湖北省鄂州二中2015届高三10月阶段性测试数学(文)试题 Word版

教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（文科）【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1、设全集(2),{|21},{|ln(1)}x x U R A x B x y x -==<==-，则图中阴影部分表示的集合为 A ．{}|1x x ≥ B ．{}|1x x ≤ C ．{}|01x x <≤ D ．{}|11x x ≤< 【知识点】Venn 图表达集合的关系及运算．A1【答案解析】D 解析：因为图中阴影部分表示的集合为()U AC B ，由题意可知{}{}02,1A x x B x x =<<=<，所以()U AC B {}{}021x x x x =<<≥{}12x x =≤<，故选.D【思路点拨】根据所给的文恩图，看出阴影部分所表达的是要求B 集合的补集与A 集合的交集，整理两个集合，求出B 的补集，再求出交集. 【题文】2、已知()3sin f x x x π=-，命题():(0,),02p x f x π∀∈<，则A ．p 是真命题，():(0,),02p x f x π⌝∀∈> B ．p 是真命题，()0:(0,),02p x f x π⌝∀∈≥C ．p 是假命题，():(0,),02p x f x π⌝∀∈≥ D ．p 是假命题，()0:(0,),02p x f x π⌝∀∈≥【知识点】复合命题的真假；命题的否定．A2【答案解析】B 解析：依题意得，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()3cos 30f x x ππ'=-<-<，函数()f x 是减函数，此时()()03sin000f x f π<=-⨯=，即有()0f x <恒成立，因此命题p 是真命题，p ┐应是“()000,,02x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭”.综上所述，应选.B 【思路点拨】由三角函数线的性质可知，当x ∈（0，）时，sinx ＜x 可判断p 的真假，根据全称命题的否定为特称命题可知￢p ．【题文】3、定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),22f x f x f x f x -=--=+，且(1,0)x ∈-时，()125x f x =+，则()2log 20f =A ．1B ．45C ．1-D ．45-【知识点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．B4【答案解析】C 解析：由()()()()224f x f x f x f x -=+⇒=+，因为24l o g 205<<，所以20log 2041<-<，214log 200-<-<，所以()()()22224log 20log 2044log 20log 15f f f f ⎛⎫=-=--=-=- ⎪⎝⎭.故选.C 【思路点拨】根据对数函数的单调性，我们易判断出log 220∈（4，5），结合已知中f （﹣x ）=﹣f （x ），f （x ﹣2）=f （x+2）且x ∈（﹣1，0）时，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f （log 220）的值．【题文】4、某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+中的ˆ4b =-，据此模型预测零售价 为15元时，每天的销售量为A ．51个B ．50个C ．49个D ．48个 【知识点】线性回归方程．I4【答案解析】C 解析：由题意知17.5,39x y ==，代入回归直线方程得109,a =109154-⨯49=，故选.C【思路点拨】计算平均数，利用b=﹣4，可求a 的值，即可求得回归直线方程，从而可预报单价为15元时的销量.【题文】5、已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则22sin sin2cos()4ααπα+=-A．5- B．10- C．10- D．5【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值．C7【答案解析】A 解析：tan11tan41tan2πααα+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，1tan3α∴=-，02πα-<<，sin10α∴=-，则22sin sin cos2sin sin2cos4αααααπα++=⎛⎫-⎪⎝⎭α=⎛==⎝⎭，故选.A【思路点拨】通过利用两角和的正切公式，求出tanα，结合角的范围，求出sinα，化简要求的表达式，代入sinα，即可得到选项．【题文】6、已知函数()322,()2,03af x x ax cxg x ax ax ca=++=++≠，则它们的图象可能是【知识点】函数的图象.B8【答案解析】B 解析：因为()22f x ax ax c'=++，则函数()f x'即()g x图象的对称轴为1x=-，故可排除,A D；由选项C的图象可知，当0x>时，()0f x'>，故函数()323af x x ax cx=++在()0,+∞上单调递增，但图象中函数()f x在()0,+∞上不具有单调性，故排除.C 本题应选.B【思路点拨】求出函数f （x ）的导数，判断导函数的对称轴，排除选项，利用函数的单调性排除C ，推出结果．【题文】7、已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数的图象是A ．关于直线8x π=对称 B ．关于点(,0)4π对称 C ．关于直线4x π=对称 D ．关于点(,0)8π对称【知识点】正弦函数的对称性.C3 【答案解析】A 解析：依题意得2,2T ππωω===，故()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以 sin 2sin 108842f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2444f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin4π==0≠，因此该函数的图象关于直线8x π=对称，不关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭和点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，也不关于直线4x π=对称.故选.A【思路点拨】通过函数的周期求出ω，利用正弦函数的对称性求出对称轴方程，得到选项． 【题文】8、一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，其中2,1AD DC BC ==，它可能随机在草原上任何一处（点），若落在扇形沼泽区域ADE 以外丹顶鹤能生还， 则该丹顶鹤生还的概率是（ ） A ．1215π- B ．110π- C ．16π- D ．3110π- 【知识点】几何概型．K3【答案解析】B 解析：过点D 作DF AB ⊥于点F ，在R t A F D ∆中，易知1,45A F A =∠=， 梯形的面积()115221122S =++⨯=,扇形ADE的面积221244S ππ=⨯⨯=，则丹顶鹤生还的概率12152415102S S P S ππ--===-，故选.B【思路点拨】过点D 作DF⊥AB 于点F ，求出梯形的面积，扇形ADE 的面积，利用几何概型求出结果．【题文】9、已知函数()y f x =对于任意的(,)22x ππ∈-满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A()()34f ππ< B ．(0)2()3f f π<C．(0)()4f π<D()()34f ππ-<-【知识点】利用导数研究函数的单调性．B12【答案解析】D 解析：由()()cos sin 0f x x f x x '+>知()0cos f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()cos f x g x x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，所以34g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34cos cos 34f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，得34f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 不正确；易知()03g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()03cos0cos 3f f ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>，得()023f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以B 不正确；易知()04g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()04cos0cos 4f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭>，得()04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以C 不正确；易知34g g ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34cos cos 34f f ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确.故选.D【思路点拨】根据条件构造函数g （x ）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．【题文】10、已知函数()32(,f x x bx cx d bc d =+++均为常数)，当(0,1)x ∈时取极大值，当(1,2)x ∈时取极小值，则221()(3)2b c ++-的取值范围是A．(2B．)C ．37(,25)4D ．()5,25 【知识点】利用导数研究函数的极值．B12【答案解析】D 解析：因为()232f x x bx c '=++，依题意，得()()()00,1230,24120,f c f b c f b c '=>⎧⎪'=++<⎨⎪'=++>⎩则点(),b c 所满足的可行域如图所示（阴影部分，且不包括边界），其中()4.5,6A -，()3,0B -，()1.5,0D -.()22132T b c ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭表示点(),b c 到点1,32P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离的平方，因为点P 到直线AD 的距离d ==，观察图形可知，22d T PA <<，又()22214.563252PA ⎛⎫=-++-= ⎪⎝⎭，所以525T <<，故选.D【思路点拨】据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a ，b 的约束条件，据线性规划求出最值．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上【题文】11、已知集合22{|201520140},{|log }A x x x B x x m =-+<=<，若A B ⊆，则整数m 的最小值是【知识点】集合的包含关系判断及应用．A1【答案解析】11 解析：由2201520140x x -+<，解得12014x <<，故{}12014A x x =<<. 由2log x m <，解得02mx <<，故{}02mB x x =<<.由A B ⊆，可得22014m≥，因为101121024,22048==，所以整数m 的最小值为11.【思路点拨】先解集合A ，B 中有关x 的不等式，再由A ⊆B 的关系，可得出关于m 的不等式，即可求得m 的最小值．【题文】12、若不等式131x x m ++-≥-恒成立，则实数m 的取值范围是 【知识点】绝对值不等式的解法．N4【答案解析】[]3,5- 解析：由于()()13134x x x x ++-≥+--=，则有14m -≤，即414m -≤-≤，解得35m -≤≤，故实数m 的取值范围是[]3,5-.【思路点拨】根据绝对值的意义|x+1|+|x ﹣3|表示数轴上的x 对应点到3和﹣1对应点的距离之和，它的最小值等于4，可得答案．【题文】13、某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[]0,100，样本数据分组为：[)[)[)0,20,20,40,40,60 [)[]60,820,80,100，则（1）图中的x =（2）若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，则该校600名新生中估计 名学生可以申请住宿． 【知识点】频率分布直方图．I2【答案解析】（1）0.0125；（2）72 解析：（1）由频率分布直方图知()201200.0250.00650.0030.003x =-⨯+++，解得0.0125x =.（2）上学时间不少于1小时的学生频率为0.12，因此估计有0.1260072⨯=名学生可以申请住宿.【思路点拨】（1）利用面积之和为1解出x 即可；（2）先求出上学时间不少于1小时的学生的频率，再由频率估计概率，从而求人数． 【题文】14、定义行列式的运算:12122112a a ab a b b b =-，若将函数()sin cos xf x x=的图象向左平移(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t 的最小值为【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4 【答案解析】56π 解析：()sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，平移后得到函数 2cos 6y x t π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则由题意得,,66t k t k k Z ππππ+==-∈，因为0t >，所以t 的最小值为56π. 【思路点拨】化简函数f （x ）的解析式为2cos （x+），图象向左平移t （t ＞0）个单位，所得图象对应的函数为y=2cos （x+t+），要使此函数为偶函数，t+最小为π，由此求得t 的最小值． 【题文】15、设曲线2cos sin x y x -=在点(,2)2π处切线与直线10x ay ++=垂直，则a =【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B12【答案解析】1 解析：由题意得()()()222cos sin 2cos sin 12cos sin sin x x x x x y xx''----'==，在点,22π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率1212cos 2 1.sin 2k ππ-==又该切线与直线10x ay ++=垂直，直线10x ay ++=的斜率21k a=-， 由121k k =-，解得 1.a =【思路点拨】求出函数处的导数，即为曲线在此点的切线斜率，再利用两直线垂直的性质求出a ．【题文】16、已知命题:p 函数()22lg(4)f x x x a =-+的定义域为R ；命题:q [1,1]m ∀∈-，不等式253a a --≥p q ∨“为真命题，且“p q ∧”为假命题，则实数a 的取值范围是 【知识点】复合命题的真假．A2 【答案解析】[]()2,12,6-- 解析：若命题p 为真，则216402a a ∆=-<⇒>或2a <-.若命题q 为真，因为[]1,1m ∈-，⎡⎤⎣⎦.因为对于[]1,1m ∀∈-，不等式253a a --≥2533a a --≥，解得6a ≥或1a ≤-.命题“p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题，则,p q 一真一假.①当p 真q 假时，可得22,2616a a a a ><-⎧⇒<<⎨-<<⎩或；②当p q 假真时，可得22,2116a a a a -≤≤⎧⇒-≤≤-⎨≤-≥⎩或.综合①②可得a 的取值范围是[]()2,12,6--.【思路点拨】根据对数函数的定义域，一元二次不等式的解和判别式△的关系，二次函数的最值即可求出命题p ，q 下的a 的取值范围，根据p∨q 为真，p ∧q 为假，即可得到p 真q 假和p 假q 真两种情况，求出每种情况下的a 的取值范围，再求并集即可． 【题文】17、已知函数()2xf x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是【知识点】函数零点的判定定理．B9【答案解析】(],22ln 2-∞-+ 解析：由()20xf x e '=-=，解得ln 2.x =当(),ln 2x ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当()ln 2,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 故该函数的最小值为()ln2ln22ln222ln2.f ea a =-+=-+因为该函数有零点，所以()ln 20f ≤，即22ln 20a -+≤，解得22ln 2.a ≤-+ 故a 的取值范围是(],22ln 2-∞-+.【思路点拨】先讨论函数的单调性，得出函数的最值，由函数的最大值大于或等于零（或函数的最小值小于或等于零）得出a 的取值范围．