11.5可化为一元一次方程的分式方程及其应用(1)

可化为一元一次方程的分式方程教材分析1本章是学生已掌握了整式的四则运算，多项式的因式分解的基础上，通过对比分数的知识来学习的，包括分式的概念，分式的基本性质，分式的四则运算，这一章的内容对于以后的公式变形以及可化为一元二次方程的分式方程、函数等内容的学习都是一本章为基础的。

所以学好本节内容能为以后的进一步学习奠定良好基础。

2可化为一元一次方程的分式方程是在学生已熟练地掌握了一元一次方程的解法,分式四则运算等有关知识的基础进行学习的.它既可看着是分式有关知识在解方程中的应用;也可看着是进一步学习研究其它分式方程的基础(可化为一元二次方程的分式方程).同时学习了分式方程后也为解决实际问题拓宽了路子,打破了列方程解应用题时代数式必须是整式这一限制.教学重点、难点1．教学重点：(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．2教学难点：理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法，明确分式方程验根的必要性。

教学目标知识目标1．使学生理解分式方程的意义．2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．3．了解解分式方程时可能产生增根的原因，并掌握解分式方程的验很方法．4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．能力目标1培养学生将实际问题转化为数学问题的能力2培养学生观察、比较、抽象、概括的能力3训练学生思维的灵活性德育目标1激发学生的内在动机2养成良好的学习习惯教学手段演示法和同学练习相结合，以练习为主教学过程设计：教学过程(一)复习及引入新课1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？答：含有未知数的等式叫做方程．使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的（二）问题情境导入问题：轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。

初二数学可化为一元一次方程的分式方程及其应用人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：代数：a=bc型数量关系、可化为一元一次方程的分式方程及其应用；几何：等腰三角形的性质学习目标：代数：掌握a bc=型数量关系的规律，会解可化为一元一次方程的分式方程及其应用几何：掌握等腰三角形的性质以及性质的应用二. 重点、难点重点：代数：可化为一元一次方程的分式方程的解法、步骤几何：等腰三角形的性质以及应用难点：代数：增根问题、应用题几何：等腰三角形性质的应用三. 知识要点代数：1. a bc=型数量关系（1）b是定值，c与a成正比例关系（2）c是定值，b与a成正比例关系（3）a是定值，b与c成反比例关系2. 可化为一元一次方程的分式方程分式方程：分母含有字母的方程增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根步骤：（1）化成整式方程；（2）解整式方程；（3）验根3. 应用题关键：抓住等量关系步骤：（1）审题；（2）设未知量；（3）列方程；（4）解方程；（5）答几何：1. 等腰三角形的性质内角和＝底角相等三线合一180 ⎧⎨⎪⎩⎪2. 等腰三角形性质的应用证明两角相等（底角相等）证明角相等，线段相等，垂直（三线合一）文字命题的证明：难点【典型例题】例1. 解方程5424253212x x x x --=+--()解：方程两边同乘以62()x -，约去分母，得 ()()()54322532x x x -⨯=+-- 整理，得151241036x x x -=+-+ 解这个整式方程，得x =2 检验：x =2时，620()x -= ∴2是增根，原方程无解小结：分式方程⇒整式方程，最后验根。

例2. 农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。

分析：未知量：自行车、汽车的速度已知关系：自行车走过的路程＝汽车走过的路程汽车的速度＝自行车速度的3倍等量关系：已知路程，要求速度，找时间关系作为等量关系 汽车所用时间＝自行车所用时间－23小时解法一：设自行车的速度为x 千米/小时，那么汽车的速度为3x 千米/小时 由题意，得1531523xx =-解之得x =15检验得x =15是这个方程的根 当x =15时，345x =答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度为45千米/时解法二：设自行车的速度为x 千米/时，汽车的速度为y 千米/时 y x y x ==-⎧⎨⎪⎩⎪3151523解之得x y ==⎧⎨⎩1545检验：x y ==⎧⎨⎩1545是这一方程组的解答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度为45千米/时 小结：（1）五步；（2）关键；（3）多个思路例3. （1）等腰三角形的一个角为50，求其他两角（2）等腰三角形的一个角为100 ，求其他两角 解：（1）若底角为50等腰三角形的两底角相等（等边对等角） ∴另一底角为50顶角为180505080 --= 若顶角为50则底角为18050265-=∴其他两角为50 ，80 或65 ，65 （2）若底角为100 等边对等角 ∴另一底角为100这两个底角之和200180 > ∴100 不可能为底角 若顶角为100则底角为180100240-=∴其他两角为40 ，40小结：已知等腰三角形中的一角，若该角为锐角，那么该角可能是顶角，也可能是底角；若该角为直角或钝角，则该角必为顶角。

