《数学人教A版高中选修2-3第一章 计数原理--1.3 二项式定理--1.3.1 二项式定理》
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人民教育出版社A版 高三(选修2-3)
《二项式定理》
现代教学的核心是“以学生的发展为本”，注重学生的学习状态和情感体验，注重教学过程中学生主体地位的体现和主体作用的发挥，强调尊重学生人格和个性，鼓励发现、探究与质疑，鼓励培养学生的创新精神和实践能力。二项式定理这部分内容比较枯燥，如何发挥学生的主体作用，使学生自己探究学习知识、建构知识网络，是本节课教学设计的核心。
【知识与能力目标】 ◆教材分析
◆教学目标 人民教育出版社A版
高三(选修2-3) 进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式。
【过程与方法目标】
能解决二项展开式有关的简单问题。
【情感态度价值观目标】
教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
【教学重点】
二项式定理及通项公式的掌握及运用。
【教学难点】
二项式定理及通项公式的掌握及运用。
预习任务
预习自测
（一）课前设计
1.预习任务（阅读教材完成）
1.二项式定理：nba）（ ；
2.(1)nba）（的二项展开式中共有 项；
(2)二项式系数： ；
(3)二项展开式的通项公式：1rT ，它是展开式的第 项.
2．预习自测
1.二项式91()xx的展开式的第3项是( )
A．－84x3 B．84x3 C．－36x5 D．36x5
解：D
2．(1＋x)7的展开式中x2的系数是( )
A．42 B．35 C．28 D．21 ◆教学重难点
◆
◆课前准备
◆
◆教学过程 人民教育出版社A版 高三(选修2-3)
解：D
3．在62()xx的二项展开式中，常数项等于________．
解：－160
（二）课堂设计
1．知识回顾
(1)；
(2)
(3)
2．问题探究
问题探究一 探究归纳，形成二项式定理
●活动一 回顾旧知，回忆展开式
(a+b)4=(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开式中的各项是什么？
思考：ab3是怎样来的？有多少个？
引导学生追究每个系数的来源，借助于组合的思想找到规律，从中体会到探索的乐趣.归纳结论：由上面的探索得到：(a+b)4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34ab3+C44b4
●活动二 大胆猜想(a+b)n展开式中的各项是什么？
归纳：一般对于任意的正整数n,有：
(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+…+Crnan-rbr…+Cnnbn (n∈N*)
并指出：①这个式子所表示的定理叫二项式定理.右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式.各项系数Crn（r=0、1、2、…、n）叫做二项式系数.②式子中的Crnan-rbr叫做二项展开式的通项.记做：Tr+1=Crnan-rbr.
上述结论是从分析了少数特例后，得出了一般的结论，这种方法叫不完全归纳法，还需用
数学归纳法证明，但这里教材不要求证明了.
问题探究二 利用二项式定理能解决问题？
1.求二项式的指定项或其系数
例1.（1）(1＋x)7的展开式中x2的系数是( )
A．42 B．35 C．28 D．21
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：选D 依题意可知，二项式(1＋x)7的展开式中x2的系数等于C27×15＝21. 人民教育出版社A版 高三(选修2-3)
（2）在(2x2－1x)5的二项展开式中，x的系数为( )
A．10 B．－10 C．40 D．－40
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：D.(2x2－1x)5的展开式的通项为Tr＋1＝5rC (2x2)5－r(－1x)r＝5rC25－r(－1)rx10－3 r，令10-3r＝1得，
r＝3，∴T4＝35C22(－1)3x＝－40x.∴x的系数是－40.
例2.（1）在62()xx的二项展开式中，常数项等于________．
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：-160.由通项公式得Tr＋1＝6rCx6－r2()rx＝(－2)r6rCx6－2r，令6－2r＝0，解得r＝3，所以是第4项为常数项，T4＝(－2)336C＝－160.
(2)已知8()axx展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是( )
A．28 B．38 C．1或38 D．1或28
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：选C 由题意知48C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.