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 【题文】18、（本小题满分12分） 已知函数())cos()2,()66f x x x x R ππ=++++∈．（1）求5()6f π的值； （2）求()f x 子啊区间[,]22ππ-上的最大值和最小值及其相应的x 的值． 【知识点】三角函数的最值．C3 【答案解析】（1）1；（2）1. 解析：（1） 2)6cos()6sin(3)(++++=ππx x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 2πx +2…2分+2………………4分=1 ……………………………………………………… 6分 （2）22ππ≤≤-x6536πππ≤+≤-∴x ………………… 7分 13sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-∴πx …………………8分 从而当23ππ=+x 时，即6π=x 时4)(max =x f …………………………………… 10分而当63ππ-=+x 时，即2π-=x 时1)(min =x f …………………12分【思路点拨】（1）由三角函数公式化简f （x ），代值计算可得；（2）由﹣≤x≤逐步可得≤sin （x+）≤1，结合f （x ）的解析式可得答案．【题文】19、（本小题满分12分）2015年国庆节之前，市教育局为高三学生在紧张学习之余，不忘体能素质的提升，要求该市高三全体学生进行一套满分为120分的体能测试，市教育局为了迅速了解学生体能素质状况，按照全市高三测试学生的先后顺序，每间隔50人就抽取一人的抽样方法抽取40分进行统计分析，将这40人的体能测试成绩分成六段[)[)[)[)[)[)80,85,85,90,90,95,95,100,100,105,105,110后，得到如下图的频率分布直方图．（1）市教育局在采样中，用的是什么抽样方法？并估计这40人体能测试成绩平均数； （2）从体能测试成绩在[)80,90的学生中任抽取2人，求抽出的2人体能测试成绩在[)85,90概率．参考数据：82.50.0187.50.0292.50.0497.50.06102.50.05107.50.0219.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．K2 I2【答案解析】（1）97；（2）25解析：（1）根据“每间隔50人就抽取一人”,符合系统抽样的原理,故市教育局在采样中,用到的是系统抽样方法.…………3分平均数的估计值为：(82.50.0187.50.0292.50.0497.50.06102.50.05107.50.02)5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ 19.4597=⨯=…………………………6分（2）从图中可知，体能测试成绩在[80,85)的人数为10.015402m =⨯⨯=（人），分别记为12,B B ；体能测试成绩在[85,90)人数为20.025404m =⨯⨯=（辆），分别记为1234,,,A A A A ，从这6人中随机抽取两人共有15种情况：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A A A B A B ，2324(,),(,)A A A A ，2122(,),(,)A B A B ，3431(,),(,)A A A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B .……………………9分抽出的2人中体能测试成绩在[85,90)的情况有1213(,),(,),A A A A 14(,),A A 2324(,),(,)A A A A34(,)A A 共6种，………………………………………………………１１分 故所求事件的概率62()155P A ==.…………………………………12分 【思路点拨】（1）根据系统抽样的特征判断抽样方法是系统抽样；根据中位数的左、右两边小矩形的面积相等求中位数；（2）利用频数=频率×样本容量分别求得体能测试成绩在[80，85）的人数和[85，90）人数，用列举法写出从这6人中随机抽取2人的所有基本事件，找出抽出的2人中体能测试成绩在[85，90）的基本事件，利用个数比求概率．．【题文】20、（本小题满分13分）已知函数()()322,3m x x h x ax ==-（1）若函数()()()f x m x h x =-在1x =处取得极值，求实数a 的值；（2）若函数()()()f x m x h x =-在(,)-∞+∞不单调，求实数a 的取值范围；（3）判断过点5(1,)2A -可作曲线()()23f x m x x =-多少条切线，并说明理由．【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．B12【答案解析】（1）1-=a ；（2）251+>a 或251-<a ；（3）可作曲线)(x f y =三条切线 解析：（1）∵233-)(x x x m =，ax ax x h 3-3)(2=，∴)(-)()(x h x m x f =， ∴ a x a x x f 3)1(323)(2++-=' ……………………………………1分∵ 0)1(='f ∴0)1(3233=+-+a a ∴ 1-=a ……………………2分∴)1)(1(3)(+-='x x x f ，显然在1=x 附近)(x f '符号不同，∴1=x 是函数)(x f 的一个极值点 ………………………………………3分∴ 1-=a 即为所求 ………………………………………………………4分（2）∵233-)(x x x m =，ax ax x h 3-3)(2=，∴)(-)()(x h x m x f =，若函数)(x f 在),(∞+-∞不单调， 则03)1(323)(2=++-='a x a x x f 应有二不等根 …………………………5分∴ 036)1(122>-+=∆a a ∴012>+-a a ……………………………7分∴ 251+>a 或251-<a ………………………………… ……………8分 （3）∵233-)(x x x m =，∴x x x x x m x f 33-3)()(32-=+=，∴)1(3)(2-='x x f ，设切点),(00y x M ，则M 纵坐标03003x x y -=，又)1(3)(200-='x x f ， ∴ 切线的斜率为1253)1(3003020-+-=-x x x x ，得021322030=+-x x ……10分 设=)(0x g 21322030+-x x ，∴=')(0x g 02066x x - 由=')(0x g 0，得00=x 或10=x ，∴)(0x g 在),1(),0,(∞+-∞上为增函数，在)1,0(上为减函数，∴ 函数=)(0x g 3322030++-m x x 的极大值点为00=x ，极小值点为10=x ，∵ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=021)1(021)0(g g ∴ 函数=)(0x g 21322030+-x x 有三个零点 ……………12分 ∴ 方程021322030=+-x x 有三个实根 ∴ 过点)25,1(-A 可作曲线)(x f y =三条切线 ……………………………13分【思路点拨】（1）求出函数f （x ）的导数，由条件得，f′（1）=0求得a ，注意检验x=1处导数的符号；（2）若函数f （x ）在R 上不单调，则f′（x ）=3x 2﹣2（a+1）x+3a=0应有二不等根，则△=12（a+1）2﹣36a ＞0，解出a 即可；（3）求出导数，设出切点，求出切线的斜率，再由两点的斜率公式，得到方程，构造函数g （x 0）=2x 03﹣3x 02+，运用导数求出极值，令极大值大于0，极小值小于0，即可判断函数有三个零点，即方程有三个实根，即切线有三条．【题文】21、（本小题满分14分）如图，在一座底部不可到达的孤山两侧，有两段平行的公路AB 和CD ，现测得5,9AB AC ==30,45BCA ADB ∠=∠=（1）求sin ABC ∠（2）求BD 的长度．【知识点】解三角形的实际应用．C8 【答案解析】（1）910；（2。

2015年高考湖北卷文数试题解析（精编版）（解析版）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i为虚数单位，607i=（）A．i-B．i C．1-D．1【答案】A.【考点定位】本题考查复数的概念及其运算，涉及分数指数幂的运算性质.【名师点睛】将复数的幂次运算和分数指数幂运算结合在一起，不仅考查了复数的概念，也考查了分数指数幂的运算性质，充分体现了学科内知识之间的联系性，能够较好的反应学生基础知识的识记能力和计算能力.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石【答案】B.【考点定位】本题考查简单的随机抽样，涉及近似计算.【名师点睛】本题以数学史为背景，重点考查简单的随机抽样及其特点，通过样本频率估算总体频率，虽然简单，但仍能体现方程的数学思想在解题中的应用，能较好考查学生基础知识的识记能力和估算能力、实际应用能力. 3.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =- 【答案】C .【考点定位】本题考查特称命题和全称命题的否定形式，，属识记基础题. 【名师点睛】本题主要考查特称命题的否定，其解题的关键是正确理解并识记其否定的形式特征.扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力. 4.已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是（ ）A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关 【答案】A .【考点定位】本题考查正相关、负相关，涉及线性回归方程的内容.【名师点睛】将正相关、负相关、线性回归方程等联系起来，充分体现了方程思想在线性回归方程中的应用，能较好的考查学生运用基础知识的能力.其易错点有二：其一，未能准确理解正相关与负相关的定义；其二，不能准确的将正相关与负相关问题进行转化为直线斜率大于和小于0的问题.5.12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ） A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A .【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题.【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机，重点考查空间中直线的位置关系，其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件，正确理解异面直线的定义，注意考虑问题的全面性、准确性. 6.函数256()4||lg3x x f x x x -+=-+-的定义域为（ ） A ．(2,3) B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-【答案】C .【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性.7.设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（ ） A ．|||sgn |x x x =B ．||sgn ||x x x =C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =【答案】D.【考点定位】本题考查分段函数及其表示法，涉及新定义，属能力题. 【名师点睛】以新定义为背景，重点考查分段函数及其表示，其解题的关键是准确理解题意所给的新定义，并结合分段函数的表示准确表达所给的函数.不仅新颖别致，而且能综合考察学生信息获取能力以及知识运用能力.8.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ）A ．1212p p <<B ．1212p p <<C ．2112p p <<D ．2112p p <<【答案】B .【考点定位】本题考查几何概型和微积分基本定理，涉及二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域.【名师点睛】以几何概型为依托，融合定积分的几何意义、二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域等内容，充分体现了转化的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生灵活运用基础知识解决实际问题的能力. 9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b<时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D .【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性. 10.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C .【考点定位】本题考查用不等式表示平面区域和新定义问题，属高档题.【名师点睛】用集合、不等式的形式表示平面区域，以新定义为背景，涉及分类计数原理，体现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性，能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科学计算能力.第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题7分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知向量OA AB⊥，||3OA =，则OA OB⋅=_________．【答案】9.【考点定位】本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题.【名师点睛】将向量的加法运算法则（平行四边形法则和三角形法则）和向量的数量积的定义运算联系在一起，体现数学学科知识间的内在联系，渗透方程思想在解题中的应用，能较好的考查学生基础知识的识记能力和灵活运用能力.12.若变量,x y满足约束条件4,2,30,x yx yx y+≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y+的最大值是_________．【答案】10.【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题.【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题，重点考查线性规划问题的基本解决方法，体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力. 13.函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.【答案】2.【考点定位】本题考查函数与方程，涉及常见函数图像绘画问题，属中档题. 【名师点睛】将函数的零点问题和方程根的问题、函数的交点问题联系在一起，凸显了数学学科内知识间的内在联系，充分体现了转化化归的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生准确绘制函数图像的能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.【考点定位】本题考查频率分布直方图，属基础题.【名师点睛】以实际问题为背景，重点考查频率分布直方图，灵活运用频率直方图的规律解决实际问题，能较好的考查学生基本知识的识记能力和灵活运用能力.15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD _________m.【答案】1006.【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力.16.如图，已知圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且2AB=.（Ⅰ）圆C的标准．．方程为_________；（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_________.【答案】（Ⅰ）22--.-+-=；（Ⅱ）12x y(1)(2)2【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题.【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点C的横坐标.17.a为实数，函数2g a. 当a=_________=-在区间[0,1]上的最大值记为()()||f x x ax时，()g a的值最小.【答案】222-.【考点定位】本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题.【名师点睛】将含绝对值的二次函数在区间上的最值问题和分段函数的最值问题融合在一起，运用分类讨论的思想将含绝对值问题转化为分段函数的问题，充分体现了分类讨论和化归转化的数学思想，能较好的考查知识综合能力.其解题的关键是运用分类讨论求出()g a 的表达式和分段函数在区间上的最值求法. 三、解答题 （本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+ 0 π2 π3π2 2πxπ35π6 sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表：x ωϕ+π2 π3π2 2πxπ12 π3 7π125π6 13π12 sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题.