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浙江省湖州市2014年高三第一学期期末考试样卷数学【理】试题及答案

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湖州市2014-2015学年度第一学期期末考试高三数学卷（理）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3710a a +=，则9S =（ ）A ．9B ．10C ．45D ．90 2、“2πϕ=”是“函数()1sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3、函数()()213log 9f x x =-的单调递增区间为（ ）A ．()0,+∞B ．(),0-∞C ．()3,+∞D ．(),3-∞- 4、已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//l α，//m α，则//l m B ．若l m ⊥，//m α，则l α⊥ C ．若l α⊥，m α⊥，则//l m D ．若l m ⊥，l α⊥，则//m α5、若圆C :()()2221x a y a a -+--=与x ，y 轴都有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦6、已知函数()93x x f x m =⋅-，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥B ．102m << C ．02m << D ．2m ≥7、已知实数x ，y 满足01011x y y kx ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≥-⎩，若z k x y =-的最大值为1，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1k =B ．1k ≤C ．1k ≥D ．01k ≤≤8、已知1F 、2F 分别是双曲线1C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，且2F 是抛物线2C :22y px =（0p >）的焦点，双曲线1C 与抛物线2C 的一个公共点是P ．若线段2F P 的中垂线恰好经过焦点1F ，则双曲线1C 的离心率是（ ）A ．2B ．1C ．2D ．1二、填空题（本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题4分，共36分．）9、已知全集为R ，集合{}220x x x A =->，{}13x x B =<<，则A B = ；A B = ；R A =ð ．10、若函数()()3log ,03,0x x f x f x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，则()9f = ；19f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ．11、若函数()tan 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为 ；8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．12、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ；表面积为 ．13、在C ∆A B 中，C 3B =，C 4A =，5AB =，M 是边AB 上的动点（含A ，B 两个端点）．若C C C λμM =A+B（λ，R μ∈），则C C λμA -B的取值范围是 ．14、已知棱长为a 的正四面体可以在一个单位正方体（棱长为1）内任意地转动．设P ，Q 分别是正四面体与正方体的任意一顶点，当a 达到最大值时，P ，Q 两点间距离的最小值是 ．15、设R a ∈，集合{}220S x ax x =-≤，(){}2441210x ax a a x T =--+≥，若R S T = （R 为实数集），则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16、（本小题满分15分）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b =．已知向量2cos ,sin 2m B ⎛⎫=B ⎪⎝⎭，)n =，且//m n ．()I 若512πA =，求边c 的值； ()II 求C A 边上高h 的最大值．17、（本小题满分15分）如图，在四棱锥11C -A ABB 中，11//A A BB ，1A A ⊥平面C AB ，C 2π∠A B =，1C 1A =AA =，1C 2B =BB =．()I 求证：平面1C A A ⊥平面1C B B ；()II 若点C 在棱AB 上的射影为点P ，求二面角11C A -P -B 的余弦值． 18、（本小题满分15分）已知二次函数()2f x x bx c =++（b ，R c ∈）．()I 若()()12f f -=，且不等式()211x f x x ≤≤-+对[]0,2x ∈恒成立，求函数()f x 的解析式；()II 若0c <，且函数()f x 在[]1,1-上有两个零点，求2b c +的取值范围．19、（本小题满分15分）已知椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为()F 1,0，上顶点为()0,1B ．()I 过点B 作直线与椭圆C 交于另一点A ，若F 0AB⋅B =，求F ∆AB 外接圆的方程；()II 若过点()2,0M 作直线与椭圆C 相交于两点G ，H ，设P 为椭圆C 上动点，且满足G t O +OH =OP（O 为坐标原点）．当1t ≥时，求G ∆O H 面积S 的取值范围．20、（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且满足21n n a S -=．()I 求数列{}n a 的通项公式； ()II 设()1nn n b a =--，记12111n nb b b T =++⋅⋅⋅+，求证：2n T <．湖州市2014-2015学年度第一学期期末考试高三数学卷（理）参考答案36分.)9.()2,3 ；()(),01,-∞+∞ ；[]0,2 10.2 ； 011.2π；2 ；94π+13.12,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦15.[]0,1 三、解答题(本大题共5小题，共74.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16．解：(Ⅰ)方法一：由//m n ，得22cos 2BB =，--------------------------------2分即1cos B B +=,得1sin()62B π-=，-----------------------------------------------4分又0B π<<，所以5666B πππ-<-<，故66B ππ-=，即3B π=.--------------6分结合512A π=，得4C π=由正弦定理sin sin b cB C =得, c =----------------------------------------------------8分方法二: 由//m n ，得22cos 2BB =，----------------------------------------------2分则22cos 2sin cos 222B B B =，又cos 02B ≠，故cos 22B B=，即tan2B =，--------------------------------------------------------------------------------------4分 又0B π<<，所以022B π<<，故26B π=，即3B π=.--------------------------------6分 结合512A π=，得4C π=.由正弦定理sin sin b cB C=得， c =-------------------------------------------------------8分(Ⅱ) 设AC 边上的高为h，则131sin 222ABC S bh h ac B ∆====，----------10分即h =， 222222cos b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥， -----------------14（等号成立当且仅当a c =）所以9ac ≤，因此h =≤， 所以AC 边上的高h的最大值为h =． -----------------------------------------------15分 17．（Ⅰ）证明：因为1A A ⊥平面ABC ，所以1A A BC ⊥， …………………………2分 又因为AC BC ⊥，所以BC ⊥平面1A AC ， ………………………4分 所以平面1A AC ⊥平面1B BC . …………………………5分 （Ⅱ）解法1：先考查二面角1A PC A --和二面角1B PC B --， 因为1AA ⊥面ABC ，所以1AA CP ⊥，又因为CP AB ⊥， 所以CP ⊥面11A ABB ，所以1CP A P ⊥，1CP B P ⊥，所以11A PB ∠即二面角的11A PC B --一个平面角， ……………………7分因为11tan AA A PA AP∠=== ……………………9分11tan BB B PB BP ∠===， ……………………11分 所以()1111tan tan A PB A PA B PB π∠=-∠-∠，所以()1111tan tan A PB A PA B PB ∠=-∠+∠ ……………………12分1111tan tan 1tan tan A PA B PBA PAB PB ∠+∠=--∠∠……………………13分===， ……………………14分所以11cos A PB ∠=，所以二面角11A PC B --……………………15分 解法2：因为1AA ⊥面ABC ，所以1AA CP ⊥，又因为CP AB ⊥， 所以CP ⊥面11A ABB ，所以1CP A P ⊥，1CP B P ⊥，所以11A PB ∠即为二面角的11A PC B --一个平面角. …………………8分 因为CP AB ⊥，所以AP =，BP =， …………………………10分所以1A P ==1B P ===， …………………12分 又因为直角梯形11A ABB可得11A B ==， …………………………13分所以22211111111cos 2A P B P A B A PB A P B P +-∠= ， …………………………………14分所以11cos A PB ∠== 所以二面角11A PC B --……………………………15分 解法3：如图所示，以CA 为x 轴，以CB 为y 轴，过C 作z 轴，建立空间直角坐标系，则可知()1,0,0A ，()11,0,1A ，()0,2,0B ，()10,2,2B ，42,,055P ⎛⎫⎪⎝⎭，……8分则()11,0,1CA = ，42,,055CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭ .设平面1A PC 的一个法向量是()1,,1n x y =，可得：1042055x x y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩12x y =-⎧⇒⎨=⎩即()11,2,1n =- ．……………………………………………10分 同理可得1B PC 的一个法向量是21,1,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ， (12)分所以二面角11APC B --的余弦值为1212n n n n == ． ………………………15分 18．