陕西省蓝田县高中数学 第二章 函数 2.3 函数的单调性(1)教案 北师大版必修1

2．3函数的单调性教学目标理解函数单调性概念，掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性教学重点函数单调性的概念和判断一、问题情境1．情境：教材P36说出气温在哪些时间段内是升高的，怎样用数学语言刻画“随着时间的增大气温逐步提高”这一特征？二、学生活动问题1：观察下列函数的图象（如图1），指出图象变化的趋势.f x () = 2⋅x+1oxy(1) (2)(3)(4) 图（1）观察得到：问题2：你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思么？讨论得到：在某一区间内，⇔图象在该区间内呈逐渐上升趋势⇔图象在该区间内呈逐渐下降趋势函数的这种性质称为函数的单调性.三、建构数学问题3：如何用数学语言来准确地描述函数的单调性呢？例如，在区间（0，+∞）上当x的值增大时，函数y的值也增大的事实应当如何表述？能不能由于x=1时，y=3；x=2时，y=5，就说随着x的增大，函数值y也随着增大？能不能由于x=1，2，，3，4，5，…，相应地y=3，5，7，9，…，就说随着x的增大，函数值y也随着增大？通过讨论，结合（2）给出f（x）在区间I上是单调增函数的定义从图1（1）可以看出：问题4：如何定义单调减函数？（结合图（3）叙述）单调性、单调区间定义：举例（图1 ）：四、数学应用例1 函数y=1x的单调区间,并指出在该区间上的单调性.解析:在定义域（－,0∞）、(0,)+∞都是单调区间，且在这两个区间上函数是单调减函数。

例2 观察下列函数的图象（如图5），并指出它们是否为定义域上的增函数：图（5）解析：都不是在定义域内的增函数例3 画出函数()32f x x =+的图像，判断它的单调性，并加以证明. 解析：如图：可以看出，函数在定义域R 上是上升的，即函数在R 上是增函数。

证明： 任取12,x x ∈且12x x <，则120x x -<，所以121212()()(32)(32)3()0f x f x x x x x -=+-+=-<即12()()f x f x <由定义可知，函数()32f x x =+在R 上是增函数。

数学高一年级北师大版必修一2.3函数的单调性（第一课时）一、教材分析：本节课是北师大版《数学》（必修1）第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言（不等式）刻画函数的变化趋势（上升或下降）及简单应用．它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础．如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用．因此，它是高中数学核心知识之一．二、学情分析：学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了初步的感性认识。

同时，学生也具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力。

但是，高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强。

如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度。

另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱。

这些都容易使他们的学习产生思维上的障碍．三、学习目标：通过以上分析及《课标》的要求，我确定本节课的学习目标为：1、能从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握用函数单调性的定义证明简单函数在某区间上具有某种单调性的方法（步骤）.2、通过对函数单调性定义的探究，感悟数形结合的思想方法，培养观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力．3、通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．四、教学重点：让学生经历观察、讨论、交流、验证形成增（减）函数形式化定义；会用定义证明函数单调性．五、教学难点：在形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述是其中一个难点；用定义证明函数单调性时的代数推理论证过程是本节课的另一个难点． 六、教学策略：在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“y 随x 的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证。

