【系统】河北科技大学案用纸
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河 北 科 技 大 学 教 案 用 纸
第 19 次课 2 学时
注：本页为每次课教案首页
河 北 科 技 大 学 教 案 用 纸
4.6 连续系统的复频域分析
对于任何一个线性时不变系统都可用下列常系数线性微分方程来描述，即
(4.6-1) 上次课复习：掌握傅里叶变换与拉普拉斯变换之间的关系
本次课题（或教材章节题目）：连续系统的复频域分析
教学要求：掌握连续系统的复频域分析
重 点：利用拉普拉斯变换对系统的复频域特性进行分析
难 点：复频域模型的建立
教学手段及教具：讲授
讲授内容及时间分配：
电路的复频域模型 1学时
系统函数 1学时
课后作业
参考资料 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
2文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 对上式两边取拉氏变换，并假定为有始函数，即t < 0时，= 0，因而，。利用时域微分性质，有
. . . . . .
（4.6-2）
和
. . . . . .
(4.6-3)
式（4.6-2）中表示响应的阶导数的初始状态。
将式（4.6-2）和式（4.6-3）代入式（4.6-1），得
=
+
+
. . . . . . . (4.6-4)
+
+
设
. . . . .
代入式（4.6-4），得
=+ (4.6-5)
由此可见，时域中的微分方程已转换为复频域中的代数方程，并且自动地引入初始状态，这十分便于直接求出全响应。全响应的象函数为
= （4.6-6）
上式表明响应由两部分组成。一部分是由激励产生的零状态响应；另一部分是系统的初始状态产生的零输入响应。
记
式中 （4.6-7）
它是零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比，称为系统函数。
对进行反变换，可得全响应的时域表达式：
y(t) = £ -1[Y(s)] =£ -1[YZS(s)]+£ -1[YZi(s)]
= （4.6-8）
拉普拉斯变换分析法在分析系统时，主要在复频域内进行运算，故又称复频域分析法。
必须指出，当t < 0时，零状态响应=0，所以可注明，或乘以。但零输入响应，当t < 0时，不一定为0，所以全响应，当t < 0时，也不一定为0，所以只能注明，而不应乘以。
电路的复频域模型
当人们在复频域内分析具体电路时，此时可不必先列写微分方程，再用拉氏变换进行分析，而是先根据复频域电路模型，从电路中直接列写求解复频域响应的代数方程，然后求解复频域响应并进行拉氏反变换。下面先介绍电路元件的复频域模型。
电阻元件的电压与电流的时域关系为
将上式两边取拉氏变换，得
（4.6-9）
由式（4.6-9）可得到电阻元件的复频域模型。显然，电阻元件的复频域模型与时域模型具有相同的形式。
电容元件的电压与电流的时域关系为
将上式两边取拉氏变换，得 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
3文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. （4.6-10）
或 （4.6-11）
上式表明，一个具有初始电压的电容元件，其复频域模型为一个复频容抗与一个大小为的电压源相串联，或者是与一个大小为的电流源并联。
电感元件的电压与电流的时域关系为
将上式两边取拉氏变换，得
（4.6-12）
或 （4.6-13）
上式表明，一个具有初始电流的电感元件，其复频域模型为一个复频感抗与一个大小为的电压源相串联，或者是与一个大小为的电流源相并联。
把电路中每个元件都用它的复频域模型来代替，将信号源及各分析变量用其拉氏变换式代替，就可由时域电路模型得到复频域电路模型。在复频域电路中，电压V(s)与电流I ( s ) 的关系是代数关系，可以应用与电阻电路一样的分析方法与定理列写求解响应的变换式。
4.7 系统函数
系统函数H(s)是在零状态条件下系统的零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。式（4.6-1）表示的线性时不变系统，其系统函数由式（4.6-7）给出，即
01110111)()()(asasasabsbsbsbsXsYsHnnnnmmmmzs （4.7-1）
可见，已知系统时域描述的微分方程就很容易直接写出系统复频域描述的系统函数，反之亦然。
系统函数仅决定于系统本身的特性，与系统的激励无关，它在系统分析与综合中占有重要地位。
由于 YZS(s) = H(s) X(s)
当系统的激励为 (t) 时，零状态响应为h(t)，故
£[h(t)] = H(s) £[(t)] =H(s) （4.7-2）
即系统函数H(s)与冲激响应h(t)是一对拉氏变换。h(t)与H(s)分别从时域和复频域两个
方面表征了同一系统的特性。
当系统的激励为)(etst时，系统的零状态响应由卷积积分可求得为
=)(ede)(e0sHhstsst （4.7-3）
上式表明，若激励是无时限的复指数信号ste时，则因果系统的零状态响应也是全响应仍为相同复频率的指数信号，但被加权了H(s)。或者说，只要将激励ste乘以系统函数H(s)便可求得响应（条件是：s位于H(s)的收敛域内，即位于H(s)的最右极点的右边）。因此，用拉氏变换法分析系统的零状态响应，实质上就是将激励信号分解为许多不同复频率的复指数分量之和，即
其中每个复指数分量stssXed)(j21的响应由式（4.7-3）可得为stssHsXed)()(j21，最后将这些响应分量迭加，即得系统的零状态响应
=jjde)(j21ssYstzs （4.7-4） 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
4文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 4.7.2 系统函数的求法
综上所述，系统函数可以由零状态条件下从系统的微分方程经过拉氏变换求得，或从系统的冲激响应求拉氏变换而得到。对于具体的电路，系统函数还可以用零状态下的复频域等效电路（模型）来求取。
4.7.3 系统框图化简
在工程分析中，人们较喜欢采用方框图的表示形式，因此系统可以用框图表示。一个大系统可以由许多子系统作适当联接组成，当各子系统的系统函数已知时，可通过框图化简求得总系统的系统函数。系统的基本联接方式有级联、并联及反馈三种。
1. 1. 级联
两个子系统的系统函数分别为H1(s)和H2(s)，整个系统的系统函数为
)()()()()()()()()(1211sHsHsXsYsYsYsXsYsH （4.7-5）
即，子系统级联时，总系统函数为各个子系统函数之积。
2. 2. 并联
表示加法器或称“和点”，在X(s)后面的A点叫做“分点”。
)()()()()()()()()(2121sHsHsXsYsXsYsXsYsH （4.7-6）
即，子系统并联时，总系统函数为各个子系统函数之和。
3. 3. 反馈
表示输出信号反馈到输入端的情况，其中H1(s)称为正向通路的系统函数，H2(s)称为反馈通路的系统函数，“+”号表示正反馈，即输入信号与反馈信号相加，“－”号表示负反馈，即输入信号与反馈信号相减。没有反馈通路的系统称为开环系统，有了反馈通路则成闭环系统。
在有反馈时的总系统函数为
)()(1)()()()(211sHsHsHsXsYsH （4.7-7）
对于负反馈的情况，上式分母中取正号；对于正反馈的情况，上式分母中取负号。
移动和点与分点的规则，它们能保证移动前后整个系统的输入-输出关系不变。
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