解：(Ⅰ)因为(1)(2)f f -=，所以1b =-，---------------------------------------3分因为当[0,2]x ∈，都有()2|1|1x f x x ≤≤-+，所以有(1)1f =， --------------------------6分 即1c =，所以2()1f x x x =-+； --------------------------------------------7分 (Ⅱ)解法1：因为()f x 在[1,1]-上有两个零点，且0c <，所以有(1)0,(1)0,0,f f c -≥⎧⎪≥⎨⎪<⎩10,10,0,b c b c c -++≥⎧⎪⇒++≥⎨⎪<⎩-------------------------11分（图正确，答案错误，扣2分）通过线性规划可得222b c -<+<. ---------------------------------------------15分 （若答案为222b c -≤+≤，则扣1分）解法2：设()f x 的两个零点分别12,x x ，所以12()()()f x x x x x =--，--------9分 不妨设1[1,0)x ∈-，2(0,1]x ∈，--------------------------------------------------------------11分 因为12(2)(2)(2)f x x =--，且12(2,3]x -∈，22[1,2)x -∈，----------------13分 所以(2)(2,6)f ∈，所以222b c -<+<.-------------------------------------------------15分 （若答案为222b c -≤+≤，则扣1分）19．解：(Ⅰ) 由右焦点为()1,0F ，上顶点为()0,1B 得1,1b c ==， 所以22a=.-------------------------------------------------------------------------3分 （,,a b c 每个1分）所以椭圆方程为22121x y +=，因为0AB BF ⋅= ，可求得点41(,)33A --，--------------------------------4分因为ABF ∆为直角三角形，AF 中点坐标11(,)66--，且AF =所以ABF ∆外接圆方程为221125()()6618x y +++=.--------------------6分(Ⅱ)设过点M 的直线方程为2x my =+， --------------------------------------------7分,G H 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，联立方程221,22,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(2)m y +4my +20+=，28160m ∆=->⇒22m >，因为12242m y y m +=-+，12222y y m =+，-------------------------------------------------9分 所以12||y y-===，------------11分 因为OG OH tOP += ，所以点1212(,)x x y y P t t++，因为点P 在椭圆C 上，所以有221212()2()2x x y y t t+++=，化简得2221212[()4]2()2m y y y y t ++++=， 因为12242my y m +=-+，所以得 2222244()(2)8()162022m m m m t m m -++-+-=++，化简22162m t=-，-------13分 因为1t ≥，所以2214m <≤，因为1212||2OGHS y y ∆=⋅⋅-=，((0,t t =∈，所以OGH S ∆==， 令4()g t t t=+，因为()g t 在(0,2]t ∈上单调递减，在[2,t ∈上单调递增，所以0OGH S ∆<≤分 20．解：（Ⅰ）当1n =时，1121a S -=，解得11a =，---------------------------------------------1分 当2n ≥时，21n n a S -=，1121n n a S ---=，-----------------------------------------------------------------------2分两式相减得：122n n n a a a --=，即12n n a a -=， ------------------------------------------------------------------------------------------5分 所以{}n a 是以11a =为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a -=，------------------6分 （Ⅱ）证法1：当n 为偶数时，21212312111112221212221n n n n n n n n n b b --------++=+=+-+------------------------------7分 2121232211222n n n n n -----+⎛⎫⎛⎫<=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，--------------------------------10分n T 012321111111222222n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =12122n ⎛⎫-< ⎪⎝⎭；-----------11分当n 是奇数时，12111n n T b b b =+++ <1211111n n b b b b +++++ 2<.综上可知2n T <.---------------------------------------------------------------------------------14分 证法2：当1,2,3,4n =时，112T =，232T =，31710T =,412970T =不等式显然成立-------8分当5n ≥时,要证明2n T <， 只要证明012111111221212(1)2(1)n n n n ---++++<+----- ， 只要证明2342121111112121212(1)2(1)2n n n n ---+++++<+-+---- . --------9分 又因为当5n ≥时，1216(1)0n n ---≥， 即1(1615)216(1)0,n n ----≥ 故()11162(1)152,n n n ----≥⋅()12152(1)2,8n n n ----≥⋅ 而234211111112121212(1)2(1)n n n n ---++++++-+----3421111115151557222888n -≤+++++⋅⋅⋅ -----------------------------------------------12分43111()11822157151()2n -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=++⋅- ----------------------------------------------------------------------13分 112250157155252<++=<.-------------------------------------------------------------------------------14分。

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2014年浙江省高考数学试卷(理科)(附参考答案+详细解析Word打印版)

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2014年浙江省普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁U A=（）A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm24．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位5．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f （3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．2106．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞97．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．8．（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）A．min{|+|，|﹣|}≤min{||，||} B．min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C．max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2 D．max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2 9．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m ≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i=1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）10．（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1二、填空题11．（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是．12．（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=．13．（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是．14．（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种（用数字作答）．15．（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是．16．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．17．（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）三、解答题18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积．19．（14分）已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．20．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．21．（15分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a ﹣b．22．（14分）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M （a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．2014年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁U A=（）A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}【分析】先化简集合A，结合全集，求得∁U A．【解答】解：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3}，则∁U A={2}，故选：B．【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题．