课 题：2.3.1 函数的单调性1教学目的：（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思（2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性教学重点：函数的单调性的概念；教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体 教材分析：函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强根据以上分析本节课教学方法以在多媒体辅助下的启发式教学为主；同时，本节课在教学过程中对教材中的函数3x y =的图象进行了删除，教学中始终以23+=x y 、2x y =、xy 1=等函数为例子进行讨论研究 教学过程： 一、复习引入：⒈ 复习：按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数xy =3x y =的图象. 2x y =的图象如图1，3x y =如图2.⒉ 引入：从函数2x y =的图象（图1）看到：图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的增大,相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞)，得到1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,那么当1x <2x 时，有1y <2y .这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0,+ ∞)上是增函数. 图象在y 轴的左侧部分是下降的，也就是说， 当x 在区间（-∞，0）上取值时，随着x 的增大， 相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（-∞，0），得到1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,那么当1x <2x 时，有1y >2y .这时我们就说函数y =)(x f =2x 在(-∞,0)上是减函数. 函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的. 二、讲解新课： ⒈ 增函数与减函数定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）.当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数. ⒉ 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f , ”改为“)(1x f ≤)(2x f 或)(1x f ≥)(2x f ,”即可；⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. 三、讲解例题：例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数.解：函数)(x f y =的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中)(x f y =在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.例2 证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数. 证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =(31x +2)-(32x +2)=3(1x －2x ),由1x <2x x,得1x －2x <0 ,于是)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f .∴23)(+=x x f 在R 上是增函数. 例3 证明函数xx f 1)(=在(0,+∞)上是减函数. 证明：设1x ,2x 是(0,+∞)上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(0,+ ∞)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f >∴xx f 1)(=在(0,+ ∞)上是减函数. 例4．讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性.解：∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x =∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是增函数；若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数 若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是减函数. 四、练习：1：课本P59练习：1，2答案：)(x f 的单调区间有[-2,-1]，[-1,0]，[0,1]，[1,2]；)(x f 在区间[-2,-1]，[0,1]上是增函数，在区间[-1,0]，[1,2]上是减函数.)(x g 的单调区间有[-π,-2π]，[-2π,2π]，[2π, π]；)(x g 在区间[-π,-2π]，[2π，π]上是减函数，在区间[-2π，2π]上是增函数. 说明：要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据增（减）函数的定义进行证明，下面举例说明.2判断函数23)(+-=x x f 在R 上是增函数还是减函数？并证明你的结论. 解：设1x ,2x ∈R ，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =(-31x +2)-(-32x +2)=3(2x -1x ), 又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴23)(+-=x x f 在R 上是减函数. 3判断函数)(x f =x1在(-∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. 解：设1x ,2x ∈(-∞，0)，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -=2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(-∞，0)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴)(x f =x1在(0,+ ∞)上是减函数. 能否说函数)(x f =x1在(-∞，+∞)上是减函数？ 答：不能. 因为x =0不属于)(x f =x1的定义域. 说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.3判断函数)(x f =x1在(-∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. 解：设1x ,2x ∈(-∞，0)，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -=2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(-∞，0)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴)(x f =x1在(0,+ ∞)上是减函数.第4（1）题能否说函数)(x f =x1在(-∞，+∞)上是减函数？ 答：不能. 因为x =0不属于)(x f =x1的定义域. 说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.4 ⑴ 判断函数b kx x f +=)(在R 上的单调性，并说明理由.解：⑴设1x ,2x ∈R ，且1x <2x ,则)(1x f －)(2x f =(k 1x +b)-(k 2x +b)=k(1x -2x ).若k>0，又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f .∴b kx x f +=)(在R 上是增函数.若k<0，又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴b kx x f +=)(在R 上是减函数.五、小结 ⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设1x ,2x 是给定区间内的任意两个值，且1x <2x ；⑵作差)(1x f －)(2x f ，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断)(1x f －)(2x f 的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据)(1x f －)(2x f 的符号确定其增减性. 六、课后作业：课本补充：⑴)(x f =41252-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 是以(25,41-)为顶点、对称轴平行于y 轴、开口向上的抛物线（如图）;它的单调区间是(-∞,25]与[25,+ ∞);它在(-∞,25]上是减函数，在[25,+ ∞)上是增函数.证明：设1x <2x ≤25,则 )(1x f －)(2x f =21x -22x -5(1x -2x )第4（2）题=(1x +2x -5) (1x -2x ) ∵1x <2x 25≤,∴1x +2x <5，1x -2x <0，∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f ..∴)(x f =2x -5x +6在(-∞,25]上是减函数.类似地，可以证明)(x f 在[25,+∞)上是增函数. ⑵)(x f =-2x +9的图象是以(0,9)为顶点、y 轴为对称轴、开口向下的一条抛物线（如图）；它的单调区间是(-∞,0]与[0,+∞)，它在(-∞,0]上是增函数，在[0,+∞)上是减函数.证明：设1x <2x ≤0,则)(1x f －)(2x f =-21x +22x =(1x +2x ) (2x -1x ) ∵1x <2x ≤0,∴1x +2x <0，2x -1x >0， ∴)(1x f －)(2x f <0,即)(1x f <)(2x f .∴)(x f =9-2x 在(-∞,0]上是增函数.类似地，可以证明)(x f 在[0,+∞)上是减函数. 七、板书设计（略） 八、课后记：。