例3.(1) 在(x－2)5(2＋y)4的展开式中x3y2的系数为________．
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：480 (x－2)5的展开式的通项为Tr＋1＝5rCx5－r(－2)r，
令5－r＝3得r＝2，得x3的系数25C(－2)2＝40；(2＋y)4的展开式的通项公式为Tr＋1＝4rC(2)4－ryr，令r ＝2得y2的系数24C(2)2＝12，于是展开式中x3y2的系数为40×12＝480.
(2) 在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是________．
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：－15.从4个因式中选取x，从余下的一个因式中选取常数，即构成x4项，即－5x4－4x4－3x4－2x4－x4，所以x4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15.
3．课堂总结
【知识梳理】 人民教育出版社A版 高三(选修2-3)
二项式定理及其通项公式
1.二项式定理：
2.(1)nba）（的二项展开式中共有项；
(2)二项式系数：；
(3)二项展开式的通项公式：.
【重难点突破】
常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.
4．随堂检测
1.261()xx的展开式中x3的系数为________(用数字作答)．
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：20.由261()xx的展开式的通项为Tr＋1＝6rC(x2)6－r·1()rx＝6rCx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以展开式中x3的系数为36C＝20.
2.(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________.
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：2.(a＋x)4的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝4rCa4－rxr，令r＝3，得含x3的系数为34Ca，故34Ca＝8，解得a＝2.
3.若二项式2()nxx的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为( )
A．6 B．10 C．12 D．15
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：选C 3212()()(2)nrrnrrrrrnnTCxCxx，当r＝4时，32nr＝0，又n∈N*，所以n＝12.
4．(1＋x＋x2)61()xx的展开式中的常数项为________．
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：－5.解析：61()xx的展开式的通项为Tr＋1＝6rC(－1)rx6－2r，当r＝3时，T4＝－36C＝－20，当r＝4时，T5＝46Cx－2＝15x－2，因此常数项为－20＋15＝－5. 人民教育出版社A版 高三(选修2-3)
（三）课后作业
基础型 自主突破
1.二项式5()xy的展开式中,含23xy的项的系数是_________.(用数字作答)
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：10 解析Tr+1=5rCx5-ryr(r=0,1,2,3,4,5),由题意知523rr,∴含x2y3的系数为3510C.
2.(2x-1x)6的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答)
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：-160 (2x-1x)6的展开式项公式是6631661C(2)()C2(1)rrrrrrrrTxxx.由题意知30,3rr,所以二项展开式中的常数项为33346C2(1)160T.
3.在6)1(xx的二项展开式中,常数项等于_________.
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：-20 展开式通项rrrrrrrrxCxxCT266661)1()1(,令6-2r=0,得r=3, 故常数项为2036C.
4.设常数aR.若52axx的二项展开式中7x项的系数为-10,则a_______.
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：2 2515()(),2(5)71rrrraTCxrrrx,故15102Caa.
5.5()ax展开式中2x的系数为10, 则实数a的值为__________.
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：1 5()ax展开式中第k项为555kkkkTCax,令2k,2x的系数为23510Ca,解得1a.
6.81()2xx的展开式中2x的系数为____. 人民教育出版社A版 高三(选修2-3)
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：7 根据已知条件可得81()2xx展开式的通项公式为88218811()()22rrrrrrrTCxCxx,令8223rr,故所求2x的系数为3381()72C.
能力型 师生共研
7．在二项式(x2－1x)5的展开式中，含x4的项的系数是( )
A．－10 B．10 C．－5 D．5
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：B
8．(2x3－212x)10的展开式中的常数项是( )
A．210 B.1052 C.14 D．－105
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：B
9．(x－2y)10的展开式中x6y4项的系数是( )
A．840 B．－840 C．210 D．－210
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
解：A
10．二项式(52＋77)24展开式中的整数项是( )
A．第15项 B．第14项 C．第13项 D．第12项
【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】