2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”⇒“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”⇐“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．【解答】解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选：A．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．4．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，得到y==的图象．【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查．5．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f （3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．210【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可．【解答】解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=20．f（3，0）=20；含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．故选：C．【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．6．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9【分析】由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a，b，代入0＜f（﹣1）≤3，即可求出c的范围．【解答】解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）得，解得，则f（x）=x3+6x2+11x+c，由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，故选：C．【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．7．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象，比照后可得答案．【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：此时答案D满足要求，当a＞1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．8．（5分）记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，则（）A．min{|+|，|﹣|}≤min{||，||} B．min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C．max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2 D．max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2【分析】将，平移到同一起点，根据向量加减法的几何意义可知，+和﹣分别表示以，为邻边所做平行四边形的两条对角线，再根据选项内容逐一判断．【解答】解：对于选项A，取⊥，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边min{|+|，|﹣|}=0，显然，不等式不成立；对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max{|+|2，|﹣|2}=|+|2=4，而不等式右边=||2+||2=2，故C不成立，D选项正确．故选：D．【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将，，，放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法．9．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m ≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i=1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）【分析】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当ξ=1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；ξ=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出P1，P2和E（ξ1），E（ξ2）进行比较即可．【解答】解析：，，，所以P1＞P2；由已知ξ1的取值为1、2，ξ2的取值为1、2、3，所以，==，E（ξ1）﹣E（ξ2）=．故选：A．【点评】正确理解ξi（i=1，2）的含义是解决本题的关键．此题也可以采用特殊值法，不妨令m=n=3，也可以很快求解．10．（5分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1【分析】根据记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k （a98）|，分别求出I1，I2，I3与1的关系，继而得到答案【解答】解：由，故==1，由，故×=×＜1，+=，故I2＜I1＜I3，故选：B．【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．二、填空题11．（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是6．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件S＞50，跳出循环体，确定输出的i的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1，i=2；第二次循环S=2×1+2=4，i=3；第三次循环S=2×4+3=11，i=4；第四次循环S=2×11+4=26，i=5；第五次循环S=2×26+5=57，i=6，满足条件S＞50，跳出循环体，输出i=6．故答案为：6．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．12．（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=．【分析】结合方差的计算公式可知，应先求出P（ξ=1），P（ξ=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得．【解答】解析：设P（ξ=1）=p，P（ξ=2）=q，则由已知得p+q=，，解得，，所以．故答案为：【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式．13．（4分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是[] ．【分析】由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得C（1，）．联立，解得B（2，1）．在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．要使1≤ax+y≤4恒成立，则，解得：1．∴实数a的取值范围是．解法二：令z=ax+y，当a＞0时，y=﹣ax+z，在B点取得最大值，A点取得最小值，可得，即1≤a≤；当a＜0时，y=﹣ax+z，在C点取得最大值，①a＜﹣1时，在B点取得最小值，可得，解得0≤a≤（不符合条件，舍去）②﹣1＜a＜0时，在A点取得最小值，可得，解得1≤a≤（不符合条件，舍去）综上所述即：1≤a≤；故答案为：．【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题．14．（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有60种（用数字作答）．【分析】分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张．【解答】解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有=24种；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有=36种，共有24+36=60种．故答案为：60．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．15．（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是（﹣∞，] ．【分析】画出函数f（x）的图象，由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2，数形结合求得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=，它的图象如图所示：由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2．当a＜0时，f（a）=a2+a=（a+）2﹣≥﹣2恒成立；当a≥0时，f（a）=﹣a2≥﹣2，即a2≤2，解得0≤a≤，则实数a的取值范围是a≤，故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．16．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）【分析】过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，求出PP′，AP′，利用函数的性质，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：∵AB=15m，AC=25m，∠ABC=90°，∴BC=20m，过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=，设B P′=x，则CP′=20﹣x，由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=（20﹣x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，令y=，则函数在x∈[0，20]单调递减，∴x=0时，取得最大值为=．若P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan30°=（20+x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，令y=，则y′=0可得x=时，函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）若sinA=，求△ABC的面积．【分析】（1）利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），可得，即可得出．（2）利用正弦定理可得a，利用两角和差的正弦公式可得sinB，再利用三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）由题意得，，∴，化为，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），得，即，∴；（2）由，利用正弦定理可得，得，由a＜c，得A＜C，从而，故，∴．