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【2016考纲解读】1．以客观题形式考查抽样方法，样本的数字特征和回归分析，独立性检验的基本思路、方法及相关计算与推断．2．本部分较少命制大题，若在大题中考查多在概率与统计、算法框图等知识交汇处命题，重点考查抽样方法，频率分布直方图和回归分析或独立性检验，注意加强抽样后绘制频率分布直方图，然后作统计分析或求概率的综合练习．3．以客观题形式考查古典概型与几何概型、互斥事件与对立事件的概率计算． 4．与统计结合在大题中考查古典概型与几何概型． 【重点知识梳理】 一、统计与统计案例 1.抽样方法三种抽样方法的比较2.统计图表(1)在频率分布直方图中：①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝频率组距；②各小矩形面积之和等于1；③中位数左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值． (2)茎叶图当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)． 3．样本的数字特征 (1)众数在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)． (2)中位数样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数． (3)平均数与方差样本数据的平均数x －＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )．方差s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]．注意：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定． 4．变量间的相关关系(1)利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关．如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近，我们说变量x 和y 具有线性相关关系． (2)用最小二乘法求回归直线的方程 设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1nx i －x －y i －y－∑i ＝1n x i －x－2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2a ^＝y －－b ^x－.注意：回归直线一定经过样本的中心点(x －，y －)，据此性质可以解决有关的计算问题． 5．回归分析r＝∑i ＝1nx i －x －y i －y－∑i ＝1nx i －x－2∑i ＝1ny i －y－2，叫做相关系数．相关系数用来衡量变量x 与y 之间的线性相关程度；|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越高，|r |越接近于0，相关程度越低． 6．独立性检验假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为则K 2＝a ＋b ＋c ＋d ad －bc a ＋b c ＋da ＋cb ＋d，若K 2>3.841，则有95%的把握说两个事件有关； 若K 2>6.635，则有99%的把握说两个事件有关； 若K 2<2.706，则没有充分理由认为两个事件有关. 7.随机事件的概率随机事件的概率范围：0≤P (A )≤1；必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0. 8．古典概型①计算一次试验中基本事件的总数n ；②求事件A 包含的基本事件的个数m ；③利用公式P (A )＝mn 计算．9．一般地，如果事件A 、B 互斥，那么事件A ＋B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率的和，即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．10．对立事件：在每一次试验中，相互对立的事件A 和A －不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P (A －)＝1－P (A )．11．互斥事件与对立事件的关系 对立必互斥，互斥未必对立． 12．几何概型一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点落在其内部区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.【高频考点突破】 考点一 事件与概率例1．(2015·广东，4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A ．1 B.1121 C.1021 D.521答案 C【变式探究】(2014·新课标全国Ⅰ，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18B.58C.38D.78解析 由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4位同学都选周六有1种情况，4位同学都选周日有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P ＝24－1－124＝1416＝78，故选D. 答案 D考点二 古典概型例2．(2014·陕西，6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) A.15B.25C.35D.45解析 从这5个点中任取2个，有C 25＝10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有C 24＝6种，因此所求概率P ＝610＝35.故选C.答案 C【变式探究】甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( ) A.136 B.19C.536D.16答案 D考点三 随机数与几何概型例3．(2015·陕西，11)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12πB.14－12πC.12－1π D .12＋1π解析 由|z |≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为： P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π＝14－12π. 答案 B【变式探究】(2014·湖北，7)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.78答案 D考点四 条件概率与相互独立事件的概率例4．(2015·新课标全国Ⅰ，4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36D ．0.312解析 该同学通过测试的概率为p ＝0.6×0.6＋C 12×0.4×0.62＝0.648. 答案 A【变式探究】(2014·新课标全国Ⅱ，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A ．0.8 B ．0.75C ．0.6D ．0.45解析 由条件概率可得所求概率为0.60.75＝0.8，故选A.答案 A考点五 正态分布例5．(2015·湖南，7)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4.A ．2 386B ．2 718C ．3 413D ．4 772答案 C【变式探究】(2014·新课标全国Ⅰ，18)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.