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高数大一知识点总结第六章第六章：高数大一知识点总结第一节：极限与连续函数在高数的第六章中，我们将深入学习极限与连续函数这一重要的数学概念。
极限是对函数在某一点的趋势进行描述，是分析函数性质的基础和工具。
连续函数则是某一区间上处处连续的函数，具有一些特殊的性质。
下面，我们将对这两个概念进行详细的总结。
1. 极限的定义与性质极限的定义是描述函数在某一点附近的行为。
对于给定的函数f(x)，当自变量x无限接近某一点a时，函数值f(x)可能会趋近于某一确定的值L。
我们用数学符号表示为：lim┬(x→a)〖f(x)=L〗其中，lim表示极限，x→a表示x无限接近a，f(x)是函数在x处的值，L是极限值。
极限具有一些重要的性质，如极限的唯一性、四则运算法则、复合函数的极限等。
通过运用这些性质，我们可以求解复杂函数的极限，并分析函数的性质。
2. 连续函数的定义与性质连续函数是数学中一类重要的函数类型。
对于给定的函数f(x)，如果在某一区间[a, b]上，函数在每一个点x处都存在，并且极限值等于函数值，即：f(a)=lim┬(x→a)〖f(x)〗f(b)=lim┬(x→b)〖f(x)〗那么，函数f(x)在区间[a, b]上就是连续函数。
连续函数具有一些重要的性质，如介值定理、零点定理、达布定理等。
这些定理为我们分析函数的性质提供了有力的工具。
第二节：导数与微分导数与微分是研究函数变化率和切线斜率的重要工具。
在高数的第六章中，我们将学习导数与微分的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
1. 导数的定义与性质对于给定的函数y=f(x)，如果当自变量x发生微小变化Δx时，函数值y=f(x)的变化量Δy与自变量的变化量Δx之比在Δx趋近于0时存在有限极限，那么函数f(x)在x处的导数就存在。
用公式表示为：f'(x)=lim┬(Δx→0)〖(Δy/Δx)〗导数具有一系列的性质，如导数的唯一性、四则运算法则、复合函数的导数等。
习题61．求解初值问题y x y +=' )10(≤≤x 1)0(=y取步长2.0=h ，分别用Euler 公式与改进Euler 公式计算，并与准确解xe x y 21+-=相比较。
解： 1) 应用Euler 具体形式为 )(1i i i i y x h x y ++=+，其中i x i 2.0= 10=y 计算结果列于下表i i x i y )(i x y i i y x y -)( 1 0.2 1.200000 1.242806 0.042806 2 0.4 1.480000 1.583649 0.103649 3 0.6 1.856000 2.044238 0.188238 4 0.8 2.347200 2.651082 0.303882 5 1.0 2.976640 3.436564 0.4599242) 用改进的Euler 公式进行计算，具体形式如下： 10=y)()(1i i i D i y x h y y ++=+ )()(11)(1D i i i C i y x h y y +++++= )(21)(1)(11c i D i i y y y ++++= 4,3,2,1,0=i计算结果列表如下i i x i y )(1D i y + )(1c i y + i i y x y -)( 0 0.0 1.000000 1.200000 1.280000 0.000000 1 0.2 1.240000 1.528000 1.625600 0.002860 2 0.4 1.576800 1.972160 2.091232 0.006849 3 0.6 2.031696 2.558635 2.703303 0.012542 4 0.8 2.630669 3.316803 3.494030 0.020413 5 1.0 3.405417 0.0311473. 对初值问题1)0(=-='y y y)0(>x ，证明用梯形公式所求得的近似值为ii hh y ih y )22()(+-=≈ ),2,1,0( =i并证明当0→h 时，它收敛于准确解ix e y -=，其中ih x i =为固定点。
数值分析知识点总结数值分析知识点总结：本文提供了数值分析中的一些重要知识点和例题，但更多的例题可以参考老师布置的作业题和课件相关例题。
第1章数值分析与科学计算引论：绝对误差和相对误差是衡量近似值精度的指标，有效数字则是描述近似值精度的一种方式。
其中，相对误差限是绝对误差的上界。
有效数字的计算方法为：如果近似值x的误差限是某一位的半个单位，该位到x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。
一个比较好用的公式是f(x)的误差限：f(x)f'(x)(x)。