【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．【分析】（Ⅰ）先利用前n项积与前（n﹣1）项积的关系，得到等比数列{a n}的第三项的值，结合首项的值，求出通项a n，然后现利用条件求出通项b n；（Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．【解答】解：（Ⅰ）∵a1a2a3…a n=（n∈N*）①，当n≥2，n∈N*时，②，由①②知：，令n=3，则有．∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{a n}为等比数列，且a1=2，∴{a n}的公比为q，则=4，，∴q＞0，∴q=2．由题意知a n＞0∴（n∈N*）．又由a1a2a3…a n=（n∈N*）得：，，∴b n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅱ）（i）∵c n===．∴S n=c1+c2+c3+…+c n====；（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，，而=＞0，得，所以，当n≥5时，c n＜0，综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k=4．【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．20．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．【分析】（Ⅰ）依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，利用题中的数据，解三角形，可求得BF=，AF=AD，从而GF=，cos∠BFG==，从而可求得答案．【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=，由AC=，AB=2得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．在Rt△ACD中，由DC=2，AC=，得AD=；在Rt△AED中，由ED=1，AD=得AE=；在Rt△ABD中，由BD=，AB=2，AD=得BF=，AF=AD，从而GF=，在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE=，BG=．在△BFG中，cos∠BFG==，所以，∠BFG=，二面角B﹣AD﹣E的大小为．【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．21．（15分）如图，设椭圆C：（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；（Ⅱ）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a ﹣b．【分析】（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0，利用△=0，可求得在第一象限中点P的坐标；（Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，设直线l1的方程为x+ky=0，利用点到直线间的距离公式，可求得点P到直线l1的距离d=，整理即可证得点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b．．【解答】解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即b2﹣m2+a2k2=0，此时点P的横坐标为﹣，代入y=kx+m得点P的纵坐标为﹣k•+m=，∴点P的坐标为（﹣，），又点P在第一象限，故m＞0，故m=，故点P的坐标为P（，）．（Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离d=，整理得：d=，因为a2k2+≥2ab，所以≤=a﹣b，当且仅当k2=时等号成立．所以，点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力．22．（14分）已知函数f（x）=x3+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M （a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用分段函数，结合[﹣1，1]，分类讨论，即可求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h′（x）=，则[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，转化为﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x3+3|x﹣a|=，∴f′（x）=，①a≤﹣1时，∵﹣1≤x≤1，∴x≥a，f（x）在（﹣1，1）上是增函数，∴M（a）=f（1）=4﹣3a，m（a）=f（﹣1）=﹣4﹣3a，∴M（a）﹣m（a）=8；②﹣1＜a＜1时，x∈（a，1），f（x）=x3+3x﹣3a，在（a，1）上是增函数；x∈（﹣1，a），f（x）=x3﹣3x+3a，在（﹣1，a）上是减函数，∴M（a）=max{f（1），f（﹣1）}，m（a）=f（a）=a3，∵f（1）﹣f（﹣1）=﹣6a+2，∴﹣1＜a≤时，M（a）﹣m（a）=﹣a3﹣3a+4；＜a＜1时，M（a）﹣m（a）=﹣a3+3a+2；③a≥1时，有x≤a，f（x）在（﹣1，1）上是减函数，∴M（a）=f（﹣1）=2+3a，m（a）=f（1）=﹣2+3a，∴M（a）﹣m（a）=4；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h′（x）=，∵[f（x）+b]2≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，∴﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，由（Ⅰ）知，①a≤﹣1时，h（x）在（﹣1，1）上是增函数，最大值h（1）=4﹣3a+b，最小值h（﹣1）=﹣4﹣3a+b，则﹣4﹣3a+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2矛盾；②﹣1＜a≤时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（1）=4﹣3a+b，∴a3+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2，令t（a）=﹣2﹣a3+3a，则t′（a）=3﹣3a2＞0，t（a）在（0，）上是增函数，∴t（a）＞t（0）=﹣2，∴﹣2≤3a+b≤0；③＜a＜1时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（﹣1）=3a+b+2，则a3+b≥﹣2且3a+b+2≤2，∴﹣＜3a+b≤0；④a≥1时，最大值h（﹣1）=3a+b+2，最小值h（1）=3a+b﹣2，则3a+b﹣2≥﹣2且3a+b+2≤2，∴3a+b=0．综上，3a+b的取值范围是﹣2≤3a+b≤0．【点评】本题考查导数的综合运用，考查函数的最值，考查分类讨论、化归与转化的数学思想，难度大．。

数学_2013-2014学年浙江省湖州市某校高三(上)第二次联考数学试卷(理科)(含答案)

数学_2013-2014学年浙江省湖州市某校高三(上)第二次联考数学试卷(理科)(含答案)

2013-2014学年浙江省湖州市某校高三（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|0≤x ≤4}，则A ∩B =( )A [0, 2]B [1, 2]C [0, 4]D [1, 4]2. 设集合M ={1, 2}，N ={a 2}，则“a =1”是“N ⊆M”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分又不必要条件3. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A y =−x 3，x ∈RB y =sinx ，x ∈RC y =x ，x ∈RD y =(12)x ，x ∈R 4. 若f(x)=√log 12(2x+1)，则f(x)的定义域为（ ） A (−12, 0) B (−12, 0] C (−12, +∞) D (0, +∞)5. 已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确( )A 若m // α，n // α，则m // nB 若α⊥γ，β⊥γ，则α // βC 若m ⊥α，n ⊥α，则m // nD 若m // α，m // β，则α // β6. 若向量a →，b →，c →满足a → // b →且a →⊥c →，则c →⋅(a →+2b →)=( )A 4B 3C 0D 27. 已知{a n }为等比数列，若a 4+a 6=10，则a 1a 7+2a 3a 7+a 3a 9的值为（ ）A 10B 20C 60D 1008. 已知O 是坐标原点，点A(−1, 1)，若点M(x, y)为平面区域{x +y ≥2x ≤1y ≤2，上的一个动点，则OA →⋅OM →的取值范围是（ ）A [−1, 0]B [0, 1]C [0, 2]D [−1, 2]9. 对于任意的两个实数对(a, b)和(c, d)，规定：(a, b)=(c, d)，当且仅当a =c ，b =d ；运算“⊗”为：(a, b)⊗(c, d)=(ac −bd, bc +ad)；运算“⊕”为：(a, b)⊕(c, d)=(a +c, b +d)，设p ，q ∈R ，若(1, 2)⊗(p, q)=(5, 0)，则(1, 2)⊕(p, q)=( )A (4, 0)B (2, 0)C (0, 2)D (0, −4)10. 已知函数f(x)=e x +x ，对于曲线y =f(x)上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形；②△ABC 可能是直角三角形；③△ABC 可能是等腰三角形；④△ABC 不可能是等腰三角形．其中，正确的判断是（ ）A ①③B ①④C ②③D ②④二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11. 设S n 是等差数列{a n }(n ∈N +)的前n 项和，且a 1=1，a 4=7，则S 5=________．12. 若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是________cm 3．13. 函数f(x)=sin(2x −π4)−2√2sin 2x 的最小正周期是________．14. 若正数a ，b 满足2a +b =1，则4a 2+b 2+ab 的最小值为________．15. 设α为锐角，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π12)的值为________．16. 对a ，b ∈R ，记max{a, b}={a,a ≥b,b,a <b,则函数f(x)=max{|x +1|, |x −2|}(x ∈R)的最小值是________．17. 记[x]为不超过实数x 的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[−0.3]=−1．设a 为正整数，数列{x n }满足x 1=a ，x n+1=[x n +[a x n ]2](n ∈N ∗)，现有下列命题：①当a =5时，数列{x n }的前3项依次为5，3，2；②对数列{x n }都存在正整数k ，当n ≥k 时总有x n =x k ；③当n ≥1时，x n >√a −1；④对某个正整数k ，若x k+1≥x k ，则x k =[√a]．其中的真命题有________．（写出所有真命题的编号）三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）18. 