专题用待定系数法求二次函数的解析式

根据待定系数法求二次函数的解析式练习题题目1：已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 通过点 $M(1,3)$，且具有唯一根，求解析式。

解析：由已知条件可得方程 $3=a+b+c$。

同时，二次函数通过点 $M(1,3)$，代入点的坐标得到方程$3=a+b+c$。

由此，我们可以得到一个等式 $a+b+c=3$。

因为二次函数具有唯一根，所以其判别式 $D=b^2-4ac=0$。

代入未知数得到方程 $b^2-4ac=0$。

将以上两个等式带入二次函数的解析式 $y=ax^2+bx+c$ 中，得到方程组：$$\begin{cases}a+b+c=3 \\b^2-4ac=0\end{cases}$$解方程组，可以得到解析式。

题目2：已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 通过点 $M(-1,2)$ 和点 $N(2,-1)$，求解析式。

解析：由已知条件可得方程组：$$\begin{cases}2=a-b+c \\-1=4a+2b+c\end{cases}$$解方程组，可以得到解析式。

题目3：已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 满足以下条件：1. 顶点在点 $A(1,1)$ 上；2. 过点 $B(-2,10)$ 和点 $C(3,7)$。

求解析式。

解析：由已知条件可得方程组：$$\begin{cases}1=a+b+c \\10=4a-2b+c \\7=9a+3b+c\end{cases}$$解方程组，可以得到解析式。