函数的单调性本节教材分析本节内容，正是初中有关内容的深化和提高.给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图像上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法，最好根据图像观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性，这样就将以上两种方法统一起来了.三维目标1、知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。

（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

2、过程与方法（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。

3、情态与价值，使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感。

教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．教学建议：本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情景，以利于学生作函数图像，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性的理解.新课导入设计导入一:德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯，他以自己的实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的标准.经过对自己的测试，得到了一些数据.观察数据引导学生制作出数据图，这就是遗忘曲线，进而教师引出课题..导入二：以奥运会中国在每届比赛中所获得的奖牌数，估测向学生提问.教师可以提示、点拨，并引出本节课题.1。

2.3 函数的单调性[核心必知]1．函数在区间上增加(减少)的定义在函数y ＝f (x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1x 2∈A ，当x 1＜x 2时： (1)都有f (x 1)＜f (x 2)，就称函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的． (2)都有f (x 1)＞f (x 2)，就称函数y ＝f (x )在区间A 上是减少的． 2．函数的单调区间如果y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么称A 为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．3．函数的单调性如果函数y ＝f (x )在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y ＝f (x )在这个子集上具有单调性．4．单调函数如果函数y ＝f (x )在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．[问题思考]1．在增加的和减少的函数定义中，能否把“任意x 1，x 2∈A ”改为“存在x 1，x 2∈A ”？ 提示：不能，如图，虽然存在－1＜2使f (－1)＜f (2)，但f (x )在[－1,2]上并不是增加的．2．函数f (x )＝1x的单调减区间能否写成(－∞，0)∪(0，＋∞)?提示：不能，如x 1＝－1，x 2＝1满足x 1＜x 2， 但有f (x 1)＝－1＜f (x 2)＝1，不符合减少的要求．3．函数区间端点对函数单调区间有作用吗？是否应考虑？提示：函数在某一点处的单调性并无意义．所以不存在单调性问题．在书写函数的单调区间时，区间端点开或闭一般可不予考虑．若端点处函数有意义，包括不包括端点均可；但若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间．讲一讲 试判断函数f (x )＝xx －1在其定义域上的单调性，并加以证明．[尝试解答] 函数定义域为{x |x ≠1}，又f (x )＝xx －1＝(x －1)＋1x －1＝1x －1＋1， 可由反比例函数y ＝1x图像得其图像如图所示：由图像知，函数在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数，证明如下： 设x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)＝x 1x 1－1，f (x 2)＝x 2x 2－1. f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2(x 2－1)(x 1－1).∵1＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 2－1＞0，x 1－1＞0. ∴f (x 2)－f (x 1)＜0， ∴f (x 2)＜f (x 1)．∴f (x )在(1，＋∞)上为减函数， 同理可证f (x )在(－∞，1)上为减函数．综上f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数．判断函数的单调性通常利用定义法和图像法两种．而证明单调性一般要用定义法，其一般步骤为：(1)设元：设x 1，x 2为区间上的任意两个变量，且x 1＜x 2； (2)作差：计算f (x 1)－f (x 2)；(3)变形：将差式变形整理(配方、通分、因式分解)； (4)判号：结合题设判定差的符号； (5)定论：结合单调性的定义下结论． 练一练1．试讨论函数f (x )＝a x(a ≠0)在其定义域内的单调性． 解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (1)设x 1<x 2<0，则由已知f (x )＝a x(a ≠0)，有f (x 1)－f (x 2)＝a x 1－a x 2＝a (x 2－x 1)x 1x 2.∵x 1<x 2<0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0. 当a >0时，有a (x 2－x 1)x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)； 当a <0时，有a (x 2－x 1)x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴当a >0时，f (x )＝a x(a ≠0)在(－∞，0)上是减函数； 当a <0时，f (x )＝a x(a ≠0)在(－∞，0)上是增函数． (2)同理，f (x )＝a x(a ≠0)在(0，＋∞)上， 当a >0时是减函数， 当a <0时是增函数．