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例谈“面积问题”在中考数学中的应用许世文近年来，全国各地中考卷中频频出现“面积问题”的试题，成为中考数学卷中的一个亮点，“面积问题”题型较多，直接求解，计算繁杂，甚至无法求解，应采用一定的技巧，化难为易，巧算面积，下面，本人就以2006、2007年各地中考卷中的试题为例，谈谈“面积问题”的求解方法。
一、割补法例1（2007年乐清市中考题）如图1，以BC 为直径，在半径为2，圆心角为的扇形内作半圆，交AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是A. B. C. D.分析：观察图形，可以适当进行“割”与“补”，从而组合成便于计算的几何图形，根据此图的条件，只要把弓形CD 与弓形BD 互换，即把弓形CD “割”下来“补”到弓形BD 上，则阴影部分的面积就等于扇形ABC 的面积减去△ADC 的面积，故选A 。
练习1（2007年乐山市中考题）如图2，半圆的直径AB=10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于___________。
二、变换法有些不规则几何图形的面积，可以通过几何图形的变换——平移、旋转、翻折等，化不规则为规则，求解起来较为方便。
（一）平移法例2（2006年东莞市中考题）下面是两位同学关于配有如图3的一道题目的争论：甲：“这道题不好算，给的条件也太少了！”乙：“为什么这么说？”甲：“你看，题目只告诉我们AB 的长度等于24，却要求出阴影部分的面积！事实上我连这两个半圆的直径各是多少都不知道呢。
”乙：“那，不过AB 可是小半圆的切线，而且它和大半圆的直径也是平行的呀！”甲：“那也不顶用，我看一定是出题人把什么条件给遗漏啦！”请问，真是甲说的这么回事吗？如果不是，你能求出阴影部分的面积来吗？︒901-π2-π12-π221-π分析：只要将小半圆向左平移至大、小半圆圆心重合的特殊位置时，已知条件就能充分利用，阴影部分的面积就能用整体思想解决。
解：甲说的不对，根据现有条件能求出阴影部分的面积，如图4，连结OC 、OB ，则OC ⊥AB ，CB=12，所以。
高中数学几何公式大全在高中数学中，几何学是一门重要的数学分支。
几何学研究的是空间中的图形和形状的性质、变换以及其关系。
几何学的公式是解决几何问题的基础，本文将为您介绍一些高中数学几何公式。
1.平面几何公式1.1.面积公式-矩形面积公式：面积=长×宽-正方形面积公式：面积=边长×边长-三角形面积公式：面积=（底边长×高）/2-任意多边形面积公式：如果已知多边形所有顶点的坐标，可以使用行列式的方法计算面积。
1.2.周长公式-矩形周长公式：周长=2×(长+宽)-正方形周长公式：周长=4×边长-三角形周长公式：周长=边1+边2+边3-任意多边形周长公式：周长=边1+边2+...+边n1.3.直角三角形公式-勾股定理：a²+b²=c²，其中a、b为直角边，c为斜边。
- 正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c为三角形边长，A、B、C为对应的角度。
- 余弦定理：c²=a²+b²-2ab*cosC，其中a、b、c为三角形边长，C为对边的角度。
2.立体几何公式2.1.体积公式-立方体体积公式：体积=边长³-球体体积公式：体积=(4/3)πr³，其中r为球的半径-圆柱体体积公式：体积=πr²h，其中r为底面半径，h为高度-锥体体积公式：体积=(1/3)πr²h，其中r为底面半径，h为高度2.2.表面积公式-立方体表面积公式：表面积=6边长²-球体表面积公式：表面积=4πr²- 圆柱体表面积公式：表面积=2πrh+2πr²，其中r为底面半径，h为高度- 锥体表面积公式：表面积=πrl+πr²，其中r为底面半径，l为斜高以上只是高中数学几何公式的一部分，还有许多其他公式未在此列出。
掌握这些公式可以帮助高中生更好地解决几何问题，提高几何学习的效果。
二次函数面积问题解题思路二次函数面积问题是高中数学中比较常见的题型，也是考查数学问题分析与解决能力的重要方式之一。
