相似三角形的判定及习题

知识点：相似三角形

1、 相似三角形

1）概念：若是两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形必然相似。

两个等腰直角三角形必然相似。

两个等边三角形必然相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不必然相似。

补充：关于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；

2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。相似比为k。

4）判定：①概念法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所组成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理：

判定定理1：若是一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两

个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)

判定定理2：若是一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，而且夹

角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

判定定理3：若是一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这

两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．

直角三角形相似判定定理:

○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，而且分成的两个直角三角形也相似。

补充一：直角三角形中的相似问题：

斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.

射影定理：

CD²=AD·BD，

AC²=AD·AB，

BC²=BD·BA

（在直角三角形的计算和证明中有普遍的应用）.

补充二：三角形相似的判定定理推论 推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：若是一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部份成比例，那么这两个三角形相似。

相似三角形的判定

一、填空题：

一、如图，已知∠ADE=∠B，那么△AED ∽__________

二、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于D，那么△ADE∽_________

3、如图；在∠C=∠B，那么_________ ∽_________,__________ ∽_________

4、Rt△ABC ∽Rt△A’B’C’, ∠C=∠C’=90°,假设AB=3，BC=2，A’B’=6,

那么B’C’=__________, A’C’=______________

五、在△ABC和△A’B’C’中，∠B=∠B’, AB =6, BC=8,B’C’=4,那么当A’B’=______时，

△ABC∽△A’B’C’，当A’B’=________时，△ABC∽△C’ B’ A’

六、如图；在△ABC中，DE不平行BC,当_____AEAB时，△ABC∽△AED，假设AB=8，BC=7,AE=5,那么DE=___________

7、如图；在Rt △ABC中，∠ACB=90°，AF=4，EF⊥AC交AB于E，CD⊥AB，垂足D，假设CD=6，EF=3，那么ED=________,BC=_________,AB=_______

八、如图；点D在△ABC内，连BD并延长到E，连AD、AE，假设∠BAB=20°，AEACDEBCADAB，

则∠EAC=_________

第3题第2题第1题OACBACBABECDEEDD第8题第7题第6题ABCACBABCDEDEDEF九、如图；在Rt △ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=6，AD=3.6，那么BC=____10、已知；CA⊥DB ，DE⊥AB，AC、ED交于F，BC=3，FC=1，BD=5，

那么AC=_______

二、选择题；

1一、以下各组图形必相似的是----------------------------------------------------（ ）

A、任意两个等腰三角形 D、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形

C、两条边成比例的两个直角三角形 B、两条边之比为2：3的两个直角三角形

1二、如图；∠AOD=90°，OA=OB=BC=CD，那么以下结论正确是------（ ）

A、△OAB∽△OCA B、△OAB ∽△ODA

C、△BAC∽△BDA D、以上结论都不对

13、点P是△ABC中AB边上一点，过点P作直线（不与直线AB重合）

截△ABC，使得的三角形与原三角形相似，知足条件的直线最多有------（

）

A、2条 B、3条 C、4条 D、5条

14、在直角三角形中，两直角边别离是3、4，那么那个三角形的斜边与斜边上的高的比是----------（ ）

A、1225 B、125 C、45 D、35

1五、△ABC中，D是AB上的一点，在AC上取一点E，使得以A、D、E为极点的三角形与△ABC相似，那么如此的点最多是--------------------------------------------------------（ ）

A、0 B、1 C、2 D、无数

1六、如图；正方形ABCD中，E是CD的中点，FC=41BC结论正确个数是------（ ）

（1）△ABF∽△AEF （2）△ABF∽△ECF （3）△ABF∽△ADE

（4）△AEF∽△ECF （5）△AEF∽△ADF （6）△ECF∽△ADE

17、已知；△ABC中，P为AB上一点，以下四个条件中；（1）∠ACP=∠B；（2）∠APC=∠ACB；（3）ABAPAC2（4）AB·CP=AP·CB，能知足△APC ∽△ACB相似的条件是----------------------------------------------------------------------------------------（ ）

A、（1）（2）（4） B、（1）（3）（4） C、（2）（3）（4） D、（1）（2）（3）

1八、如图；正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是中点，DE交AC于F，假设DE=12，那么EF等于--------------------------------------------（ ）

A、8 B、6 C、4 D、3 第10题第9题FACBBDADCEAODBC第18题第17题第16题oFABCDABCABDCEFPE三、简答题

1九、如图，已知在△ABC中，AE=AC，AH⊥CE，垂足K，BH⊥AH，垂足H，AH交BC于D。求证：△ABH ∽△ACK

20、如图；正方形ABCD中，P是BC上的点，BP=3PC，Q是CD中点，

求证：△ADQ ∽△QCP

2一、如图；已知梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC。

求证：（1）△ABD ∽△DCB （2）BD2=AD·BC

2二、如图；以DE为轴，折叠等边△ABC，极点A正好落在BC边上F点，

求证；△DBF ∽△FCE

23、△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，D是BC上一点，且BD=BA。

求证；△ABC ∽△DAC

KDABCH

EABCDQPADBCABCDEF24、在等边△ABC中，D在BC上，E在CA上，BD=CE，AD、BE相交于F。

求证：（1）△ABD ∽△BFD （2）△AEF ∽△ADC

2五、如图，已知AB//EF//CD。假设AB=6厘米，CD=9厘米，求EF

26、如图， ABCD的对角线交于O，OE交BC于E，交AB的延长线于F，假设AB=a，BC=b，BF=c，求 BE

27、如图；在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D

求证：ACABAD111

EABCDFEODACBFDABC