第2章插值法：插值多项式的余项表达式可以用来估计截断误差。
三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有所不同，但哪一个更优越需要根据实际情况而定。
确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？三弯矩法可以用来求解三次样条表达式。
第3章函数逼近与快速傅里叶变换：带权(x)的正交多项式是在特定区间上满足一定条件的多项式，其中[-1,1]上的勒让德多项式具有重要性质。
切比雪夫多项式也有其独特的性质。
用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有所不同。
最小二乘拟合的法方程可以用来拟合曲线，但当次数n较大时，不直接求解法方程。
第4章数值积分与数值微分：XXX让德求积公式和XXX-XXX求积公式是数值积分中的两种方法，其中高斯求积公式可以用来计算定积分。
勒让德多项式的零点就是高斯点，这种形式的高斯公式被称为XXX让德求积公式。
中点方法是一种数值积分方法，其公式如下：插值型的求导公式有两点公式和三点公式。
第5章介绍了解线性方程组的直接方法，其中包括LU矩阵的推导过程。
相关例题可以在教材第4章作业题和课件中找到。
第6章介绍了解线性方程组的迭代法，判断迭代法是否收敛的条件如下：第7章介绍了非线性方程与方程组的数值解法，其中牛顿法是一种常见的方法。
对于单根且光滑的f(x)=0，牛顿法是局部二阶收敛的。
简化牛顿法和牛顿下山法都是非线性方程组的求解方法。
第一章绪论1.数值运算的误差估计2.绝对误差、相对误差与有效数字3.避免误差的相关问题病态问题与条件数算法的数值稳定性数值运算中的若干原则第二章非线性方程求根1.不动点迭代格式不动点迭代格式的构造、计算全局收敛性判断局部收敛性与收敛阶判断（两个方法）2.Newton迭代格式、计算及几何意义局部收敛性及收敛阶（单、重根）非局部收敛性判断（两个方法）3.Steffensen迭代格式及计算（具有）二阶的局部收敛性4.Newton迭代的变形求重根的迭代法（三种方法）避免导数计算的弦割法（两种方法）Newton下山法*5.二分法计算预先估计对分次数第三章解线性方程组的直接法1.矩阵三角分解法及其方程组求解 直接三角分解法及其分解的条件平方根法（Cholesky 分解）追赶法列主元三角分解法* 2.Gauss 消去法Gauss 主元素消去法（列主元素消去法、全主元素消去法） Gauss 顺序消去法3.方程组的性态与误差分析 向量和矩阵的范数（基础知识） 方程组解的相对误差估计 矩阵的条件数 病态方程组的求解*第四章解线性代数方程组的迭代法1.迭代法的基本理论简单迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解Gauss—Seidel迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解2.三种迭代法的构造、收敛性判断以及方程组的求解Jacobi迭代法基于Jacobi迭代法的Gauss—Seidel迭代法逐次超松弛迭代法①掌握简单迭代收敛性判断的方法。
设B为迭代矩阵，如果||B||<1，则用||B||判断迭代的收敛性比用ρ(B)<1更为方便，但此结论仅为充分条件。
如果||B||≥1，判断迭代的收敛性需考察ρ(B)<1是否成立。
如果需证明迭代发散，则需证明ρ(B)≥1。
②简单迭代法的收敛快慢，依赖于迭代矩阵谱半径的大小。
当ρ(B)<1，迭代次数k≥(mln10)/(-lnρ(B))，则迭代矩阵谱半径越小，收敛越快。
姓名班级学号
第六章数值积分
一、学习体会
这一章主要解决的问题是定积分的数值方法——数值积分法，对于解决一些很难求解原函数或者根本就没有解析表达式的定积分，非常有用。
它直接利用求积公式来求出所给定积分的近似值，使其达到一定的求解精度。
本章第一节首先定义了数值求积公式及其代数精度，之后介绍插值型的求积公式进而引出按照节点等距求解的Newton-Cotes求积公式。
对于该公式对应不同的N那么就产生了不同的求积公式，求积公式的数值稳定性无法得到保证，而且仅适用于少节点的情形，这样就产生了另一类求积公式，即复化求积法，它将区间划分为若干子区间，在每个子区间上运用Newton-Cotes求积公式，进而使得这种方法达到了很高的精确度。
但是计算节点过多又会产生计算量大，所以为了适用最少的节点达到预先的精度，这样就产生了区间主次划分的方法，这种方法的基本思想是让步长可变。
在N个节点的求积公式中，Gauss型求积公式具有最高的求积精度，由于正交多项式随区间和权函数的不同而不同，因而就可以构造出不同类型的求积公式。
我们在进行定积分求解时，要根据求解的条件和结果不同，选择不同的求积方法，进行以得出比较准确的求解结果，这对以后工程上的求解问题有很大帮助。