在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos2A =35，sinB =√1010． （1）求A +B 的值；（2）若a −b =√2−1，求a 、b 、c 的值．19. 已知等比数列{a n }中，a 2=4，a 1+a 2+a 3=14，公比q >1．(I)求数列{a n }的通项公式；(II)若b n =a n ⋅log 2a n ，求数列{b n }前n 项的和S n ．20. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD // BC ，AB ⊥AD ，AC 与BD 交于点O ，PA =3，AD =2，AB =2√3，BC =6．（1） 求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角O −PB −A 的余弦值．21. 已知函数f(x)=(x 2+ax −2a 2+3a)e x (x ∈R)，其中a ∈R ．（1）当a =0时，求曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）当a ≠23时，求函数f(x)的单调区间和极值． 22. 对定义域分别是D f 、D g 的函数y =f(x)、y =g(x)，规定：函数ℎ(x)={f(x)⋅g(x)(当x ∈D f 且x ∈D g )f(x)(当x ∈D f 且x ∉D g )g(x)(当x ∉D f 且x ∈D g )（1）若函数f(x)=1x−1，g(x)=x 2，写出函数ℎ(x)的解析式；（2）求问题（1）中函数ℎ(x)的值域；（3）若g(x)=f(x +α)，其中α是常数，且α∈[0, π]，请设计一个定义域为R 的函数y =f(x)，及一个α的值，使得ℎ(x)=cos4x ，并予以证明．2013-2014学年浙江省湖州市某校高三（上）第二次联考数学试卷（理科）答案1. A2. A3. A4. A5. D6. C7. D8. C9. B10. B11. 2512. 14413. π14. 5815. 17√25016. 32 17. ①③④18. 解：（1）∵ A 、B 为锐角，sinB =√1010， ∴ cosB =√1−sin 2B =3√1010． 又cos2A =1−2sin 2A =35，∴ sinA =√55，cosA =√1−sin 2A =2√55．∴ cos(A +B)=cosAcosB −sinAsinB =2√55×3√1010−√55×√1010=√22． ∵ 0<A +B <π，∴ A +B =π4．（2）由（1）知C =3π4，∴ sinC =√22． 由正弦定理a sinA =b sinB =c sinC 得√5a =√10b =√2c ，即a =√2b ，c =√5b ．∵ a −b =√2−1，∴ √2b −b =√2−1，∴ b =1．∴ a =√2，c =√5．19. 解：(1)∵ a 2=a 1q =4，a 1+a 1q +a 1q 2=14，解得q =2或q =12， 而q >1，故q =2，a 1=2，∴ 数列{a n }的通项公式a n =2n ；(2)∵ b n =a n ⋅log 2a n =n ⋅2n ，∴ S n =1×2+2×22+⋯+(n −1)×2n−1+n ×2n ①2S n =1×22+2×23+⋯+(n −1)×2n +n ×2n+1②①-②得：−S n =2+22+23+⋯+2n −n ×2n+1=2(2n −1)−n ×2n+1整理得S n =(n −1)2n+1+2．20.（1）证明：由AD =2，AB =2√3，BC =6得BD =4，AC =4√3 ∵ AO OC =OD BO =13，∴ AO =√3，BO =3在△ABO 中，AO 2+BO 2=AB 2，所以AO ⊥BO ，∵ PA ⊥底面ABCD ，∴ PA ⊥BO∵ PA ∩AO =A ，∴ BD ⊥平面PAC ；（2）解：由PA ⊥底面ABCD ，可得面PAB ⊥底面ABCD ，由AB⊥AD，可得DA⊥面PAB作AH⊥PB，连接DH，则DH⊥PB，所以∠AHD是二面角D−PB−A的平面角．在△AHD中，AH=√7，AD=2，HD=√7，∴ cos∠AHD=AHHD=34．所以二面角D−PB−A的余弦值是34．21. （1）解：当a=0时，f(x)=x2e x，f′(x)=(x2+2x)e x，故f′(1)=3e，所以曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线的斜率为3e，f(1)=e，所以该切线方程为y−e=3e(x−1)，整理得：3ex−y−2e=0．（2）解：f′(x)=[x2+(a+2)x−2a2+4a]e x令f′(x)=0，解得x=−2a，或x=a−2．由a≠23知，−2a≠a−2．以下分两种情况讨论．①若a>23，则−2a<a−2．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(−∞, −2a)，(a−2, +∞)内是增函数，在(−2a, a−2)内是减函数．函数f(x)在x=−2a处取得极大值f(−2a)，且f(−2a)=3ae−2a．函数f(x)在x=a−2处取得极小值f(a−2)，且f(a−2)=(4−3a)e a−2．②若a<23，则−2a>a−2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：函数f(x)在x=a−2处取得极大值f(a−2)，且f(a−2)=(4−3a)e a−2，函数f(x)在x=−2a处取得极小值f(−2a)，且f(−2a)=3ae−2a．22. 解：（1）∵ f(x)=1x−1，g(x)=x2，∴ ℎ(x)={g(x),x=1f(x)⋅g(x),x≠1={x2，x=1x2x−1，x≠1，（2）当x=1时，ℎ(x)=g(x)=1；当x≠1时，ℎ(x)=f(x)⋅g(x)=x 2x−1=x−1+1x−1+2，若x>1，则ℎ(x)≥4，其中等号x=2时成立，若x<1，则ℎ(x)≤0，其中等号x=0时成立，∴ 函数ℎ(x)的值域为(−∞, 0]∪{1}∪[4, +∞)；（3）令f(x)=sin2x+cos2x，α=π4，则g(x)=f(x+α)=sin2(x+π4)+cos2(x+π4)=cos2x−sin2x，于是ℎ(x)=f(x)⋅f(x+α)=(sin2x+cos2x)(cos2x−sin2x)=cos4x．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(浙江卷,解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(浙江卷,解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试〔浙江卷〕数学〔理科〕一．选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分. 在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，如此=A C U 〔 〕A. ∅B. }2{C. }5{D. }5,2{ 【答案】B 【解析】.},2{},4,,3{},4,3,2{B A C A U u 选=∴==（2）i 是虚数单位，R b a ∈,,如此“1==b a 〞是“i bi a 2)(2=+〞的〔 〕 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】..∴.1-,1∴,2),2),1.1-,1.22,0-∴22-)2222222A b a b a i bi a i bi a b a b a b a ab b a i abi b a bi a 选件综上，是充分不必要条不是必要条件，或（是充分条件，（或（=====+=+∴======∴===+=+〔3〕某几何体的三视图〔单位：cm 〕如下列图，如此此几何体的外表积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm【答案】D 【解析】.138.93*3.186*3.363*4*3.935*34*6363*4*3D S S S S S S S S S S S 。

选几何体表面面积左面面积右面面积前后面面积，上底面面积几何体下底面面积右右前后上下左右前后上下=++++=∴=======+===4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像〔 〕A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位【答案】C 【解析】.12π6π(3sin 22π3sin(23cos 2∴)12π(3sin 2)4π3sin(23cos 3sin C x x x y x x x x y 可以得到。

2023-2024学年浙江省湖州市高三(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省湖州市高三(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤4}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |﹣1≤x ＜3}B ．{x |﹣1≤x ≤4}C ．{x |x ≤4}D ．{x |x ＜3}2．已知复数z 满足（z ﹣1）i ＝4+3i （i 为虚数单位），则z +z =（ ） A ．8B ．6C ．﹣6D ．﹣83．已知向量AB →=(√3，1)，AC →=(2√3，−2)，则AB →在AC →上的投影向量是（ ） A ．(√32，−12)B ．(√32，12) C ．(−√32，12) D ．(−√32，−12) 4．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，31，37，m ，42，49；乙组：24，n ，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则m +n ＝（ ） A ．60B ．65C ．70D ．715．已知α∈(π2，π)，且3cos2α﹣sin α＝2，则（ ）A ．cos(π−α)=23B ．tan(π−α)=√24C ．sin(π2−α)=√53D ．cos(π2−α)=√546．设数列{a n }的前n 项和为S n ，设甲：{a n }是等差数列；乙：对于所有的正整数n ，都有S n =n(a 1+a n )2．则（ ）A ．甲是乙的充要条件B ．甲是乙的充分条件但不是必要条件C ．甲是乙的必要条件但不是充分条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．在正四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 的边长为2，△P AC 为正三角形，点M ，N 分别在PB ，PD 上，且PM ＝2MB ，PN ＝2ND ，若过点A ，M ，N 的截面交PC 于点Q ，则四棱锥P ﹣AMQN 的体积是（ ） A ．2√63B ．4√63C ．2√69D ．4√698．已知函数f （x ）＝e x ﹣1，g （x ）＝ax 2，若总存在两条不同的直线与函数y ＝f （x ），y ＝g （x ）图象均相切，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(e4，+∞)B ．(e2，+∞)C ．(1e，+∞)D ．(2e，+∞)二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．下列结论中正确的是（ ）A ．在2×2列联表中，若每个数据a ，b ，c ，d 均变为原来的2倍，则χ2的值不变(χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d)B ．已知随机变量ξ服从正态分布N （3，4），若ξ＝2η+3，则D （η）＝1C ．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ）都在直线y ＝0.9x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为0.9D ．