【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，正确运用方程组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键，能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力. 19.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n n T -+=-.【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题. 【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向. 20.（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE.（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需 写出结论）；若不是，请说明理由； （Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值．【答案】（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥. 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PDCD D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC.四面体EBCD 是一个鳖臑；（Ⅱ）124.V V =【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题.【名师点睛】以《九章算术》为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是考查线面垂直与简单几何体的体积计算，其解题思路：第一问通过线线、线面垂直相互之间的转化进行证明，第二问关键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进行求解. 结合数学史料的给予新定义，不仅考查学生解题能力，也增强对数学的兴趣培养，为空间立体几何注入了新的活力. 21.（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 【答案】（Ⅰ）1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.证明：当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x >又由基本不等式，有1()(e e )e e 12x x x x g x --=+>=，即() 1.g x > （Ⅱ）由（Ⅰ）得2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x >+-等价于()()(1)f x axg x a x >+- ⑦ ()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧于是设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x'<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立.综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题.【名师点睛】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起，重点考查函数的综合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解；第二问属于函数的恒成立问题，需借助导数求解函数最值来解决.22.（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且1MN=．当栓子D在DN ON==，3滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以O为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221.164x y +=（Ⅱ）当直线l 与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8.【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆相交综合问题，属高档题. 【名师点睛】作为压轴大题，其第一问将椭圆的方程与课堂实际教学联系在一起，重点考查学生信息获取与运用能力和实际操作能力，同时为椭圆的实际教学提供教学素材；第二问考查直线与椭圆相交的综合问题，借助函数思想进行求解.其解题的关键是注重基本概念的深层次理解，灵活运用所学知识.。

12015届鄂州二中高三数学试题(文科)（考试时间120分钟 ，满分150分）★祝考试顺利★一、选择题：（每小题5分，共50分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知i 为虚数单位，复数i z2321+-=的共轭复数为z ，则=+z z （ D ）A.i 2321+-B.i 2321--C.i 2321+D.i 2321- 2.已知⎪⎭⎫⎝⎛-=-απαα4cos ,31cos sin 2则= （ D ） A.181 B.91 C.92 D.18173.已知0>a 且1≠a ，则1>b a 是0)1(>-b a 的 （ C ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.对于实数a 和b ，定义运算b a *，运算原理如右图所示，则式子321ln *41e -⎪⎭⎫ ⎝⎛的值为（ D ） A ．6B ．7C ．8D ．95.已知函数()()()x x f x x f -'+=ln 22，则()1f '=（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．46.数列{}n a 满足113,1,n n n a a a a +=-=,n A 表示{}n a 前n 项之积，则2014A = （ A ）A ．-3B ．3C ． -2D ．2 7.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示， 其中甲成绩的中位数为15，极差为12；乙成绩的众数为13，第4题图21x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ B ）A ．1212,x x s s >< B. 1212,x x s s =< C. 1212,x x s s == D. 1212,x x s s =>8.已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线m x a y +=121与圆()1222=+-y x 的两个交点关于直线0=-+d y x 对称，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前10项和=( B ) A ．109 B ． 1110 C ． 98D ．2 9. 已知函数f （x ）=|x 3﹣3x|，则关于x 的方程f 2（x ）+bf （x ）+c=0恰有8个不同实数解的充要C10.如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝45°，底边AB ＝5，高AD ＝3，点E 由B 沿折线BCD 向点D 移动，EM ⊥AB 于M ，EN ⊥AD 于N ，设BM ＝x ，矩形AMEN 的面积为y ，那么y 与x 的函数关系的图像大致是（ A ）二、填空题（每小题5分，共35分. 每小题的答案填在答题纸的相应位置）11．已知向量()()4,,2,1-==m b a ，且a ∥b ，则=+⋅)(b a a __-5______.12．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为___15+2_____..俯视图正视图侧视图 第10题图第7题图第12题图313. 已知()()m x x x f ++=cos tan 为奇函数，且m 满足不等式()0192≤--m m m ，则实数m 的值为___2π±___.14. 已知离心率为2的双曲线221x y m n+=()R n m ∈,的右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则m=__________13-__ .15. 右焦点分别为12,F F ,弦AB 过1F ，若△2ABF 的内切圆周长为π，A 、B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则的值为5316. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0．6180339887．人们称该数列为{}n a “斐波那契数列”，若把该数列{}n a 的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{}n b ，在数列{}n b 中第2014项的值是 3 。

湖北省教育考试院 保留版权 数学（文史类） 第1页（共15页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）本试题卷共5页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 为虚数单位，607i =A ．i -B ．iC ．1-D ．1 答案：A 解析：1.6074151+33ii i i ⨯===-.故选（A ）.2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石答案：B解析：这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石.故选(B). 3．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是 A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-答案：C解析：特称性命题的否定是全称性命题，且注意否定结论，故原命题的否定是：“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-”.故选（C ）.4．已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是 A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关答案：A数学（文史类） 第2页（共5页）解析：显然x 与y 负相关.又y 与z 正相关，所以根据“正负得负”的传递性，得x 与z 负相关.故选（A ）5．12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 答案：A解析：由12,l l 是异面直线，可得12,l l 不相交，所以p q ⇒；由12,l l 不相交，可得12,l l 是异面直线或12//l l ，所以q p ⇒.所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.故选（A ）.6．函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-答案：C解析：依题意，有40x -≥，解得44≤≤-x ①；且03652>-+-x x x ，解得2x >且3x ≠②；由①②求交集得，函数的定义域为()(]2,33,4.故选(C).7．设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则 A ．|||sgn |x x x = B ．||sgn ||x x x = C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =答案：D解析：当0>x 时，sgn x x x x ==； 当0=x 时，sgn 0x x x ==；数学（文史类） 第3页（共5页）当0<x 时，sgn x x x x =-=. 综上，sgn x x x =.故选(D).8． 在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤” 的概率，则A ．1212p p << B ．1212p p << C ．2112p p <<D ．2112p p << 答案：B解析：在直角坐标系中，依次作出不等式01,01,x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩11,22x y xy +≤≤的可行域如下图所示：依题意，OCDEABO S S p 四边形∆=1，OCDEOEGFC S S p 四边形曲边多边形=2，而O C D EO E C S S 四边形∆=21，所以1212p p <<. 故选(B).9．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位 长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 答案：D数学（文史类） 第4页（共5页）解析：2211a b e +=，2e =不妨令21e e <，化简得()0b b m m a a m +<>+，得am bm <，得b a <.所以当a b >时，有ma mb a b ++>，即21e e >；当a b <时，有ma mb a b ++<，即21e e <.故选（D ）. 10．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．30答案：C解析：如图，集合A 表示如下图所示的所有红心圆点，集合B 表示如下图所示的所有红心圆点+所有绿心圆点，集合A B ⊕显然是集合(){},|3,3,,x y x y x y ≤≤∈Z 中除去四个点()()()(){}3,3,3,3,3,3,3,3----之外的所有整点（即横坐标与纵坐标都为整数的点），即集合A B ⊕表示如下图所示的所有红心圆点+所有绿心圆点+所有黄心圆点，共45个.故A B ⊕中元素的个数为45 . 故选（C ）.数学（文史类） 第5页（共5页）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位 置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11．已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅=_________． 答案：9 解析：由OA AB⊥，得OA AB =.所以()2O A OB OA O A AB O A O A A=+=+22039OA =+==. 12．若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y xy +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最大值是_________．答案：10解析：作出约束条件表示的可行域如下图所示：易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是()()()3,1,1,3,1,3--，平行移动直线3y x =-，求可知当直线过点()3,1时3x y +取最大值10.13．函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.答案：2解析：()2222sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x x x x π⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭.令()0f x =，则数学（文史类） 第6页（共5页）2sin 2x x =，则函数()f x 的零点个数即为函数sin 2y x =与函数2y x =图像的交点个数.作出函数图像知，两函数图像的交点有2个，即函数()f x 的零点个数为2.14．某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额 （单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.答案：（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.解析：（Ⅰ）由频率分布直方图知，()1.5 2.5 2.00.80.20.11a +++++⨯=，解得3a =； （Ⅱ）消费金额在区间[]0.5,0.9内的购物者的人数为()100003 2.00.80.20.1⨯+++⨯=6000.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m.数学（文史类） 第7页（共5页）答案：解析：依题意，在ABC ∆中，600AB =，30BAC ∠=︒，753045ACB ∠=︒-︒=︒，由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB =∠∠，即600sin 30sin 45BC =︒︒，所以BC =.在BCD ∆中，30CBD ∠=︒，tan tan 30CD BC CBD =∠=︒=16．如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半 轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =. （Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.AB数学（文史类） 第8页（共5页）答案：（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）①②③解析：（Ⅰ）由题意设圆心()1,C r （r 为圆C 的半径），则222122AB r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得r =所以圆C 的方程为()(2212x y -+=.