八年级数学《全等三角形》能力培优
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八年级数学《全等三角形》能力培优
一．解答题(共8小题）
1．如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点,AE是折痕．
（1）试判断B′E与DC的位置关系;（2）如果∠C=130°，求∠AEB的度数．
2．已知:点A（4，0），点B是y轴正半轴上一点，如图1,以AB为直角边作等腰直角三角形ABC．
（1)当点B坐标为（0，1）时，求点C的坐标；
(2）如图2,以OB为直角边作等腰直角△OBD，点D在第一象限，连接CD交y轴于点E．在点B运动的过程中,BE的长是否发生变化?若不变,求出BE的长；若变化,请说明理由．
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3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，E为AC边的一点,F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，
(1）求证：CF=BG；
(2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB=CP+CF；
4．如图（1)，AB=CD，AD=BC,O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由；
若过O点的直线旋转至图（2）、(3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的∠1与∠2的关系成立吗？请说明理由．
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5．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
（2）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）
（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．
6．在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．
（1)如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF,求证:AF⊥AD；
(2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，若AB=4,AC=7，求NC的长．
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7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D,DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．
求证：DE=BF．
8．已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等,且OB=OC．
求证:AB=AC．
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八年级数学《全等三角形》能力培优
参考答案与试题解析
一．解答题(共8小题)
1．如图所示,一个四边形纸片ABCD,∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕．
（1）试判断B′E与DC的位置关系；
（2）如果∠C=130°，求∠AEB的度数．
【分析】（1）由于AB′是AB的折叠后形成的，所以∠AB′E=∠B=∠D=90°，∴B′E∥DC；
(2）利用平行线的性质和全等三角形求解．
【解答】解:（1）由于AB′是AB的折叠后形成的,
∠AB′E=∠B=∠D=90°，
∴B′E∥DC；
（2）∵折叠，
∴△ABE≌△AB′E，
∴∠AEB′=∠AEB，即∠AEB=∠BEB′，
∵B′E∥DC,∴∠BEB′=∠C=130°，
∴∠AEB=∠BEB′=65°．
【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质;把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，则△ABE≌△AB′E,利用全等三角形的性质和平行线的性质及判定求解．
2．已知：点A（4，0），点B是y轴正半轴上一点，如图1，以AB为直角边作
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等腰直角三角形ABC．
(1）当点B坐标为(0，1）时，求点C的坐标;
（2）如图2,以OB为直角边作等腰直角△OBD,点D在第一象限，连接CD交y轴于点E．在点B运动的过程中，BE的长是否发生变化？若不变，求出BE的长；若变化，请说明理由．
【分析】(1）过C作CM⊥y轴于M，通过判定△BCM≌△ABO(AAS)，得出CM=BO=1,BM=AO=4，进而得到OM=3，据此可得C(﹣1,﹣3）；
（2）过C作CM⊥y轴于M，根据△BCM≌△ABO，可得CM=BO,BM=OA=4，再判定△DBE≌△CME(AAS）,可得BE=EM，进而得到BE=BM=2．
【解答】解：（1)如图1，过C作CM⊥y轴于M．
∵CM⊥y轴,
∴∠BMC=∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°
∵∠ABC=90°，
∴∠CBM+∠ABO=90°,
∴∠CBM=∠BAO，
在△BCM与△ABO中，
，
∴△BCM≌△ABO（AAS),
∴CM=BO=1，BM=AO=4，
∴OM=3，
∴C（﹣1，﹣3）；
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（2）在B点运动过程中，BE长保持不变，BE的长为2，
理由：如图2，过C作CM⊥y轴于M，
由（1)可知：△BCM≌△ABO，
∴CM=BO，BM=OA=4．
∵△BDO是等腰直角三角形，
∴BO=BD，∠DBO=90°，
∴CM=BD，∠DBE=∠CME=90°,
在△DBE与△CME中，
，
∴△DBE≌△CME（AAS），
∴BE=EM，
∴BE=BM=2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边、对应角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，判定△DBE≌△CME是解第(2）题的关键．
3．如图,在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，
(1)求证：CF=BG；
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(2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P,求证：PB=CP+CF；
（3）在（2）问的条件下，当∠GAC=2∠FCH时，若S△AEG=3，BG=6，求AC的长．
【分析】（1）根据ASA证明△BCG≌△CAF，则CF=BG；
（2）先证明△ACG≌△BCG,得∠CAG=∠CBE，再证明∠PCG=∠PGC,即可得出结论；
（3)作△AEG的高线EM，根据角的大小关系得出∠CAG=30°,根据面积求出EM的长，利用30°角的三角函数值依次求AE、EG、BE的长，所以CE=3+，根据线段的和得出AC的长．
【解答】证明：（1）如图1,∵∠ACB=90°,AC=BC，
∴∠A=45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠ACG=∠BCG=45°，
∴∠A=∠BCG，
在△BCG和△CAF中, ∵，
∴△BCG≌△CAF（ASA），
∴CF=BG；
（2）如图2,∵PC∥AG,
∴∠PCA=∠CAG，
∵AC=BC，∠ACG=∠BCG，CG=CG，
∴△ACG≌△BCG，
∴∠CAG=∠CBE，
∵∠PCG=∠PCA+∠ACG=∠CAG+45°=∠CBE+45°,
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∠PGC=∠GCB+∠CBE=∠CBE+45°，
∴∠PCG=∠PGC，
∴PC=PG,
∵PB=BG+PG，BG=CF，
∴PB=CF+CP；
（3）如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，
∵S△AEG=AG•EM=3，
由(2)得：△ACG≌△BCG,
∴BG=AG=6, ∴×6×EM=3， EM=，
设∠FCH=x°，则∠GAC=2x°,
∴∠ACF=∠EBC=∠GAC=2x°，
∵∠ACH=45°，
∴2x+x=45，
x=15，
∴∠ACF=∠GAC=30°，
在Rt△AEM中，AE=2EM=2, AM==3，
∴M是AG的中点，
∴AE=EG=2，
∴BE=BG+EG=6+2，
在Rt△ECB中，∠EBC=30°，
∴CE=BE=3+，
∴AC=AE+EC=2+3+=3+3．
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【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定及等腰直角三角形的性质,证明两线段相等时，一般都是证明两线段所在的三角形全等，因此第一问只需要证明△BCG≌△CAF即可；第3问，如何得出30°角和作辅助线，利用到S△AEG=3列式是突破口．
4．如图（1），AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系?请说明理由;
若过O点的直线旋转至图（2)、（3)的情况，其余条件不变，那么图(1)中的∠1与∠2的关系成立吗?请说明理由．
【分析】（1）证明三角形ACD和CAB全等．根据全等三角形判定中的SSS可得出两三角形全等，那么就能证出AD∥BC，也就得出∠1=∠2了．
（2）（3)和(1）的证法完全一样．
【解答】解:∠1与∠2相等．
证明：在△ADC与△CBA中，
，
∴△ADC≌△CBA．（SSS)
∴∠DAC=∠BCA．
∴DA∥BC．
∴∠1=∠2．