本文将从以下几个方面详细介绍二次函数面积问题的解题思路：第一步：理解二次函数面积问题的含义在解决二次函数面积问题之前，我们需要先了解一些概念，比如二次函数的图象、面积等等。
二次函数的图象一般是一个开口朝上或者朝下的抛物线。
而二次函数的面积问题则是指，在一定条件下，通过二次函数所确定的抛物线与坐标轴之间所形成的面积。
第二步：根据题目所给条件列出方程式在解决二次函数面积问题时，一般会给出一定条件，根据条件列出方程式，然后解方程，得到需要求解的值。
例如，在给出二次函数y=ax²+bx+c和横坐标轴的三个交点的情况下，我们可以列出以下方程：ax²+bx+c=0 (x1<=x<=x2)ax²+bx+c>0 (x1<x<x2)其中，x1和x2分别是二次函数与x轴的交点，可以通过求解二次方程式ax²+bx+c=0求得。
第一个方程式是根据二次函数与横坐标轴的交点所得，第二个方程式是根据二次函数开口朝上还是朝下来确定的。
开口朝上的抛物线面积为正，开口朝下的抛物线面积为负。
第三步：解方程求出需要的答案在得到方程式后，我们需要解方程来求出需要的答案，如求抛物线与横坐标轴之间的面积、求最大值或最小值等等。
可以使用一些求根公式或者试和错方法来解方程，但需要注意的是，对于一些较为复杂的问题，可能需要运用更高级的数学知识来解决。
第四步：检验答案的正确性在解题的过程中，为了避免出现错误的答案，需要对所得的答案进行检验。
检验的方法是将最终得到的答案带回原方程式中进行验证，看是否符合条件，比如是否满足开口方向、是否满足交点、是否满足面积等等。
只有经过检验后，我们才能确定所得答案的正确性。
总之，通过以上几个步骤，我们可以比较容易地解决二次函数面积问题。
高中数学平行四边形的面积与周长计算方法在高中数学中，平行四边形是一个重要的几何概念，它具有独特的性质和特点。
在解决与平行四边形相关的问题时，我们需要掌握一些面积与周长的计算方法。
本文将介绍平行四边形的面积和周长的计算方法，并通过具体的例题进行说明和分析，帮助读者更好地理解和掌握这些知识点。
一、平行四边形的面积计算方法平行四边形的面积计算方法有多种，其中最常用的是基于底边和高的计算公式。
对于任意平行四边形，我们可以将其分割成两个三角形，然后计算两个三角形的面积之和，即可得到平行四边形的面积。
例如，考虑一个平行四边形ABCD，其中底边为AB，高为h。
我们可以将其分割成两个三角形ABD和ABC。
根据三角形的面积公式，三角形ABD的面积为S1 = 0.5 * AB * h，三角形ABC的面积为S2 = 0.5 * AB * h。
因此，平行四边形ABCD的面积为S = S1 + S2 = AB * h。
通过这个例子，我们可以看出平行四边形的面积计算方法是基于底边和高的乘积。
无论平行四边形的形状如何，只要我们知道底边和高，就可以轻松地计算出其面积。
二、平行四边形的周长计算方法平行四边形的周长计算方法与其他四边形类似，需要知道它的四条边长。
对于一个平行四边形ABCD，其周长可以通过将相邻的两条边长相加得到。
例如，考虑一个平行四边形ABCD，其中AB = 5 cm，BC = 8 cm，CD = 5 cm，DA = 8 cm。
我们可以将其周长表示为P = AB + BC + CD + DA = 5 + 8 + 5 + 8 = 26 cm。
需要注意的是，平行四边形的周长计算方法适用于任意形状的平行四边形，只要我们知道它的四条边长，就可以求得其周长。
三、综合应用与拓展掌握了平行四边形的面积和周长计算方法，我们可以应用这些知识解决更加复杂的问题。
下面通过一个例题来说明。
例题：平行四边形ABCD中，AB = 6 cm，BC = 10 cm，AD = 8 cm，角BAD 的度数为60°。
高中数学常见题型解法归纳斜二测画法直观图的面积的求法的面积S可以用等腰梯形的面积公式求解，即S=（上底+下底）×高÷2.例1】画一个边长为2的正三角形的斜二测直观图，用公式法求此直观图面积.解：首先求出原图形的面积S.由于是正三角形，所以S=√3÷4×2²=√3.代入公式S直观图=2S÷4=√3÷2，即可求出直观图面积为√3÷2.点评】公式法比直接法简洁，但需要先求出原图形的面积，再代入公式求解直观图面积.反馈检测1】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面角为45度，腰和上底均为1的等腰梯形，求原来图形的面积.解：设原图形上底为a，下底为b，高为h，则根据等腰梯形的面积公式可得S=(a+b)×h÷2.由于直观图是一个底面角为45度，腰和上底均为1的等腰梯形，所以直观图的面积为√2÷2.代入公式S直观图=2S÷4，即可求得原图形的面积S=√2÷2.已知正三角形ABC的边长为2a，求其平面直观图△A'B'C'的面积。