(ⅰ)利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；(ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用(ⅰ)的结果，求E (X )． 附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4.解 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2分别为x －＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200， s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)(ⅰ)由(1)知，Z～N(200，150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.(ⅱ)由(ⅰ)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100，0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.考点六离散型随机变量的分布列例6．(2015·安徽，17)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．【变式探究】(2015·福建，16)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．解(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，考点七 均值与方差例7．(2014·浙江，9)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1，2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1，2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1，2)．则( ) A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2) B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2) C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)解析 法一 (特值法) 取m ＝n ＝3进行计算、比较即可．法二 (标准解法)从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ，则ξ的所有可能取值为0，1，则P (ξ＝0)＝n m ＋n ＝P (ξ1＝1)，P (ξ＝1)＝m m ＋n ＝P (ξ1＝2)，所以E (ξ1)＝1·P (ξ1＝1)＋2·P (ξ1＝2)＝m m ＋n ＋1，所以p 1＝E （ξ1）2＝2m ＋n2（m ＋n ）；从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，则η的所有可能取值为0，1，2，则P (η＝0)＝C 2n C 2m ＋n ＝P (ξ2＝1)，P (η＝1)＝C 1n C 1m C 2m ＋n ＝P (ξ2＝2)，P (η＝2)＝C 2mC 2m ＋n＝P (ξ2＝3)，所以E (ξ2)＝1·P (ξ2＝1)＋2P (ξ2＝2)＋3P (ξ2＝3)＝2mm ＋n ＋1，所以p 2＝E （ξ2）3＝3m ＋n 3（m ＋n ），所以p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)，故选A.答案 A【变式探究】如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )A.126125B.65C.168125D.75考点八 抽样方法例8．(2015·陕西，2)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A ．167B ．137C ．123D ．93解析 由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：110×70%＋150×(1－60%)＝137.故选B. 答案 B【变式探究】(2014·湖南，2)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( ) A ．p 1＝p 2<p 3 B ．p 2＝p 3<p 1 C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3解析 因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等，故选D. 答案 D考点九 频率分布直方图与茎叶图例9．(2015·安徽，6)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为()A．8 B．15 C．16 D．32答案 C【变式探究】(2015·重庆，3)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是()0 1 2 2 8 92 5 80 0 0 3 3 81 2A．19 B．20 C．21.5 D．23解析从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.答案 B考点十变量间的相关关系及统计案例例10．(2015·新课标全国Ⅱ，31)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是()A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案 D【变式探究】(2015·福建，4)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧，其中b ∧＝0.76，a ∧＝y －b∧x ．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A ．11.4万元 B ．11.8万元 C ．12.0万元D ．12.2万元解析 回归直线一定过样本点中心(10，8)，∵b ∧＝0.76，∴a ∧＝0.4，由y ∧＝0.76x ＋0.4得当x ＝15万元时，y∧＝11.8万元．故选B.答案 B【经典考题精析】1．(2015·北京，16)A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下： A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(1) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(2) 如果a ＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3) 当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)2．(2015·福建，13)如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f (x )＝x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．解析 由几何概型的概率公式：P ＝1－⎠⎛12x 2d x 4＝512. 答案5123．(2015·山东，8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.) A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18% D ．31.74%解析 由题意，知P (3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2＝95.44%－68.26%2＝13.59%.答案 B4．(2015·重庆，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．