以上是根据待定系数法求解二次函数解析式的练习题，通过解方程组可以得到具体的解析式。

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（基础）【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式. 【答案与解析】本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c(a ≠0)，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=+-53939c b a c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=531c b a∴所求的二次函数的解析式为y=-x 2+3x-5.【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0). 举一反三：【变式】（秋•岳池县期末）已知二次函数图象过点O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．【答案与解析】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，把O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6）各点代入上式得解得，∴抛物线解析式为y=2x 2+x ； ∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣．2．（•巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），且经过点N （2，3），求此二次函数的解析式．【答案与解析】解：已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2）， 设此二次函数的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣2， 把点（2，3）代入解析式，得： a ﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x ﹣1）2﹣2． 【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式. 举一反三：【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）223y x x =--．（2）令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-．∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，. 3．（•丹阳市校级模拟）抛物线的图象如图，则它的函数表达式是 ．当x时，y ＞0．【思路点拨】观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），可设交点式用待定系数法得到二次函数的解析式．y ＞0时，求x 的取值范围，即求抛物线落在x 轴上方时所对应的x 的值． 【答案】y=x 2﹣4x +3．x ＜1，或x ＞3 【解析】解：观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3）， 由“交点式”，得抛物线解析式为y=a （x ﹣1）（x ﹣3）， 将（0，3）代入， 3=a （0﹣1）（0﹣3）， 解得a=1．故函数表达式为y=x 2﹣4x +3．由图可知当x ＜1，或x ＞3时，y ＞0．【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．类型二、用待定系数法解题4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y 轴交于点C ．(1)求二次函数解析式； (2)求△ABC 的面积． 【答案与解析】(1)设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-(a ≠0)，将(3，5)代入得5(32)(34)a =+-，∴ 1a =-．∴ (2)(4)y x x =-+-． 即228y x x =-++．(2)由(1)知C(0，8)， ∴ 1(42)8242ABC S =+⨯=△． 【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式．待定系数法求二次函数的解析式—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. （•厦门校级模拟）已知一条抛物线经过E （0，10），F （2，2），G （4，2），H （3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ ） A ．E ，F B ．E ，G C ．E ，H D ．F ，G 2．二次函数225y x x =+-有( )A ．最小值-5B ．最大值-5C ．最小值-6D ．最大值-63．把抛物线y=3x 2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（ ）A . y=3(x －3)2+2B .y=3(x+3)2+2C .y=3(x －3)2－2D . y=3(x+3)2－24．如图所示，已知抛物线y ＝2x bx c ++的对称轴为x ＝2，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B 的坐标为 ( )A.(2，3)B.(3，2)C.(3，3)D.(4，3)5．将函数2y x x =+的图象向右平移a(a ＞0)个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．若二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表：x -7 -6 -5 -4 -3 -2 Y-27-13-3353则当x ＝1时，y 的值为 ( )A ．5B ．-3C ．-13D ．-27二、填空题7．抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为____ ____．第7题 第10题8．（•河南）已知A （0，3），B （2，3）是抛物线y=﹣x 2+bx +c 上两点，该抛物线的顶点坐标是 ．9．已知抛物线222y x x =-++．该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________；10．如图所示已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是____ ____．11．已知二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：x (3)2- -1 12- 0 12 1 32 … y…54- -294- -254- 074…则该二次函数的解析式为_____ ___．12．已知抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为(3，-2)，且与x 轴两交点间的距离为4，则抛物线的解析式为___ _____．