工期，避免工期延误和浪费资源。
2. 优化资源分配：关键路径计算可以帮助项目经理合理安排资源，避免资源过度或不足，提高资源利用率。
3. 提前预警和风险控制：通过关键路径的计算，可以提前预警可能延误的任务，及时采取措施进行调整和风险控制。
关键路径法--计算方法关键路径法定义关键路径法(Critical Path Method, CPM)是一种基于数学计算的项目计划管理方法，是网络图计划方法的一种，属于肯定型的网络图。
关键路径法将项目分解成为多个独立的活动并确定每个活动的工期，然后用逻辑关系（结束-开始、结束-结束、开始-开始和开始结束）将活动连接，从而能够计算项目的工期、各个活动时间特点（最早最晚时间、时差）等。
在关键路径法的活动上加载资源后，还能够对项目的资源需求和分配进行分析。
关键路径法是现代项目管理中最重要的一种分析工具。
关键路径法的分类根据绘制方法的不同，关键路径法可以分为两种，即箭线图（ADM）和前导图（PDM）。
箭线图（ADM）法又称为双代号网络图法，它是以横线表示活动而以带编号的节点连接活动，活动间可以有一种逻辑关系，结束-开始型逻辑关系。
在箭线图中，有一些实际的逻辑关系无法表示，所以在箭线图中需要引入虚工作的概念。
绘制箭线图时主要有以下一些规则：1、在箭线图（ADM）中不能出现回路。
如上文所述，回路是逻辑上的错误，不符合实际的情况，而且会导致计算的死循环，所以这条规则是必须的要求。
2、箭线图（ADM）一般要求从左向右绘制。
这虽然不是必须的要求，但是符合人们阅读习惯，可以增加箭线图（ADM）的可读性。
3、每一个节点都要编号，号码不一定要连续，但是不能重复，且按照前后顺序不断增大。
这条规则有多方面的考虑，在手工绘图时，它能够增加图形的可读性和清晰性，另外，在使用计算机运行箭线图（ADM）这一条就非常重要，因为在计算机中一般通过计算节点的时间来确定各个活动的时间，所以节点编号不重复是必须的。
4、一般编号不能连续，并且要预留一定的间隔。
主要是为了在完成的箭线图（ADM）中可能需要增加活动，如果编号连续，新增加活动就不能满足编号由小到大的要求。
5、表示活动的线条不一定要带箭头，但是为了表示的方便，一般推荐使用箭头。
这一条主要是绘制箭线图（ADM）时可以增加箭线图（ADM）的可读性。
关键路径法与关键链法的比较关键路径法与关键链法都是制定进度计划的工具。
关键路径法是在不考虑任何资源限制的情况下，在给定活动持续时间、逻辑关系及其他制约因素下，分析项目关键路径的进度网络分析技术；该方法沿着项目进度网络路径进行顺推与逆推分析，计算出全部活动理论上的最早开始与完成日期、最晚开始与完成日期。
关键路径法是时间约束性进度网路分析工具，应用关键路径法可以使工作尽早安排。
进度安排的弹性大小由活动浮动时间决定，浮动时间小于等于零的路径定义为关键路径，关键路径上的进度活动称为“关键活动”。
关键路径法关注的重点是活动的浮动时间。
关键链法是一种根据有限的资源来调整项目进度计划的进度网络分析技术。
首先，根据持续时间估算、给定的依赖关系和制约因素，绘制项目进度网络图；然后，计算关键路径。
在确定了关键路径之后，再考虑资源的可用性，制定出资源约束型进度计划——该进度计划中的关键路径常与原先的不同。
资源约束型关键路径就是关键链。
关键链法在网络图中增加作为“非工作进度活动”的持续时间缓冲，用来应对不确定性。
关键链方法不关注网络路径的总浮动时间，而是重点管理剩余的缓冲持续时间与剩余的任务链持续时间之间的匹配关系。
关键链法的理论依据是帕金森定律，关键链法是资源约束性的进度网络分析工具，应用关键链法可以有效解决帕金森定律描述的工作被拖延的情况。
关键链法使用更激进的估算，但是可以通过使用缓冲来保证网络进度。
资源负载的进度计划显示在整个项目中最长的路径作为关键链（而不是关键路径）。
关键链法通过在关键链的末端放置缓冲以保证进度。
对于关键链的接驳路径，接驳缓冲用于对关键链没有负面影响的接驳链。
因为在估算持续时间时使用了更多的激进的估算，所以缓冲可以保证项目的进度。
在使用关键链法的时候也有一些其他的假设。
所有的资源在他们的任务上都是全职工作。