综上所述，函数y ＝a x(a ≠0)，当a >0时，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数； 当a <0时，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数.讲一讲求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的增区间和减区间． [尝试解答] y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋4(x ≥0)，－(x ＋1)2＋4(x <0).函数图像如右图所示．由图像可知：函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1]，[0,1]， 单调减区间是[－1,0]，[1，＋∞)．(1)求函数单调区间的常用方法有：①转化为已知的基本初等函数(如一次，二次等函数)的单调性判断；②图像法；③定义法；(2)求函数的单调区间时应首先明确函数的定义域，必须在函数的定义域内进行． 练一练2．求函数y ＝|x ＋1|＋|2－x |的单调区间．解：函数可化为分段函数形式：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1， x ＜－1，3， －1≤x ≤2，2x －1， x ＞2，法一：由解析式可知函数的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)． 法二：作出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1， x ＜－1，3， －1≤x ≤2，2x －1， x ＞2的图像，由图像观察得．单调增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)．讲一讲(1)已知函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，试比较f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小；(2)已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，求x 的取值范围．[尝试解答] (1)∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，∴34与a 2－a ＋1都是区间(0，＋∞)上的值． 又∵f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≥f (a 2－a ＋1)； (2)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2.∵f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，∴x －2＜1－x .∴x ＜32.∴1≤x ＜32为满足题设条件的x 的取值范围．(1)函数的单调性应用比较广泛，可利用单调性比较大小，求函数的最值，求参数的范围． (2)利用函数的单调性求参数范围时，要注意数形结合思想的应用． 练一练3．已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减少的，求实数a 的取值范围．解：f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2 ＝[x ＋(a －1)]2－(a －1)2＋2， ∴此二次函数的对称轴为x ＝1－a . ∴f (x )的单调减区间为(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3.已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1. (1)求f (8)的值；(2)求不等式f (x )－f (x －2)>3的解集．[巧思] 解答本题关键是巧用f (xy )＝f (x )＋f (y )． (1)对x ，y 恰当赋值，用f (2)表示f (8)．(2)将不等式转化成f (x )＞f (g (x ))的形式．再利用单调性进一步转化成关于x 的不等式组．[妙解] (1)由题意得f (8)＝f (4×2) ＝f (4)＋f (2)＝f (2×2)＋f (2)＝3f (2)＝3.(2)原不等式可化为：f (x )＞3＋f (x －2)， ∵f (8)＝3，∴3＋f (x －2)＝f (8)＋f (x －2) ＝f (8(x －2))．∴f (x )＞f (8(x －2))的解集即为所求． ∵f (x )是(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，8(x －2)＞0，x ＞8(x －2)，解得2＜x ＜167.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2＜x ＜167.1．下列函数中，在区间(0,3)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x |解析：选B 可知，y ＝3－x 在(0,3)上为减函数，y ＝1x在(0,3)上为减函数，y ＝－|x |＝－x 在(0,3)上为减函数．2．函数f (x )＝－x 2的单调增区间为( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞) D ．(0，＋∞)解析：选A 由f (x )＝－x 2的图像知，A 正确．3．函数y ＝(k ＋2)x ＋1在实数集上是减函数，则k 的范围是( ) A ．k >－2 B ．k ≤－2 C ．k ≥－2 D ．k <－2解析：选D ∵f (x )＝(k ＋2)x ＋1在R 上是减函数． ∴k ＋2<0，即k <－2.4．如图所示是定义在[－5,5)上的函数y ＝f (x )的图像．则该函数的单调增区间是________，减区间是________． 答案：[－2,1]和[3,5) [－5，－2]和[1,3]5．若f (x )是R 上的增函数，且f (x －1)＞f (2)，则x 的取值范围是________． 解析：由题得x －1＞2，得x ＞3，故x 的范围为{x |x ＞3}． 答案：{x |x ＞3}．6．用增函数定义证明f (x )＝ax ＋b (a ＞0)是(－∞，＋∞)上的增函数． 证明：设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 2＋b －(ax 1＋b )＝ax 2－ax 1＝a (x 2－x 1)． ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， 又a ＞0，∴f (x 2)－f (x 1)＝a (x 2－x 1)＞0， ∴f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数．一、选择题1．