四川雅安雅安高中2015级第三次诊断性考试数学试题(理科)(Word版含答案)

雅安市高中2015级第三次诊断性考试数学（理科）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若复数z 满足(34)1z i ⋅-=，则z 的虚部是（ ） A. 425-B. 425i -C.425D.425i 2. 已知集合{}12A x x =-<<，{B x y ==，则A B =（ ）A. {}10x x -<<B. {}10x x -<≤C. {}02x x <<D. {}02x x ≤<3. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=12（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是1.73)≈A 6平方米 B. 9平方米 C. 12平方米D. 15平方米4. 若实数x ，y 满足360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A. 18B. 17C. 16D. 155. 已知1)nx展开式的各个二项式系数的和为128，则1)nx的展开式中2x 的系数（ ） A. 448B. 560C. 7D. 356. 某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、俯视图都是矩形，侧视图是直角三角形，则该几何体的体积等于（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4 7. 已知函数()37sin f x x x x =--+，若()()220f af a +->，则实数a取值范围是 A. (),1-∞ B. (),3-∞C. ()1,2-D. ()2,1-8. 执行如图的程序框图，如果输入8p =，则输出的S =（ ）A.6364B.12764C.127128D.2551289. 过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两条渐近线于A ,B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A.B.C. 2D.10. 已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，2AB =，AC =60ABC ∠=，且棱锥O ABC -的体，则球O 的表面积为 ( ) A. 10πB. 24πC. 36πD. 48π11. 已知函数22()(ln )x e f x k x x x=-+，若2x =是函数()f x 唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为()的A. (,]e -∞B. []0,eC. (),e -∞D. )0,e ⎡⎣12. 在直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，2AB =，E ，F 分别为AB ，BC 中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如图所示）.若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是（ ）A. [B. [C. 11[,]22-D. [,]22-二、填空题（本大题每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.函数())3f x x π=+图象在区间(0,)2π上的对称轴方程为__________．14. 已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，满足：100010182a a π+=，620122b b =，则2201632015tan1a a b b +=+__________．15. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如表所示.若根据表中数据得出的线性回归方程为0.70.35y x =+，则表中空格处y 的值为__________．16. 已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）的的17. 已知函数()272cos sin 216f x x x π⎛⎫=+--⎪⎝⎭()x R ∈. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()12f A =，若2b c a +=，且6AB AC ⋅=，求a 的值.18. 某校初一年级全年级共有500名学生，为了拓展学生的知识面，在放寒假时要求学生在假期期间进行广泛的阅读，开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查，得到了如图所示的频率分布直方图（部分已被损毁），统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读量为8.3万字.根据阅读量分组按分层抽样的方法从全年级500人中抽出20人来作进一步调查.（1）从抽出的20人中选出2人来担任正副组长，求这两个组长中至少有一人的阅读量少于7万字的概率； （2）为进一步了解广泛阅读对今后学习的影响，现从抽出的20人中挑选出阅读量低于5万字和高于11万字的同学，再从中随机选出3人来长期跟踪调查，求这3人中来自阅读量为11万到13万字的人数的概率分布列和期望值.19. 如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，M 为SD 的中点，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，且222CD AB AD ===.（1）求证：//AM 平面SBC ，平面SBC ⊥平面SDB ；（2）若SB 与平面SDC 所成角的正弦值为3，求二面角A SB C --的余弦值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点，且离心率2e =.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直:1()l x my m R =-∈交椭圆E 于,A B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.21. 已知函数()1axf x e ax =--.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设m 为整数，且对于任意正整数(2)n n ≥.若2(1)(!)n n n m -<恒成立，求m 的最小值.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为(2,0)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的参数方程为：1x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程；(2)点P 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与圆C 相较于,A B ,求PA PB +的值.23.已知函数()22f x x a x =++-（其中a R ∈）. （1）当1a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式2()32f x a x ≥--恒成立，求a 的取值范围.雅安市高中2015级第三次诊断性考试数学（理科）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若复数z 满足(34)1z i ⋅-=，则z 的虚部是（ ） A. 425-B. 425i -C.425D.425i 【答案】C 【解析】∵复数z 满足()341z i ⋅-= ∴134343434(34)(34)252525i i z i i i i ++====+--+ ∴z 的虚数是425故选C.2. 