5．(2015·新课标全国Ⅱ，18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，故P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020， P (C B 2)＝820，P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.6．(2015·新课标全国Ⅰ，19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18wi .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^＝1121()(),()nii nii u u v v a v u u u β==--=--∑∑.1. 【2014高考湖北卷理第7题】由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ） A.81 B.41 C. 43 D.87 【答案】D【解析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，易求得)2,0(A ，)0,2(-B ，)1,0(C ，)23,21(D ，由几何概型公式知，该点落在2Ω内的概率为872221211212221=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=P ，故选D.【考点定位】几何概型2. 【2014高考湖南卷第2题】对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为321,,p p p ，则（ ） A.321p p p <= B. 132p p p <= C. 231p p p <= D. 321p p p == 【答案】D【考点定位】抽样调查3. 【2014高考福建卷第14题】如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.【答案】22e 【解析】由对数函数与指数函数的对称性,可得两块阴影部分的面积相同.11002()2()2x x S e e dx ex e =-=-=⎰.所以落到阴影部分的概率为22P e =. 【考点定位】几何概型4. 【2014高考广东卷理第11题】从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 . 【答案】1/6【考点定位】排列组合5. 【2014高考江苏卷第4题】 从1,2,3,6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为 . 【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P ==． 【考点】古典概型．6. 【2014江西高考理第13题】10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________. 【答案】12【解析】从10件产品中任取4件，共有410C 种基本事件，恰好取到1件次品就是取到1件次品且取到3件正品，共有1337C C ，因此所求概率为13374101.2C C C =【考点定位】古典概型概率7. 【2014辽宁高考理第14题】正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x=-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .【答案】23【考点定位】几何概型8. 【2014全国1高考理第5题】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ） A ．81 B ．83 C ．85 D ．87 【答案】D【解析】由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有12428C A =种不同的结果；（2）周六、日各2人，有246C =种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有8614+=种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为147168=，选D ． 【考点定位】排列和组合、古典概型的概率9. 【2014全国2高考理第5题】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 【答案】A【解析】设A=“某一天的空气质量为优良”，B=“随后一天的空气质量为优良”，则()0.6(|)0.8()0.75P A B P B A P A ⋂===，故选A.【考点定位】概率10. 【2014浙江高考理第9题】已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<< 【答案】Ｃ【考点定位】独立事件的概率11. 【2014陕西高考理第6题】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C 4.5D【答案】C【考点定位】古典概型及其概率计算公式.12.【2014高考安徽卷第17题】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.(1) 求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）. 【答案】（1）5681；（2）22481. 【解析】用A 表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”.则2()3k P A =，1(),1,2,3,4,53k P B k ==. 121231234()()()()P A P A A P B A A P A B A A =++121231234()()()()()()()()()P A P A P B P A P A P A P B P A P A =++2222122125633333381⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.X 的可能取值为2,3,4,5.121212125(2)()()()()()()9P X P A A P B B P A P A P B P B ==+=+=.1231231231232(3)()()()()()()()()9P X P B A A P A B B P B P A P A P A P B P B ==+=+=123412341234123410(4)()()()()()()()()()()81P X P A B A A P B A B B P A P B P A P A P B P A P B P B ==+=+=8(5)1(2)(3)(4)81P X P X P X P X ==-=-=-==. 故X 的分布列为所以52108224234599818181EX=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【考点定位】概率的求解、期望的求解.13. 【2014高考北京理第16题】李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记x 为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x 的大小（只需写出结论） 【答案】（1）0.5；（2）2513；（3）x EX =.【考点定位】概率的计算、数学期望、平均数、互斥事件的概率. 13. 【2014高考大纲理第20题】设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II ）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望. 【答案】（1）0.31；（2）2．【解析】记i A 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，0,1,2i =；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．