下列函数在(－∞，0)上为增函数的有( ) ①y ＝|x |；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x|x |.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选C 当x ∈(－∞，0)时，y ＝|x |＝－x ，在(－∞，0)上为减函数，故①不正确，排除A 、D.又y ＝|x |x＝－1，在(－∞，0)上为常函数，故②不正确，排除B.2．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则( ) A ．f (a )<f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a ) D ．f (a 2＋1)<f (a )解析：选D ∵a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴a 2＋1>a ，∵f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数， ∴f (a 2＋1)<f (a )．3．下列说法不．正确的有( ) ①函数y ＝x 2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减函数； ②函数y ＝1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在其上是减函数；③函数y ＝kx ＋b (k ∈R )在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；④若x 1，x 2是f (x )的定义域A 上的两值，当x 1＞x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在A 上是减函数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选D 对于①中函数y ＝x 2，在R 上不具有单调性，故①不正确；②中函数y ＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性．故②不正确；③中函数当k ＝0时，其在R 上不具有单调性，故③不正确；④中由于x 1，x 2不是任意的两个值，不满足定义，故其不正确．4．若对于任意实数x 总有f (－x )＝f (x )，且f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)<f (2)B ．f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (2)C ．f (2)<f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1) 解析：选D ∵f (－x )＝f (x )， ∴f (2)＝f (－2)，又∵f (x )在(－∞，－1]上是增函数， 而－2<－32<－1，∴f (－2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)， 即f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)． 二、填空题5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，0＜x ＜1，x ，x ≥1的减区间是________．解析：函数f (x )的图像如图实线部分所示，则减区间是(0,1]． 答案：(0,1]6．若函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1在[1,2]上单调递减，则a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )的图像的对称轴为x ＝a ，可知其图像开口向下，∵f (x )在[1,2]上单调递减，∴a ≤1.答案：(－∞，1] 7．函数f (x )＝x x ＋2在区间[2,4]上的最大值为________，最小值为________．解析：∵f (x )＝xx ＋2＝x ＋2－2x ＋2＝1－2x ＋2， ∴函数f (x )在[2,4]上是增函数，∴f (x )min ＝f (2)＝22＋2＝12，f (x )max ＝f (4)＝44＋2＝23. 答案：23 128．已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<11－a >2a －1，，解得：0<a <23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 三、解答题9．已知函数f (x )＝|－x 2＋2|，试作出该函数的图像，指出它的单调区间，并求函数在[1,3]上的最值．解：函数f (x )＝|－x 2＋2|＝⎩⎨⎧x 2－2，x ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)，2－x 2，x ∈[－2，2].作出函数的图像如图所示．由图可知函数f (x )＝|－x 2＋2|的单调增区间为[－2，0]和[2，＋∞); 单调减区间为(－∞，－2)和[0，2]．在区间[1,3]上，由图像可知函数的最小值为f (2)＝0，最大值为f (3)＝7. 10．已知f (x )＝ax ＋b x 2＋1是定义在R 上的函数，且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，f (0)＝0.(1)求实数a 、b 的值，并确定f (x )的解析式； (2)用定义证明f (x )在(－1,1)上是递增的．解：(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，f (0)＝0，得⎩⎨⎧ 12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝25，b ＝0，得a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝xx 2＋1.(2)证明：在(－1,1)上任取－1＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 22＋1－x 1x 21＋1＝x 2x 21＋x 2－x 1x 22－x 1(x 22＋1)(x 21＋1)＝x 1x 2(x 1－x 2)＋(x 2－x 1)(x 22＋1)(x 21＋1) ＝(x 2－x 1)(1－x 1x 2)(x 22＋1)(x 21＋1). ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴－1＜x 1x 2＜1，x 2－x 1＞0,1－x 1x 2＞0，x 22＋1＞0，x 21＋1＞0， ∴f (x 2)－f (x 1)＞0.∴f (x )在(－1,1)上是递增的．。