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M 表示为“第1枚为正面”，事件N 表示为“两枚结果相同”，则事件M ，N 是相互独立事件10．已知正数a ，b 满足a （a +b ）＝1，下列结论中正确的是（ ） A ．a 2+b 2的最小值为2√2−2 B ．2a +b 的最小值为2C ．1a +1b 的最小值为3√32D ．√a −√b 的最大值为111．纯音的数学模型是函数y ＝A sin ωt ，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f 的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f ，3f ，4f 等．这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是y =sinx +12sin2x +13sin3x +⋯．记f n (x)=sinx +12sin2x +13sin3x +⋯+1nsinnx ，则下列结论中正确的是（ ）A ．x ＝π为f 2（x ）的一条对称轴B ．f 2（x ）的周期为2πC ．f 3（x ）的最大值为2√23+12D ．f n （x ）关于点（π，0）中心对称12．已知O 为坐标原点，点A （﹣2，﹣1）在抛物线C ：x 2＝﹣2py （p ＞0）上，过点B （0，1）的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，则下列结论正确的是（ ） A ．抛物线C 的准线方程为y ＝1 B ．直线AB 与抛物线C 相切 C ．OP →⋅OQ →为定值3D ．|BP |•|BQ |＞|BA |2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知(x −ax)(1−x)4的展开式中含x 2项的系数为8，则实数a ＝ ．14．已知圆C 的圆心在直线y ＝x +1上且与y 轴相切．请写出一个同时满足上述条件的圆的标准方程 ．15．已知一个圆台的上、下底面半径为a ，b （a ＜b ），若球O 与该圆台的上、下底面及侧面均相切，且球O与该圆台体积比为613，则ab=．16．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左右顶点分别为A，B，点C满足AC→=λAB→(λ＞1)，点P为双曲线右支上任意一点（异于点B），以AC为直径的圆交直线AP于点M，直线BP与直线CM交于点N．若N点的横坐标等于该圆的半径，则该双曲线的离心率是．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.17．（10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=√3，sin B sin C=34，sin A sin（B﹣C）+sin B sin（C﹣A）＝sin C（sin B﹣sin C）．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等差数列，且满足a1=−1，a2+b3=0，S n= 2a n+b n(n∈N∗)．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若c1＝b1，c2n＝c2n﹣1+b1，c2n+1＝c2n+a n，求数列{c n}的前2n项和T2n．19．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，且BD=12CD＝1，BD⊥CD．DE⊥平面ABCD，且DE=12BF=√3，DE∥BF．点H，G分别为线段DC，EF上的动点，满足DH＝EG＝λ（0＜λ＜2）．（1）证明：直线GH∥平面BCF；（2）是否存在λ，使得直线GH与平面AEF所成角的正弦值为√4214？请说明理由．20．（12分）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.2023年9月23日，杭州亚运会开幕式隆重举行．某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚7点前登录该直播间的前N名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动．每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这N名观众中抽取15名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送．而直播时这N名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为X（幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为1人）．（1）已知小杭是这前N 名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为59，求N 的值；（2）当P （X ＝20）取到最大值时，求N 的值．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点A （﹣3，0），且离心率为√63．过点B(32，0)的直线交C 于P ，Q 两点（异于点A ）．直线AP ，AQ 分别交直线x +2y ﹣9＝0于M ，N 两点． （1）求证：直线AP 与直线AQ 的斜率之积为定值； （2）求△AMN 面积的最小值．22．（12分）已知函数f （x ）＝lnax +（ax ﹣a ﹣1）e x ﹣1﹣ax （a ＞0）．（1）是否存在实数a ，使得函数f （x ）在定义域内单调递增；（2）若函数f （x ）存在极大值M ，极小值N ，证明：M +N ＜﹣4．（其中e ≈2.71828是自然对数的底数）2023-2024学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤4}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |﹣1≤x ＜3}B ．{x |﹣1≤x ≤4}C ．{x |x ≤4}D ．{x |x ＜3}解：A ＝{x |﹣1≤x ≤4}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∪B ＝{x |x ≤4}． 故选：C ．2．已知复数z 满足（z ﹣1）i ＝4+3i （i 为虚数单位），则z +z =（ ） A ．8B ．6C ．﹣6D ．﹣8解：∵复数z 满足（z ﹣1）i ＝4+3i （i 为虚数单位），设z ＝a +bi ，a 、b ∈R ， 则（a +bi ﹣1）i ＝4+3i ，即﹣b +（a ﹣1）i ＝4+3i ，∴{−b =4a −1=3．求得{a =4b =−4，可得z ＝4+4i ，则z +z =4+4i +4﹣4i ＝8．故选：A ．3．已知向量AB →=(√3，1)，AC →=(2√3，−2)，则AB →在AC →上的投影向量是（ ） A ．(√32，−12) B ．(√32，12) C ．(−√32，12) D ．(−√32，−12) 解：AB →=(√3，1)，AC →=(2√3，−2)，则AB →⋅AC →=√3×2√3+1×(−2)=4，|AC →|=√(2√3)2+(−2)2=4，故AB →在AC →上的投影向量是：AB →⋅AC →|AC →|×AC →|AC →|=14AC →=(√32，−12)． 故选：A ．4．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，31，37，m ，42，49；乙组：24，n ，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则m +n ＝（ ） A ．60B ．65C ．70D ．71解：甲组、乙组数据个数均为6个，由6×30%＝1.8，得第30百分位数是第2个数据，故31＝n ， 由6×50%＝3，得第50百分位数是第3与4个数据平均值37+m 2=33+442，解得m ＝40．所以m+n＝71．故选：D．5．已知α∈(π2，π)，且3cos2α﹣sinα＝2，则（）A．cos(π−α)=23B．tan(π−α)=√24C．sin(π2−α)=√53D．cos(π2−α)=√54解：因为3cos2α﹣sinα＝2，所以3（1﹣2sin2α）﹣sinα＝2，解得sinα=−12或sinα=13．又α∈(π2，π)，所以sinα=13，则cosα=−√1−sin2α=−2√23，tanα=sinαcosα=−√24，对于A，cos(π−α)=−cosα=2√23，错误；对于B，tan（π﹣α）=−tanα=√24，正确；对于C，sin(π2−α)=cosα=−2√23，错误；对于D，cos(π2−α)=sinα=13，错误，故选：B．6．设数列{a n}的前n项和为S n，设甲：{a n}是等差数列；乙：对于所有的正整数n，都有S n=n(a1+a n)2．则（）A．甲是乙的充要条件B．甲是乙的充分条件但不是必要条件C．甲是乙的必要条件但不是充分条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解：若数列{a n}是等差数列，由等差数列的求和公式，可知S n=n(a1+a n)2成立；反之，若S n=n(a1+a n)2，则2S n＝n（a1+a n），当n≥2时，可得2S n﹣1＝（n﹣1）（a1+a n﹣1），两式相减得2（S n﹣S n﹣1）＝a1+na n﹣（n﹣1）a n﹣1，即2a n＝a1+na n﹣（n﹣1）a n﹣1，整理得a1+（n﹣2）a n﹣（n﹣1）a n﹣1＝0，以n+1代换n，得a1+（n﹣1）a n+1﹣na n＝0，两式相减得（n﹣1）a n+1﹣（2n﹣2）a n+（n﹣1）a n﹣1＝0，等式的两边约去n﹣1，得a n+1﹣2a n+a n﹣1＝0，即a n+1﹣a n＝a n﹣a n﹣1，可知{a n}是等差数列．综上所述：设甲：{a n}是等差数列；乙：对于所有的正整数n，都有S n=n(a1+a n)2，则甲是乙的充要条件．故选：A．7．在正四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD的边长为2，△P AC为正三角形，点M，N分别在PB，PD上，且PM＝2MB，PN＝2ND，若过点A，M，N的截面交PC于点Q，则四棱锥P﹣AMQN的体积是（）A．2√63B．4√63C．2√69D．4√69解：连接BD，交AC于O，连接AQ，交PO于G，如图，∵PM＝2MB，PN＝2ND，∴MN∥BD，∴PG＝2GO，∴G为△P AC的重心，∴Q为AC中点，∵△P AC为正三角形，∴PC⊥AQ，∵四棱锥P﹣ABCD是正四棱锥，∴BD⊥AC，BD⊥PO，AC∩PO＝O，∴BD⊥平面P AC，∵PC⊂平面P AC，∴PC⊥BD，∵BD∥MN，∴PC⊥MN，∵AQ∩MN＝G，∴PC⊥平面AMQN，∵AB＝2，∴AC＝BD＝2√2，MN=23BD=4√23，AQ=√32AC=√6，PQ=12AC=√2，∴四棱锥P﹣AMQN的体积是V P﹣AMQN=13×12×AQ×MN×PQ=16×√6×4√23×√2=4√69．故选：D．8．已知函数f（x）＝e x﹣1，g（x）＝ax2，若总存在两条不同的直线与函数y＝f（x），y＝g（x）图象均相切，则实数a的取值范围是（）A．(e4，+∞)B．(e2，+∞)C．(1e，+∞)D．(2e，+∞)解：由题意可知：a≠0，设函数f（x）＝e x﹣1上的切点坐标为(x1，e x1−1)，函数g（x）＝ax2的切点坐标为(x2，ax22)，且f'（x）＝e x﹣1，g'（x）＝2ax，则公切线的斜率e x1−1=2ax2，可得x2=e x1−1 2a，则公切线方程为y−e x1−1=e x1−1(x−x1)，代入(x2，ax22)，得ax22−e x1−1=e x1−1(x2−x1)，代入x2=e x1−12a，可得a(e x1−12a)2−e x1−1=e x1−1(e x1−12a−x1)，整理得14a=x1−1e x1−1，令t＝x1﹣1，则14a=te t，若总存在两条不同的直线与函数y＝f（x），y＝g（x）图象均相切，则方程14a=te t有两个不同的实根，设ℎ(x)=xe x，则ℎ′(x)=1−xe x，令h（x）＞0，解得x＜1；令h（x）＜0，解得x＞1，则h（x）在（﹣∞，1）内单调递增，在（1，+∞）单调递减，可得ℎ(x)≤ℎ(1)=1 e ，且当x趋近于﹣∞时，h（x）趋近于﹣∞；当x趋近于+∞时，h（x）趋近于0，可得0＜14a＜1e，解得a＞e4，故实数a的取值范围为(e4，+∞)．