可化为一元一次方程的分式方程的简单应用知识点复习1、熟练从实际问题中抽象出分式方程模型，通过解分式方程解决实际问题。

2、列分式方程解应用题的基本步骤：①审——审清题意，找出等量关系；②设——合理假设未知数，用含未知数的代数式表示相关未知量；③列——根据等量关系列出方程（组）；④解——解出方程（组）；⑤检——注意检验；⑥答——答题。

3、利用分式方程解决实际问题时必需进行检验，既要检验这个解是不是增根，还要检验这个解是否符合实际意义。

分层递进A 层练习1、已知622y x +=-，若用含x 的代数式表示y ，则可以表示为（ ） A 、28y x =+ B 、210y x =+ C 、28y x =- D 、210y x =-2、某施工队计划挖掘一条长96 m 的隧道，开工后每天比原计划多挖2 m ，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖x m ，则下列方程正确的是（ ） A 、969642x x -=- B 、969642x x -=- C 、969642x x -=+ D 、969642x x-=+ 3、若一个分数的分子比分母小6，当分子、分母都增加1时，这个分数等于14， 则原分数为 。

4、某车间接到加工200个零件的任务，在加工完40个后，由于改进了技术，每天加工的零件数量是原来的2.5倍，整个加工过程共用了13天完成。

求原来每天加工零件的数量。

B 层练习5、若有m 人a 天可完成某项工程，且每个人的工作效率是相同的，则这样的（m+n ）人完成这项工程所需的天数为（ ）A 、a m +B 、am m n +C 、a m n +D 、m n am+ 6、某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同。

（1）分别求出甲、乙两种玩具的进价；（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，问：商场共有几种进货方案？C层练习7、甲去上海进货，乙去广州进货，结果同样的衬衫共100件，都以每件a元的价格卖出，甲赚800元，乙赚1800元。