三、解答题13．根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式． (1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点； (3)已知抛物线与x 轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．14．如图，已知直线y ＝-2x+2分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，∠BAC ＝90°，求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．15．（•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ． （1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C ．【解析】∵F （2，2），G （4，2）， ∴F 和G 点为抛物线上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线x=3， ∴H （3，1）点为抛物线的顶点，设抛物线的解析式为y=a （x ﹣3）2+1， 把E （0，10）代入得9a +1=10，解得a=1， ∴抛物线的解析式为y=（x ﹣3）2+1．2.【答案】C ；【解析】首先将一般式通过配方化成顶点式，即2225216y x x x x =+-=++-2(1)6x =+-，∵ a ＝1＞0，∴ x ＝-1时，6y =-最小． 3.【答案】A ； 4.【答案】D ；【解析】∵ 点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行， ∴ 点A 与点B 关于对称轴x ＝2对称， 又∵ A(0，3)，∴ AB ＝4，y B ＝y A ＝3， ∴ 点B 的坐标为(4，3)． 5.【答案】B ；【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移，2y x x =+的顶点坐标是11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，232y x x =-+的顶点坐标是31,24⎛⎫-⎪⎝⎭，∴ 移动的距离31222a ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭．6.【答案】D ；【解析】此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式，再将x ＝1代入求函数值，显然太繁，而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题．观察表格中的函数值，可发现，当x ＝-4和x ＝-2时，函数值均为3，由此可知对称轴为x ＝-3，再由对称性可知x ＝1的函数值必和x ＝-7的函数值相等，而x ＝-7时y ＝-27．∴ x ＝1时，y ＝-27． 二、填空题7．【答案】223y x x =-++；【解析】由图象知抛物线与x 轴两交点为(3，0)，(-1，0)，则(1)(3)y x x =-+-． 8.【答案】（1，4）． 【解析】∵A （0，3），B （2，3）是抛物线y=﹣x 2+bx +c 上两点，∴代入得：，解得：b=2，c=3， ∴y=﹣x 2+2x +3 =﹣（x ﹣1）2+4， 顶点坐标为（1，4）， 故答案为：（1，4）． 9．【答案】(1)x ＝1；(1，3)；【解析】代入对称轴公式2b x a =-和顶点公式24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭即可.10．【答案】12x ≥； 【解析】将(-1，0)，(1，-2)代入2y x bx c =++中得b ＝-1， ∴ 对称轴为12x =，在对称轴的右侧，即12x ≥时，y 随x 的增大而增大. 11．【答案】22y x x =+-；【解析】此题以表格的形式给出x 、y 的一些对应值．要认真分析表格中的每一对x 、y 值，从中选出较简单的三对x 、y 的值即为(-1，-2)，(0，-2)，(1，0)，再设一般式2y ax bx c =++， 用待定系数法求解．设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)，由表知2,2,0.a b c c a b c -+=-⎧⎪=-⎨⎪++=⎩ 解得1,1,2.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴ 二次函数解析式为22y x x =+-． 12．【答案】21(3)22y x =--； 【解析】由题意知抛物线过点(1，0)和(5，0)． 三、解答题13.【答案与解析】(1)∵ 顶点是(1，2)，∴ 设2(1)2y a x =-+(a ≠0)．又∵ 过点(2，3)，∴ 2(21)23a -+=，∴ a ＝1． ∴ 2(1)2y x =-+，即223y x x =-+． (2)设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)．由函数图象过三点(1，-1)，(0，1)，(-1，13)得1,1,13,a b c c a b c ++=-⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得5,7, 1.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求的函数解析式为2571y x x =-+．(3)由抛物线与x 轴交于点(1，0)，(3，0)，∴ 设y ＝a(x-1)(x-3)(a ≠0)，又∵ 过点(0，-3)， ∴ a(0-1)(0-3)＝-3，∴ a ＝-1，∴ y ＝-(x-1)(x-3)，即243y x x =-+-．14.【答案与解析】过C 点作CD ⊥x 轴于D ．在y ＝-2x+2中，分别令y ＝0，x ＝0，得点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(0，2)． 由AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，得△BAO ≌△ACD ， ∴ AD ＝OB ＝2，CD ＝AO ＝1， ∴ C 点的坐标为(3，1)．设所求抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，则有0,9312,a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得5,61762.a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，∴ 所求抛物线的解析式为2517266y x x =-+．（15.【答案与解析】 解：（1）由已知得：C （0，4），B （4，4），把B 与C 坐标代入y=﹣x 2+bx+c 得：，解得：b=2，c=4，则解析式为y=﹣x 2+2x+4；（2）∵y=﹣x 2+2x+4=﹣（x ﹣2）2+6，∴抛物线顶点坐标为（2，6），则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．。