（1）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，又()()()()220.6,0.4,0.5,0,1,2.ii P B P C P A C i P D ===⨯=∴=()()()()()()()()()()()()1221221220.31.P A B C A B A B C P A B C P A B P A B C P A P B P C P A P B P A P B P C ⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅=++=（2）X 的可能取值为0，1，2，3，4．()()()()()()()200010.60.510.40.06P X P B A C P B P A P C ==⋅⋅==-⨯⨯-=， ()()()()()()()()()()()200100110.60.5P X P B A C B A C B A C P B P A P C P B P A P C P B P A P C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=⨯()()()()()()22210.410.60.50.410.620.510.40.25,4P X P A B C ⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-===⋅⋅=()()()()()()()()220.50.60.40.06,340.25,210P A P B P C P X P D P X P X P X =⨯⨯===-====-=()()()13410.060.250.250.060.38.P X P X P X -=-=-==----=∴数学期望为2【考点定位】相互独立事件的概率计算；2．离散型随机变量的数学期望的计算．14. 【2014高考福建理第18题】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和 50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励 总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球 的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 【答案】(1)12,见解析;(2) 见解析【考点定位】概率、统计、数学期望、方差.15. 【2014高考广东理第17题】随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30、42、41、36、44、40、37、37、25、45、29、43、31、36、49、34、33、43、38、42、32、34、46、39、36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中1n 、2n 、1f 和2f 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(]30,35的概率. 【答案】（1）17n =，22n =，10.28f = ，20.08f =；（2）详见解析；（3）0.5904.【考点定位】频率分布直方图、独立性重复试验、频率分布直方图的绘制与应用、概率16. 【2014高考湖北理第20题】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立. （1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系:若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 【答案】（1）0.9477；（2）8620, 2.（2）记水电站年总利润为Y （单位：万元） ①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1， 对应的年利润5000=Y ，500015000=⨯=EY . ②安装2台发电机.当8040<<X 时，一台发电机运行，此时42008005000=-=Y ， 因此2.0)8040()4200(1==<<==P X P y P ，当80≥X 时，两台发电机运行，此时1000025000=⨯=Y ，因此8.0)80()10000(21=+=≥==P P X P Y P .由此得Y 的分布列如下：当120>X 时，三台发电机运行，此时1500035000=⨯=y ， 因此1.0)120()15000(3==>==P X P Y P ， 由此得Y 的分布列如下：所以86201.0150007.092002.03400=⨯+⨯+⨯=EY . 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台. 【考点定位】随机变量的均值.17. 【2014高考湖南理第17题】某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B 研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望. 【答案】(1)1315(2)详见解析 【解析】(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件,则事件B 为新产品,A B 都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为23,35,则()2312211353515P B ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据对立事件概率之间的概率公式可得()()13115P A P B =-=,所以至少一种产品研发成功的概率为1315.所以ξ的分布列如下:则数学期望24120120100220151555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯322088140=++=. 【考点定位】分布列、数学期望、概率18. 【2014高考江苏第22题】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X . 【答案】（1）518；（2）20()9E X =. 【解析】（1）由题意22243229518C C C P C ++==；（2）随机变量X 的取值可能为2,3,4，44491(4)126C P X C ===，313145364913(3)63C C C C P X C +===， 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==，所以X 的分布列为13120()21434631269E X =⨯+⨯+⨯=. 【考点】排列与组合，离散型随机变量的分布列与均值19. 【2014高考江西理第21题】随机将()1,2,,2,2n n N n *⋅⋅⋅∈≥这2n 个连续正整数分成A,B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为2b ，记2121,a a b b ξη=-=- （1）当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；（2）令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()p c ；（3）对（2）中的事件C,c 表示C 的对立事件，判断()p c 和()p c 的大小关系，并说明理由。
高考冲刺第12讲 概率与统计一、知识要点 1.古典概型（1）有限性：在试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； （2）等可能性：在试验中，可能出现的结果（基本事件）的可能性是均等的。
