直线的倾斜角、斜率与直线的方程

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直线的倾斜角、斜率与直线的方程

一、基础知识

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，

x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线

l的倾斜角.

(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.

(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．

2．斜率公式

(1)定义式：直线l的倾斜角为αα≠π2，则斜率k＝tan α.

(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，

且x1≠x2，则l的斜率 k＝y2－y1x2－x1.

3．直线方程的五种形式

名称 方程 适用范围

点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线

斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线

两点式 y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)

截距式 xa＋yb＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线都适用

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二、常用结论

特殊直线的方程

(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；

(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；

(3)y轴的方程为x＝0；

(4)x轴的方程为y＝0.

考点一 直线的倾斜角与斜率

[典例] (1)直线2xcos α－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的取值范围是( )

A.π6，π3 B.π4，π3

C.π4，π2 D.π4，2π3

(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．

[解析] (1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，

因为α∈π6，π3，所以12≤cos α≤32，

因此k＝2·cos α∈[1，3 ]．

设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3 ]．

又θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，

即倾斜角的取值范围是π4，π3.

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(2) 设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－3，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．

当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3 ]．

故直线l斜率的取值范围是(－∞，－3 ]∪[1，＋∞)．

[答案] (1)B (2)(－∞，－3 ]∪[1，＋∞)

[变透练清]

1.变条件若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A(cos θ，sin2 θ)，B(0,1)，则直线AB的倾斜角α的取值范围是________．

解析：由题意知cos θ≠0，则斜率k＝tan α＝sin2θ－1cos θ－0＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB的倾斜角的取值范围是0，π4∪3π4，π.

答案：0，π4∪3π4，π

2.变条件若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，则直线l斜率的取值范围为________．

解析：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.

∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，

∴(2k－1＋k)(－3＋k)≤0，

即(3k－1)(k－3)≤0，解得13≤k≤3.

即直线l的斜率的取值范围是13，3. 全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）

答案：13，3

3．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．

解析：因为kAC＝5－36－4＝1，kAB＝a－35－4＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.

答案：4

考点二 直线的方程

[典例] (1)若直线经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．

(2)若直线经过点A(－3，3)，且倾斜角为直线3x＋y＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．

(3)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________________．

[解析] (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，将(－5,2)代入y＝kx中，得k＝－25，此时，直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.

②当横截距、纵截距都不为零时，

设所求直线方程为x2a＋ya＝1，

将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－12，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.

综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.

(2)由3x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为3. 全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）

又直线过点A(－3，3)，所以所求直线方程为y－3＝3(x＋3)，即3x－y＋6＝0.

(3)设C(x0，y0)，则M5＋x02，y0－22，N7＋x02，y0＋32.

因为点M在y轴上，所以5＋x02＝0，所以x0＝－5.

因为点N在x轴上，所以y0＋32＝0，

所以y0＝－3，即C(－5，－3)，

所以M0，－52，N(1,0)，

所以直线MN的方程为x1＋y－52＝1，

即5x－2y－5＝0.

[答案] (1)x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0

(2)3x－y＋6＝0 (3)5x－2y－5＝0

[题组训练]

1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是________________．

解析：由题知，倾斜角为π4或3π4，所以斜率为1或－1，直线方程为y－2＝x－1或y－2＝－(x－1)，即x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.

答案：x－y＋1＝0或x＋y－3＝0

2．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为________________．

解析：设直线方程的截距式为xa＋1＋ya＝1，则6a＋1＋－2a＝1，解得a＝2或全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）

a＝1，则直线的方程是x2＋1＋y2＝1或x1＋1＋y1＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.

答案：2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0

考点三 直线方程的综合应用

[典例] 已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当|MA―→|·|MB―→|取得最小值时直线l的方程．

[解] 设A(a,0)，B(0，b)，则a＞0，b＞0，直线l的方程为xa＋yb＝1，

所以2a＋1b＝1.

|MA―→|·| MB―→|＝－MA―→·MB―→＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)

＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5

＝(2a＋b)2a＋1b－5

＝2ba＋2ab≥4，

当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.

[解题技法]

与直线方程有关问题的常见类型及解题策略

(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．

(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．

(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解． 全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）

[题组训练]

1．若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为( )

A．1 B．2

C．4 D．8

解析：选C ∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，

∴a＋b＝ab，即1a＋1b＝1，

∴a＋b＝(a＋b)1a＋1b

＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba·ab＝4，

当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．

∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.

2．已知直线l：x－my＋3m＝0上存在点M满足与A(－1,0)，B(1,0)两点连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是(

)

A．[－6，6 ]

B.－∞，－66∪66，＋∞

C.－∞，－66∪66，＋∞

D.－22，22

解析：选C 设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得yx＋1·yx－1＝3，即y2＝3x2－3.

联立 x－my＋3m＝0，y2＝3x2－3，得1m2－3x2＋23mx＋6＝0(m≠0)，

则Δ＝23m2－241m2－3≥0，即m2≥16，解得m≤－66或m≥66. 全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）

∴实数m的取值范围是－∞，－66∪66，＋∞.

[课时跟踪检测]

1．(优质试题·合肥模拟)直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是( )

A.33

B.3

C．－3 D．－33

解析：选A 设直线l的斜率为k，则k＝－sin 30°cos 150°＝33.

2．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是( )

A.3x－y＋1＝0 B.3x－y－3＝0

C.3x＋y－3＝0 D.3x＋y＋3＝0

解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k＝－3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.

3．已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为( )

A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0

C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0

解析：选C 由题知M(2,4)，N(3,2)，则中位线MN所在直线的方程为y－42－4＝x－23－2，整理得2x＋y－8＝0.

4．方程y＝ax－1a表示的直线可能是( )