已知集合{}12A x x =-<<，{B x y ==，则A B =（ ）A. {}10x x -<< B. {}10x x -<≤C. {}02x x <<D. {}02x x ≤<【答案】B 【解析】∵集合{B x y ==∴{}|20B x x =-≤≤ ∵集合{}12A x x =-<< ∴{}|10A B x x ⋂=-<≤ 故选B.3. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=12（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 1.73)≈A. 6平方米B. 9平方米C. 12平方米D. 15平方米【答案】B 【解析】 【分析】在Rt △AOD 中，由题意OA=4，∠DAO=6π，即可求得OD ，AD 的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．【详解】如图，由题意可得：∠AOB=23π，OA=4， 在Rt △AOD 中，可得：∠AOD=3π，∠DAO=6π，OD=12AO=1422⨯=，可得：矢=4﹣2=2，由AD=AO•sin3π=4×2，可得：弦=2AD=2×所以：弧田面积=12（弦×矢+矢2）=12（2+22）2≈9平方米． 故答案为：B ．【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，考查学生对新的定义的理解，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.4. 若实数x ，y 满足360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A. 18B. 17C. 16D. 15【答案】C 【解析】画出可行域如图所示：联立36020x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得(4,6)A .由2z x y =+得122z y x =-+，平移直线122z y x =-+，由图象可知当直线122zy x =-+经过点A 时，z 的截距最大，则目标函数2z x y =+的最大值为42616+⨯=. 故选C.点睛：求线性目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值，当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.5.已知1)nx展开式的各个二项式系数的和为128，则1)nx的展开式中2x 的系数（ ） A. 448 B. 560C. 7D. 35【答案】A∵1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式的各个二项式系数的和为128∴2128n =，则7n =，即711))nxx=+.设71)x 的通项公式为737721771()2r r r r r rr T C C x x---+==.令7322r-=，则1r =.∴1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为6172647448C =⨯=.故选A.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.6. 某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、俯视图都是矩形，侧视图是直角三角形，则该几何体的体积等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】由三视图可得该几何体是直三棱柱，底面是直角边长分别为1和的直角三角形，高为2. ∴该几何体的体积等于121222V =⨯⨯⨯= 故选B.7. 已知函数()37sin f x x x x =--+，若()()220f af a +->，则实数a 的取值范围是A. (),1-∞B. (),3-∞C. ()1,2-D. ()2,1-【答案】D【分析】先研究函数()f x 奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简不等式()()220f a f a +->，解得实数a取值范围.【详解】因为()()37sin ,f x x x x f x -=+-=-2()37cos 0f x x x =--+<' ,所以()f x 奇函数，且在R 上单调递减，因为()()220f af a +->，所以()()()2222,2,21f a f a f a aa a >--=-<--<<，选D.【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内. 8. 执行如图的程序框图，如果输入8p =，则输出的S =（ ）A.6364B.12764C.127128D.255128【答案】C 【解析】输入p=8，给循环变量n 赋值1，累加变量S 赋值0． 判断1＜8成立，执行S=0+=12，n=1+1=2； 判断2＜8成立，执行S=21122+，n=2+1=3； 判断3＜8成立，执行S=23111222++，n=3+1=4； 判断4＜8成立，执行S=23411112222+++，n=4+1=5； 的判断5＜8成立，执行S=23451111122222++++，n=5+1=6； 判断6＜8成立，执行S=23456111111222222+++++，n=6+1=7；判断7＜8成立，执行S=23456711111112222222++++++=711(1)12722,112812-=-，n=7+1=8； 判断8＜8不成立，输出S=127128．故选C ． 9. 过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>左焦点F 作直线交双曲线的两条渐近线于A ,B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A.B.C. 2D.【答案】C 【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为by x a=±. ∵B 为线段FA 的中点，OB FA ⊥∴OA OF c ==，则AOF ∆为等腰三角形. ∴BOF BOA ∠=∠由双曲线的的渐近线的性质可得BOF xOA ∠=∠ ∴60BOF BOA xOA ∠=∠=∠=︒∴tan 60ba=︒=223b a =.∴双曲线的离心率为22cae aa a==== 故选C.点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．10. 已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，2AB =，AC =60ABC ∠=，且棱锥O ABC -的体的积为3，则球O 的表面积为 ( ) A. 10π B. 24πC. 36πD. 48π【答案】D 【解析】 【详解】 【分析】2,60AB AC ABC ==∠=21,60,30602c a b C sinC C sinC sinA sinB sinC ∴===<==，，，90,4A BC ∴∠===∵A ，B ，C 是球O 的球面上三点 ∴截面圆的圆心为AC 中点，半径为2∵棱锥O−ABC ，22211221232d d R ∴⨯⨯⨯=∴=∴=+= ， ∴球O 的表面积为：2448R ππ= ， 本题选择D 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.11. 已知函数22()(ln )x e f x k x x x=-+，若2x =是函数()f x 的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为( ) A. (,]e -∞ B. []0,eC. (),e -∞D. )0,e ⎡⎣【答案】A 【解析】分析：由()f x 的导函数形式可以看出，需要对k 进行分类讨论来确定导函数为0时的根.