.待定系数法求解析式一、知识要点近年高频考点中考频率所占分值1、用待定系数法求解二次函数解析式5~10分1、设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数解析式2、设顶点式y＝a(x－h)2＋k _用待定系数法求二次函数解析式3、设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)_用待定系数法求二次函数解析式知识点回顾：二次函数的表达形式有那些？二、知识要点详解1、知识点一：设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数的解析式什么叫做待定系数法？一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

根据定义待定系数法求二次函数的解析式步骤如下：（1）、找出符合方程的点；（2）、根据相应的点设不同形式的函数方程；（3）、将相应点的坐标带入（2）步骤所设的函数方程得到关于系数关系的方程或方程组；（4）、解出方程或方程组得到相应的系数（5）、将系数带入所设方程得到二次函数的解析式如题：二次函数的顶点为（2,1），函数图像经过点（1,0），求此二次函数的解析式。

解：∵二次函数的定点为（2,1）找点（1）∴设二次函数的解析式为：y＝a(x－2)2＋1 根据相应的点设立方程（2）∵点（1,0）在函数图像上，即（1,0）满足方程y＝a(x－2)2＋1∴0＝a(1－2)2＋1 将点带入得方程（3）解之得：a=-1 解方程（4）∴二次函数解析式为：y＝-(x－2)2＋1 将所求系数代入得方程解析式（5）一般式y＝ax2＋bx＋c的求解方法：若是已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，代入方程求得解析式例题一1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为____________．2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．3．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( ) A．y＝2x2＋x＋2 B．y＝x2＋3x＋2C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋24．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求出抛物线的解析式．5.已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．(1)求抛物线C1的解析式；(2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式．2、知识点二：利用“顶点式”求二次函数的解析式顶点式y＝a(x－h)2＋k的求解方法：若是已知条件是图像上的顶点（h，k）及另外一点（x，y），则设所求二次函数y＝a(x－h)2＋k，将已知条件（x，y）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式例题二1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( )A．y＝2(x＋1)2＋8B．y＝18(x＋1)2－8C．y＝29(x－1)2＋8D．y＝2(x－1)2－82．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是( ) A．b＝2，c＝4 B．b＝2，c＝－4C．b＝－2，c＝4 D．b＝－2，c＝－43．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．4．已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求其解析式．5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线的解析式为3、知识点三：利用“交点式”求二次函数的解析式交点式y＝a(x－x1)(x－x2)的求解方法：若是已知条件是图像上抛物线与x轴的交点（x1，0）、（x2，0）及另外任意一点（x3，y3），则设所求二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)，将已知条件（x3，y3）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式例题三1．如图，抛物线的函数表达式是( )A．y＝12x2－x＋4B．y＝－12x2－x＋4C．y＝12x2＋x＋4D．y＝－12x2＋x＋42．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式．3．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )A．y＝x2－x－2B．y＝－12x2－12x＋2C．y＝－12x2－12x＋1D．y＝－x2＋x＋24．已知抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)，该抛物线的解析式为5．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)，求这条抛物线的解析式．三、基础巩固考点题库1、已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式。