2.几何概型（1）试验结果有无限多； （2）每个结果的出现是等可能的．3.二项分布与超几何分布，概率分布列，期望与方差4.概率与统计的应用性 （1）建模 （2）解模 （3）回归二、典型例题例1.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2y x =和曲线y =部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是__________.解析：本题考查几何概型，考查对立事件的概率及定积分。
P=13评注：高考题大多一题多点，涉及较多的知识模块。
例 2.以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。
乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示。
（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望。
（注：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，其中x 为1x ，2x ，…… n x 的平均数）解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为 ;435410988=+++=x方差为.1611])43510()4359()4358()4358[(4122222=-+-+-+-=s（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P （Y=17）=.81162= 同理可得;41)18(==Y P ;41)19(==Y P .81)21(;41)20(====Y P Y P所以随机变量Y 的分布列为：EY=17×P （Y=17）+18×P （Y=18）+19×P （Y=19）+20×P （Y=20）+21×P （Y=21）=17×81+18×41+19×41+20×41+21×81=19例3.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优等品。
专题七十六概率与统计量综合题【高频考点解读】概率与统计作为考查考生应用知识的重要载体，也是高中数学中占有课时较多的一个知识板块，已成为近几年新课标高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性，而在知识的交汇处设计试题是高考命题的指导思想之一．主要考查点是离散型随机变量、二项分布、正态分布，其中离散型随机变量的分布列、期望、方差是考查的重点，预测2015年大部分新课标高考地区都以解答题的形式考查了这一知识点．【热点题型】考点一随机事件、古典概型与统计的综合问题例1、有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：(1)为了调查评委对7其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.(2)在(1)中，若A，B选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.【方法分析】题目条件：已知总人数和各组人数在第一问中是分层抽样，抽样比为6100，第二问针对A，B组各选1人．解题目标：(1)求各组分层抽样的人数．(2)求A，B组中支持1号的概率．关系探究：第一问中由B组得出抽样比，其它各组按这个抽样比抽取人数．第二问把A，B两组被抽到的人员用字母表示，把事件用符号表示，由古典概型计算概率．【解析】(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：(2)记从A组抽到的312312B组抽到的6位评委分别为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手，从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果如图：由树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2，共4种，故所求概率P ＝418＝29.【回归反思】 (1)分层抽样，首先确定抽样比，各层都按这个抽样比确定人数． (2)为了便于列举基本事件个数，把元素用字母符号表示，本题采用树图法列举事件． 考点二 几何概型的综合问题例2、在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________．【方法分析】 题目条件：线型几何概型，事件的总长度为6，事件A 的长度是满足|x ＋1|－|x －2|≥1的x 的区间长．解题目标：满足|x ＋1|－|x －2|≥1的概率．关系探究：把所求转化为在区间[－3，3]上解不等式|x ＋1|－|x －2|≥1.【回归反思】 (1)本题是解绝对值不等式，分零点讨论法分三个区域(－∞，－1)，[－1，2]，(2，＋∞)，最后解集是每个区域解集的并集[1，3]．(2)|x ＋1|－|x －2|≥1可采用绝对值的几何意义及数形结合法求解．当x ＝1或|x ＋1|－|x －2|＝1，从数轴上看出，x ＞1时，|x ＋1|－|x －2|＞1. 考点三 统计图表与概率的综合问题例3、在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人．(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数；(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有2人的两科成绩等级均为A.在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A的概率．【方法分析】题目条件：已知A，B，C，D，E的频率分布条形图．解题目标：(1)“阅读与表达”为A级的人数；(2)求“数学与逻辑”的平均分；(3)求2人两科成绩均为A的概率．关系探究：(ⅰ)“数学与逻辑”的10人转化为求该场的总人数，转化求“阅读与表达”的A级的人数．(ⅱ)先求总分再求平均分．(ⅲ)确定等级为A的人数，由古典概型求概率．设“随机抽取2人进行访谈，这2人的两科成绩等级均为A”为事件M，所以事件M中包含的基本事件有1个，为(甲，乙)，则P(M)＝1 6.【回归反思】(1)频率分布条形图中各频率之和仍为1.(2)频率分布条形图是等级的分布，不是人的分布，共有6个A，不是指6人为A，而实际是4人为A，这是易错的地方．(3)是古典概型，用列举法求基本事件．【真题感悟】1.【2015高考安徽，理17】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.【答案】（Ⅰ）310；（Ⅱ）350.2.【2015高考天津，理16】（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】(I)635; (II) 随机变量X 的分布列为()52E X =3.【2015高考重庆，理17】 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。