2.3 函数的单调性（一）教学目标1．知识与技能（1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征.（2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明.2．过程与方法由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识. 利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念.3．情感、态度与价格观在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.（二）教学重点和难点重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与应用.（三）教学方法讨论式教学法. 在老师的引导下，学生在回顾旧知，细心观察、认真分析、严谨论证的学习过程中生疑与析疑，合作与交流，归纳与总结的过程中获得新知，从而形成概念，掌握方法.提出应用训练题1：（1）请根据下图描述某装配线的生（2）整个上午（8∶00～12∶00）天气越来越暖，中午时分（12∶00～13∶00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（例 2 物理学中的玻意耳定kV(k为正常数) 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强增区间为[8，12]，[13减区间为：[12，13]，[18，（3）函数在[–1，0]V=在区间（21kV V V V=-=所以，函数kpV=，V，+∞)例1 证明函数f (x ) =3x +2在R 上是增函数. 【证明】设任意x 1、x 2R ，且x 1＜x 2，则f (x 1) – f (x 2) = (3x 1 +2) – (3x 2 +2) = 3(x 1–x 2).由x 1＜x 2得x 1 –x 2＜0. ∴f (x 1) – f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x ) =3x +2在R 上是增函数.例2 证明函数f (x ) =1x在（0，+∞）上是减函数. 【证明】设任意x 1、x 2，+ ∞)且x 1＜x 2，则f (x 1) – f (x 2) =21121211x x x x x x --=， 由x 1，x 2，+∞)得，x 1x 2＞0，又x 1＜x 2，得x 2 – x 1＞0，∴f (x 1) – f (x 2) ＞0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x ) =1x在（0，+∞）上是减函数.。