（Ⅱ）令0x =，得1y =，所以点()1B .又点(C ，所以直线BC 的斜率为1BCk =-，所以圆C 在点B处的切线方程为)10y x -=-，即)1y x =+.令0y =，得切线在x轴上的截距为1.17． a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a . 当a =_________时，()g a 的值最小.解析：17.①当0a ≤时，()2f x x ax =-在[]0,1上是增函数，所以()()11g a f a ==-，此时()min 1g a =；②当02a <<时，作出函数()2f x x ax =-的大致图像如下：由图易知，()2f x x ax =-在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在,2aa ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在[],1a 上是增函数，此时，只需比较2a f ⎛⎫⎪⎝⎭与()1f 的大小即可.数学（文史类） 第9页（共5页）由()12a f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得2122a a a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得214a a =-，解得2a =或2a =（舍去）. 且当02a <<时，()12a f f ⎛⎫<⎪⎝⎭；当22a <<时，()12af f ⎛⎫> ⎪⎝⎭.（i ）当02a <<-时，()12a f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()()11g a f a ==-，此时()31g a -<<；（ii ）当2a =时，()12a f f⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()()132a g a f f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭（iii ）当22a <<时，()12a f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()224a ag a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，此时()34g a -<；③当2a ≥时，()2f x x ax =-在[]0,1上是增函数，所以()()11g a fa ==-，此时()min 1g a =.综上，当2a =时，()min 3g a =-三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式；数学（文史类） 第10页（共5页）（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心. 解：18．（1）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（2）由（1）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为曲线sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图像的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-. 19．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 解：（1）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩（2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是数学（文史类） 第11页（共5页）2341357921122222n n n T --=++++++， ① 2345113579212222222n nn T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n nnn n T --+=++++-=-， 故n T 12362n n -+=-. 20．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的 中点，连接,,DE BD BE .（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需 写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值．解：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥.由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =， 所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PCBC C =，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角数学（文史类） 第12页（共5页）形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠（2）由已知，PD 是阳马P ABCD -的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由（1）知，DE 是鳖臑D BCE -的高， BC CE ⊥，所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅.在Rt △PDC 中，因为PD CD =，点E 是PC的中点，所以DE CE =， 于是 12123 4.16BC CD PD V CD PD V CE DEBC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅21．（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（1）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >； （2）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 解：（1）由()f x , ()g x 的奇偶性及()()e x f x g x +=, ①得 ()()e .x f x g x --+= ②联立①②解得1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x > ③又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>，即() 1.g x > ④（2）由（1）得 2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=， ⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=， ⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x>+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-， ⑦()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧数学（文史类） 第13页（共5页）设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立. 综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 22．（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存 在，求出该最小值；若不存在，说明理由．解：（1）因为||||||314OM MN NO ≤+=+=，当,M N 在x 轴上时，等号成立；同理||||||312OM MN NO ≥-=-=，当,D O 重合，即MN x ⊥轴时，等号成立.图1图2数学（文史类） 第14页（共5页）所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为221.164x y +=（2）1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ的距离为d =和|||P Q PQ x x -，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-.②将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--. 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合1）2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.。

教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（文科）本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设全集(2),{|21},{|ln(1)}x x U R A x B x y x -==<==-，则图中阴影部分表示的集合为 A ．{}|1x x ≥ B ．{}|1x x ≤ C ．{}|01x x <≤ D ．{}|11x x ≤< 2、已知()3sin f x x x π=-，命题():(0,),02p x f x π∀∈<，则A ．p 是真命题，():(0,),02p x f x π⌝∀∈> B ．p 是真命题，()0:(0,),02p x f x π⌝∀∈≥C ．p 是假命题，():(0,),02p x f x π⌝∀∈≥ D ．p 是假命题，()0:(0,),02p x f x π⌝∀∈≥3、定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),22f x f x f x f x -=--=+，且(1,0)x ∈-时，()125x f x =+，则()2log 20f =A ．1B ．45C ．1-D ．45-4、某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+中的ˆ4b =-，据此模型预测零售价 为15元时，每天的销售量为A ．51个B ．50个C ．49个D ．48个5、已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则22sin sin 2cos()4ααπα+=- A． B． C． D6、已知函数()322,()2,03a f x x ax cx g x ax ax c a =++=++≠，则它们的图象可能是7、已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数的图象是A ．关于直线8x π=对称 B ．关于点(,0)4π对称 C ．关于直线4x π=对称 D ．关于点(,0)8π对称8、一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，其中2,1AD DC BC ==，它可能随机在草原上任何一 处（点），若落在扇形沼泽区域ADE 以外丹顶鹤能生还， 则该丹顶鹤生还的概率是（ ） A ．1215π- B ．110π- C ．16π- D ．3110π- 9、已知函数()y f x =对于任意的(,)22x ππ∈-满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A()()34f ππ< B ．(0)2()3f f π<C．(0)()4f π<D()()34f ππ-<-10、已知函数()32(,f x x bx cx d bc d =+++均为常数)，当(0,1)x ∈时取极大值，当(1,2)x ∈时取极小值，则221()(3)2b c ++-的取值范围是A． B．)C ．37(,25)4D ．()5,25第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上11、已知集合22{|201520140},{|log }A x x x B x x m =-+<=<，若A B ⊆，则整数m 的最小值是12、若不等式131x x m ++-≥-恒成立，则实数m 的取值范围是13、某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[]0,100，样本数据分组为：[)[)[)0,20,20,40,40,60[)[]60,820,80,100，则（1）图中的x =（2）若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，则该校600名新生中估计 名学生可以申请住宿．14、定义行列式的运算:12122112a a a b a b b b =-，若将函数()sin cos x f x x=的图象向左平移(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t 的最小值为15、设曲线2cos sin x y x -=在点(,2)2π处切线与直线10x ay ++=垂直，则a =16、已知命题:p 函数()22lg(4)f x x x a =-+的定义域为R ；命题:q [1,1]m ∀∈-，不等式253a a --≥p q ∨“为真命题，且“p q ∧”为假命题，则实数a 的取值范围是17、已知函数()2xf x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 18、（本小题满分12分）已知函数())cos()2,()66f x x x x R ππ=++++∈． （1）求5()6f π的值； （2）求()f x 子啊区间[,]22ππ-上的最大值和最小值及其相应的x 的值．19、（本小题满分12分）2015年国庆节之前，市教育局为高三学生在紧张学习之余，不忘体能素质的提升，要求该市高三全体学生进行一套满分为120分的体能测试，市教育局为了迅速了解学生体能素质状况，按照全市高三测试学生的先后顺序，每间隔50人就抽取一人的抽样方法抽取40分进行统计分析，将这40人的体能测试成绩分成六段[)[)[)[)[)[)80,85,85,90,90,95,95,100,100,105,105,110后，得到如下图的频率分布直方图．（1）市教育局在采样中，用的是什么抽样方法？并估计这40人体能测试成绩平均数；（2）从体能测试成绩在[)80,90的学生中任抽取2人，求抽出的2人体能测试成绩在[)85,90概率． 参考数据：82.50.0187.50.0292.50.0497.50.06102.50.05107.50.0219.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=20、（本小题满分13分）已知函数()()322,3m x x h x ax ==-（1）若函数()()()f x m x h x =-在1x =处取得极值，求实数a 的值； （2）若函数()()()f x m x h x =-在(,)-∞+∞不单调，求实数a 的取值范围；（3）判断过点5(1,)2A -可作曲线()()23f x m x x =+-多少条切线，并说明理由．21、（本小题满分14分）如图，在一座底部不可到达的孤山两侧，有两段平行的公路AB 和CD ，现测得5,9AB AC ==30,45BCA ADB ∠=∠=（1）求sin ABC ∠ （2）求BD 的长度．22、（本小题满分14分） 已知()(),ln g x mx G x x ==．（1）若()()1f x G x x =-+，求函数()f x 的单调区间； （2）若()()2G x x g x ++≤恒成立，求m 的取值范围； （3）令()2b G a a =++，求证：21b a -≤．十月联考数学（文科）参考答案与评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1. D【解析】因为图中阴影部分表示的集合为()U AC B ，由题意可知{}{}02,1A x x B x x =<<=<，所以()U AC B {}{}021x x x x =<<≥{}12x x =≤<，故选.D2. B【解析】依题意得，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()3cos 30f x x ππ'=-<-<，函数()f x 是减函数，此时()()03sin 000f x f π<=-⨯=，即有()0f x <恒成立，因此命题p 是真命题，p ┐应是“()000,,02x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭”.综上所述，应选.B 3. C 【解析】由()()()()224fx f x f x f x -=+⇒=+，因为24l o g 205<<，所以20l o g 2041<-<，214log 200-<-<，所以()()()22224log 20log 2044log 20log 15f f f f ⎛⎫=-=--=-=- ⎪⎝⎭.