故选：A．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．下列结论中正确的是（）A．在2×2列联表中，若每个数据a，b，c，d均变为原来的2倍，则χ2的值不变(χ2= n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d)B．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若ξ＝2η+3，则D（η）＝1C．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i＝1，2，…，n）都在直线y＝0.9x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为0.9D．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M表示为“第1枚为正面”，事件N表示为“两枚结果相同”，则事件M，N是相互独立事件解：根据题意，依次分析选项：对于A，在2×2列联表中，若每个数据a，b，c，d均变为原来的2倍，而χ2=2n(4ad−4bc)2(2a+2b)(2c+2d)(2a+2c)(2b+2d)=2n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，为原来的2倍，A错误．对于B，变量ξ服从正态分布N（3，4），则D（ξ）＝4，又由ξ＝2η+3，则D（η）=14D（ξ）＝1，B正确；对于C，若所有样本点（x i，y i）（i＝1，2，…，n）都在直线y＝0.9x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为1，C错误；对于D，P（M）=12，P（N）=22×2=12，P（MN）=14，有P（MN）＝P（M）P（N），事件M，N是相互独立事件，D正确．故选：BD．10．已知正数a，b满足a（a+b）＝1，下列结论中正确的是（）A．a2+b2的最小值为2√2−2B．2a+b的最小值为2C．1a+1b的最小值为3√32D．√a−√b的最大值为1解：正数a，b满足a（a+b）＝1，即a+b=1a，可得b=1a−a＞0，满足0＜a＜1．对于A，a2+b2=a2+(1a−a)2=2a2+1a2−2≥2√2−2，当且仅当2a2=1a2，即a=√124时，等号成立．因此，a2+b2的最小值为2√2−2，A项正确；对于B，2a+b＝2a+1a−a=a+1a≥2√a⋅1a=2，当且仅当a＝1时取等号，由于0＜a＜1，所以以上不等式的等号不能成立，故2a+b的最小值大于2，B项不正确；对于C，1a +1b=a+bab=1aab=1a2(1a−a)=1a−a3＞0，设t＝a﹣a3，则t′＝1﹣3a2，当a∈(0，√33)时，t′＞0，t为关于a的增函数；当a∈(√33，1)时，t′＜0，t为关于a的减函数．所以当a=√33时，t＝a﹣a3有最大值2√39，可知1a+1b=1t有最小值2√3=3√32，故C项正确；对于D，由0＜a＜1，得0＜√a＜1，结合√b＞0可知√a−√b＜1恒成立，故√a−√b的最大值不可能为1，D项不正确．故选：AC ．11．纯音的数学模型是函数y ＝A sin ωt ，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f 的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f ，3f ，4f 等．这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是y =sinx +12sin2x +13sin3x +⋯．记f n (x)=sinx +12sin2x +13sin3x +⋯+1nsinnx ，则下列结论中正确的是（ ）A ．x ＝π为f 2（x ）的一条对称轴B ．f 2（x ）的周期为2πC ．f 3（x ）的最大值为2√23+12D ．f n （x ）关于点（π，0）中心对称解：因为f 2（x ）＝sin x +12sin2x ，所以f 2（﹣x +2π）＝sin （﹣x +2π）+12sin2（﹣x +2π）＝﹣sin x −12sin2x ＝﹣f 2（x ），所以f 2（﹣x +2π）≠f 2（x ），所以x ＝π不是f 2（x ）的一条对称轴，故A 不正确；因为f 2（x +2π）＝sin （x +2π）+12sin2（x +2π）＝sin x +12sin2x ＝f 2（x ），所以f 2（x ）的周期为2π，故B 正确； 因为f 3（x ）＝sin x +12sin2x +13sin3x ，所以f 3（x +2π）＝sin （x +2π）+12sin2（x +2π）+13sin3（x +2π）＝f 3（x ），所以f 3（x ）的周期为2π．而f 3'（x ）＝cos x +cos2x +cos3x ＝cos x +cos2x +cos （2x +x ） ＝cos x +cos2x +cos2x cos x ﹣sin2x sin x ＝cos x +cos2x +cos2x cos x ﹣2sin 2x cos x ＝cos2x +2cos2x cos x ＝cos2x （1+2cos x ），所以只考虑函数f 3（x ）在[0，2π]上的最大值即可．令f 3'（x ）＞0得：0＜x ＜π4或2π3＜x ＜3π4或5π4＜x ＜4π3或7π4＜x ＜2π；令f 3'（x ）＜0得：π4＜x ＜2π3或3π4＜x ＜5π4或4π3＜x ＜7π4．所以函数f 3（x ）在（0，π4），（2π3，3π4），（5π4，4π3），（7π4，2π）上单调递增，在（π4，2π3），（3π4，5π4），（4π3，7π4）上单调递减，又因为f 3（π4）=√22+12+13×√22=12+2√23，f 3（3π4）=−12+2√23，f 3（4π3）=−√34，f 3（2π）＝0，所以f 3（x ）的最大值为12+2√23，故C 正确；因为f n (x)=sinx +12sin2x +13sin3x +⋯+1nsinnx ，所以f n （﹣x +2π）＝sin （﹣x +2π）+12sin2（﹣x +2π）+13sin3（﹣x +2π）+⋯+1n sin n （﹣x +2π）＝﹣sin x −12sin2x −13sin3x −⋯−1nsin nx ＝﹣f n （x ），即f n （﹣x +2π）+f n （x ）＝0，所以f n （x ）关于点（π，0）中心对称，故D 正确． 故选：BCD ．12．已知O 为坐标原点，点A （﹣2，﹣1）在抛物线C ：x 2＝﹣2py （p ＞0）上，过点B （0，1）的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，则下列结论正确的是（ ） A ．抛物线C 的准线方程为y ＝1 B ．直线AB 与抛物线C 相切 C ．OP →⋅OQ →为定值3D ．|BP |•|BQ |＞|BA |2解：对于A ：∵点A （﹣2，﹣1）在抛物线C ：x 2＝﹣2py （p ＞0）上， 则4＝2p ，解得p ＝2，∴抛物线C ：x 2＝﹣4y ，其准线为y ＝1，故A 正确； 对于B ：过A 、B 的直线方程为y ＝x +1，代入抛物线方程得x 2﹣4x +4＝0， Δ＝16﹣16＝0，故直线AB 与抛物线只有一个公共点，且k AB =1−(−1)2=1，即AB 不垂直于x 轴， ∴直线AB 与抛物线C 相切，故B 正确； 对于C ：由题意可知，直线PQ 斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx +1，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 联立方程{y =kx +1x 2=−4y，消去y 得：x 2+4kx +4＝0， 可得Δ＝16k 2﹣16＞0，得k 2＞1， 且{x 1+x 2=−4kx 1x 2=4，∵OP →⋅OQ →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(−x 124)(−x 224)=x 1x 2+x 12x 2216=4+1=5，故C 错误； 对于D ：由题意可知|BA |2＝（﹣2﹣0）2+（﹣1﹣1）2＝8，∵|BP|⋅|BQ|=√1+k 2|x 1−0|⋅√1+k 2|x 2−0|=(1+k 2)|x 1x 2|=4(1+k 2)， 则|BP |•|BQ |＝4（1+k 2）＞8，∴|BP |•|BQ |＞|BA |2，故D 正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知(x−ax)(1−x)4的展开式中含x2项的系数为8，则实数a＝3．解：∵(x−ax)(1−x)4的展开式中含x2项的系数为−C41−a×（−C43）＝4a﹣4＝8，∴实数a＝3，故答案为：3．14．已知圆C的圆心在直线y＝x+1上且与y轴相切．请写出一个同时满足上述条件的圆的标准方程：（x ﹣1）2+（y﹣2）2＝1（答案不唯一）．解：圆C的圆心在直线y＝x+1，可设圆C的圆心为（a，a+1），又圆C与y轴相切，则半径r＝|a|，故圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣a﹣1）2＝a2，不妨令a＝1，故一个同时满足上述条件的圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1（答案不唯一）．15．已知一个圆台的上、下底面半径为a，b（a＜b），若球O与该圆台的上、下底面及侧面均相切，且球O与该圆台体积比为613，则ab=13．解：如图，作出圆台的轴截面，设圆台内切圆的半径为r，则圆台的母线长为a+b，∴高h=√(a+b)2−(b−a)2=2√ab=2r，∴r=√ab，∴V球V圆台=43πr313(πa2+πb2+πab)⋅2√ab=43πab√ab13(πa2+πb2+πab)⋅2√ab=2aba2+b2+ab=613，∴3a2+3b2﹣10ab＝0，∴3(ab)2−10ab+3=0，又a＜b，解得ab=13．故答案为：1 3．16．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左右顶点分别为A，B，点C满足AC→=λAB→(λ＞1)，点P为双曲线右支上任意一点（异于点B），以AC为直径的圆交直线AP于点M，直线BP与直线CM交于点N．若N点的横坐标等于该圆的半径，则该双曲线的离心率是√2．解：由题意，设C（t，0）（t＞a），A（﹣a，0），B（a，0），则|AC|＝a+t，则设N(a+t2，y1)，P（x2，y2）故k AP=y2x2+a，k NC=y1a+t2−t=2y1a−t，因为以AC为直径的圆交直线AP于点M，所以AM⊥CM，即AP⊥NC，所以k AP⋅k CN=y2x2+a⋅2y1a−t=−1，所以y2x2+a=t−a2y1，因为P，B，N三点共线，所以k PB＝k BN，即y2x2−a=y1a+t2−a=2y1t−a，所以y2x2+a⋅y2x2−a=t−a2y1⋅2y1t−a=1，即y22x22−a2=1，因为点P在双曲线x2a2−y2b2=1上，所以x22a2−y22b2=1，所以x22=a2+a2y2b2，所以y22x22−a2=y22a2+a22b2−a2=b2a2=1．所以离心率c=ca=√a+b2a2=√2．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.17．（10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=√3，sin B sin C=34，sin A sin（B﹣C）+sin B sin（C﹣A）＝sin C（sin B﹣sin C）．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积．