北师大版高中数学必修1-知识点总结
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高中数学必修1知识点
第一章集合与函数概念
【】集合的含义与表示
（1）集合的概念
把某些特定的对象集在一起就叫做集合.
（2）常用数集及其记法
N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().
【】集合间的基本关系
（6）子集、真子集、集合相等
名称 记号 意义 性质 示意图
子集 BA
（或)AB A中的任一元素都属于B (1)AA
(2)A
(3)若BA且BC，则AC
(4)若BA且BA，则A(B)或BA AB
真子集 AB
（或BA） BA，且B中至少有一元素不属于A （1）A（A为非空子集）
(2)若AB且BC，则AC BA
集合
相等 AB A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB
(2)BA A(B)
（7）已知集合A有(1)nn个元素，则它有2n个子集，它有21n个真子集，它有21n个非空子集，它有22n非空真子集.
【】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集
名称 记号 意义 性质 示意图
交集 AB {|,xxA且}xB （1）AAA
（2）A
（3）ABA
ABB
BA
并集 AB {|,xxA或}xB （1）AAA
（2）AA
（3）ABA
ABB
BA 补集
{|,}xxUxA且 ⑴ （
⑵
⑶
⑷
⑸
⑼ 集合的运算律：
交换律：.;ABBAABBA
结合律:)()();()(CBACBACBACBA
分配律:)()()();()()(CABACBACABACBA
0-1律：,,,AAAUAAUAU
等幂律：.,AAAAAA
求补律：A∩ A∪=U
反演律：(A∩B)=(A)∪(B) (A∪B)=(A)∩(B)
第二章函数
§1函数的概念及其表示
一、映射
1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的
元素，在集合B中都有 元素和它对应，这样的对应叫做
到 的映射，记作 .
2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的
叫做象， 叫做原象。
二、函数
1．定义：设A、B是 ，f:A→B是从A到B的一个映射，则映射f:A→B叫做A到B的 ，记作 .
2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。 3．函数的表示法有 、 、 。
§2函数的定义域和值域
一、定义域：
1．函数的定义域就是使函数式 的集合.
2．常见的三种题型确定定义域：
① 已知函数的解析式，就是 .
② 复合函数f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的
域是外函数f (x)的 域.
③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.
二、值域：
1．函数y＝f (x)中，与自变量x的值 的集合.
2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和
法）
例如：① 形如y＝221x，可采用 法；② y＝)32(2312xxx，可采用
法或 法；③ y＝a[f (x)]2＋bf (x)＋c，可采用 法；④ y＝x－x1，可采用 法；⑤ y＝x－21x，可采用 法；⑥ y＝xxcos2sin可采用 法等.
§3函数的单调性
一、单调性
1．定义：如果函数y＝f (x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、
(x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个 . 若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为 .
2．判断单调性的方法：
(1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ .
(2) 导数法，若函数y＝f (x)在定义域内的某个区间上可导，①若 ，则f (x)在这个区间上是增函数；②若 ，则f
(x)在这个区间上是减函数.
二、单调性的有关结论
1．若f (x), g(x)均为增(减)函数，则f (x)＋g(x) 函数；
2．若f (x)为增(减)函数，则－f (x)为 ；
3．互为反函数的两个函数有 的单调性；
4．复合函数y＝f [g(x)]是定义在M上的函数，若f (x)与g(x)的单调相同，则f [g(x)]为 ，若f (x), g(x)的单调性相反，则f [g(x)]为 .
5．奇函数在其对称区间上的单调性
，偶函数在其对称区间上的单调性 .
§4函数的奇偶性
1．奇偶性：
① 定义：如果对于函数f (x)定义域内的任意x都有 ，则称f (x)为奇函数；若 ，则称f (x)为偶函数. 如果函数f (x)不具有上述性质，则f (x)不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f
(x) .
② 简单性质：
1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.
2） 函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称.
2．与函数周期有关的结论： ①已知条件中如果出现)()(xfaxf、或mxfaxf)()(（a、m均为非零常数，0a），都可以得出)(xf的周期为 ；
②)(xfy的图象关于点)0,(),0,(ba中心对称或)(xfy的图象关于直线bxax,轴对称，均可以得到)(xf周期
第三章 指数函数和对数函数
§1 正整数指数函数
§2 指数扩充及其运算性质
1．正整数指数函数
函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作________指数函数；形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为________函数．
2．分数指数幂
(1)分数指数幂的定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的mn次幂，记作b＝mna；
(2)正分数指数幂写成根式形式：mna＝nam(a>0)；
(3)规定正数的负分数指数幂的意义是：mna＝__________________(a>0，m、n∈N＋，且n>1)；
(4)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________．
3．有理数指数幂的运算性质
(1)aman＝________(a>0)； (2)(am)n＝________(a>0)；
(3)(ab)n＝________(a>0，b>0)．
§3 指数函数(一)
1．指数函数的概念
一般地，________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质
a>1 0
图像
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性
质 过定点 过点______，即x＝____时，y＝____
函数值
的变化 当x>0时，______；
当x<0时，________ 当x>0时，________；
当x<0时，________
单调性 是R上的________ 是R上的________
§4 对数(二)
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，则：
(1)loga(MN)＝________________；
(2)logaMN＝________；
(3)logaMn＝__________(n∈R)． 2．对数换底公式
logbN＝logaNlogab(a，b>0，a，b≠1，N>0)；
特别地：logab·logba＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
§5 对数函数(一)
1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．________为常用对数函数；y＝________为自然对数函数.
2．对数函数的图像与性质
定义 y＝logax (a>0，且a≠1)
底数 a>1 0
图像
定义域 ______
值域 ______
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图像过点______，即loga1＝0
函数值
特点 x∈(0,1)时，
y∈______；
x∈[1，＋∞)时，
y∈______. x∈(0,1)时，
y∈______；
x∈[1，＋∞)时，
y∈______.
对称性 函数y＝logax与y＝1logax的图像关于______对称
3.反函数
对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数____________________互为反函数．
第四章 函数应用
§1 函数与方程
利用函数性质判定方程解的存在