高中数学北师大版必修一导学案：2.3 函数的单调性学习目标：1．理解函数单调性概念；2．掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；3．提高观察、抽象的能力．学习重点：1．理解函数单调性概念；2．掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性。

学习难点：掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性学习过程一课前准备1．单调增函数定义：2．单调减函数定义：3．单调区间：5．函数在其定义域（某个区间）的，其几何意义是图象上最高点的纵坐标；，为图象上最低点的纵坐标，即数形结合可得最值。

6.判定函数单调性的方法①定义法：②图像法：③直接法：⑴⑵⑶⑷一．判定函数的单调性例1．讨论y=x+x9（x ﹥0）的单调性，并证明你的结论例2．判定函数y=34+-x x 的单调性练习.指出函数y=－322++x x 的单调区间利用单调性解题例1：已知f (x)在区间(－∞,＋∞)内是减函数，实数a,b 满足a ＋b ﹤0，则下列结论一定成立的为（ ）A ． f (a)＋f (b) ﹤－f (a) － f (b)B ．f (a)＋f (b)﹥－f (a) － f (b)C ． f (a)－f (b)﹤f(-a)＋f(-b) D. f (a)－f (b)﹥f(-a)＋f(-b) 例2：若函数f(x)=2x +2(a-1)x+2在闭区间[4，+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围A. a ≤3B. a ≤-3C. a ≥-3D. a ≤5课后作业：1.若y=(2k+1)x+b 是R 上的减函数，则有A. k ﹥21B. k<21C. k> －21D.k< －21 2．如果二次函数y=32x +2(a-1)x+b 在区间(-∞，1)上是减函数，那么A.a=-2B.a=2C. a ≤-2D.a ≥23．在区间 (0，2)上不是增函数的是A.y=2x+1B.y=32x +1C.y=x2 D.y=2x +3x+2 4．若一次函数y=kx+b 在R 上为减函数，则点(k,b)在直角坐标平面的 （ ）A ．左半平面B 右半平面C 上半平面D 下半平面5．函数y=2x +4x+7的增区间是（ ）A.[ -2,+∞）B.(-∞,-2]C. [2,+∞）D. (-∞,2]6．若函数f(x)在区间（-2,3）上是增函数，则y=f(x+5)的递增区间是 （ ） A(3,8) B(-7，-2) C(-2，-3) D(0,5) 7．考察函数：①y=︱2x-2︱；②y=x x 2；③y=2x -4x+2；y=1,121,1,23≤->⎩⎨⎧-x x x x ； ④y=2x -4x+2；⑤y=-x1.其中在（0，+∞）上为增函数的序号为＿＿ 8. f (x)为(－∞,＋∞)上的减函数，a ∈R,则( ) A.f (a)﹤f （2a ） B. f (2a )<f (a) C. f (2a +1)< f (a) D. f (2a +a)<f (a)1 x 在[0，+∞)上是减函数.9．证明函数f(x)=21。