解：（1）因为sin A sin（B﹣C）+sin B sin（C﹣A）＝sin C（sin B﹣sin C），所以sin A（sin B cos C﹣cos B sin C）+sin B（sin C cos A﹣cos C sin A）＝sin C（sin B﹣sin C），因为sin C≠0，所以﹣sin A cos B+sin B cos A＝sin B﹣sin C，因为sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，所以﹣sin A cos B+sin B cos A＝sin B﹣sin A cos B﹣cos A sin B，所以2sin B cos A＝sin B，因为sin B≠0，所以cos A=1 2，又A∈（0，π），所以A=π3．（2）由正弦定理知，bsinB=csinC=asinA=√3sinπ3=2，所以b＝2sin B，c＝2sin C，所以bc＝4sin B sin C＝4×34=3，所以△ABC的面积S=12bc sin A=12×3×√32=3√34．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等差数列，且满足a1=−1，a2+b3=0，S n= 2a n+b n(n∈N∗)．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若c1＝b1，c2n＝c2n﹣1+b1，c2n+1＝c2n+a n，求数列{c n}的前2n项和T2n．解：（1）令n＝1，S1＝2a1+b1＝a1，∴b1＝1，令n＝2，S2＝2a2+b2＝a1+a2，又a2+b3＝0，所以b2﹣b3＝﹣1＝﹣d，即d＝1，所以b n＝n，S n＝2a n+n，①S n﹣1＝2a n﹣1+n﹣1，（n≥2）②两式相减得a n＝2a n﹣2a n﹣1+1，∴a n＝2a n﹣1﹣1，∴a n−1a n−1−1=2，(n≥2)，即{a n﹣1}是公比为2的等比数列，且a1﹣1＝﹣2，所以a n−1=−2n，∴a n=−2n+1；（2）由c2n＝c2n﹣1+b1，c2n+1＝c2n+a n可得c2n+1=c2n−1−2n+2，c 2n−1=c 2n−3−2n−1+2，c 2n−3=c 2n−5−2n−2+2，⋯c 3=c 1−21+2， 累加可得c 2n−1=−2n +2n +1，T 2n ＝（c 1+c 3+c 5+⋯+c 2n ﹣1）+（c 2+c 4+c 6+⋯+c 2n ）＝（c 1+c 3+c 5+⋯+c 2n ﹣1）+（c 1+1+c 3+1+c 5+1+⋯+c 2n ﹣1+1）＝2（c 1+c 3+c 5+⋯+c 2n ﹣1）+n ， 而c 1+c 3+c 5+⋯+c 2n−1=−(21+22+⋯+2n )+(3+5+⋯+2n +1) ＝2﹣2n +1+n 2+2n ，∴T 2n =4−2n+2+2n 2+5n ．19．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，且BD =12CD ＝1，BD ⊥CD ．DE⊥平面ABCD ，且DE =12BF =√3，DE ∥BF ．点H ，G 分别为线段DC ，EF 上的动点，满足DH ＝EG＝λ（0＜λ＜2）．（1）证明：直线GH ∥平面BCF ；（2）是否存在λ，使得直线GH 与平面AEF 所成角的正弦值为√4214？请说明理由．（1）证明：法（i ）过点G 作BD 的垂线，交BD 于点Q ，则GQ ∥BF ， 连接QH ，则DQ =12λ，且由DH ＝λ，所以DH ＝2DQ ，QH ∥BC ，又因为QH ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， 所以QH ∥平面BCF ，且GQ ∥平面BCF ， 又GQ ∩QH ＝Q ，所以平面GQH ∥平面BCF ， 又因为HG ⊂HQG ， 所以HG ∥平面BCF ；法（ii ）因为BD =12CD ＝1，DE =12BF =√3，如图，以D 为原点，分别以DC ，DB ，DE 方向为x ，y ，z 轴建立坐标系，由题意可得C （2，0，0），B （0，1，0），A （﹣2，1，0），E(0，0，√3)，F(0，1，2√3)， BC →=(2，−1，0)，BF →=(0，0，2√3)，AE →=(2，−1，√3)，EF →=(0，1，√3)，设平面BCF 的法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，则{n 1→⋅BC →=0n 1→⋅BF →=0，即{2x 1−y 1=02√3z 1=0，取x 1＝1，解得n 1=(1，2，0)， 因为DC ＝EF ＝2，EG ＝DH ＝λ，所以DH →=λ2DC →，EG →=λ2EF →，EG →=λ2EF →，解得H （λ，0，0），G(0，λ2，√3+√32λ)，GH →=(λ，−λ2，−√3−√32λ)，所以n 1⋅GH →=0，且GH ⊄平面BCF ， 所以GH ∥平面BCF ；（2）设平面AEF 的法向量为n 2→=(x 2，y 2，z 2)， 则由{n 2→⋅AE →=0n 2→⋅EF →=0，即{2x 2−y 2+√3z 2=0y 2+√3z 2=0，令z 2＝﹣1， 解得n 2→=（√3，√3，﹣1），所以n 2→•GH →=√3λ−√3λ2+√3+√3λ2=√3+√3λ，|GH →|=√λ2+(−λ2)2+(−√3−√3λ2)2=√2λ2+3λ+3，|n →|=√3+3+1=√7，所以cos ＜n 2→，GH →＞=√3λ+√3√7⋅√2λ+3λ+3设直线GH 与平面AEF 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos ＜n 2→，GH →＞||√3λ+√3√7⋅√2λ2+3λ+3|√4214，解得λ＝1．20．（12分）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.2023年9月23日，杭州亚运会开幕式隆重举行．某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚7点前登录该直播间的前N 名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动．每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这N 名观众中抽取15名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送．而直播时这N 名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为X （幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为1人）． （1）已知小杭是这前N 名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为59，求N 的值；（2）当P （X ＝20）取到最大值时，求N 的值．解：（1）记“小杭被抽中”为事件A ，“小杭第i 次被抽中”为事件A i ，（i ＝1，2）， P （A ）＝P （A 1A 2）+P （A 1A 2）+P （A 1A 2）=(15N )2+(15N ⋅N−15N )×2=59， 整理可得N 2﹣54N +405＝0，即（N ﹣9）（N ﹣45）＝0， 又因为N ≥15且N ∈N *，解得N ＝45．（2）“X ＝20”表示第一次在N 个人中抽取15个，第二次抽取的15个人中，有5人在第一次抽取的15人以外，另外的10个人在第一次抽取的15人中， P(X =20)=C N 15C N−155C 1510C N 15C N15=C N−155C 1510C N15，记a N =C N−155C 1510C N15， 由a N+1a N=C N−145C N+115•C N 15C N−155=(N−14)！5！(N−19)！•N ！15！⋅(N−15)！•15！⋅(N−14)！(N+1)！•5！⋅(N−20)！(N−15)！=(N−14)2(N+1)(N−19)≥1，解得N ≤21.5，又N ∈N *，所以N ＝22时，P （X ＝20）取最大值．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点A （﹣3，0），且离心率为√63．过点B(32，0)的直线交C 于P ，Q 两点（异于点A ）．直线AP ，AQ 分别交直线x +2y ﹣9＝0于M ，N 两点． （1）求证：直线AP 与直线AQ 的斜率之积为定值； （2）求△AMN 面积的最小值．（1）证明：由题意得{c a =√63a =3，解得{a =3c =√6，所以b =√32−6=√3，所以椭圆C 的方程为x 29+y 23=1，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，直线PQ 为x =ty +32，与椭圆联立{x 2+3y 2=9x =ty +32，可得(t 2+3)y 2+3ty −274=0，所以{y 1+y 2=−3t 2+3y 1y 2=−274⋅1t 2+3， 所以k 1⋅k 2=y 1ty 1+92⋅t 2+3ty 2+92=y 1y 2t 2y 1y 2+92t(y 1+y 2)+814， 代入可得k 1⋅k 2=−19，所以直线AP 与AQ 的斜率之积为定值−19；（2）解：设t 1=1k 1，t 2=1k 2，则t 1t 2＝﹣9， 又点A （﹣3，0）到直线x +2y ﹣9＝0的距离是d =12√5， 由{x +2y −9=0x =t 1y =3，解得y M =12t 1+2，同理v N =12t 2+2，所以|MN|=√1+1k MN2|y M −y N |=√5|12t 1+2−12t 2+2|，t 2=−9t 1， 代入得S △AMN =12d|MN|=36|2t 1+2−2t 12t 1−9|=36×|42t 1+4+99−2t 1−1|，设y =42x+4+99−2x，则2y •x 2﹣5（y ﹣1）x ﹣18（y ﹣2）＝0， 由题意得Δ＝25（y ﹣1）2+144（y ﹣2）≥0， 化简得169y 2﹣338y +25≥0，解得y ≥2513或y ≤113， 故|42t 1+4+99−2t 1−1|≥1213， 故S △AMN ≥36×1213=43213，当且仅当t 1=35，t 2=−15，或者t 1=−15，t 2=35时等号成立， 所以△AMN 面积的最小值为43213． 22．（12分）已知函数f （x ）＝lnax +（ax ﹣a ﹣1）e x ﹣1﹣ax （a ＞0）． （1）是否存在实数a ，使得函数f （x ）在定义域内单调递增；（2）若函数f （x ）存在极大值M ，极小值N ，证明：M +N ＜﹣4．（其中e ≈2.71828是自然对数的底数）解：（1）因为a＞0，则f（x）的定义域为x∈（0，+∞），f′(x)=1x+ae x−1+(ax−a−1)e x−1−a=1x−a+(ax−1)e x−1，进一步化简，得f′(x)=(ax−1)(e x−1−1x )，令g(x)=e x−1−1x，g′(x)=e x−1+1x2＞0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（1）＝0，所以x∈（0，1）时，g（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，要使得f（x）单调递增，则f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，当a＝1时，f′(x)=(x−1)(e x−1−1x)≥0恒成立；当0＜a＜1时，1＜1a，当x∈(1，1a)时，f′（x）＜0，不合题意；当a＞1时，1a ＜1，当x∈(1a，1)时，f′（x）＜0，不合题意，综上，a＝1时，函数f（x）在定义域内单调递增．（2）证明：由（1），可得a＞0且a≠1，极值点为1a与1，所以M+N=f(1)+f(1a)=lna−1−a+(−a)e1a−1−1=lna−a−ae1a−1−2，令ℎ(a)=lna−a−ae 1a−1−2，ℎ′(a)=1a−1−e1a−1−ae1a−1(−1a2)=(1a−1)(e1a−1+1)，当0＜a＜1时，h′（a）＞0，h（a）单调递增；当a≥1时，h′（a）≥0，h（a）单调递减，所以h（a）≤h（1）＝﹣4，即M+N＜﹣4成立．。