故选.C4. C【解析】由题意知17.5,39x y ==，代入回归直线方程得109,a =109154-⨯49=，故选.C 5. A 【解析】tan 11tan 41tan 2πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，1tan 3α∴=-，02πα-<<，sin α∴=，则22sin sin cos 2sin sin 2cos 4ααπα++=⎛⎫- ⎪⎝⎭α=⎛== ⎝⎭.A6. B【解析】因为()22f x ax ax c '=++，则函数()f x '即()g x 图象的对称轴为1x =-，故可排除,A D ；由选项C 的图象可知，当0x >时，()0f x '>，故函数()323a f x x ax cx =++在()0,+∞上单调递增，但图象中函数()f x 在()0,+∞上不具有单调性，故排除.C 本题应选.B7.A【解析】依题意得2,2T ππωω===，故()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 108842f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2444f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin4π==0≠，因此该函数的图象关于直线8x π=对称，不关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭和点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，也不关于直线4x π=对称.故选.A8. B【解析】过点D 作DF AB ⊥于点F ，在Rt AFD ∆中，易知1,45AF A =∠=，梯形的面积()115221122S =++⨯=,扇形ADE的面积221244S ππ=⨯⨯=，则丹顶鹤生还的概率12152415102S S P S ππ--===-，故选.B9. D【解析】由()()cos sin 0f x x f x x '+>知()0cos f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()cos f x g x x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，所以34g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34cos cos 34f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>34f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 不正确；易知()03g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()03cos0cos 3f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭>，得()023f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以B 不正确；易知()04g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()04cos0cos 4f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭>，得()04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以C 不正确；易知34g g ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34cos cos 34f f ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确.故选.D10. D【解析】因为()232f x x bx c '=++，依题意，得()()()00,1230,24120,f c f b c f b c '=>⎧⎪'=++<⎨⎪'=++>⎩则点(),b c 所满足的可行域如图所示（阴影部分，且不包括边界），其中()4.5,6A -，()3,0B -，()1.5,0D -.()22132T b c ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭表示点(),b c 到点1,32P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离的平方，因为点P 到直线AD 的距离d ==，观察图形可知，22d T PA<<，又()22214.563252PA ⎛⎫=-++-= ⎪⎝⎭，所以525T <<，故选.D二、填空题：（7题，每题5分） 11. 11【解析】由2201520140x x -+<，解得12014x <<，故{}12014A x x =<<.由2log x m <，解得02mx <<，故{}02mB x x =<<.由A B ⊆，可得22014m≥，因为101121024,22048==，所以整数m 的最小值为11.12. []3,5-【解析】由于()()13134x x x x ++-≥+--=，则有14m -≤，即414m -≤-≤，解得35m -≤≤，故实数m 的取值范围是[]3,5-.13.（1）0.0125；（2）72 【解析】（1）由频率分布直方图知()201200.0250.00650.0030.003x =-⨯+++，解得0.0125x =.（2）上学时间不少于1小时的学生频率为0.12，因此估计有0.1260072⨯=名学生可以申请住宿.14.56π 【解析】()sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，平移后得到函数 2cos 6y x t π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则由题意得,,66t k t k k Z ππππ+==-∈，因为0t >，所以t 的最小值为56π. 15. 1【解析】由题意得()()()222cos sin 2cos sin 12cos sin sin x x x x x y xx''----'==，在点,22π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率1212cos2 1.sin 2k ππ-==又该切线与直线10x ay ++=垂直，直线10x ay ++=的斜率21k a=-， 由121k k =-，解得 1.a =16. []()2,12,6--【解析】若命题p 为真，则216402a a ∆=-<⇒>或2a <-.若命题q 为真，因为[]1,1m ∈-⎡⎤⎣⎦.因为对于[]1,1m ∀∈-，不等式253a a --≥立，只需满足2533a a --≥，解得6a ≥或1a ≤-.命题“p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题，则,p q 一真一假.①当p 真q 假时，可得22,2616a a a a ><-⎧⇒<<⎨-<<⎩或； ②当p q 假真时，可得22,2116a a a a -≤≤⎧⇒-≤≤-⎨≤-≥⎩或.综合①②可得a 的取值范围是[]()2,12,6--.17. (],22ln 2-∞-+【解析】由()20xf x e '=-=，解得ln 2.x =当(),ln 2x ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当()ln 2,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 故该函数的最小值为()ln2ln 22ln 222ln 2.f e a a =-+=-+因为该函数有零点，所以()ln 20f ≤，即22ln 20a -+≤，解得22ln 2.a ≤-+ 故a 的取值范围是(],22ln 2-∞-+.三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.【解析】（1） 2)6cos()6sin(3)(++++=ππx x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 2πx +2…2分+2………………4分=1 ……………………………………………………… 6分 （2）22ππ≤≤-x6536πππ≤+≤-∴x ………………… 7分 13sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-∴πx …………………8分 从而当23ππ=+x 时，即6π=x 时4)(max =x f …………………………………… 10分而当63ππ-=+x 时，即2π-=x 时1)(min =x f …………………12分19.【解析】（1）根据“每间隔50人就抽取一人”,符合系统抽样的原理,故市教育局在采样中,用到的是系统抽样方法.…………3分平均数的估计值为：(82.50.0187.50.0292.50.0497.50.06102.50.05107.50.02)5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ 19.4597=⨯=…………………………6分（2）从图中可知，体能测试成绩在[80,85)的人数为10.015402m =⨯⨯=（人），分别记为12,B B ；体能测试成绩在[85,90)人数为20.025404m =⨯⨯=（辆），分别记为1234,,,A A A A ，从这6人中随机抽取两人共有15种情况：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A A A B A B ，2324(,),(,)A A A A ，2122(,),(,)A B A B ，3431(,),(,)A A A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B .……………………9分抽出的2人中体能测试成绩在[85,90)的情况有1213(,),(,),A A A A 14(,),A A 2324(,),(,)A A A A34(,)A A 共6种，………………………………………………………１１分 故所求事件的概率62()155P A ==.…………………………………12分 20.【解析】（1）∵233-)(x x x m =，ax ax x h 3-3)(2=，∴)(-)()(x h x m x f =，∴ a x a x x f 3)1(323)(2++-=' ……………………………………1分∵ 0)1(='f ∴0)1(3233=+-+a a ∴ 1-=a ……………………2分∴ )1)(1(3)(+-='x x x f ，显然在1=x 附近)(x f '符号不同，∴ 1=x 是函数)(x f 的一个极值点 ………………………………………3分∴ 1-=a 即为所求 ………………………………………………………4分（2）∵233-)(x x x m =，ax ax x h 3-3)(2=，∴)(-)()(x h x m x f =，若函数)(x f 在),(∞+-∞不单调，则03)1(323)(2=++-='a x a x x f 应有二不等根 …………………………5分∴ 036)1(122>-+=∆a a ∴012>+-a a ……………………………7分 ∴ 251+>a 或251-<a ………………………………… ……………8分 （3）∵233-)(x x x m =，∴x x x x x m x f 33-3)()(32-=+=，∴)1(3)(2-='x x f ，设切点),(00y x M ，则M 纵坐标03003x x y -=，又)1(3)(200-='x x f ， ∴ 切线的斜率为1253)1(3003020-+-=-x x x x ，得021322030=+-x x ……10分 设=)(0x g 21322030+-x x ，∴=')(0x g 02066x x - 由=')(0x g 0，得00=x 或10=x ，∴)(0x g 在),1(),0,(∞+-∞上为增函数，在)1,0(上为减函数，∴ 函数=)(0x g 3322030++-m x x 的极大值点为00=x ，极小值点为10=x ， ∵ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=021)1(021)0(g g ∴ 函数=)(0x g 21322030+-x x 有三个零点 ……………12分 ∴ 方程021322030=+-x x 有三个实根 ∴ 过点)25,1(-A 可作曲线)(x f y =三条切线 ……………………………13分21.【解析】（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin AB AC BCA ABC =∠∠，sin 9sin309sin 510AC BCA ABC AB ∠︒∠===.………………………………7分 （Ⅱ）∵ AD BC ∥，∴ 180BAD ABC ∠=︒-∠，9sin sin(180)sin 10BAD ABC ABC ∠=︒-∠=∠=， 在ABD ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BD ADB BAD=∠∠，∴ 95sin sin 2AB BAD BD ADB ⨯∠==∠分 22.【解析】（Ⅰ）1)()(+-=x x G x f =1﹣x+lnx ，求导得：'11()1x f x x x -=-=，由'()0f x =，得1x =. 当()0,1x Î时，'()0f x >；当()1,x ??时，'()0f x <.所以，函数()y f x =在()0,1上是增函数，在()1,+?上是减函数.…………5分(Ⅱ) 令2)1(ln 2ln )(2)()(++-=-+-=-+-=x m x mx x x x g x x G x h 则()()'11h x m x=-+ 因为0m >，所以10m +>，由()'0h x =得11x m =+ 当10,1x m 骣÷çÎ÷ç÷桫+时，'()0h x >，()h x 在10,1m 骣÷ç÷ç÷桫+上是增函数； 当1,1x m 骣÷ç??÷ç÷桫+时，'()0h x <，()h x 在1,1m骣÷ç+?÷ç÷+上是减函数. 所以，()h x 在()0,+?上的最大值为()1()1ln 101h m m=-+?+，解得1m e ≥- 所以当1m e ≥-时()()f x g x ≤恒成立. ………………………10分 （Ⅲ）由题意知， ln 2,b a a =++ .由（Ⅰ）知()ln 1(1)f x x x f =-+?，即有不等式()ln 10x x x ?>. 于是 ln 21221,b a a a a a =++?++=+即 21b a -? ………14分。

12015年秋季鄂州二中高三第四次半月考数学试题（文科）（考试时间120分钟 ，满分150分）★祝考试顺利★一、选择题：（每小题5分，共50分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1. 已知集合{1,1}A =-，{|124}x B x R =∈≤<,则A B ⋂等于（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．{}0,12. 复数z 满足i z i +-=+3)2(，则=z （ ）A ．i +2B ．i -2C ．i +-1D ．i --1 3. 已知向量(2,3),(1,2)a b ==-，，若4ma b +与2a b -共线，则m 的值为( ) A ．12 B ． 2 C ．12- D ．2- 4. 定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠，2121()()0f x f x x x -<-，则( ) A ．f (－3)＜f (－2)＜f (1)B ．f (1)＜f (－2)＜f (－3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (－3)D ．f (－3)＜f (1)＜f (－2)5. 已知函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位后，得到函数()y g x =，下列关于()y g x =的说法正确的是（ ） A ．图象关于点(,0)3π-中心对称 B ．图象关于6x π=-轴对称C ．在区间5[,]126ππ--单调递增 D ．在[,]63ππ-单调递减 6. 设已知数列{}n a 对任意的N n m ∈,，满足n m n m a a a +=+，且12=a ，那么10a 等于（ ）．A.3B.5C.7D.97．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]1,[ 1.2]2=-=-. 0x 是函数2()l n f x x x=-的零点，则0[]x 等于( )..A ．2B ．1C ．0D ．－2.2A.的图象B.()f x -的图象C.()f x的图象8. 设函数2()12log ,0()log ,0x x x f x x -⎧>⎪=⎨<⎪⎩，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)-+∞D ．(,1)(0,1)-∞-9. 已知⎩⎨⎧∈+-∈+=]1,0[1)0,1[1)(2x x x x x f ，则下列函数的图象错误．．的是( ).10. 已知函数32()1()32x mx m n x f x +++=+的两个极值点分别为12,x x ，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，点),(n m P 表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图像上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,3]（B.1,3（） C. [3+∞，） D. 3+∞（，） 二、填空题（每小题5分，共35分. 每小题的答案填在答题纸的相应位置）11.已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α=___________； 12. 已知函数y ＝f (x )的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是13,2y x =+则：()()/11f f +=___13．已知向量,a b 的夹角为3π，||2,||1a b ==，则||||a b a b +-的值是 _____;14. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．15.函数()|21|x f x =-在区间(1,1)k k -+内不单调，则k 的取值范围是________;16.如图，互不相同的点12,,...,,...n A A A K K 和12,,,,n B B B L L L L 分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等．设n n OA a =，若121,2a a ==，则9a ＝________________；17.在平面直角坐标系中，若A 、B 两点同时满足：①点A 、B 都在函数y=f(x)图像上；②点A 、B 关于原点对称，则称点对（A 、B ）是y=f(x)的一对“姊妹点对”3（注；规定（A 、B ）（B 、A ）为同一点对）。