2.3 函数的单调性（一）教学目标1．知识与技能（1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征.（2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明.2．过程与方法由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识. 利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念.3．情感、态度与价格观在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.（二）教学重点和难点重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与应用.（三）教学方法讨论式教学法. 在老师的引导下，学生在回顾旧知，细心观察、认真分析、严谨论证的学习过程中生疑与析疑，合作与交流，归纳与总结的过程中获得新知，从而形成概念，掌握方法.教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题观察一次函数f (x) = x的图象：函数f (x) = x的图象特征由左到右是上升的. 师：引导学生观察图象的升降.生：看图. 并说出自己对图象的直观认识.师：函数值是由自变量的增大而增大，或由自变量的增大而减小，这种变化规律即函数的单调性.在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识.引入深题观察二次函数f (x) = x2的图象：函数f (x) = x2在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.列表：x …–4–3 –2 –1 0f (x)=x216 9 4 1 0师：不同函数，其图象上升、下降规律不同. 且同一函数在不同区间上的变化规律也不同. 这是“形”的方面，从“数”的方面如何反映.生：函数作图时列表描点过程中，从列表的数据变化可知自变量由– 4到0变化，函数值随着变小；而自变量由0到4变化，函数值随着自变量的变大而变大.师：表格数值变化的一般规随是：自变量x增大，函数值y也增大，函数图象上升，称函数为增函数；自变量x增大，函数值y反而减少，函数图象下降. 称函数为减函数.体会同一函数在不同区间上的变化差异.引导学生从“形变”过渡到“数变”.从定性分析到定量分析.O xyyx11O1 2 3 4 …1 4 9 16 …x∈(–∞，0]时，x增大，f (x)减少，图象下降.x∈(0，+∞)时，x增大，f (x)也增大，图象上升.形成概念函数单调性的概念一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数（increasing function）；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f (x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数（decreasingfunction）.师：增函数、减函数的函数值随自变量的变化而变化怎么用数学符号表示呢？师生合作：对于函数f (x) = x2在区间(0，+∞)上. 任取x1、x2. 若x1＜x2，则f(x1)＜f (x2)，即x12＜x22.师：称f (x) = x2在(0，+∞)上为增函数.由实例探究规律从而获得定义的数学符号表示.应用举例例1 如图是定义在区间[–5，5]上的函数y = f (x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？训练题1：（1）请根据下图描述某装配线的生师：投影例1.生：合作交流完成例1.师：引导学生完成教材P36练习的第1题、第2题.师：投影训练题1生：学生通过合作交流自主完成.例1【解】：y= f(x)的单调区间有[–5，–2），[–2，1），[1，3），[3，5]. 其中y = f (x) 在区间[–5，–2），[1，3）上是减函数，在区间[–2，1），[3，5]上是增函数.掌握利用图象划分函数单调区间的方法.掌握单调性证明步骤及原理.内化定义，强化划分单调区间的xx1 x2Oyf (x1) f (x2)y=f (x)xx1 x2Oyf (x1)f (x2)y=f (x)产率与生产线上工人数量间的关系.（2）整个上午（8∶00～12∶00）天气越来越暖，中午时分（12∶00～13∶00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18∶00）才又开始转凉. 画出这一天8∶00～20∶00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. （3）根据下图说出函数单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. 例 2 物理学中的玻意耳定律kp V =(k 为正常数) 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大. 试用函数的单调性证明之. 训练题2：证明函数f (x ) = –2x +1在R 上是减函数.训练题1 答案：（1）在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人的增加而降低. 由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高.（2） 增区间为[8，12]，[13，18]；减区间为：[12，13]，[18，20]. （3）函数在[–1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，在[4，5]是增函数. 师：打出例2，请学生阐明应用定义证明（判定）并总结证明单调性的基本步骤.生：学生代表板书证明过程，教师点评. 例2 分析：按题意，只要证明函数kp V =在区间（0，+∞）上是减函数即可.证明：根据单调性的定义，设V 1，V 2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且V 1＜V 2，即 21121212()()V V k k p V p V k V V VV --=-=.由V 1，V 2∈(0，+∞)，得V 1V 2＞0. 由V 1＜V 2，得V 2 – V 1＞0. 又k ＞0，于是 p (V 1) – p (V 2)＞0， 即 p (V 1) ＞p (V 2). 所以，函数kp V=，V (0，+∞)是减函数，也就是说，当体积V 减小时，压强p 将增大.师：投影训练题2 生：自主完成 训练题2 证明：任取x 1，x 2∈R ，方法.强化记题步骤与格式.且x 1＜x 2，因为f (x 1) – f (x 2) =2 (x 2 –x 1)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x ) = –2x +1在R 上是减函数.归纳 小结1°体会函数单调性概念的形成过程.2°单调性定义.3°利用图象划分单调区间. 4°利用定义证明单调性步骤.师生合作：回顾单调性概念的形式与发展.师：阐述单调性的意义与作用.反思回顾整理知识，提升能力.课后 练习1.3第一课时 习案学生独立完成巩固知识 培养能力备选例题：例1 证明函数f (x ) =3x +2在R 上是增函数. 【证明】设任意x 1、x 2R ，且x 1＜x 2，则f (x 1) – f (x 2) = (3x 1 +2) – (3x 2 +2) = 3(x 1–x 2).由x 1＜x 2得x 1 –x 2＜0. ∴f (x 1) – f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x ) =3x +2在R 上是增函数.例2 证明函数f (x ) =1x在（0，+∞）上是减函数. 【证明】设任意x 1、x 2(0，+ ∞)且x 1＜x 2， 则f (x 1) – f (x 2) =21121211x xx x x x --=，由x 1，x 2(0，+∞)得，x 1x 2＞0，又x 1＜x 2，得x 2 – x 1＞0，∴f (x 1) – f (x 2) ＞0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x ) =1x在（0，+∞）上是减函数.。