2016年高考数学理试题分类汇编统计与概率1、（2016年北京高考） A 、B 、C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）； A 班 6 6.5 7 7.5 8B 班 6 7 8 9 10 11 12C 班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（2）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （3）再从A 、B 、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ ，表格中数据的平均数记为0μ ，试判断0μ和1μ的大小，（结论不要求证明）2、（2016年山东高考）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是43，乙每轮猜对的概率是32；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(Ⅰ) “星队”至少猜对3个成语的概率；(Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ．3、（2016年四川高考）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I）求直方图中a的值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.4、（2016年天津高考）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.5、（2016年全国I 高考）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？6、（2016年全国II 高考）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5概率0.300.150.200.200.100. 05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．7、（2016年全国III 高考）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （II ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。
【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【2013 新课标全国】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.【解析】（1）利用相互独立事件模型计算概率；（2）在（1）的基础上，利用对立事件算出X为400、500、800时的概率，进而列出分布列，求出期望.2.【2014高考全国1】从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值x和样本方差2s（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX .12.2≈若()2~,Z N μσ则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.3.【2014新课标Ⅱ理)】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（2）利用（1）中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t yy b t t ==--=-∑∑,ˆˆay bt =-.（II ）由（I ）知,ˆ0.50b=>,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号9t =代入（I ）中的回归方程,得ˆ0.59 2.3 6.8y=⨯+=千元,故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元 4.【2015全国Ⅱ理18】某公司为了解用户对其产品的满意度,从,A B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值,得出结论即可）；评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C 的概率.则可得1122B A B A C C C C C =．所以1122()()B A B A P C P C C C C =1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．由题意及所给数据可得1A C ,2A C ,1B C ,2B C 发生的频率分别为1620,420,1020,820． 故可得1()A P C 16=20,2()=A P C 420,1()=B P C 1020,2()B P C 8=20,故101684()=+0.4820202020P C ⨯⨯=．即C 的概率为0.48. 5.【2015全国Ⅰ理19】某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响,对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =⋅⋅⋅数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值．年宣传费/千元表中i w =,18i i w w ==∑,（1）根据散点图判断,y a bx =+与y c =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可,不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系式0.2z y x =-,根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费49x =时,年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大？附：对于一组数据()11,u v ()22,u v ,⋅⋅⋅,(),n n u v ,其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii ni i u u v v u u β==--=-∑∑,ˆˆv u αβ=-.【热点深度剖析】1.纵观2013年和2014年2015年的高考题对本热点的考查，可以发现概率和统计、统计案例相结合是高考命题的热点，在2012年高考中，结合实际问题将函数和概率问题巧妙结合在一起，新颖别致，但是题目难度不大，这也体现了“新题不难”的命题特点，主要考查生活中的概率统计知识和方法.求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法，以及生活中最大利润的判断；2013年考查相互独立事件的概率计算、离散型随机变量的分布列、期望，考查学生的逻辑推理能力以及基本运算能力；2014年主要考查了频率分布直方图，正态分布的3 原则，二项分布的期望及回归分析.2015年分别考查了回归分析、茎叶图。
2016年高考备考之考前十天自主复习 第七天（理科）回顾一：排列组合与二项式定理 （1）基本计数原理：①分类加法计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，则完成这件事情，共有N ＝________________种不同的方法．②分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，完成第一个步骤有m 1种不同的方法，完成第二个步骤有m 2种不同的方法，……，完成第n 个步骤有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N ＝__________________种不同的方法．③两个基本计数原理的区别与联系：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以独立完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． （2）排列与组合：①排列与排列数：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示.排列数公式： !(1)(2)(1)()()!mn n A n n n n m m n n m =---+=≤-；!(1)(2)21n n A n n n n ==--⋅.规定0! = 1。
另外，!)!1(!n n n n -+=⋅；111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A ； 11--=m n m n nA A ，!1)!1(1!1n n n n --=-。
注意：相同排列：如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.②组合与组合数：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