2015年高考湖北卷文数试题解析（精编版）（解析版）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i 为虚数单位，607i =（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【答案】A .【考点定位】本题考查复数的概念及其运算，涉及分数指数幂的运算性质.【名师点睛】将复数的幂次运算和分数指数幂运算结合在一起，不仅考查了复数的概念，也考查了分数指数幂的运算性质，充分体现了学科内知识之间的联系性，能够较好的反应学生基础知识的识记能力和计算能力.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石【答案】B .【考点定位】本题考查简单的随机抽样，涉及近似计算.【名师点睛】本题以数学史为背景，重点考查简单的随机抽样及其特点，通过样本频率估算总体频率，虽然简单，但仍能体现方程的数学思想在解题中的应用，能较好考查学生基础知识的识记能力和估算能力、实际应用能力.3.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C .【考点定位】本题考查特称命题和全称命题的否定形式，，属识记基础题.【名师点睛】本题主要考查特称命题的否定，其解题的关键是正确理解并识记其否定的形式特征.扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力.4.已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是（ ） A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关 【答案】A .【考点定位】本题考查正相关、负相关，涉及线性回归方程的内容.【名师点睛】将正相关、负相关、线性回归方程等联系起来，充分体现了方程思想在线性回归方程中的应用，能较好的考查学生运用基础知识的能力.其易错点有二：其一，未能准确理解正相关与负相关的定义；其二，不能准确的将正相关与负相关问题进行转化为直线斜率大于和小于0的问题.5.12,l l表示空间中的两条直线，若p：12,l l是异面直线；q：12,l l不相交，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A.【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题.【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机，重点考查空间中直线的位置关系，其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件，正确理解异面直线的定义，注意考虑问题的全面性、准确性.6.函数256()4||lg3x xf x xx-+=-+-的定义域为（）A．(2,3) B．(2,4]C．(2,3)(3,4] D．(1,3)(3,6]-【答案】C.【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性.7.设x∈R，定义符号函数1,0,sgn0,0,1,0.xx xx>⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（）A．|||sgn|x x x=B．||sgn||x x x=C．||||sgnx x x=D．||sgnx x x=【答案】D.【考点定位】本题考查分段函数及其表示法，涉及新定义，属能力题.【名师点睛】以新定义为背景，重点考查分段函数及其表示，其解题的关键是准确理解题意所给的新定义，并结合分段函数的表示准确表达所给的函数.不仅新颖别致，而且能综合考察学生信息获取能力以及知识运用能力.8.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ）A ．1212p p <<B ．1212p p <<C ．2112p p <<D ．2112p p <<【答案】B .【考点定位】本题考查几何概型和微积分基本定理，涉及二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域.【名师点睛】以几何概型为依托，融合定积分的几何意义、二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域等内容，充分体现了转化的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生灵活运用基础知识解决实际问题的能力.9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位 长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D .【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性.10.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ） A ．77 B ．49 C ．45 D ．30 【答案】C.【考点定位】本题考查用不等式表示平面区域和新定义问题，属高档题.【名师点睛】用集合、不等式的形式表示平面区域，以新定义为背景，涉及分类计数原理，体现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性，能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科学计算能力.第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题7分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅=_________． 【答案】9.【考点定位】本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题.【名师点睛】将向量的加法运算法则（平行四边形法则和三角形法则）和向量的数量积的定义运算联系在一起，体现数学学科知识间的内在联系，渗透方程思想在解题中的应用，能较好的考查学生基础知识的识记能力和灵活运用能力.12.若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最大值是_________．【答案】10.【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题.【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题，重点考查线性规划问题的基本解决方法，体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.13.函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.【答案】2.【考点定位】本题考查函数与方程，涉及常见函数图像绘画问题，属中档题.【名师点睛】将函数的零点问题和方程根的问题、函数的交点问题联系在一起，凸显了数学学科内知识间的内在联系，充分体现了转化化归的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生准确绘制函数图像的能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额 （单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.【考点定位】本题考查频率分布直方图，属基础题.【名师点睛】以实际问题为背景，重点考查频率分布直方图，灵活运用频率直方图的规律解决实际问题，能较好的考查学生基本知识的识记能力和灵活运用能力.15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD=_________m.【答案】1006.【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力.16.如图，已知圆C与x轴相切于点(1,0)AB=.T，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且2（Ⅰ）圆C的标准．．方程为_________；（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_________.【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2x y-+-=；（Ⅱ）12--.【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题.【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点C的横坐标.17.a为实数，函数2()||f x x ax=-在区间[0,1]上的最大值记为()g a. 当a=_________时，()g a的值最小. 【答案】222-.【考点定位】本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题.【名师点睛】将含绝对值的二次函数在区间上的最值问题和分段函数的最值问题融合在一起，运用分类讨论的思想将含绝对值问题转化为分段函数的问题，充分体现了分类讨论和化归转化的数学思想，能较好的考查知识综合能力.其解题的关键是运用分类讨论求出()g a的表达式和分段函数在区间上的最值求法.三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A xωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ3 5π6 sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表：x ωϕ+ 0 π2 π 3π22π x π12 π3 7π12 5π6 13π12sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题.【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，正确运用方程组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键，能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力.19.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n n T -+=-.【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题.【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向.20.（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE.（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值． 【答案】（Ⅰ）因为PD ⊥底面A B C D ，所以P D B C ⊥. 由底面A B C D 为长方形，有B C C D ⊥，而P D C D D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC .四面体EBCD 是一个鳖臑；（Ⅱ）124.VV =【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题.【名师点睛】以《九章算术》为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是考查线面垂直与简单几何体的体积计算，其解题思路：第一问通过线线、线面垂直相互之间的转化进行证明，第二问关键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进行求解. 结合数学史料的给予新定义，不仅考查学生解题能力，也增强对数学的兴趣培养，为空间立体几何注入了新的活力.21.（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >；（Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-.【答案】（Ⅰ）1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.证明：当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x >又由基本不等式，有1()(e e )e e 12x x x x g x --=+>=，即() 1.g x > （Ⅱ）由（Ⅰ）得2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x >+-等价于()()(1)f x axg x a x >+- ⑦ ()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧于是设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立.综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题.【名师点睛】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起，重点考查函数的综合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解；第二问属于函数的恒成立问题，需借助导数求解函数最值来解决.22.（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221.164x y+=（Ⅱ）当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ∆的面积取得最小值8.【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆相交综合问题，属高档题.【名师点睛】作为压轴大题，其第一问将椭圆的方程与课堂实际教学联系在一起，重点考查学生信息获取与运用能力和实际操作能力，同时为椭圆的实际教学提供教学素材；第二问考查直线与椭圆相交的综合问题，借助函数思想进行求解.其解题的关键是注重基本概念的深层次理解，灵活运用所学知识.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年湖北，文1，5分】i 为虚数单位，607i =（ ）（A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 【答案】A【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，故选A ． （2）【2015年湖北，文2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） （A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石 【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为281534169254⨯=石，故选B ．（3）【2015年湖北，文3，5分】命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） （A ）0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- （B ）0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-（C ）(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- （D ）(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故选C ．