重庆中考数学第25题二次函数综合专题训练3

1 2021级重庆中考数学

第25题二次函数综合专题训练3

1.如图1，直线l：y=34x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线y=12x2+bx+c经过点B，与直线l的另一个交点为C（4，n）.

(1)求n的值和抛物线的解析式；

(2)点D在抛物线上，DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2），设点D的横坐标为t（0＜t＜4），矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

(3)将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标.

2.如图，顶点为C的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，连接OC、OA、AB，已知OA=OB=2，∠AOB=120°.

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)过点C作CE⊥OB，垂足为E，点P为y轴上的动点，若以O、C、P为顶点的三角形与△AOE相似，求点P的坐标；

(3)若将2.的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接E′A、E′B，求E′A+12E′B的最小值.

2 3.如图，抛物线y=﹣x2+4x+5与x轴，y轴分别交于A，B，C三点.

(1)请直接写出A，B，C三点坐标：A（_____，_____）、B（_____，______）、C（______，______）

(2)若⊙M过A、B、C三点，求圆心M的坐标，并求⊙M的面积；

(3)在2.的条件下，在抛物线上是否存在点N，使得由A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

4.如图①，直线L：y=mx+n(m < 0，n > 0)与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做L的关联抛物线，而L叫做P的关联直线.

(1)若L：y=-x+2，则P表示的函数解析式为______；若P：𝑦=−12𝑥2−𝑥+4，则𝐿表示的函数解析式为_______.

(2)如图②，若L：y=-3x+3，P的对称轴与CD相交于点E，点F在L上，点Q在P的对称轴上.当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；

(3)如图③，若L：y=mx+1，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM.若OM=√56，求出L，P表示的函数解析式.

3 5.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1,0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.

(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x＝－1 上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标.

6.如图，已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2+3𝑎𝑥−4𝑎与x轴负半轴相交于点A，与y轴正半轴相交于点B，𝑂𝐵=𝑂𝐴，直线l过A、B两点，点D为线段AB上一动点，过点D作𝐶𝐷⊥𝑥轴于点C，交抛物线于点 E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若抛物线与x轴正半轴交于点F，设点D的横坐标为x，四边形FAEB的面积为S，请写出S与x的函数关系式，并判断S是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值；并写出此时点E的坐标；如果不存在，请说明理由.

(3)连接BE，是否存在点D，使得△𝐷𝐵𝐸和△𝐷𝐴𝐶相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由.

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7.如图，已知抛物线的顶点坐标是（2，﹣1），且经过点A（5，8）

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设该抛物线与y轴相交于点B，与x轴相交于C、D两点（点C在点D的左边），试求点B、C、D的坐标；

(3)设点P是x轴任一点，连接AP、BP.试求当AP+BP取得最小值时点P的坐标.

8.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）.

(1)求抛物线的解析式及点B坐标；

(2)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E.求ME长的最大值；

(3)试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.

5 9.如图，抛物线y=ax2+bx+c为x轴的一交点为A（﹣6，0），与y轴的交点为C（0，3），且经过点G（﹣2，3）.

(1)求抛物线的表达式.

(2)点P是线段OA上一动点，过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，设△CPQ的面积为S，求S的最大值.

(3)若点B是抛物线与x轴的另一定点，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上，∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标.

10.如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：𝑦=34𝑥+𝜋与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线𝑦=12𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）.

(1)求n的值和抛物线的解析式；

(2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）.DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）.若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

(3)M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标.

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11.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D.

(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；

(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小.若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由.

12.如图，抛物线 y＝﹣x2﹣2x+3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），与

y轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点.

(1)求点 A、B、C 的坐标；

(2)点 M（m，0）为线段 AB 上一点（点 M 不与点 A、B 重合），过点 M 作 x 轴的垂线，与直线 AC 交于点 E，与抛物线交于点 P，过点 P 作 PQ∥AB 交抛物线于点 Q，过点 Q 作

QN⊥x 轴于点 N，可得矩形 PQNM.如图，点 P 在点 Q 左边，试用含 m 的式子表示矩形

PQNM 的周长；

(3)当矩形 PQNM 的周长最大时，m 的值是多少？并求出此时的△AEM 的面积；

(4)在（3）的条件下，当矩形 PMNQ 的周长最大时，连接 DQ，过抛物线上一点 F 作 y 轴的平行线，与直线 AC 交于点 G（点 G 在点 F 的上方）.若 FG＝2√2DQ，求点 F 的坐标.

7 13.如图，抛物线𝑦=−12𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点A（﹣2，0），点B（0，4）.

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB，如果∠PBO=∠BAO，求点P的坐标；

(3)将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO=2OF，求m的值.

14.如图，已知抛物线经过点A（-1,0），B（4,0）C（0,2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线𝑙交抛物线于点Q，交直线BD于点M.

(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

(2)已知点F（0，12），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

8 15.如图，抛物线𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐与𝑥轴交于点𝐴和𝐵(3,0)，与𝑦轴交于点𝐶(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点𝑀是抛物线上在𝑥轴下方的动点，过𝑀作𝑀𝑁//𝑦轴交直线𝐵𝐶于点𝑁，求线段𝑀𝑁的最大值；

(3)𝐸是抛物线对称轴上一点，𝐹是抛物线上一点，是否存在以𝐴，𝐵，𝐸，𝐹为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点𝐹的坐标；若不存在，请说明理由.

16.已知直线y=x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B.

(1)A点坐标 ，B点坐标 ，抛物线解析式 ；

(2)点C（m，0）在线段OA上（点C不与A、O点重合），CD⊥OA交AB于点D，交抛物线于点E，若DE=√2AD，求m的值；

(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，在2.的条件下，是否存在以点D、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.