11.5可化为一元一次方程的分式方程及其应用（一）●课题§11.5可化为一元一次方程的分式方程及其应用（一）●教学目标（一）教学知识点1.解分式方程的一般步骤.2.了解解分式方程验根的必要性.（二）能力训练要求1.通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤.2.使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径.（三）情感与价值观要求1.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度.2.运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信.●教学重点1.解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决.2.明确解分式方程验根的必要性.●教学难点明确分式方程验根的必要性.●教学方法探索发现法学生在教师的引导下，探索分式方程是如何转化为整式方程，并发现解分式方程验根的必要性.●教具准备投影片四张第一张：例1、例2，第二张：议一议，第三张：想一想，第四张：补充练习.●教学过程Ⅰ.提出问题，引入新课［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程.但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程.这节课，我们就来学习分式方程的解法.我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法. 解方程213-x +325+x =2－624-x ［师生共解］（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得3（3x －1）+2（5x +2）=6×2－（4x －2）.（2）去括号，得9x －3+10x +4=12－4x +2,（3）移项，得9x +10x +4x =12+2+3－4,（4）合并同类项，得23x =13,（5）使x 的系数化为1，两边同除以23，x =2313. Ⅱ.讲解新课，探索分式方程的解法［师］刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤.下面我们来看一个分式方程.［生］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？ ［师］同学们说他的想法可取吗？［生］可取.［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？［生］乘以分式方程中所有分母的公分母.［生］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘以分母的最小公倍数，比较简单.解分式方程时，我认为方程两边同乘以分母的最简公分母，去分母也比较简单.［师］我觉得这两位同学的想法都非常好.那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？［生］x （x －2）.［师生共析］方程两边同乘以x （x －2）,得x （x －2）·21-x =x （x －2）·x 3, 化简，得x =3（x －2）. （2）我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程，而且是我们曾学过的一元一次方程.［生］再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出x .即x =3x －6（去括号） 2x =6（移项，合并同类项）.x =3（x 的系数化为1）.［师］x =3是方程（2）的解吗？是方程（1）的解吗？为什么？同学们可以在小组内讨论.（教师可参与到学生的讨论中，倾听学生的说法）［生］x =3是由一元一次方程x =3（x －2） （2）解出来的，x =3一定是方程（2）的解.但是不是原分式方程（1）的解，需要检验.把x =3代入方程（1）的左边=231-=1，右边=33=1，左边=右边，所以x =3是方程（1）的解. ［师］同学们表现得都很棒！相信同学们也能用同样的方法解出例2.［例2］解方程：x 300－x2480=4 （由学生在练习本上试着完成，然后再共同解答）解：方程两边同乘以2x ，得600－480=8x解这个方程，得x =15检验：将x =15代入原方程，得左边=4，右边=4，左边=右边,所以x =15是原方程的根.［师］很好！同学们现在不仅解出了分式方程的解，还有了检验结果的好习惯. 我这里还有一个题，我们再来一起解决一下（先隐藏小亮的解法）（可让学生在练习本上完成，发现有和小亮同样解法的同学，可用实物投影仪显示他的解法，并一块分析）［师］我们来看小亮同学的解法：32--x x =x-31－2 解：方程两边同乘以x －3,得2－x =－1－2（x －3）解这个方程，得x =3.［生］小亮解完没检验x =3是不是原方程的解.［师］检验的结果如何呢？［生］把x =3代入原方程中，使方程的分母x －3和3－x 都为零，即x =3时，方程中的分式无意义，因此x =3不是原方程的根.［师］它是去分母后得到的整式方程的根吗？［生］x =3是去分母后的整式方程的根.［师］为什么x =3是整式方程的根，它使得最简公分母为零，而不是原分式方程的根呢？同学们可在小组内讨论.（教师可参与到学生的讨论中，倾听同学们的想法）［生］在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程.如果整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘以零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了.［师］很好！分析得很透彻，我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根.在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根.那么，是不是就不要这样解？或采用什么方法补救？［生］还是要把分式方程转化成整式方程来解.解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解.［师］怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗？［生］不用，产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的.因此最简单的检验方法是：把整式方程的根代入最简公分母.若使最简公分母为零，则是原方程的增根；若使最简公分母不为零，则是原方程的根.是增根，必舍去.［师］在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质，解出的根都应是原方程的根.但在解分式方程时，解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验.小亮就犯了没有检验的错误.Ⅲ.应用，升华1.解方程：（1）13-x =x 4;（2）1210-x +x215-=2. ［分析］先总结解分式方程的几个步骤，然后解题.解：（1）13-x =x4 去分母，方程两边同乘以x （x －1），得3x =4（x －1）解这个方程，得x =4检验：把x =4代入x （x －1）=4×3=12≠0，所以原方程的根为x =4.（2）1210-x +x215-=2 去分母，方程两边同乘以（2x －1），得10－5=2（2x －1）解这个方程，得x =47 检验：把x =47代入原方程分母2x －1=2×47－1=25≠0. 所以原方程的根为x =47. 2.回顾，总结［师］同学们可根据例题和练习题的步骤，讨论总结.［生］解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去.使最简公分母不为零的根才是原方程的根.3.补充练习［分析］强调解分式方程的三个步骤：一去分母；二解整式方程；三验根. 解：（1）去分母，方程两边同时乘以x （x +3000）,得9000（x +3000）=15000x 解这个整式方程，得x =4500检验：把x =4500代入x （x +3000）≠0.所以原方程的根为4500（2）x h 2=xa a -（a ,h 是常数且都大于零）去分母，方程两边同乘以2x （a －x ），得h （a －x ）=2ax解整式方程，得x =h a ah +2（2a +h ≠0） 检验：把x =ha ah +2代入原方程中，最简公分母2x （a －x ）≠0，所以原方程的根为 x =h a ah +2. Ⅳ.课时小结［师］同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小.［生］我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可. ［生］我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根.［生］我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”，必须经过检验，反思“转化”过程.……Ⅴ.课后作业Ⅵ.活动与探究若关于x 的方程31--x x =932-x m 有增根，则m 的值是____________. ［过程］首先增根是分式方程转化为整式方程时整式方程的根，但却使最简公分母为零.［结果］关于x 的方程31--x x =932-x m 有增根，则此增根必使3x －9=3（x －3）=0，所以增根为x =3.去分母，方程两边同乘以3（x －3），得3（x －1）=m 2.根据题意，得x =3是上面整式方程的根，所以3（3－1）=m 2,则m =±6.●板书设计§11.5可化为一元一次方程的分式方程及其应用（一）。

可化为一元一次方程的分式方程知识讲解一元一次方程是指方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的方程。

分式方程是含有分式的方程。

将一个分式方程化为一元一次方程的过程叫做“分式方程的通分运算”。

先来看一个简单的分式方程：$$\frac{3}{x} - \frac{2}{x+1} = 5$$我们的目标是将这个方程化为一元一次方程。

首先，我们需要通分。

分母相同的两个分式，我们可以直接将分子相减。

对于这个例子，我们可以通分得到：$$\frac{3(x+1)}{x(x+1)} - \frac{2x}{x(x+1)} = 5$$下一步，我们将分数转换成整数，将分子乘以分母的倒数。