二次函数专题(一):待定系数求解析式一．选择题（共3小题）1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=2（x+1）2+8 B．y=18（x+1）2﹣8C．y=（x﹣1）2+8 D．y=2（x﹣1）2﹣82．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（）A．y=x2+2 B．y=（x﹣2）2+2C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣23．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC=2．则这条抛物线的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2+x+2C．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 D．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2二．填空题（共3小题）4．若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为．5．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣2，﹣2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为．6．如图，在坐标平面上，抛物线与y轴的交点是（0，5），且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线对应的函数关系式是．三．解答题（共4小题）7．下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．8．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；=1，求点B的坐标．（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB9．已知二次函数的图象经过点A（0，﹣3），且顶点P的坐标为（1，﹣4），（1）求这个函数的关系式；（2）在平面直角坐标系中，画出它的图象．10．如图：抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD，（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求当x取多少时，S的值最大，最大是多少？二次函数专题(一):待定系数求解析式参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=2（x+1）2+8 B．y=18（x+1）2﹣8 C．y=（x﹣1）2+8 D．y=2（x﹣1）2﹣8【分析】顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，﹣8）故二次函数的解析式为y=2（x﹣1）2﹣8故选D．【点评】本题考查由顶点坐标式看出抛物线的顶点坐标，y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）．2．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（）A．y=x2+2 B．y=（x﹣2）2+2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x+2）2﹣2【分析】已知二次函数的顶点坐标，设顶点式比较简单．【解答】解：设这个二次函数的关系式为y=a（x+2）2﹣2，将（0，2）代入得2=a（0+2）2﹣2解得：a=1故这个二次函数的关系式是y=（x+2）2﹣2，故选D．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，设解析式时注意选择顶点式还是选择一般式．3．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC=2．则这条抛物线的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2+x+2C．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 D．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2【分析】首先由OC=2，可知C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），然后分别把A、B、C三点的坐标代入函数的解析式，用待定系数法求出．注意本题有两种情况．【解答】解：抛物线与y轴交于点C，且OC=2，则C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），当C点坐标是（0，2）时，图象经过三点，可以设函数解析式是：y=ax2+bx+c，把（2，0），（﹣1，0），（0，2）分别代入解析式，得到：，解得：，则函数解析式是：y=﹣x2+x+2；同理可以求得当C是（0，﹣2）时解析式是：y=x2﹣x﹣2．故这条抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2或y=x2﹣x﹣2．故选C．【点评】求函数解析式的方法就是待定系数法，转化为解方程组的问题，这是求解析式常用的方法．二．填空题（共3小题）4．若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为±6．【分析】抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），因为抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标为零，列方程求解．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，∴顶点的纵坐标为零，即y===0，解得b=±6．【点评】此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是掌握顶点的表示方法和x轴上的点的特点．5．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣2，﹣2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为y=x2+2x或y=﹣x2+x．【分析】根据与x轴的另一交点到原点的距离为4，分这个交点坐标为（﹣4，0）、（4，0）两种情况，利用待定系数法求函数解析式解答即可．【解答】解：∵图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，∴这个交点坐标为（﹣4，0）、（4，0），设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，①当这个交点坐标为（﹣4，0）时，，解得，所以二次函数解析式为y=x2+2x，②当这个交点坐标为（4，0）时，，解得，所以二次函数解析式为y=﹣x2+x，综上所述，二次函数解析式为y=x2+2x或y=﹣x2+x．故答案为：y=x2+2x或y=﹣x2+x．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，注意另一个交点要分两种情况讨论求解，避免漏解而导致出错．6．如图，在坐标平面上，抛物线与y轴的交点是（0，5），且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线对应的函数关系式是y=﹣x2﹣x+5．【分析】根据图象可得抛物线经过的三个点的坐标，然后利用待定系数法列式求解即可．【解答】解：根据题意得，抛物线经过点（0，5），（﹣4，2），（2，4），设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5．故答案为：y=﹣x2﹣x+5．【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，待定系数法求函数解析式是常用的方法之一，根据图形找出图象经过的三个点的坐标是解题的关键．三．解答题（共4小题）7．下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．【分析】（1）把（﹣2，0）、（1，2）分别代入﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到b、c的值；然后计算x=﹣1时的代数式的值即可得到n的值；（2）利用表中数据求解．【解答】解：（1）根据表格数据可得，解得，∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6；（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y的最大值是5．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．8．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S=1，求点B的坐标．△OAB【分析】（1）利用交点式求抛物线解析式；（2）把（1）中解析式配成顶点式即可得到抛物线顶点坐标及对称轴；（3）设B（t，t2﹣2t），根据三角形面积公式得到×2×|t2﹣2t|=1，则t2﹣2t=1或t2﹣2t=﹣1，然后分别解两个方程求出t，从而可得到B点坐标．【解答】解：（1）抛物线解析式为y=x（x﹣2），即y=x2﹣2x；（2）因为y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），对称轴为直线x=1；（3）设B（t，t2﹣2t），因为S=1，△OAB所以×2×|t2﹣2t|=1，所以t2﹣2t=1或t2﹣2t=﹣1，解方程t2﹣2t=1得t1=1+，t2=1﹣，则B点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）；解方程t2﹣2t=﹣1得t1=t2=1，则B点坐标为（1，﹣1），所以B点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）或（1，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．9．已知二次函数的图象经过点A（0，﹣3），且顶点P的坐标为（1，﹣4），（1）求这个函数的关系式；（2）在平面直角坐标系中，画出它的图象．【分析】（1）此题知道顶点坐标，适合用二次函数的顶点式y=a（x﹣h）2+k来解答．（2）求出与坐标轴的交点坐标，结合已知的顶点坐标，描点、连线．【解答】解：（1）已知二次函数的顶点P（1，﹣4）可设解析式为y=a（x﹣1）2﹣4把A（0，﹣3）代入上式，得﹣3=a﹣4，即a=1∴解析式为y=（x﹣1）2﹣4化为一般式为y=x2﹣2x﹣3（2）当y=0时，原式化为：x2﹣2x﹣3=0即（x+1）（x﹣3）=0，解得x1=﹣1，x2=3∴与x轴交点坐标为：（﹣1，0），（3，0）当x=0时，y=﹣3．因此与y轴交点坐标为：（0，﹣3）．如右图：【点评】解答此题要熟悉①二次函数的解析式：（1）一般式y=ax2+bx+c，（a，b，c为常数且a≠0）（2）顶点式y=a（x﹣h）2+k，（h，k）为顶点坐标，（3）交点式y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．②描点法作图．10．如图：抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD，（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求当x取多少时，S的值最大，最大是多少？【分析】（1）由OC与OD的长，求出MD的长，确定出M坐标，设y=a（x﹣2）2+6，把C坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）由抛物线解析式设出P坐标，过点P做x轴的垂线，交x轴于点E，利用表示出的点P的坐标确定出线段PE、DE的长，用梯形OCPE的面积减去直角三角形OCD的面积和直角三角形PDE的面积，进而得出S与x的函数解析式，利用二次函数性质求出S最大值时x的值即可．【解答】解：（1）∵OC=4，OD=2，∴DM=6，∴点M（2，6），设y=a（x﹣2）2+6，代入（0，4）得：a=﹣，∴该抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+6；（2）设点P（x，﹣（x﹣2）2+6），即（x，﹣x2+2x+4），x＞0，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，则PE=﹣x2+2x+4，DE=x﹣2，S=x（﹣x2+2x+4+4）﹣×2×4﹣（x﹣2）（﹣x2+2x+4），即S=﹣x2+4x=﹣（x﹣4）2+8，∴当x=4时，S有最大值为8．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．。