根据斜二测画法，直观图的面积和原图的面积存在关系，即S直观图=S原图/4.因此，直观图的面积为：S直观图=S原图/4=√3/4*(2a)^2/4=3a^2/4.所以，答案为A。
3a^2/4.另一个题目是利用斜二测画法，已知一个平面图形的直观图是边长为1的正方形，求该平面图形的面积。
根据斜二测画法，直观图的面积和原图的面积存在关系，即S直观图=S原图/4.因此，原图的面积为：S原图=S直观图*4=1*4=4.所以，答案为D。
4.。
一次函数与二次函数的面积问题一、引言在高中数学中，我们学习了一次函数和二次函数，它们是数学中非常重要的概念。
本文将探讨一次函数与二次函数的面积问题，通过几个具体的例子，帮助读者理解并解决这类问题。
二、一次函数的面积一次函数又称为线性函数，其代数表达式为$y=ax+b$。
为了计算一次函数在特定区间上的面积，我们可以使用定积分的方法。
2.1一次函数的几何图像一次函数的几何图像是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与$y$轴的交点。
2.2一次函数的面积计算我们考虑一次函数$y=ax+b$在区间$[x_1,x_2]$上的面积。
首先，我们需要确定该函数在该区间上的单调性。
如果$a>0$，则函数是递增的，如果$a<0$，则函数是递减的。
接下来，我们使用定积分的定义来计算面积。
一次函数的面积可以表示为$$S=\i nt_{x_1}^{x_2}(a x+b)dx$$根据定积分的性质，我们可以求解出这个积分。
2.3一次函数面积的例子让我们通过一个具体的例子来解决一次函数的面积问题。
例子：计算函数$y=2x+1$在区间$[1,3]$上的面积。
解：首先，确定函数是递增的，因为斜率$a=2$是正数。
然后，我们计算积分：$$S=\i nt_{1}^{3}(2x+1)dx$$将积分求解出来，得到$S=8$。
因此，函数$y=2x+1$在区间$[1,3]$上的面积为8。
三、二次函数的面积二次函数的代数表达式为$y=a x^2+bx+c$。
与一次函数类似，我们也可以使用定积分的方法计算二次函数在特定区间上的面积。
3.1二次函数的几何图像二次函数的几何图像是一条抛物线，其开口方向由二次系数$a$的正负决定，顶点决定了抛物线的最低（或最高）点。
3.2二次函数的面积计算我们考虑二次函数$y=ax^2+b x+c$在区间$[x_1,x_2]$上的面积。
与一次函数类似，我们先确定函数在该区间上的单调性。
接着，我们使用定积分的定义来计算面积。
高考数学中的圆锥体表面积问题在高中数学中，圆锥体是一个非常重要的几何体，它拥有许多性质和特点，其中之一就是其表面积的计算。
当我们需要计算圆锥体的表面积时，要考虑到其底面和侧面以及底面与侧面的连接部分，这就需要用到一系列的公式和技巧。
一、圆锥体表面积的计算公式在圆锥体表面积的计算中，我们常常用到以下两个公式：①底面半径为r，母线长为l，侧面母线与底面的夹角为α时，圆锥体的表面积为：S=πrl+πr²②底面半径为r，侧棱长为l，侧棱相交形成的锐角为θ时，圆锥体的表面积为：S=πr²+πrl·tan(θ/2)其中，l为圆锥体的母线长度，α为底面半径和母线所在平面的夹角，θ为侧棱之间的夹角。
以上两个公式中，第一个公式适用于圆锥体的底面和侧面都为圆的情况；第二个公式则适用于圆锥体的底面和侧面都为直角三角形的情况。
二、圆锥体表面积的常见类型在高考数学中，圆锥体表面积的问题通常涉及以下几种类型：1. 圆锥体的母线是斜直线的情况对于这种情况，我们可以使用第一个公式来计算其表面积，只需确定底面半径和母线的长度即可，例如：某个圆锥体的底面半径为4，母线长度为6，求其表面积。
