X年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)理科数学试题答案

理科试题参考答案 第 1 页 共 8 页 2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准

一、选择题：（每题5分，共40分）

题号 1 2 3 4 5 6 7

8

选项

D

B B A A B C

C

二、填空题（每题5分，共30分）

9．30 10．2 11．1 12．94 13． 3 14．213 15．49

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

解：（1）∵2ACB，且ABC，∴3B …………………1分

∵1411)cos(CB,∴1435)(cos1)sin(2CBCB

…………………3分

∴coscoscos()cossin()sinCBCBBCBBCB

7123143521411 …………………6分

（2）由（1）可得734cos1sin2CC …………………8分

在△ABC中，由正弦定理

AaBbCcsinsinsin

∴8sinsinACac , 5sinaAbb …………………10分

三角形面积113sin58103222SacB. …………………12分

17． （本题满分14分）

（1）证明：∵PB底面ABC，且底面ABC， ∴ACPB …………………1分

由90BCA，可得CBAC …………………………2分

又PBCBB ，∴AC平面PBC …………………………3分 理科试题参考答案 第 2 页 共 8 页 注意到BE平面PBC， ∴ACBE …………………………4分

BCPB,E为PC中点，∴BEPC …………………………5分

PCACC， BE平面PAC …………………………6分

而BE平面BEF，∴BEFPAC平面平面 …………………………7分

（2）方法一、如图，以B为原点、BC所在直线为x轴、BP为z轴建立空间直角坐标系.

则)1,0,1(,)2,0,0(,)0,2,2(,)0,0,2(EPAC …………………………8分

1224(,,)3333BFBPPFBPPA. …………………………10分

设平面BEF的法向量(,,)mxyz.

由0,0mBFmBE得0343232zyx，

即02zyx……………（1）

0zx ……………（2）

取1x，则1,1zy，(1,1,1)m. …………………………12分

取平面ABC的法向量为)1,0,0(n

则3cos,3||||mnmnmn，

故平面ABC与平面PEF所成角的二面角（锐角）的余弦值为33. ……………14分 理科试题参考答案 第 3 页 共 8 页 方法二、取AF的中点G，AB的中点M，连接,,CGCMGM，

的中点为PCE，AFPF2，∴//EFCG. ……………8分

BEFEFBEFCG平面平面,， ∴//CGBEF平面. ……………9分

同理可证：BEFGM平面//. 又CGGMG， ∴//CMGBEF平面平面.…………10分

则CMG平面与平面ABC所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）

已知ABCPB底面，2BCAC，CM平面ABC

∴CMPB，∴CMAB …………11分

又PBABB，∴CM平面PAB

由于GM平面PAB， ∴CMGM

而CM为CMG平面与平面ABC的交线，

又AM底面ABC，GM平面CMG

AMG为二面角ACMG的平面角 …………12分

根据条件可得2AM，33231PAAG

在PAB中，36cosAPABGAM

在AGM中，由余弦定理求得36MG …………13分

332cos222GMAMAGGMAMAMG

故平面ABC与平面PEF所成角的二面角（锐角）的余弦值为33. …………14分 理科试题参考答案 第 4 页 共 8 页

18．（本题满分13分）

解：（1）∵2(,)N，(12)0.8P，(24)0.2P，

∴(12)0.2P，显然(12)(24)PP …………………3分

由正态分布密度函数的对称性可知，1224182，

即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月； …………………5分

（2）每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为10.80.2， …………………6分

假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为支，则(4,0.2)B， …………………10分

故至少两支灯管需要更换的概率1(0)(1)PPP

041314411310.80.80.2625CC（写成0.18也可以）. …………………13分

19．（本题满分13分）

解：（1）设动点P的坐标为(,)xy，

圆1C的圆心1C坐标为(4,0)，圆2C的圆心2C坐标为(0,2)， ……………………2分

因为动点P到圆1C,2C上的点距离最小值相等，所以12||||PCPC, ……………………3分

即2222(4)(2)xyxy，化简得23yx， ……………………4分

因此点P的轨迹方程是23yx； ……………………5分

（2）假设这样的Q点存在， 理科试题参考答案 第 5 页 共 8 页 因为Q点到(22,0)A点的距离减去Q点到(22,0)B点的距离的差为4，

所以Q点在以(22,0)A和(22,0)B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，

即Q点在曲线221(2)44xyx上， ……………………9分

又Q点在直线:23lyx上， Q点的坐标是方程组2223144yxxy的解，……………………11分

消元得2312130xx，21243130，方程组无解，

所以点P的轨迹上不存在满足条件的点Q. ……………………13分

20．（本题满分14分）

解：方法一在区间0,上,11()axfxaxx. ……………………1分

（1）当2a时，(1)121f，则切线方程为(2)(1)yx，即10xy …………3分

（2）①若0a,则()0fx,()fx是区间0,上的增函数,

(1)0faQ,()(1)0aaafeaaeae,

(1)()0affe,函数()fx在区间0,有唯一零点. …………6分

②若0a,()lnfxx有唯一零点1x. …………7分

③若0a,令()0fx得: 1xa.

在区间1(0,)a上, ()0fx,函数()fx是增函数;

在区间1(,)a上, ()0fx,函数()fx是减函数;

故在区间0,上, ()fx的极大值为11()ln1ln1faaa.

由1()0,fa即ln10a,解得:1ae. 理科试题参考答案 第 6 页 共 8 页 故所求实数a的取值范围是1(,)e. …………9分

方法二、函数()fx无零点方程lnxax即lnxax在0,上无实数解 …………4分

令ln()xgxx，则21ln()xgxx

由()0gx即21ln0xx得：xe …………6分

在区间(0,)e上, ()0gx,函数()gx是增函数;

在区间(,)e上, ()0gx,函数()gx是减函数;

故在区间0,上, ()gx的极大值为1()gee. …………7分

注意到(0,1)x时，(),0gx；1x时(1)0g；1,x时，1()0,gxe

故方程lnxax在0,上无实数解1ae.

即所求实数a的取值范围是1(,)e. …………9分

[注:解法二只说明了()gx的值域是1,e,但并没有证明.]

(3) 设120,xx12()0,()0,fxfxQ1122ln0,ln0xaxxax