（4）【2015年湖北，文4，5分】已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是（ ）（A ）x 与y 负相关，x 与z 负相关 （B ）x 与y 正相关，x 与z 正相关 （C ）x 与y 正相关，x 与z 负相关 （D ）x 与y 负相关，x 与z 正相关 【答案】A 【解析】因为变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，其中0.10-<，所以x 与y 成负相关；又因为变量y 与z 正相关，不妨设()0z ky b k =+>，则将0.11y x =-+代入即可得到：()()0.110.1z k x b kx k b =-++=-++，所以x 与z 负相关，综上可知，故选A ． （5）【2015年湖北，文5，5分】12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（ ）（A ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （B ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （C ）p 是q 的充分必要条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】若p ：12,l l 是异面直线，由异面直线的定义知，12,l l 不相交，所以q ：12,l l 不相交成立，即p 是q 的充分 条件；反过来，若q ：12,l l 不相交，则12,l l 可能平行，也可能异面，所以不能推出12,l l 是异面直线，即p 不是q 的必要条件，故选A ．（6）【2015年湖北，文6，5分】函数256()lg 3x x f x x -+-的定义域为（ ）（A ）(2,3) （B ）(2,4] （C ）(2,3)(3,4]U （D ）(1,3)(3,6]-U 【答案】C【解析】由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：40x -≥，25603x x x -+>-，解之得22x -≤≤，2x >，3x ≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]U ，故选C ． （7）【2015年湖北，文7，5分】设x ∈R ，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则（ ）（A ）|||sgn |x x x = （B ）||sgn ||x x x = （C ）||||sgn x x x = （D ）||sgn x x x = 【答案】D(2,3)(3,4]U【解析】对于选项A ，右边,0sgn 0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩，而左边,0,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，显然不正确；对于选项B ，右边,0sgn 0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩，而左边,0,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，显然不正确；对于选项C ，右边,0sgn 0,0,0x x x x x x x >⎧⎪===⎨⎪<⎩，而左边,0,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，显然不正确；对于选项D ，右边,0sgn 0,0,0x x x x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩，而左边,0,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，显然正确，故选D ．（8）【2015年湖北，文8，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤” 的概率，则（ ）（A ）1212p p << （B ）1212p p << （C ）2112p p << （D ）2112p p <<【答案】B【解析】由题意知，事件“12x y +≤”的概率为11111222118p ⨯⨯==⨯，事件“12xy ≤”的概率 02S p S =，其中()110211111ln 2222S dx x=⨯+=+⎰，111S =⨯=，所以()()0211ln 21121ln 21122S p S +===+>⨯，故选B ．（9）【2015年湖北，文9，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <（C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D【解析】依题意，22211a b b e a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()22221a m b m b m e a m ++++⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭，因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >， 当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．（10）【2015年湖北，文10，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）（A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）30 【答案】C【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即、 图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）： 即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D 中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C ．二、填空题：共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（11）【2015年湖北，文11，5分】已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r，||3OA =u u u r ，则OA OB ⋅=u u u r u u u r ． 【答案】9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ，3OA =u u u r ，()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．（12）【2015年湖北，文12，5分】若变量满足约束条件 则的最大值是 ． 【答案】10【解析】首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标函数3z x y =+过点()3,1B 取得最大值，即max 33110z =⨯+=，故应填10．（13）【2015年湖北，文13，5分】函数的零点个数为 ．【答案】2【解析】函数()22sin sin 2f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的零点个数等价于方程22sin sin 02x x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的根的个数，即函数()2sin sin 2sin cos sin 22g x x x x x π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭与()2h x x =的图像交点个数．于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数()g x 与()h x 的图像有2个交点．（14）【2015年湖北，文14，5分】某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）直方图中的_________； （Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________． 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000【解析】由频率分布直方图及频率和等于1可得0.20.10.80.1 1.50.120.1 2.50.10.11a ⨯-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=，解之的3a =．于是消费金额在区间[]0.5,0.9内频率为0.20.10.80.120.130.10.6⨯-⨯+⨯+⨯=，所以消费金额在区间[]0.5,0.9内的购物者的人数为：0.6100006000⨯=．（15）【2015年湖北，文15，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30o 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75o 的方向上，仰角为30o ，则此山的高度CD = m ．【答案】1006 【解析】依题意，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒， 所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒，即3002BC =m ，在Rt BCD ∆中， 因为30CBD ∠=︒，3002BC =，所以tan303002CD BC ︒==，所以1006CD =m ． （16）【2015年湖北，文16，5分】如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =． （Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________．,x y 4,2,30,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩3x y +2π()2sin sin()2f x x x x =+-[0.3,0.9]a =[0.5,0.9]【答案】（Ⅰ）()(2212x y-+=；（Ⅱ）1-【解析】（Ⅰ）设点的坐标为，则由圆与轴相切于点知，点的横坐标为，即，半径．又因为，所以，即，所以圆的标准方程为．（Ⅱ）令得：．设圆在点处的切线方程为，则圆心到其距离为：．即圆在点处的切线方程为，于是令0y=可得，即圆在点处的切线在轴上的截距为（17）【2015年湖北，文17，5分】a为实数，函数在区间上的最大值记为．当_________时，的值最小．【答案】2【解析】解法一：因为函数()2f x x ax=-，所以分以下几种情况进行讨论：①当0a≤时，函数()22f x x ax x ax=-=-在区间[]0,1上单调递增，所以()()max1f xg a a==-；②当02a<≤时，此时222224a a a af a⎛⎫⎛⎫=-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11f a=-，而()()22212044aaa---=-<，所以()()max1f xg a a==-；③当2a>时，()()2max4af xg a==．综上可知，()21224a ag a aa⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，所以()g a在(2⎤-∞⎦上单调递减，在(2,⎤+∞⎦上单调递增，所以()()max2g a g=，所以当2a=-时，()g a的值最小．解法二：①0a≤，()()11g a f a==-；②01a<≤，()()()()221241102a af ag af a a⎧⎛⎫=<≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪=-<<⎪⎩；③12a<<，()224a ag a f⎛⎫==⎪⎝⎭；④2a≥，()()11g a f a==-；综上所述，当2a=时，()g a取到最小值3-三、解答题：共5题，共65分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）【2015年湖北，文18，12分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A xωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期．．．．．．．．．．．（Ⅱ）将()y f x=图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x=的图象．求()y g x=的图象离原点O最近的对称中心．C00(,)x y C x(1,0)T C11x=r y=2AB=22211y+=y r=C22(1)(2x y-+-=x=1)B C B1)kxy-=Cd=1k=C B x1)y=+x1=C B x1-2()||f x x ax=-[0,1]()g a a=()g a解：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-． 数据补全如下表：x ωϕ+ 0π2π 3π2 2π xπ12 π3 7π125π613π12 sin()A x ωϕ+0 5 0 5-且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ． 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z ．即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-． （19）【2015年湖北，文19，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（Ⅰ）由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩． （Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是2341357921122222n n n T --=+++++L L ① 2345113579212222222n n n T -=+++++L L ②由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-L L ，故12362nn n T -+=-． （20）【2015年湖北，文20，13分】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD - 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE ．（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC ． 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12VV 的值．解：（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥． 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =I ，所以BC ⊥平面PCD ． DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥． 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点， 所以DE PC ⊥． 而PC BC C =I ，所以DE ⊥平面PBC ．由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠（Ⅱ）由已知，PD 是阳马P ABCD -的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D BCE -的高， BC CE ⊥，所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅．在Rt △PDC 中，因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以2DE CE CD ==，于是 12123 4.16BC CD PD V CD PD V CE DEBC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅（21）【2015年湖北，文21，14分】设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >；（Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-．解：（Ⅰ）由()f x , ()g x 的奇偶性及()()e x f x g x +=， ① ()()e .x f x g x --+= ②联立①②解得1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+．当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x > ③ 又由基本不等式，有1()(e e )e e 12x x x x g x --=+>=，即() 1.g x > ④（Ⅱ）由（Ⅰ）得 2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=， ⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=， ⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x >+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-， ⑦()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立．（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立．综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-．（22）【2015年湖北，文22，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究： △OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若 不存在，说明理由．解：（Ⅰ）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =u u u u r u u u r，且||||1DN ON ==u u u r u u u r ，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且2200220()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x yx y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y +=（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++．由原点O 到直线PQ 的距离为d 和|||P Q PQ x x -，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-． ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--．因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．。