22.1.4 用待定系数法求二次函数解析式知识点一：用一般式求二次函数解析式题型一：用一般式求二次函数解析式【例题1】（2021·广东中考真题）抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，则当2x =时，y 的值为（ ）A ．5-B ．3-C ．1-D ．5【答案】A【分析】先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-， ∵50930c a b c a b c =-⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解方程组得553103c a b ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩， ∵抛物线解析式为2353051y x x -=-， 当2x =时，103542553y =⨯⨯-=--． 故选择A ．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法知识点管理 归类探究是解题关键．变式训练【变式1-1】（2021·辽宁九年级期末）二次函数2y ax bx c =++图象与x 轴交于点()1,0A -，与y 轴交于点()0,5C -，且经过点D （3，-8）．求此二次函数的解析式及顶点坐标．【答案】245y x x =--，顶点坐标为（2，-9）；【分析】直接利用待定系数法求二次函数解析式即可，进而利用配方法求出函数顶点坐标；【详解】由题意，有05,938a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩解得145a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∵此二次函数的解析式为245y x x =--；∵()229y x =--，顶点坐标为（2，-9）；【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的顶点坐标，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题关键．【变式1-2】（2021·浙江杭州市·九年级期中）已知二次函数2y x px q +=+的图象经过(0,1),(2,1)A B -两点． （1）求,p q 的值．（2）试判断点(1,2)P -是否在此函数的图象上．【答案】（1）p =-3，q =1；（2）不在【分析】把两点代入即可得出p ，q 的值；（2）把x =-1代入解析式，算一下y 的值是否为2，即可得出答案．【详解】（1）解：把A （0，1），B （2，-1）代入y =x 2+px +q ， 得1421q p q =⎧⎨++=-⎩， 解得：31p q =-⎧⎨=⎩， ∵p ，q 的值分别为-3，1；（2）把x =-1代入y =x 2-3x +1，得y =5，∵点P （-1，2）不在此函数的图象上．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用待定系数法求二次函数的解析式是解此题的关键．【变式1-3】（2021·广西南宁二中八年级期末）已知抛物线21y ax bx =+-经过()1,2A ，()3,2B -两点． 求该抛物线的函数关系式；（2）若将该抛物线向上平移3个单位长度，求出平移后的函数关系式并直接写出开口方向及顶点坐标．【答案】221y x x =+-；（2）222=++y x x ，开口方向向上，顶点坐标为（﹣1，1）．【分析】直接将()1,2A ，()3,2B -代入21y ax bx =+-得到二元一次方程组，再求得a 、b 即可； （2）根据抛物线的平移规律“上加下减”以及二次函数图象的特征解答即可．【详解】解：把()1,2A ，()3,2B -代入21y ax bx =+-得129312a b a b +-=⎧⎨--=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩， ∵抛物线解析式为221y x x =+-．（2）抛物线向上平移3个单位长度的解析式为，2213y x x =+-+故平移后得解析式为222=++y x x∵开口方向向上，顶点坐标为（﹣1，1）．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数图象的平移、二次函数图象的性质等知识点，掌握二次函数图象的平移规律和二次函数图象的特征是解答本题的关键．知识点二：用顶点式求二次函数解析式题型二：用顶点式求二次函数解析式【例题2】（2021·浙江九年级二模）平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（32，﹣254），它的图象与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧）．若AB ＝5，交y 轴于点C ，点C 在y 轴负半轴上．∵求二次函数的解析式；【答案】∵234y x x =--；【分析】∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（32，﹣254），可确定二次函数的对称轴为32x =，利用对称轴求出抛物线与x 轴的交点A （-1，0），B （4，0），利用待定系数法可求抛物线解析式；【详解】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（32，﹣254）， ∵二次函数的对称轴为32x =， ∵与x 轴交于点A ，B ，AB ＝5，∵A 、B 两点关于对称轴为32x =对称，35122-=-，35+422=， ∵A （-1，0），B （4，0），设解析式为()()14y a x x =+-，∵()()14y a x x =+-过顶点（32，﹣254）， ∵253314422a ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解得=1a ，∵二次函数解析式为：2=34y x x --，变式训练【变式2-1】（2021·湖南九年级一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线L 与x 轴交于,A B 两点，且经过点(0,2)C -，抛物线的顶点D 的坐标为325,28⎛⎫- ⎪⎝⎭． 求抛物线L 的函数表达式； 【答案】213222y x x =--； 【分析】根据二次函数顶点D 的坐标，将二次函数设为顶点式形式，再将C 点坐标代入化简即可；【详解】解：设抛物线L 的解析式为232528y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 将(0,2)C -代入得：925248a -=-，解得12a =， ∴抛物线L 的解析式为21325228y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即213222y x x =--． 【变式2-2】（2021·广东深圳市·九年级二模）如图1，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为（－1，154）与y 轴交于A （0，3），交直线l ：x ＝－2于点B ，点C （0，2）在y 轴上，连接BC 并延长，交抛物线于点D ．