他们没有做其他的项目，而是仅仅工作在这个项目上。
在项目中资源被认为是一个瓶颈，所以所有工作量都是利用这些资源。
关键路径算法相关概念： （1）AOE (Activity On Edges)⽹络如果在⽆有向环的带权有向图中⽤有向边表⽰⼀个⼯程中的各项活动(Activity)，⽤边上的权值表⽰活动的持续时间(Duration)，⽤顶点表⽰事件(Event)，则这样的有向图叫做⽤边表⽰活动的⽹络，简称AOE (Activity On Edges)⽹络。
AOE ⽹是⼀个带权的有向⽆环图。
AOE⽹络在某些⼯程估算⽅⾯⾮常有⽤。
例如，可以使⼈们了解： a、完成整个⼯程⾄少需要多少时间(假设⽹络中没有环)? b、为缩短完成⼯程所需的时间, 应当加快哪些活动? （2）关键路径(Critical Path) 在AOE⽹络中, 有些活动顺序进⾏，有些活动并⾏进⾏。
从源点到各个顶点，以⾄从源点到汇点的有向路径可能不⽌⼀条。
这些路径的长度也可能不同。
完成不同路径的活动所需的时间虽然不同，但只有各条路径上所有活动都完成了，整个⼯程才算完成。
因此，完成整个⼯程所需的时间取决于从源点到汇点的最长路径长度，即在这条路径上所有活动的持续时间之和。
这条路径长度最长的路径就叫做关键路径(Critical Path)。
（3）由于实际⼯程只有⼀个开始点和⼀个结束点，因此AOE⽹存在唯⼀的⼊度为0的开始点（⼜称源点）和唯⼀的出度为0的结束点（⼜称汇点）参数定义： （1）事件的最早发⽣时间 etv（earliest time of vertex）：即顶点V k的最早发⽣时间。
（2）事件的最晚发⽣时间 ltv（latest time of vertex）：即顶点V k的最晚发⽣时间，也就是每个顶点对应的事件最晚需要开始的时间，超出此事件将会延误整个⼯期。
（3）活动的最早开⼯时间 ete（earliest time of edge）：即弧ak的最早发⽣时间。
（4）活动的最晚开⼯时间 lte（latest time of edge）：即弧ak的最晚发⽣时间，也就是不推迟⼯期的最晚开⼯时间。
项目经理考试之1：CPM(关键路径)、PERT(三点估算)1实用资料(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）PERT网络分析法PERT网络分析法(计划评估和审查技术，Program Evaluation and Review Technique)什么是PERT网络分析?PERT(Program Evaluation and Review Technique)即计划评审技术，最早是由美国海军在计划和控制北极星导弹的研制时发展起来的。
PERT技术使原先估计的、研制北极星潜艇的时间缩短了两年。
简单地说，PERT是利用网络分析制定计划以及对计划予以评价的技术。
它能协调整个计划的各道工序，合理安排人力、物力、时间、资金，加速计划的完成。
在现代计划的编制和分析手段上，PERT被广泛的使用，是现代化管理的重要手段和方法。
PERT网络是一种类似流程图的箭线图。
它描绘出项目包含的各种活动的先后次序，标明每项活动的时间或相关的成本。
对于PERT网络，项目管理者必须考虑要做哪些工作，确定时间之间的依赖关系，辨认出潜在的可能出问题的环节，借助PERT还可以方便地比较不同行动方案在进度和成本方面的效果。
构造PERT图，需要明确三个概念：事件、活动和关键路线。
1、事件（Events）表示主要活动结束的那一点；2、活动（Activities）表示从一个事件到另一个事件之间的过程；3、关键路线（Critical Path）是PERT网络中花费时间最长的事件和活动的序列。
PERT的基本要求[1]1.完成既定计划所需要的各项任务必须全部以足够清楚的形式表现在由事件与活动构成的网络中。
事件代表特定计划在特定时刻完成的进度。
活动表示从一个事件进展到下一个事件所必需的时间和资源。
应当注意的是,事件和活动的规定必须足够精确,以免在监视计划实施进度时发生困难。
2.事件和活动在网络中须必按照一组逻辑法则排序,以便把重要的关键路线确定出来。
