实变函数论试题

1 《实变函数》期末考试卷

姓名 班级 座号 成绩

一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“√”或“×”，共8×3=24分）

1．设E是可测集，()fz是E上几乎处处为零的实函数，则()fx在E上可测。 （ ）

2．设()fz是可测集E上的非负可测函数，则()fx必在E上勒贝格可积。 （ ）

3．设()fz是可测集E上的可测函数，则()dEfxx一定存在。 （ ）

4．设E是nR中的可测集，()fx为E上的可测函数，若2()d0Efxx，则()fz在E上几乎处处为零。 （ ）

5．设()fx是(,)ab上的单调函数，则()fx是(,)ab上的可测函数。 （ ）

6. 设1E和2E都是可测集，()fz是1E和2E上的可测函数，则()fx不一定是12EE上的可测函数。 （ ）

7. 设()fz是可测集E上的可测函数，且()dEfxx存在，则()fx和()fx至少有一个在E上L可积。 （ ）

8. 设1,()0,xDxx为有理数为无理数 , 则()Dx在[0,1]上勒贝格可积，但不是黎曼可积的。 （ ）

二、 填空题（每空2分，共9×2=18分）

1.设,TnnERR若对于任意集合都有 ，则称LE为ebesgue 可测集，*此时称mE为E的 ，记为mE。

２. 设P是康托集，则mP ；任意可数集合的外测度为 。

3．设()fx是定义在可测集E上的实函数，若对任意实数a，都有[()]Exfxa是 ，则称()fx是可测集E上的可测函数.

4．设函数列{()}nfx为可测集E上的可测函数列，且()nfx在E上依测度收敛于()fx，则存在{()}nfx的子列{()}knfx，使得()knfx在E上 .

5．设mE,{()}nfx是E上的可测函数列，()fx是E上的实函数, 若()nfx在E上几乎处

2 处收敛于()fx，则()nfx在E上 收敛于()fx.

6．设()fx在[,]ab上黎曼可积，则()fx在[,]ab上勒贝格可积，且它们的积分值 ．

7．设()fx,()gx都在[,]ab上勒贝格可积，且几乎处处相等,则它们在[,]ab上勒贝格积分值 ．

三、叙述题 (3小题 , 每题6分，共3×6=18分)

1) 依测度收敛

2) 可测分划

3) Lebesgue基本定理

四、简答题(2小题 , 每题8分，共2×8=16分)

1、可测集E上的可测函数与连续函数有何关系？

2、设A是[0,1]中的不可测集，令

,(),[0,1]xxAfxxxA

问()fx在[0,1]上是否可测？()fx是否可测？为什么？

五、证明题 (共3小题 , 每题8分，共3×8=24分)

1、设()fx是可测集nER上的可测函数。若()fx在E上L可积，则()fx在E上L可积。

2、从231(1)()(01)1xxxxx 推证

111log21234

3、0limsin0nnxdx

3 《实变函数》期中考试试卷

题型 判断题 填空题 叙述题 证明题 总分

分值 26 32 18 24 100

得分

一、 判断题（判断正确、错误，请在括号中填“√”或“×”。共13小题，每题2分，共13×2=26分）

1、()ABBA。 （ ）

2、可数个可数集的并集是可数集。 （ ）

3、若12AAA，12BBB，且11AB，22AB，则AB。 （ ）

4、若AB，则AB，反之亦然。 （ ）

5、闭集中的每个点都是聚点。 （ ）

6、E和E都是闭集。 （ ）

7、E是完备集EEE是无孤立点的闭集。 （ ）

8、设P，nQR，则(,)0PQPQ。 （ ）

9、和nR都是可测集，且0m，nmR。 （ ）

10、若mE，则E必为无界集。 （ ）

11、设I为nR中的区间，则*mImII。 （ ）

12、若E是无限集，且*0mE，则E是可数集。

（ ）

13、在nR中必存在测度为零的无界集。

（

）

二、

填空题（每空2分，共16×2=32分）

1、设1nRR，1E是[0,1]上的全部有理点，则1E

；1E的内部

；1E 。

2、设P是康托（三分）集，则P为 集；P为 集；P为

集，

P ；mP 。

3、若E是可数集，则*mE ，E为 集，mE 。

4、若12,,,nSSS为可测集，则1niimS

1niimS；若12,,,nSSS为两两不相交的可测集，

4 则1niimS

1niimS。

5、设12,EE为可测集，则122()mEEmE 1mE；若还有2mE，则

12()mEE 12mEmE。

6、设12,EE为可测集，且12EE，2mE，则12()mEE 12mEmE。

三、叙述题 (共3小题 , 每题6分，共3×6=18分)

1、伯恩斯坦（Bernstein）定理

2、Rn中开集的结构定理

3、Rn中的集合E是Lebesgue可测集的卡氏定义（即Caratheodory定义）及其等价形式。

四、证明题 (共4小题 , 每题6分，共4×6=24分)

1、证明Cantor集P是一闭集．

2、证明：若*0mE，则E为可测集。

3、证明：有理数集Q为可测集，且0mQ。

4、证明：对任意集合E，恒有G型集合GE，使*mGmE．

《实变函数论》试卷三

一、 判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。共5小题，每题3分，共5×3=15分）

1、可数个可数集的并集是可数集。 （ ）

2、可测集E上的非负可测函数必Lebesgue可积。 （ ）

3、Rn上全体Lebesgue可测集所组成的集类具有连续势。 （ ）

4、非空开集的Lebesgue测度必大于零。 （ ）

5、若()nfx（1n，2，）和()fx都为可测集E上的可测函数，且lim()()nnfxfx，..ae于E，则()()nfxfx，xE。 （ ）

二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共5×3 =15分)

1、单调收敛定理（即Levi定理）

2、Rn中开集的结构定理

3、Rn中的集合E是Lebesgue可测集的卡氏定义（即C.Caratheodory定义）

5 4、F.Riesz定理（黎斯定理）

5、有界闭区间[,]ab上绝对连续函数的定义

三、计算题（共1题，共1×10 = 10分）

设0D为[0,]中的零测集，300sin,(),xxxDfxexD ，求 [0,]()dfxx。

四、解答题（共6小题，每题10分，共6×10 = 60分）

1、设F为Rn中的F集，证明：必存在Rn中的一列单调递增的闭集1{}kkF，使得1kkFF。

2、证明：Rn中互不相交的开区间所构成的集族必为至多可数集。

3、设()fx是(,)上的实值函数，且()fx在(,)上的任一有限区间上都可测，则()fx在(,)上也可测。

4、用Fubini定理证明：若(,)fxy为2R=(,+)(,+)上的非负可测函数，则

000d(,)dd(,)dxyxfxyyyfxyx。

5、设E是Rn中的可测集，若（1）1kkEE，其中kE为可测集，12EE；

（2）()fx，()nfx(12)n都是E上的可测函数，且lim()()nnfxfx，..ae于E；

（3）存在E上的Lebesgue可积函数()Fx，使得n，()()nfxFx ()xE。

证明：()fx在E上也Lebesgue可积，且 lim()()nnnEEfxdxfxdx。

6、设E是Lebesgue可测集，()nfx(12)n，()fx都是E上的Lebesgue可积函数，若

lim()()nnfxfx()xE，且lim()d()dnnEEfxxfxx，

证明：（1）()()()()()nnnFxfxfxfxfx在E上非负可测；

（2）用Fatou引理证明：lim()()d0nnEfxfxx。

《实变函数论》试卷四

一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。 共5小题，每题3分，共5×3=15分）

6 1、Rn中全体子集构成一个代数。（ ）