湖北省教学合作2015届高三数学上学期10月联考试题文（扫描版）十月联考数学（文科）参考答案与评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1. D【解析】因为图中阴影部分表示的集合为()U A C B I ，由题意可知{}{}02,1A x x B x x =<<=<，所以()U A C B I {}{}021x x x x =<<≥I {}12x x =≤<，故选.D2. B【解析】依题意得，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()3cos 30f x x ππ'=-<-<，函数()f x 是减函数，此时()()03sin000f x f π<=-⨯=，即有()0f x <恒成立，因此命题p 是真命题，p ┐应是“()000,,02x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭”.综上所述，应选.B 3. C【解析】由()()()()224f x f x f x f x -=+⇒=+，因为24log 205<<，所以20log 2041<-<，214log 200-<-<，所以()()()22224log 20log 2044log 20log 15f f f f ⎛⎫=-=--=-=- ⎪⎝⎭.故选.C4. C【解析】由题意知17.5,39x y ==，代入回归直线方程得$109,a=109154-⨯49=，故选.C5. A【解析】tan 11tan 41tan 2πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭Q ，1tan 3α∴=-，02πα-<<Q，sin α∴=，则22sin sin cos 2sin sin 2cos 4αααααπα++=⎛⎫- ⎪⎝⎭α=105⎛=-=- ⎝⎭，故选.A 6. B【解析】因为()22f x ax ax c '=++，则函数()f x '即()g x 图象的对称轴为1x =-，故可排除,A D ；由选项C 的图象可知，当0x >时，()0f x '>，故函数()323a f x x ax cx =++在()0,+∞上单调递增，但图象中函数()f x 在()0,+∞上不具有单调性，故排除.C 本题应选.B7.A 【解析】依题意得2,2T ππωω===，故()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 108842f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2444f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin 4π==0≠，因此该函数的图象关于直线8x π=对称，不关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭和点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，也不关于直线4x π=对称.故选.A8. B【解析】过点D 作DF AB ⊥于点F ，在Rt AFD ∆中，易知1,45AF A =∠=o，梯形的面积()115221122S =++⨯=,扇形ADE的面积221244S ππ=⨯⨯=，则丹顶鹤生还的概率12152415102S S P S ππ--===-，故选.B9. D【解析】由()()cos sin 0f x x f x x '+>知()0cos f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()cos f x g x x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，所以34g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34cos cos34f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，34f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 不正确；易知()03g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()03cos 0cos3f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭>，得()023f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以B 不正确；易知()04g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()04cos 0cos4f f ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>，得()024f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以C 不正确；易知34g g ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34cos cos 34f f ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得234f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确.故选.D10. D【解析】因为()232f x x bx c '=++，依题意，得()()()00,1230,24120,f c f b c f b c '=>⎧⎪'=++<⎨⎪'=++>⎩则点(),b c 所满足的可行域如图所示（阴影部分，且不包括边界），其中()4.5,6A -，()3,0B -，()1.5,0D -.()22132T b c ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭表示点(),b c 到点1,32P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离的平方，因为点P 到直线AD 的距离2212332521d ⎛⎫⨯-++ ⎪⎝⎭==+，观察图形可知，22d T PA <<，又()22214.563252PA ⎛⎫=-++-= ⎪⎝⎭，所以525T <<，故选.D二、填空题：（7题，每题5分） 11. 11【解析】由2201520140x x -+<，解得12014x <<，故{}12014A x x =<<.由2log x m <，解得02m x <<，故{}02m B x x =<<.由A B ⊆，可得22014m≥，因为101121024,22048==，所以整数m 的最小值为11.12. []3,5-【解析】由于()()13134x x x x ++-≥+--=，则有14m -≤，即414m -≤-≤，解得35m -≤≤，故实数m 的取值范围是[]3,5-.13.（1）0.0125；（2）72【解析】（1）由频率分布直方图知()201200.0250.00650.0030.003x =-⨯+++，解得0.0125x =.（2）上学时间不少于1小时的学生频率为0.12，因此估计有0.1260072⨯=名学生可以申请住宿. 14. 56π 【解析】()sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，平移后得到函数 2cos 6y x t π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则由题意得,,66t k t k k Z ππππ+==-∈，因为0t >，所以t 的最小值为56π. 15. 1【解析】由题意得()()()222cos sin 2cos sin 12cos sin sin x x x x x y x x ''----'==，在点,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率1212cos 2 1.sin 2k ππ-==又该切线与直线10x ay ++=垂直，直线10x ay ++=的斜率21k a =-， 由121k k =-，解得 1.a =16. []()2,12,6--U【解析】若命题p 为真，则216402a a ∆=-<⇒>或2a <-.若命题q 为真，因为[]1,1m ∈-，所以⎡⎤⎣⎦.因为对于[]1,1m ∀∈-，不等式253a a --≥恒成立，只需满足2533a a --≥，解得6a ≥或1a ≤-.命题“p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题，则,p q 一真一假.①当p 真q 假时，可得22,2616a a a a ><-⎧⇒<<⎨-<<⎩或； ②当p q 假真时，可得22,2116a a a a -≤≤⎧⇒-≤≤-⎨≤-≥⎩或.综合①②可得a 的取值范围是[]()2,12,6--U .17. (],22ln 2-∞-+【解析】由()20x f x e '=-=，解得ln 2.x =当(),ln 2x ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()ln 2,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.故该函数的最小值为()ln2ln 22ln 222ln 2.f e a a =-+=-+因为该函数有零点，所以()ln 20f ≤，即22ln 20a -+≤，解得22ln 2.a ≤-+ 故a 的取值范围是(],22ln 2-∞-+.三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.【解析】（1）Θ2)6cos()6sin(3)(++++=ππx x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 2πx +2…2分+2………………4分 =1 ……………………………………………………… 6分（2）22ππ≤≤-x Θ 6536πππ≤+≤-∴x ………………… 7分 13sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-∴πx …………………8分 从而当23ππ=+x 时，即6π=x 时4)(max =x f …………………………………… 10分而当63ππ-=+x 时，即2π-=x 时1)(min =x f …………………12分19.【解析】（1）根据“每间隔50人就抽取一人”,符合系统抽样的原理,故市教育局在采样中,用到的是系统抽样方法.…………3分平均数的估计值为：(82.50.0187.50.0292.50.0497.50.06102.50.05107.50.02)5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ 19.4597=⨯=…………………………6分（2）从图中可知，体能测试成绩在[80,85)的人数为10.015402m =⨯⨯=（人），分别记为12,B B ；体能测试成绩在[85,90)人数为20.025404m =⨯⨯=（辆），分别记为1234,,,A A A A ，从这6人中随机抽取两人共有15种情况：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A A A B A B ，2324(,),(,)A A A A ，2122(,),(,)A B A B ，3431(,),(,)A A A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B .……………………9分抽出的2人中体能测试成绩在[85,90)的情况有1213(,),(,),A A A A 14(,),A A 2324(,),(,)A A A A34(,)A A 共6种，………………………………………………………１１分 故所求事件的概率62()155P A ==.…………………………………12分 20.【解析】（1）∵233-)(x x x m =，ax ax x h 3-3)(2=，∴)(-)()(x h x m x f =，∴ a x a x x f 3)1(323)(2++-=' ……………………………………1分∵ 0)1(='f ∴0)1(3233=+-+a a ∴ 1-=a ……………………2分 ∴ )1)(1(3)(+-='x x x f ，显然在1=x 附近)(x f '符号不同，∴ 1=x 是函数)(x f 的一个极值点 ………………………………………3分 ∴ 1-=a 即为所求 ………………………………………………………4分（2）∵233-)(x x x m =，ax ax x h 3-3)(2=，∴)(-)()(x h x m x f =，若函数)(x f 在),(∞+-∞不单调， 则03)1(323)(2=++-='a x a x x f 应有二不等根 …………………………5分∴ 036)1(122>-+=∆a a ∴012>+-a a ……………………………7分 ∴ 251+>a 或251-<a ………………………………… ……………8分 （3）∵233-)(x x x m =，∴x x x x x m x f 33-3)()(32-=+=，∴)1(3)(2-='x x f ，设切点),(00y x M ，则M 纵坐标03003x x y -=，又)1(3)(200-='x x f ，∴ 切线的斜率为1253)1(3003020-+-=-x x x x ，得021322030=+-x x ……10分 设=)(0x g 21322030+-x x ，∴=')(0x g 02066x x - 由=')(0x g 0，得00=x 或10=x ，∴)(0x g 在),1(),0,(∞+-∞上为增函数，在)1,0(上为减函数，∴ 函数=)(0x g 3322030++-m x x 的极大值点为00=x ，极小值点为10=x ， ∵ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=021)1(021)0(g g ∴ 函数=)(0x g 21322030+-x x 有三个零点 ……………12分 ∴ 方程021322030=+-x x 有三个实根 ∴ 过点)25,1(-A 可作曲线)(x f y =三条切线 ……………………………13分21.【解析】（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin AB AC BCA ABC =∠∠，sin 9sin309sin 510AC BCA ABC AB ∠︒∠===.………………………………7分 （Ⅱ）∵ AD BC ∥，∴ 180BAD ABC ∠=︒-∠，9sin sin(180)sin 10BAD ABC ABC ∠=︒-∠=∠=， 在ABD ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BD ADB BAD =∠∠，∴ 95sin sin 2AB BAD BD ADB ⨯∠===∠.……………………………………14分 22.【解析】 （Ⅰ）1)()(+-=x x G x f =1﹣x+lnx ，求导得：'11()1x f x x x -=-=，由'()0f x =，得1x =.当()0,1x Î时，'()0f x >；当()1,x ??时，'()0f x <.所以，函数()y f x =在()0,1上是增函数，在()1,+?上是减函数.…………5分(Ⅱ) 令2)1(ln 2ln )(2)()(++-=-+-=-+-=x m x mx x x x g x x G x h 则()()'11h x m x=-+ 因为0m >，所以10m +>，由()'0h x =得11x m =+ 当10,1x m 骣÷çÎ÷ç÷桫+时，'()0h x >，()h x 在10,1m 骣÷ç÷ç÷桫+上是增函数； 当1,1x m 骣÷ç??÷ç÷桫+时，'()0h x <，()h x 在1,1m骣÷ç+?÷ç÷桫+上是减函数. 所以，()h x 在()0,+?上的最大值为()1()1ln 101h m m=-+?+，解得1m e ≥- 所以当1m e ≥-时()()f x g x ≤恒成立. ………………………10分 （Ⅲ）由题意知， ln 2,b a a =++ .由（Ⅰ）知()ln 1(1)f x x x f =-+?，即有不等式()ln 10x x x ?>. 于是 ln 21221,b a a a a a =++?++=+即 21b a -? ………14分。