求抛物线的表达式；【答案】233=342y x x --+ 【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，故可设抛物线解析式为顶点式：215(1)4y a x =++，代入A 点坐标可得34a =-，从而可得答案； 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为151,,4⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴ 设抛物线解析式为顶点式：215(1)4y a x =++， 代入A 点坐标()0,3：15+=3,4a 3,4a ∴=- 则抛物线解析式为2231533(1)34442y x x x =-++=--+. 【变式2-3】（2021·云南九年级一模）如图，二次函数的图象以()1,4D -为顶点，且过点()2,5C -，与x 轴交于A ，B 两点．求这个二次函数的解析式；【答案】()214y x =-++【分析】根据图象的顶点()1,4D -设顶点式，再将点C 坐标代入求解即可；【详解】解：∵二次函数的图象顶点为()1,4-，∵设二次函数的解析式为()214y a x =++，把点()2,5C -代入得：1a =-，∵抛物线的解析式为()214y x =-++．知识点三：用交点式求二次函数解析式题型三：用交点式求二次函数解析式【例题3】（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级二模）在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝a 2x +bx +c （a ≠0）与x 轴相交于点A (﹣6，0)，B (﹣2，0)两点，与y 轴交于点C (0，6)，点D 为抛物线1C 上的顶点．求抛物线1C 的函数表达式及顶点D 的坐标；【答案】21462=++y x x ，顶点D 的坐标（-4，-2）【分析】设抛物线的解析式为y =a （x +6）（x +2），把点C (0，6)代入确定a 值，就可确定抛物线1C 的函数表达式，配方法求得顶点坐标；【详解】∵y ＝a 2x +bx +c （a ≠0）与x 轴相交于点A (﹣6，0)，B (﹣2，0)两点，与y 轴交于点C (0，6)， ∵设抛物线的解析式为y =a （x +6）（x +2），把点C (0，6)代入y =a （x +6）（x +2），得12a =6，解得a =12，∵抛物线的解析式为y =12（x +6）（x +2）， 即21462=++y x x ， ∵21462=++y x x =22211(8)6(8416)622++=++-+x x x x =21(4)22+-x ， ∵D 的坐标为（-4，-2）；变式训练【变式3-1】（2021·江苏中考真题）已知抛物线2(1)y a x h =-+经过点(0,3)-和(3,0)求a 、h 的值；【答案】1a =，4h =-【分析】将点(0,3)-和(3,0)，代入解析式求解即可；【详解】将点(0,3)-和(3,0)代入抛物线2(1)y a x h =-+得：22(01)3(31)0a h a h ⎧-+=-⎨-+=⎩解得：14a h =⎧⎨=-⎩∵1a =，4h =-【变式3-2】已知二次函数经过(1,0),(3,0),(0,3)A B C -求二次函数的表达式．【答案】y =-x 2+2x +3【分析】运用待定系数法求这个二次函数的表达式．【详解】解：∵二次函数经过A （-1，0），B （3，0），C （0，3），设y =a （x +1）（x -3），把（0，3）代入得3=-3a ，∵a =-1，∵该二次函数的解析式是y =-x 2+2x +3．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是将点坐标正确代入计算．【变式3-3】已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过()()()103045A B C -，、，、，三点． （1）求抛物线解析式；（2）当22x -<<时，求函数值y 的范围；【答案】（1）y =x 2-2x -3；（2）-4≤y ＜5【分析】（1）把三点的坐标代入函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；（2）先得出抛物线的开口方向，对称轴，再结合x 的范围得到y 的最值．【详解】∵y ＝a 2x +bx +c （a ≠0）与x 轴相交于点A (﹣1，0)，B (3，0)两点，与C (4，5)，∵设抛物线的解析式为y =a （x +1）（x -3），把点C (4，5)代入y =a （x +1）（x -3），得5a =5，解得a =1，∵抛物线的解析式为y =（x +1）（x -3），∵二次函数的解析式是y =x 2-2x -3；（2）抛物线的对称轴为直线x =221--⨯=1， 1＞0，则开口向上，又∵22x -<<，∵当x =1时，y 取最小值，即y min =-4；当x =-2时，y 取最大值，即y max =5，∵y 的范围是-4≤y ＜5．【点睛】本题考查了二次函数的顶点，二次函数的性质和用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．题型四：已知对称轴求二次函数解析式【例题4】已知二次函数2y x bx c =++的对称轴是直线2x =，且经过点(1,0)A -．求二次函数的解析式．【答案】245y x x =--；【分析】根据对称轴和A 点坐标，利用待定系数法求解；【详解】解：由题意可得：2210b bc ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，解得：45b c =-⎧⎨=-⎩， ∵245y x x =--．变式训练【变式4-1】（2021·安徽中考真题）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =．求a 的值；【答案】1a =； 【分析】根据对称轴2b x a=-，代值计算即可 【详解】解：由题意得：212x a-=-= 【变式4-2】请写出一个开口向下，对称轴为直线3x =-，且与y 轴的交点为()02，的二次函数的解析式：________．【答案】y =-（x +3）2-7（答案不唯一）【分析】由开口向下可以推出a ＜0，又由对称轴为直线x =2得到2b a-=-3，而抛物线与y 轴的交点坐标为（0，2），所以c =2．根据以上条件可以确定函数的一部分系数，答案不唯一．【详解】解：∵开口向下，∵a ＜0；∵对称轴为直线x =-3， ∵2b a-=-3， ∵与y 轴的交点坐标为（0，2），∵c =2．∵若a=-1,则b=-6,∵解析式为y =-x 2-6x +2，故答案为：y = y =-x 2-6x+2（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查二次函数的性质的知识点，此题是开放性试题，要熟练掌握函数图形及性质的综合应用，此题难度一般，答案不唯一．【变式4-3】（2021·浙江中考真题）如图，二次函数()()1y x x a =--（a 为常数）的图象的对称轴为直线2x =．求a 的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【答案】3a =；（2）24y x x =- 【分析】把二次函数化为一般式，再利用对称轴：2b x a =-，列方程解方程即可得到答案； （2）由得：二次函数的解析式为：243y xx =-+，再结合平移后抛物线过原点，则0,c = 从而可得平移方式及平移后的解析式．