2008年普通高等学校招生全国统一考试广东数学文科试卷含解答
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1 / 8 2008年普通高等学校招生全国统一考试
（广东卷）
数学(文科)
广东佛山南海区南海中学 钱耀周 提供――――感谢钱老师！ 王新敞
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}。集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是
A.AB B.BC C.A∩B=C D.B∪C=A
【解析】送分题呀!答案为D.
2.已知0＜a＜2，复数(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是
A.(1,) B. (1,) C.(1,3) D.(1,5)
【解析】，而，即，,选B.
3.已知平面向量，，且//，则＝（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】排除法:横坐标为,选B.
4.记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ ）
A、2 B、3 C、6 D、7
【解析】,选B.
5.已知函数，则是（ ）
A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的奇函数
C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数
【解析】,选D.
6.经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为2 / 8 ，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为,选C.(或由图形快速排除得正确答案.)
7.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A、B、C分
别是三边的中点）得到的几何体如图2，则
该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为
【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.
8. 命题“若函数在其定义域内是减函数，则”的逆否命题是（ ）
A、若，则函数在其定义域内不是减函数
B、若，则函数在其定义域内不是减函数
C、若，则函数在其定义域内是减函数
D、若，则函数在其定义域内是减函数
【解析】考查逆否命题,易得答案A.
9、设，若函数，，有大于零的极值点，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】题意即有大于0的实根,数形结合令,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得,选A.
10、设，若，则下列不等式中正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】利用赋值法:令排除A,B,C,选D.
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.
（一）必做题（11-13题）
11.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查 了20位工人某天生产该产品的数量.3 / 8 产品数量的分组区间为，，
由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是
.
【解析】,故答案为13.
12.若变量x，y满足则z=3x+2y的最大 值是________。
【解析】画出可行域,利用角点法可得答案70.
13.阅读图4的程序框图，若输入m=4,n=3,则输出a=_______,i=________。
（注：框图中的赋值符号“＝”，也可以写成“←”或“：＝”） 【解析】要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，
而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍
数12，即此时有。
（二）选择题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，则曲线 交点的极坐标为
【解析】我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为.
15.（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切点，切点为A，PA＝2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R=________.
【解析】依题意，我们知道,由相似三角形的性质我们有,即。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分13分）
已知函数的最大值是1，其图像经过点4 / 8 。
（1）求的解析式；
（2）已知，且求的值。
【解析】（1）依题意有，则，将点代入得，而，，，故；
（2）依题意有，而，
，
。
17.（本小题满分12分）
某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）
【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则
, 令 得
当 时， ；当 时，
因此 当时，f（x）取最小值；
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。
18.（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，。
（1）求线段PD的长；
（2）若，求三棱锥P-ABC的体积。
【解析】（1） BD是圆的直径 又 , 5 / 8 , ;
(2 ) 在中，
又
底面ABCD
三棱锥的体积为 .
19.（本小题满分13分）
某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级 初二年级 初三年级
女生 373
x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
（1） 求x的值；
（2） 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
（3） 已知y245,z245,求初三年级中女生比男生多的概率.
【解析】（1）
（2）初三年级人数为y＋z＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为： 名
（3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y，z）；
由（2）知 ，且 ,基本事件空间包含的基本事件有：
（245，255）、（246，254）、（247，253）、……（255，245）共11个
事件A包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245)
共5个
20.（本小题满分14分）
设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图6所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切6 / 8 线经过椭圆的右焦点．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
【解析】（1）由得，
当得，G点的坐标为，
，，
过点G的切线方程为即，
令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，
即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；
（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，
同理 以为直角的只有一个。
若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，
。
关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，
因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。
21.（本小题满分14分）
设数列满足，， 。数列满足是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有。
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和。 7 / 8 【解析】（1）由得
又 ， 数列是首项为1公比为的等比数列，
，
由 得 ，由 得 ，…
同理可得当n为偶数时，；当n为奇数时，；因此
（2）
当n为奇数时，
当n为偶数时
令 ……① 当n为奇数时
当n为偶数时
当n为奇数时
当n为偶数时 8 / 8 ①×得: ……②
①-②得:
因此
当n为奇数时
当n为偶数时