二、知识梳理
)]
三、思考题
1、推导中点求积公式
3''
()()()()()
()224
b
a
a b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<<⎰
证明：构造一次函数P （x ），使
'''',()(),()02222a b a b a b a b P f P f P x ++++⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
则，易求得'
()(
)()()222
a b a b a b P x f x f +++=-+ 且
'()()()()222b
b a
a a
b a b a b P x dx f x f dx +++⎡⎤
=-+⎢⎥⎣
⎦⎰
⎰
0(
)()()22
b
a a
b a b
f dx b a f ++=+=-⎰，令()()b a P x dx I f =⎰
现分析截断误差：令'()()()()(
)()()222
a b a b a b r x f x P x f x f x f +++=-=--+ 数值积分
由'
'
'
()()(
)2a b r x f x f +=-易知2a b
x +=为()r x 的二重零点， 所以可令2
()()()2
a b r x x x ϕ+=-， 构造辅助函数()()()()()2
a b
K t f t P t x t ϕ+=---，则易知： ()02a b K x K +⎛⎫
== ⎪⎝⎭
其中2a b t +=为二重根()K t ∴有三个零点 由罗尔定理，存在''''
''
()
(,)()0
()2()0
()2
f a b K f K x K x ηηηη∈=-=∴=使即
从而可知''2
()()()()()22
f a b r x f x P x x η+=-=- 所以截断误差：
[]''2
()()()()()()()()22
b b
b b
a
a
a a
f a b R f f x dx I f f x P x dx r x dx x dx η+=-=-==-⎰⎰
⎰⎰
2
()2
a b x +-
在(a,b)区间上不变号，且连续可积，由第二积分中值定理 ''''322''
()()()()()()()(,)
222224
b b a
a f a
b f a b b a R f x dx x dx f a b ηξξξ++-=-=-=∈⎰
⎰综上所述
3''
()()()()()()()224
b
a
a b b a f x dx I f R f b a f f ξ+-=+=-+⎰
证毕
2、构造Gauss 型求积公式的解法有哪些？ 第一种：定义法
（1）利用 5.5.1小节的知识求出在区间上的带权函数()x ρ的正交多项式
()()()()012,,,...,n g x g x g x g x ；
（2）令方程()0n g x =，解出求积节点12,,...,n x x x ； （3）利用定义求解求积系数12,,...,n A A A ； （4）得出求积公式
第二种：利用求积公式的性质()1
n
b
i a
i A x dx ρ==∑⎰和其代数精度有2N-1次
（1）令()()()()221012211,,,...,n n f x f x x f x x f x x --====，
（2)利用求积公式的性质()1
n
b
i a
i A x dx ρ==∑⎰和其代数精度有2N-1次，构造2n
个方程；
(3)求解方程中的未知数i i A 和x ； (4)得出求积公式 四、测试题
对积分
dx x x f ⎰
-1
2)1)((，求构造两点Gauss 求积公式，要求：
（1）在[0,1]上构造带权21)(x x -=ρ的二次正交多项式； （2）用所构造的正交多项式导出求积公式。
解：（1）构造在[0,1]上构造带权函数2
1)(x x -=ρ的正交多项式)(0x Q 、)(1x Q 、
)(2x Q ，取1)(0=x Q 、)()()(011x Q x x Q α-= ，
其中8
3)1()1()]
(),([)]
(),([1
2
1
02
00001=--==
⎰⎰dx x dx x x x Q x Q x Q x xQ α， 则8
3)(1-
=x x Q 。
同理，95
111916)(2
2+-
=x x x Q ，求)(2x Q 的零点得： 17306907.00=x ，66903619.01=x 求积系数：
39523617
.0)(1
000≈=⎰dx x l A ρ 27143053
.0)(1
11≈=⎰dx x l A ρ （2）求（1）可导出求积公式：
)()()1)((11001
2x f A x f A dx x x f +≈-⎰
)66903619.0(27143053.0)17306907.0(39523617.0f f +=。