【详解】解：2(1)()(1)y x x a x a x a =--=-++．∵图象的对称轴为直线2x =， ∵122a +=， ∵3a =．（2）∵3a =，∵二次函数的表达式为243y x x =-+，∵抛物线向下平移3个单位后经过原点，∵平移后图象所对应的二次函数的表达式为24y x x =-．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键．【真题1】（2013·广东中考真题）如图∵，已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （0，3），B （3，0），C （4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；【答案】2y x 4x 3=-+；（2）顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；【分析】把点A 、B 、C 代入抛物线解析式2y ax bx c =++利用待定系数法求解即可．链接中考（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++经过点A （0，3），B （3，0），C （4，3），∵c 3{9a 3b c 016a 4b c 3=++=++=，解得a 1{b 4c 3==-=．∵抛物线的函数表达式为2y x 4x 3=-+．（2）∵()22y x 4x 3x 21=-+=--，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2．【真题2】（2018·辽宁中考真题）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A （1，0），B （3，0），交y 轴于点C ．求这个二次函数的表达式；【答案】这个二次函数的表达式是y=x 2﹣4x+3；【分析】根据待定系数法，可得函数解析式；【详解】将A （1，0），B （3，0）代入函数解析式，得 309330a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝， 解得14a b ⎧⎨-⎩＝＝， 这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3；【真题3】（2021·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于点．()1,0A -、()3,0B ，与y 轴交于点C ．b =________，c =________；【答案】-2，-3；【分析】利用待定系数法求解即可；【详解】解：∵点A 和点B 在二次函数2y x bx c =++图像上，则01093b c b c =-+⎧⎨=++⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， 故答案为：-2，-3； 满分冲刺【拓展1】（2018·四川成都市·成都外国语学校九年级月考）已知二次函数的图象过点（1，92）、（2，4）、（﹣1，52）与x 轴分别交于B （左）、C 两点，与y 轴交于点A ．求二次函数的解析式；（2）求∵ABC 的面积．【答案】y ＝﹣12x 2+x +4；（2）S ∵ABC ＝12．【分析】利用待定系数法确定函数解析式即可；（2）先求出BC 的长，再求点A 坐标，最后由三角形的面积公式进行计算．【详解】解：设该抛物线解析式为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）， 把（1，92）、（2，4）、（﹣1，52）分别代入得， 9242452a b c a b c a b c ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪⎪-+=⎩， 解得1214a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以该抛物线解析式为：y ＝﹣12x 2+x +4；（2）由知，该抛物线解析式为：y ＝﹣12x 2+x +4，所以y ＝﹣12x 2+x +4＝1-2（x ﹣4）（x +2）， 则B （﹣2，0），C （4，0），所以BC ＝6．令x ＝0，则y ＝4，所以A （0，4）．所以S ∵ABC ＝12×6×4＝12．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积是解题的关键.【拓展2】（2019·北京市第六十六中学九年级期中）如图，抛物线经过点A 、B 、C ．求此抛物线的解析式；（2）若抛物线和x 轴的另一个交点为D ，求∵ODC 的面积．【答案】223y x x =--．（2）6ODC S ∆=．【分析】由题意可知顶点()4C -1，，设出二次函数的顶点式，把A 点坐标代入，即可得解； （2）根据解析式即可得出对称轴，根据对称性得出D 点坐标，即可求出∵ODC 的面积．【详解】解：由题意知()1,0A -，()4C -1，， 设抛物线的解析式为()214y a x =--．把()1,0A -代入，解得a=1．∵()221423y x x x =--=--．（2）∵对称轴x=1，∵点D 的坐标为()3,0． ∵143=62ODC S ∆=⨯⨯． 点评：本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x 轴的交点问题，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式.【拓展3】已知，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过原点，其顶点为()(),0A m n m ≠．当1,3m n ==时，抛物线的解析式为_________．（2）当点A 在抛物线21y x x =-+上，且17m ≤≤时，a 的取值范围是______．【答案】y =-3x 2+6x 43149a -≤≤- 【分析】根据顶点坐标设抛物线为y =a （x -1）2+3，将原点代入求出a 值即可．（2）分别求出m =1和m =7时点A 的坐标，可得新的函数解析式，再根据经过原点可得a 值，从而得到a 的取值范围．【详解】解：当m =1，n =3时，顶点坐标为（1，3），设抛物线为y =a （x -1）2+3，∵抛物线经过原点，∵0=a （0-1）2+3，∵a =-3，∵抛物线解析式为y =-3x 2+6x ；（2）∵点A 在抛物线21y x x =-+上，2213124y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 当x ≥12时，y 随x 的增大而增大，当m =1时，n =1，当m =7时，n =43，当A （1，1）时，()211y a x =-+，∵抛物线()211y a x =-+过原点，∵a +1=0，则a =-1，当A （7，43）时，()2743y a x =-+，∵抛物线()2743y a x =-+经过原点，∵04943a=+，则4349a=-，∵a的取值范围是43149a-≤≤-；故答案为：y=-3x2+6x，43149a-≤≤-．【点睛】本题考查二次函数综合题，解题的关键是学会用参数解决问题，题目比较难参数比较多，第三个问题解不等式要注意讨论．。