解：按照第一个公式计算，有：S=πrl+πr²其中，r=4，l=6，代入计算得：S=π×4×6+π×4²= 40π因此，该圆锥体的表面积为40π。
2. 圆锥体的侧面和底面都是直角三角形的情况对于这种情况，我们可以使用第二个公式来计算其表面积，只需确定底面半径和侧面棱长即可，例如：某个圆锥体的底面半径为3，侧面棱长为5，求其表面积。
解：按照第二个公式计算，有：S=πr²+πrl·tan(θ/2)其中，r=3，l=5，依据勾股定理可得侧棱相交形成的锐角θ=90°，代入计算得：S=π×3²+π×3×5×1=4π×3因此，该圆锥体的表面积为12π。
面积问题和面积方法
基础知识
1.面积公式
由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式.它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用.
设A ABC,恥,c分别为角A,B,C的对边，％为。
的高,R、r分别为△ ABC外接圆、内切圆的半径，p = ^(a + b + c).则
△ABC的面2
积有如下公式：
(1)S SABC = g 叽；
(2)sin A
(3)S Mli c =jp(p-a)(p-b)5-c)
(4)S AABC=^f'(a + b + C)= P r
(5)
_ abc AOC 4R
(6)S RBC =2R\ sin Asin BsinC
(7)c a2 sin BsinC 2sin(B + C)
(8)S MBC=£乙(方+ c_d)
(9)
1 7
S RBC =—斤(sin2A + sin2B + sin2C)
2.面积定理
(1)一个图形的面积等于它的各部分面积这和；
(2)两个全等形的面积相等；
(3)等底等髙的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底和相等)的面积相等；
(4)等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高(或底)的比；
(5)两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；
(6)共边比例定理：若和△"3的公共边所在直线与直线PQ交于M,则S阳：S^B =PM:QM;
(7 )共角比例定理：在△ ABC和△ A'B'C中，若ZA = Z/V或
ZA + ZA f = \8(r,贝I」也!=.八〃竺.
S M*A® •AC
3.张角定理：如图，由P点出发的三条射线PA、PB、PC,设
ZCPB=J3 , ZAPB=a + p<\^ ,则A,3,C三点共线的充要条件是：sin a sin p sin(a + 0)
---- 1 ---- = ---------- •
PB PA PC
例题分析
例1・梯形ABCD的对角线AC.BD相交于0 ,且S M = m , S”。
= n , 求SABCD
例2.在凸五边形ABCDE中，设Swc = S皿》= S SCI)E = Sqm = S出曲=1 , 求此五边形的面积.
例3・G是△ABC内一点,连结AG,BG,CG并延长与BC、CA,AB分别交于D、E、F ,△AGF、△BGF、△BGD的面积分别为40, 30, 35, 求△ ABC的面积.
例4・P、Q、R分别是△ ABC的边AB、BC和C4上的点，且BP=PQ = QR = RC=\,求△ ABC的面积的最大值.
例5・过△ABC内一点引三边的平行线DE // BC, FG // CA, HI 〃AB,点D、E、F、G、H、I都在△ ABC的边上，S】表示六边形DGHEFI 的面积，S?表示
°
ABC的面积.求证：S. >-S,・
3 '
例6・在直角△A3C中，4D是斜边BC上的高，过的内心与△ ACD的内心的直线分别交边和AC于K和厶，△ A3C和△ AK厶的面积分别记为S和7\求证：S>2T・
例7.锐角三角形ABC中，角A等分线与三角形的外接圆交于一点儿，点色、G与此类似，直线生与B、C两角的外角平分线将于一点观，点弘、C。
与此类似.求证：
（1）三角形A（QC）的面积是六边形AC.BA.CB,的面积的二倍；
（2）三角形人的面积至少是三角形A8C的四倍.
