1 平面向量求夹角
一、题型要求：
1、平面向量夹角：||||,cosbababa••
2、坐标运算：222221212121,cosyxyxyyxxba
3、注意：夹角范围是[00180,0]
二、例题讲解：
1、已知平面向量)2,1(a，)3,1(b，ba与的夹角为_______。
1、（2012－荔城区校级期中）已知平面向量ba,满足,3)(•baa且,1||,2||ba则向量ba与的夹角是________。
三、练习巩固：
1、（2014－赣榆校级期末）已知向量),2,3(),,2(bxa若ba与的夹角为锐角，则实数x的取值范围是________。
2、（2011－浙江）若平面向量ba,满足,1||,1||ba且以向量ba,为邻边的平行四边形的面积为21，则ba和的夹角的取值范围是_________。
3、（2013－江苏模拟）若向量ba,满足，且)(,2||,1||baaba则ba和的夹角是___。
4、（2010－龙凤区校级期末）已知向量ba,满足bababa与则且,2,4||,1||•的夹角为______。
2 5、（2011－萧山区模拟）平面向量ba,满足4)2()(•baba，且,4||,2||ba则ba与的夹角等于______。
6、（2014－岳阳校级月考）平面向量eba,,满足,2||,2,1,1||••baebeae则向量eba与的夹角为_______。
7、（2013－永康模拟）已知向量ba,满足，1||||||baba则ba,的夹角为________。
8、（2014－四川高考）平面向量acRmbamcba与且),(,),2,4(),2,1(的夹角等于bc与的夹角，则m＝_________。
9、（2014－江西高考）已知单位向量21ee与的夹角为，且31cos，向量2123eea与213eeb的夹角为，则cos＝_________。
平面夹角计算
平面夹角是指在同一平面内的两条直线之间的夹角。夹角的大小可以通过两条直线的方向向量来计算。具体而言，如果我们有两条直线的法向量，可以通过计算它们之间的夹角来确定它们在平面内的夹角。
让我们来了解一下平面夹角的定义和性质。在平面几何中，夹角是由两条直线的交点和与其相交的两条线段所形成的角度。夹角的大小通常用度数或弧度来表示。在本文中，我们将使用度数作为单位来计算夹角。
在平面几何中，夹角的大小可以从两条直线的斜率中推导出来。如果我们有两条直线的斜率，可以通过计算它们的差值的反正切来获得夹角的度数。具体而言，假设直线L1的斜率为m1，直线L2的斜率为m2，则夹角θ可以通过以下公式计算：
θ = arctan((m2 - m1)/(1 + m1 * m2))
这个公式可以用来计算任意两条直线之间的夹角，无论它们是否相交。然而，如果两条直线平行，那么它们的斜率将相等，公式中的分母将为0，这时夹角的计算无效。
如果我们有两条直线的方向向量，我们也可以通过计算它们的点积来获得夹角的余弦值。具体而言，假设直线L1的方向向量为A，直线L2的方向向量为B，则夹角θ的余弦值可以通过以下公式计算：
cos(θ) = (A·B) / (|A|·|B|)
其中，A·B表示A和B的点积，|A|和|B|表示A和B的模。通过求解上述公式，我们可以得到夹角的余弦值，然后可以通过反余弦函数来计算夹角的度数。
除了直线的方向向量，我们还可以使用直线的法向量来计算平面夹角。直线的法向量垂直于直线所在平面，因此两条直线的法向量之间的夹角就是它们在平面内的夹角。如果我们有两条直线的法向量，可以通过计算它们之间的夹角来确定平面夹角的大小。
对于两个二维向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：
cos(θ) = (x1 * x2 + y1 * y2) / (√(x1^2 + y1^2) * √(x2^2
高二数学导学案 青云学府 马炳峰
1教师寄语：课堂成就梦想，我参与！我成功！我快乐！ 直线与平面的夹角
——课前预习学案
【知识连接】
1. 平面法向量的定义
2. 如何求两异面直线所成的角？
【自学指导】
仔细阅读课本106-108页完成下列问题：
如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的角等于____. 如果直线
和平面垂直，则直线与平面所成的角等于____.平面的斜线与它在平面上的射影所成的
锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是____.斜线与平面所成的线面角是这条斜
线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角. 平面外一条直线与它
___________的夹角叫作该直线与此平面的夹角.
思考
1.最小角定理是什么？
2、如何求直线和平面所成的角？
【自学检测】
2、若直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u＝(－2,2，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α C．l⊂ α D．l与α斜交
3.正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2 ,则AC1
与侧面ABB1A1所成的角为 1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则
l与α所成的角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150° 高二数学导学案 青云学府 马炳峰
2教师寄语：课堂成就梦想，我参与！我成功！我快乐！ 课内探究导学案
【学习目标】
知识与技能：掌握斜线和平面所成角的概念，并会求直线和平面所成的角。
过程与方法：知道最小角定理及公式cosθ=cosθ1 cosθ2 ,并会解决相关问题。
情感态度与价值观：通过运用相关知识解决实际问题的学习，从而激发学生学
数学的热情和兴趣。
两平面夹角的取值范围
以两平面夹角的取值范围为标题，我们来探讨一下这个话题。两平面夹角是指由两个平面所形成的夹角，它在几何学中扮演着重要的角色。在解决各种几何问题时，我们经常需要考虑两平面之间的夹角，因此了解夹角的取值范围对我们的学习和解题过程非常有帮助。
我们来回顾一下夹角的定义。夹角是由两条射线所形成的角度，其中一条射线叫做夹角的边，另一条射线叫做夹角的始边。夹角通常用符号“∠”来表示，例如∠ABC表示由射线AB和射线BC所形成的夹角。
对于两平面夹角来说，我们首先需要知道的是两平面之间的夹角是指两个平面的法线之间的夹角。两个平面的法线是与平面垂直的直线，它们的夹角就是两平面的夹角。夹角的度数通常用度（°）来衡量，取值范围是0°到180°之间。
那么，两平面夹角的取值范围是多少呢？根据几何学的原理，两个平面可以分为三种情况：平行、垂直和一般情况。
当两个平面平行时，它们的法线之间的夹角为0°。这是因为平行的两个平面的法线是重合的，它们之间没有夹角。
当两个平面垂直时，它们的法线之间的夹角为90°。这是因为垂直的两个平面的法线是相互垂直的，它们之间的夹角为直角。
对于一般情况，两个平面的法线之间的夹角可以是任意的，取值范围是0°到180°之间。这是因为一般情况下，两个平面可以存在各种夹角，它们的法线可以有不同的倾斜角度。
在实际问题中，我们经常需要计算两平面夹角的大小。对于平行和垂直的情况，夹角的大小是固定的，可以直接得出。但是对于一般情况，我们需要利用几何学的知识和计算方法来求解。常见的求解方法有几何解法和向量解法，根据具体情况选择合适的方法进行计算。
总结起来，两平面夹角的取值范围是0°到180°之间。在解决几何问题时，我们需要根据具体情况来确定夹角的大小，并选择合适的计算方法进行求解。通过深入研究和理解两平面夹角的概念和性质，我们可以更好地应用几何学知识，解决各种几何问题。
希望通过对两平面夹角取值范围的讨论，大家对夹角的概念和性质有了更深入的了解。在学习和应用几何学知识时，我们要注重理论与实践的结合，灵活运用各种方法和技巧，提高解题的效率和准确性。通过不断的学习和实践，我们可以在几何学领域取得更好的成绩，为解决实际问题提供有效的方法和思路。
