数学建模试卷及答案

城市学院2010-2011学年第二学期《数学建模》课程

考试试题（开卷）

年级： 专业： 学号： 姓名：

1． 钢筋切割问题

设某种规格的钢筋原材料每根长10m，求解如下优化问题：

1) 现需要该种钢筋长度为4m的28根，长度为1.8m的33根，问至少需要购买原材料几根？如何切割?

2) 如需要该种钢筋长度为4m的28根，长度为1.8m的33根， 长度为3.6m的79根，长度为

2.4m的46根，问至少需要购买原材料几根？如何切割（可以考虑切割模式不超过3种）?

请建立数学模型，对上述问题进行求解并写出用Lingo软件的求解程序。

(1)解：分析可以得到如下表3种切割模式：

模式 4m钢筋根数 1.8m钢筋根数 余量

1 2 1 0.2

2 1 3 0.6

3 0 5 1

用Xi表示按照第i模式（i=1，2，3）切割的原来钢管的根数，显然他们应当是非负整数。

一切割后原料钢管的总根数最少为目标，则有

Min Z=x1+x2+x3;

根绝要求，约束条件为:

2x1+x2>=28;

X1+3x2+5x3>=33;

将上面的构成的整数线性规划正型输入LINDO如下：

Min =x1+x2+x3;;

2x1+x2>=28;

X1+3x2+5x3>=33;

@gin(x1);

@gin(x2);

@gin(x3);

求解可以得到最优解如下：

(2)解：记Xi表示第种模式切割的原料钢管的根数；（i=1,2,3）

设所使用的第i切割模式下每根原料钢管生产1.8m,.4m,3.6m,4m的钢管数量分别为r1i,r2i,r3i,r4i；

由于原料钢管的总根数不可能少于（1.8*33+2.4*46+3.6*79+4*28）/10＝57。

所以

将上面的构成的整数线性规划正型输入LINDO如下：

min=x1+x2+x3;

x1*r11+x2*r12+x3*r13>=33;

一、（1）什么是数学模型？

（2）数学模型与直观模型（实物、玩具、照片）、物理模型（模拟实验）、符号模型（地图、电路图、分子式）相比有何优缺点？

（3）数学模型在何种情况下使用？（本题满分10分）

二、（1）建立数学模型的主要目的是什么？

（2）建立数学模型（即数学建模）一般经过哪四个主要步骤？试画出示意图。（本题满分10分）

三、某超市连锁店计划在某城市选择若干个销售点作为新的连锁店，在分析了该城市的特征后，将该城市划分成四个区域：东片、西片、南片、北片。在四个区域中共确定了10个连锁店的备选点，记作s1，s2，…，s10。在连锁店选择时需考虑以下限制：

①东片的三个点s1，s2，s3中，至少应选择一个；

②西片的两个点s4，s5中，应恰好选择一个；

③南片的四个点s6，s7，s8，s9中，最多只能选三个；

④北片只有一个备选点s10，可选可不选。

⑤东片的s3与北片的备选点s10较近，又s3为大型销售店，若选择了s3，则就不必选s10。

如果选中sj点，其投资为wj元，每年的预期收益为pj元。现要求总投资不超过w元，问应选择哪些备选点，既可满足限制，又可使每年的总收益最大。试建立这个问题的数学模

型，要求写出具体表达式。（只需列出数学模型，不需求解）（本题满分15分）

四、试用两阶段法求解线性规划问题（要求列出单纯形表）

min z =2x1+2x2

2x1+x2≥2

x1+3x2≤3 （本题满分15分）

2x1—x2≥6

x1，x2≥0

五、（1）下降迭代算法的思想是什么？试写出下降迭代算法的4个步骤。

（2）若要在[a0,b0]上求下单峰函数f（x）的极小值，使缩短后的区间长度bn—an≤（b0—a0）δ，这里δ为缩短率，写出0.618法的迭代步骤。

（3）试用最速下降算法求f(X)=（x1—3）2+5x22+x32的极小点，取初始点X(0)=(1,0,0)T，ε=0.01（本题满分15分）

数学建模试卷及参考答案

一、选择题

1. 已知函数 $y = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7$，求导数函数 $y'$ 的值。

A) $6x^2 - 10x + 3$\

B) $6x - 10x^2 + 3$\

C) $6x - 10x + 3$\

D) $6x^2 - 10x^2 + 3$

答案：A

2. 设矩形的长为 $x$，宽为 $y$，满足 $x^2 + y^2 = 25$。当矩形的面积最大时，求矩形的长和宽。

A) 长为 4，宽为 3\

B) 长为 5，宽为 3\

C) 长为 4，宽为 2.5\

D) 长为 5，宽为 2.5

答案：A

3. 一条直线过点 $A(1,2)$ 和点 $B(3,-1)$，与另一条直线 $2x + y - 4

= 0$ 平行。求该直线的方程。

A) $2x - y + 3 = 0$\ B) $2x - y - 3 = 0$\

C) $-2x + y - 3 = 0$\

D) $2x - y - 5 = 0$

答案：B

4. 已知函数 $y = e^x$，求 $y$ 的微分值。

A) $e^x$\

B) $e^x + C$\

C) $e^x - C$\

D) $C \cdot e^x$

答案：A

5. 一辆汽车以每小时 60 公里的速度行驶，途中经过两座相距 60 公里的城市。假设两座城市间有一辆以每小时 90 公里的速度行驶的列车，两车同时出发。求两辆车首次相遇的时间。

A) 0.5 小时\

B) 1 小时\

C) 1.5 小时\

D) 2 小时

答案：A

二、填空题 6. 已知函数 $f(x) = \sin(x)$，求函数 $g(x) = f^{\prime}(x)$。

答案：$g(x) = \cos(x)$

7. 若直线 $3x + ky = 2$ 与直线 $2x - y = 3$ 相垂直，则 $k$ 的值为\_\_\_。

答案：$k = 6$

8. 设抛物线 $y = ax^2 - 3x + 2$ 的顶点为 $(2,1)$，则 $a$ 的值为\_\_\_。

09级数模试题

1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分）

解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。

因此对这个问题我们假设 ：

（1）地面为连续曲面

（2）长方形桌的四条腿长度相同

（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的

（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处，A、B,C、D的初始位置在与x轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab与x轴的夹角记为。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 ()f为A、B离地距离之和，()g为C、D离地距离之和，它们的值由唯一确定。由假设（1），()f,()g均为的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f()g=0必成立（）。不妨设(0)0f,(0)0gg（若(0)g也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：

已知()f,()g均为的连续函数，(0)0f,(0)0g且对任意有00()()0fg，求证存在某一0，使00()()0fg。

证明：当θ=π时，AB与CD互换位置，故()0f，()0g。作()()()hfg，显然，()h也是的连续函数，(0)(0)(0)0hfg而()()()0hfg，由连续函数的取零值定理，存在0，00，使得0()0h，即00()()fg。又由于00()()0fg，故必有00()()0fg，证毕。