例8・在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且在边上，求证：沁>£.
Swc 9
例9.在锐角△ABC的边BC边上有两点E、F,满足ZBAE=ZCAF, 作FM丄AB, FM VAC（M.N是垂足），延长AE交、ABC的外接圆于点D ,证明四边形AMEW与△ ABC的面积相等.
三.面积的等积变换
等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利
用间面积相等而进行相互转换证（解）题.
例10・凸六边形ABCDEF内接于Qo ,且AB = BC = DC =y/3 + \ , DE = EF = FA=\,求此六边形的面积.
例11・已知A4BC的三边a>b>c,现在AC上取AB'= AB,在BA 延长线上截取BC' = BC,在CB上截取CA f = CA ,求证：眈〉Sgc，・例12 ・AAEC'在AABC内，且AABC s , 求征：
Sg'眈 + S £CA + = S"眈
例13・在AABC的三边BC,CA,AB上分别取点D、E、F ,使BD = 3DC,CE = 3EA, AF = 3FB,连AD、BE,CF相交得三角形已知三角形ABC的面积为13,求三角形P0?的面积.
例14・E为圆内接四边形A3CD的AB边的中点，EFXAD于F, EH1BC于H, £G丄CD于G,求证：EF平分FH・
例15・已知边长为的AABC,过其内心/任作一直线分别交
AB.AC于点，求证：咚§叱.
IN b
例16・正/\PQR=正△P'0R, AB = a}, BC = b「CD = a2 ,
DE=b2 , EF = a3, FA=b3.求证：a{2 +a22 +a32 =b,2+b22 +b^ .
例17・在正AABC内任取一点O,设O点关于三边BC.CA,AB的对称点分别为北B\C ,则A4\BB\CC相交于一点P・
例18・已知AC,CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M,N 分
别内分ACCE,且使型二空从，如果BMN三点共线，试求k的AC CE 值.
例19・设在凸四边形ABCD中，直线CD以为直径的圆相切，求证：当且仅当BC// AD时，直线AB与以CD为直径的圆相切.
训练题
1.设AABC的面积为10cm2, D、E、F分别是AB,BC,CA边上的点,
且AD= 2gDB = 3cm,若= S DBEF ,求MBE的面积.
2.过A4BC内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将
A4BC分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为S£4 求三角形A4BC的面积.
3.在A4BC的三边AB.BC.CA上分别取不与端点重合的三点M,K,厶, 求证：AAML,型KM4CLK中至少有一个的面积不大于A4BC 的面积的丄.
4
4・锐角AABC的顶角A的平分线交BC边于厶，又交三角形的外接圆于N,过厶作AB和AC边的垂线厶K和Z J W,垂足是K,M ,求证: 四边形AKNM的面积等于AABC的面积.
5.在等腰直角三角形A3C的斜边BC上取一点D,使DC = ^BC,
作BEAAD交AC于E, 求证：AE=EC・
6.三条直线/，〃异互相平行，E在川的两侧，且/冲间的距离为2, mji间的距离为1,若正AABC的三个顶点分别在/肿,”上，求正A4BC的边长.
7.已知纠马均及其内任一点P，直线EP分别交对边于2（ i = 123）, 证明：在警，詈，答这三个值中，至少有一个不大于2,并
且
PQ, PQz PQ3
至少有一个不小于2.
8•点D和E分别在AABC的边AB和BC上，点K和M将线段DE分为三等分，直线BK和BM分别与边AC相交于点T和P,证明：
TP<-AC ・
3
9.已知P是AABC内一点,延长AP,BP,CP分别交对边于A，,BH , 其中 = BP = y,CP =乙 PA' = PB' = PC' = w,且x+y + z = 23, w = 3 ,求
RZ之值.
10•过点P作四条射线与直线/，厂分别交于A,B,C,D和, 求证：AB CD_ A,B, C f D,
AD BC~A,D, B,C, *
11・四边形ABCD的两对对边的延长线分别交K,厶，过K,厶作
直线与对角线AC,3D的延长线分别G,F ,求证：—・
KF KG
12・G为A4BC的重心，过G作直线交力3,4C于E,F,求证：EG<2GF .。
