高中数学人教A版选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2第2课时
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学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1．已知椭圆x23＋y24＝1上的焦点为F，直线x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝( )
A．23 B．43
C．4 D．8
【解析】 由题可得a＝2.如图，设F1为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1，BF1，CF，FD.由椭圆的对称性可知， 四边形AFDF1为平行四边形，
∴|AF1|＝|FD|，同理可得|BF1|＝|CF|，∴|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝|AF|＋|BF|＋|BF1|＋|AF1|＝4a＝8，故选D.
【答案】 D
2．若直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(－3，0) D．(1，3) 【解析】 由y＝x＋2，x2m＋y23＝1，
消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.
若直线与椭圆有两个公共点，
则3＋m≠0，Δ＝（4m）2－4m（3＋m）>0，
解得m≠－3，m<0或m>1.
由x2m＋y23＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.综上可知，m>1且m≠3，故选B.
【答案】 B
3．若点P(a，1)在椭圆x22＋y23＝1的外部，则a的取值范围为( )
A.－233，233
B.233，＋∞∪－∞，－233
C.43，＋∞
D.－∞，－43
【解析】 因为点P在椭圆x22＋y23＝1的外部，所以a22＋123＞1，解得a＞233或a＜－233，故选B.
【答案】 B 4．椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为22，则mn的值是( )
A.22 B.233
C.922 D.2327
【解析】 联立方程组可得y＝1－x，mx2＋ny2＝1，
得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则x0＝x1＋x22＝nm＋n，
y0＝1－x0＝1－nm＋n＝mm＋n.
∴kOP＝y0x0＝mn＝22.故选A.
【答案】 A
5．已知椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若FA→＝3FB→，则|AF→|＝( )
A.2 B．2
C.3 D．3
【解析】 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：x22＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1，0)． 由FA→＝3FB→，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝43，y0＝13n.
将x0，y0代入x22＋y2＝1，得
12×432＋13n2＝1.
解得n2＝1，
∴|AF→|＝（2－1）2＋n2＝1＋1＝2.
【答案】 A
二、填空题
6．若直线x－y－m＝0与椭圆x29＋y2＝1有且仅有一个公共点，则m＝________. 【导学号：18490053】
【解析】 将直线方程代入椭圆方程，消去x，得到10y2＋2my＋m2－9＝0，
令Δ＝0，解得m＝±10.
【答案】 ±10
7．已知F1为椭圆C：x22＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
【解析】 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)，
由x2＋2y2＝2，y＝x－1，消去y，得3x2－4x＝0. ∴A(0，－1)，B43，13.
∴|AB|＝423，
∴|F1A|＋|F1B|＝4a－|AB|＝42－423＝823.
【答案】 823
8．过椭圆x25＋y24＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
【解析】 由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组x25＋y24＝1，y＝2x－2，
解得A(0，－2)，B53，43，
∴S△AOB＝12·|OF|·|yA－yB|＝53.
【答案】 53
三、解答题
9．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
【解】 (1)由题意得4x2＋y2＝1，y＝x＋m，消去y，整理得：
5x2＋2mx＋m2－1＝0. ∵直线与椭圆有公共点，
∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0，
∴－52≤m≤52.
(2)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由(1)得x1＋x2＝－2m5，x1x2＝m2－15.
∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|
＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2
＝1＋k2·425m2－4（m2－1）5
＝225－4m2＋5.
∵－52≤m≤52，
∴0≤m2≤54，
∴当m＝0时，|AB|取得最大值，此时直线方程为y＝x，即x－y＝0.
10．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为103时，求k的值． 【解】 (1)由题意得a＝2，ca＝22，a2＝b2＋c2，
解得b＝2，
所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1.
(2)由y＝k（x－1），x24＋y22＝1，
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－41＋2k2，
所以|MN|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2
＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]
＝2（1＋k2）（4＋6k2）1＋2k2，
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离
d＝|k|1＋k2，
所以△AMN的面积为S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，
由|k|4＋6k21＋2k2＝103，
化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1. [能力提升]
1．设F1，F2为椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，则PF1→·PF2→的值等于( )
A．0 B．2
C．4 D．－2
【解析】 由题意得c＝a2－b2＝3，
又S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2×12×|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，
所以当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最大值，
此时∠F1PF2＝120°.
所以PF1→·PF2→＝|PF1→|·|PF2→|·cos 120°＝2×2×－12＝－2.
故选D.
【答案】 D
2．过椭圆x26＋y25＝1内一点P (2，－1)的弦恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A．5x－3y＋13＝0 B．5x＋3y＋13＝0
C．5x－3y－13＝0 D．5x＋3y－13＝0
【解析】 设弦的两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程组5x21＋6y21＝30，5x22＋6y22＝30，
两式作差可得：
5(x1＋x2)(x1－x2)＝－6(y1＋y2)(y1－y2)， ①
又弦的中点为(2，－1)，
可得x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2， ②
将②代入①式可得k＝y1－y2x1－x2＝53，
故直线的方程为y＋1＝53(x－2)，
化为一般式为5x－3y－13＝0，故选C.
【答案】 C
3．斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________. 【导学号：18490054】
【解析】 法一 设直线l的方程为y＝x＋t，
由y＝x＋t，x24＋y2＝1，消去y，得
x24＋(x＋t)2＝1，
整理得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.
∵Δ＝64t2－80(t2－1)>0，
∴－5
设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则x1＋x2＝－8t5，x1·x2＝4（t2－1）5.
∴|AB|＝2[（x1＋x2）2－4x1x2]
＝26425t2－4×4（t2－1）5
＝－32t2＋16025.
当t＝0时，|AB|为最大，即|AB|max＝4105.
法二 根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，将y＝x代入x24＋y2＝1得交点坐标为A255，255和B－255，－255，
故|AB|＝4105.
【答案】 4105
4．(2013·天津高考)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为33，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若AC→·DB→＋AD→·CB→＝8，求k的值．
【解】 (1)设F(－c，0)，由ca＝33，知a＝3c.
过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，