得到：$$\frac{3x+3 - 2x}{x(x+1)} = 5$$再化简得到：$$\frac{x+3}{x(x+1)} = 5$$再进一步，可以将分式转化为乘法：$$(x+3)(5)=x(x+1)$$展开并合并同类项，得到一元一次方程：$$5x+15=x^2+x$$通过整理，可以将方程化为标准形式：$$x^2+x-5x-15=0$$得到一元一次方程：$$x^2-4x-15=0$$这就是最终化简得到的一元一次方程。

这个方程可以通过求解，得到未知数x的值。

总结分式方程化为一元一次方程的步骤如下：1.通分，使分母相同。

2.将分子相减或相加。

3.将分数转换为整数，将分子乘以分母的倒数。

4.化简，将分式转换为乘法。

5.展开并合并同类项，得到一元一次方程。

6.整理方程，将方程化为标准形式。

下面我们来看一个更复杂的例子：$$\frac{2}{x} + \frac{3}{x-1} - \frac{4}{x+2} = 2$$首先，我们通分得到：$$\frac{2(x-1)(x+2)}{x(x-1)(x+2)} + \frac{3x(x+2)}{x(x-1)(x+2)} - \frac{4x(x-1)}{x(x-1)(x+2)} = 2$$整理后可得：$$\frac{2(x-1)(x+2) + 3x(x+2) - 4x(x-1)}{x(x-1)(x+2)} = 2$$继续化简得到：$$\frac{2x^2 - 2 + 3x^2 + 6x - 4x^2 + 4x}{x(x-1)(x+2)} = 2$$合并同类项，得到一元一次方程：$$\frac{x^2 + 10x - 2}{x(x-1)(x+2)} = 2$$继续化简得到：$$(x^2+10x-2)(2)=x(x-1)(x+2)$$展开并合并同类项，得到一元一次方程：$$2x^2+20x-4=x^3+x^2+2x^2-2x$$整理得到标准形式：$$x^3-x^2-22x+4=0$$这就是将分式方程化为一元一次方程的过程。

可化为一元一次方程的分式方程【教材研学】一、可化为一元一次方程的分式方程的解法1．数字系数分式方程的解法解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程求解．去分母即在方程两边同乘以最简公分母，若分母可以分解因式，应首先分解．由整式方程得到的解，需代人最简公分母中检验，使最简公分母不为零的解，才是原方程的解；使最简公分母为零的解，是原方程的增根，应舍掉．2．含有字母系数的分式方程的解法此类方程与数字系数分式方程的解法基本相同，只是在系数化为1时．要讨论系数是否为零．3．增根增根的产生是由于在去分母时，方程两边同乘的整式恰好为零所致．是方程变形造成的，不是解题错误．方程的增根不是分式方程的根．但是增根是变形后所得到的整式方程的根．4．分式方程有增根与无解的关系不仔细推敲，会认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事．事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分分式方程求出的根是原分式方程变形后所得整式方程的根，但不是原分式方程的根，即这个根使最简公分母为0．比如：方程23132--=--xx x ，可解得：x=3，而x=3是原方程的增根，此方程无解．本题中，分式方程有增根，方程无解，但并不是说只要有增根方程就无解，等大家进入高年级，学习了更多的知识，会发现有增根的分式方程并不全是无解的．问题：若关于x 的方程m x m x =-+3无解，求m 的值。

探究：（1）将分式方程去分母，整理为：（1一m）x＝一4 m．①当1一m=0，而4m≠0时方程无解．此时，m=l （依据是形如ax=b的方程在a=0，b≠0时无解）（2）如果方程①的解恰好是原分式方程的增根，原分式方程无解．根据这种思路，可先确定增根后，再求m的值．原方程若有增根，增根为x＝3，把x＝3代入方程①中，求出m＝一3．综上所述，m＝1或m＝一3时，原分式方程无解．而此分式方程有增根时，m＝一3．结论：通过本例可以发现，（1）现阶段学习的分式方程有增根时，一定无解；（2）分式方程无解，可能是因为有增根，也可能是由分式方程转化所得的整式方程ax=b中的a=0、b≠0造成的．三．分式方程的应用1．列分式方程客观世界中存在大量的问题需要用分式方程去解决，当我们掌握好相关的知识和方法后，就可以运用它们分析和解决实际问题．此类题目接近生活，取材广泛，做题时，要注意题目的情境，弄清是行程问题、增长率问题等中的哪一类，当然也有一些跨学科的综合题，比如：杠杆问题等，无论哪一类都要根据相关的基本量寻找关系．2．列分式方程解应用题的一般步骤：①弄清题意；②设未知数，列出有关的代数式；③依题意找等量关系，列出分式方程；④解方程；⑧检验：一方面要检验所求出的解是否为原方程的根，另一方面还要检验所求的解是否符合实际意义；⑥答。