高中数学排列组合总结及例题解析
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- 1 - 高中数学排列组合总结及例题解析
内容总结：
一．基本原理
1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一.mnmnA有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从
1.公式：1.!!121mnnmnnnnAmn……
2. 规定：0!1
(1)!(1)!,(1)!(1)!nnnnnn
(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!nnnnnnnnn；
(3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!nnnnnnnnn
三．组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： CAAnnnmmnmnmnmnmmm11……!!!!
10nC规定：
组合数性质：.2 nnnnnmnmnmnmnnmnCCCCCCCC21011……，，
①；②；③；④
11112111212211rrrrrrrrrrrrrrrrrrnnrrrnnrrnnnCCCCCCCCCCCCCCC注：
若12mm1212m=mm+mnnnCC则或
四、二项式定理.
1. ⑴二项式定理：nnnrrnrnnnnnnbaCbaCbaCbaCba01100)(.
展开式具有以下特点：
① 项数：共有1n项；
② 系数：依次为组合数;,,,,,,210nnrnnnnCCCCC
③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.
⑵二项展开式的通项.
nba)（展开式中的第1r项为：),0(1ZrnrbaCTrrnrnr.
⑶二项式系数的性质.
①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；
②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大.
I. 当n是偶数时，中间项是第12n项，它的二项式系数2nnC最大；
II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第21n项和第121n项，它们的二项式系数2121nnnnCC最大. - 2 - ③系数和：
1314201022nnnnnnnnnnnCCCCCCCC
典例分类讲解：
一、合理分类与准确分步法(利用计数原理)
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
例1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 ( ）
A．120种 B．96种 C．78种 D．72种
分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A44=24种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有3*3*3*2*1=54种排法，由分类计数原理，排法共有24+54=78种，选C。
解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后排（排列）的方法解答。
二、分组（堆）问题
分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)
处理问题的原则：
①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.
④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.
例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？
解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：
⑴ 将四项工程分为三“堆”，有 种分法；
⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队，
有3!＝6种给法.
∴共有6×6＝36种不同的发包方式.
三.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有13C
然后排首位共有14C
最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288CCA
C14A34C13
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 211421226CCCA - 3 -
四.相邻元素捆绑策略
例1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480AAA种不同的排法
乙甲丁丙
例2 五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有
种。
分析：把甲、乙视为一人，并且乙固定在甲的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A种。
例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?
解：（1）分两步进行：
♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀
甲 乙
第一步，把甲乙排列(捆绑)：
第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：
几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.
例4、计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）
（A） 5544AA （B）554433AAA （C）554413AAA （D）554422AAA
分析：先把三种不同的画捆在一起，各看成整体，但水彩画不放在两端，则整体有22A种不同的排法，然后对4幅油画和5幅国画内部进行全排，有5544AA种不同的排法，所以不同的陈列方式有554422AAA种，选D。
五.不相邻问题插空策略
例1.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456AA即有3600种.
例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.
22A有＝2种捆法2120240共有＝种排法55A有＝120种排法元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两 - 4 - 解：分两步进行：
第1步，把除甲乙外的一般人排列：
第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：
几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔.
例3、7人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？
分析： 先将其余四人排好有A44=24种排法，再在这些人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则有C35=10种方法，这样共有24*10=240种不同排法。
六.定序问题倍缩空位插入策略
例1.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/AA
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法
例2 A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有 。
分析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A种。
七.重排问题求幂策略
例1.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法
八.消序法(留空法)
几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.
例1. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？
解法1：将5个人依次站成一排，有 种站法，
然后再消去甲乙之间的顺序数
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有 种站法，留下的两个位置自→
1 ↑
① →
2 ↑
② ↑
③ →
3 →
4 →
5 ↑
④ →
6 →
7 55A有=120种排法26A有=30种插入法120303600共有＝种排法定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为nm种
55A22A535522543AAA35A