详解：函数()22ln x e f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的定义域是()0,∞+，()()()24232221xx x e kx x e x xe f x k x xx x ---⎛⎫∴=--+=⎪⎝⎭'，2x =是函数()f x 的唯一一个极值点，∴2x =是导函数'0f x的唯一一个极值点，0x e kx ∴-=在()0,∞+无变号零点，令()xg x e kx =-，()'x g x e k =-，①0k ≤时，()'0g x >恒成立，()g x 在()0,∞+时单调递增；()g x 的最小值为()01g =，()0g x =无解；②0k>时，()'0g x =有解为：ln x k =，0ln x k <<，()'0g x <，∴()g x 在()0,ln k 单调递减， ln x k >时，()'0g x >，∴()g x 在()ln ,k +∞单调递增，∴()g x 的最小值为()ln ln g k k k k =-， ∴ln 0k k k -> ∴k e <，由xy e =和y ex =图象，它们切于()1,e ，综上所述，k e ≤. 故选：A.点睛：本题考查由函数的导函数确定极值问题，对参数需要进行讨论.12. 在直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，2AB =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如图所示）.若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是（ ）A. [B. [C. 11[,]22-D. [22-【答案】A 【解析】建立如图所示的坐标系：则(0,0)A ，(1,0)E ，(0,1)D ，31(,)22F ，(cos ,sin )()22P ππααα-≤≤，即(cos ,sin )AP αα=，(1,1)ED =-，31(,)22AF =.∵AP ED AF λμ=+∴31(cos ,sin )(1,1)(,)22ααλμ=-+∴3cos 2αλμ=-+，1sin 2αλμ=+∴1(3sin cos )4λαα=-，1(cos sin )2μαα=+∴2sin cos )4πλμααα-=-=-∵22ππα-≤≤∴3444πππα-≤-≤∴)14πα≤-≤故选A.二、填空题（本大题每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.函数())3f x x π=+的图象在区间(0,)2π上的对称轴方程为__________． 【答案】12x π=【解析】∵函数()23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭∴令2,32πππ+=+∈x k k Z ，即,122k x k Z ππ=+∈ ∴当0k=时，函数()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的对称轴方程为12x π=.故答案为12x π=.14. 已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，满足：100010182a a π+=，620122b b =，则2201632015tan1a a b b +=+__________．【答案】 【解析】∵数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列∴10001018100922a a a π+==，即1009a π=；26201210092b b b ⋅==.∴220161009232015100922tantan tan 113a a ab b b π+===++故答案为.15. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如表所示.若根据表中数据得出的线性回归方程为0.70.35y x =+，则表中空格处y 的值为__________．【答案】4.5 【解析】由题意可知：产量x 的平均值为1(3456) 4.54x =+++=. ∵线性回归方程为0.70.5ˆ3yx =+，且线性回归方程过样本中心点(,)x y ∴0.7 4.50.35 3.5y =⨯+=∴表中空格处的值为4 3.5 2.534 4.5⨯---= 故答案为4.5.16. 已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是________.【答案】3 【解析】 【分析】由OA OB ⋅＝2可得点A ，B 的坐标之间的关系，再用点A ，B 的坐标表示直线的方程，进而可求直线AB 与x 轴的交点坐标。

四川省雅安市2017届高三数学下学期第三次诊断考试试题理（扫描版）雅安市高中2014级第三次诊断性考试数学试题(理科)参考答案及评分意见一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)二、填空题（每小题5分，共20分）13.4 14.40 15.27 个 16.三、解答题17. 解：（1）设等差数列{}的公差是．由已知 ...........2分，得， .........4分数列{}的通项公式为……………6分（2）由数列{ }是首项为1，公比为的等比数列，，，………………9分………………10分………………11分当………………12分18.解 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：……………2分将2×2列联表中的数据代入公式计算，得. ……………4分因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关． ……………6分 (2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为41. ……………7分由题意～，从而X 的分布列为……………10分E (X )＝np ＝3×41＝43，D (X )＝np (1－p )＝3×41×43＝169. ……………12分 19．（1）证明：设O 为AC 与BD 的交点，作DE ⊥BC 于点E ． 由四边形ABCD 是等腰梯形得CE==1，DE==3，所以BE=DE ，从而得∠DBC=∠BCA=45°，所以∠BOC=90°，即AC ⊥BD ．由PA ⊥平面ABCD 得PA ⊥BD ，因为AC ∩PA=A ，所以BD ⊥平面PAC ． ……………6分 （2）解：方法一：作OH ⊥PC 于点H ，连接DH ． 由（1）知DO ⊥平面PAC ，故DO ⊥PC ． 所以PC ⊥平面DOH ，从而得PC ⊥OH ，PC ⊥DH ．故∠DHO 是二面角A ﹣PC ﹣D 的平面角，所以∠DHO=60°． 在Rt △DOH 中，由DO=，得OH=．在Rt △PAC 中，=．设PA=x ，可得=．解得x=，即AP=． ……………12分方法二：（2） 由（Ⅰ）知AC ⊥BD ．以O 为原点，OB ，OC 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：A （0，﹣，0），B （，0，0），C （0，，0），D （﹣，0，0）．由PA ⊥平面ABCD ，得PA ∥z 轴， 故设点P （0，﹣，t ） （t ＞0）．设=（x ，y ，z ）为平面PDC 的法向量，由，知取y=1，得.又平面PAC的法向量为=（1，0，0），于是．解得t=，即AP=．……………12分20.解：（1）由已知可得解得，………2分故椭圆的标准方程为．………4分（2）设，，联立方程消去得．………5分当，即时，，．………6分所以，．当时，线段的垂直平分线显然过点因为,所以，当时，取到等号.则: ………………………8分当时，因为线段的垂直平分线过点，所以，化简整理得．由得．又原点到直线的距离为．所以而且，则．………10分所以当，即时，取得最大值．………11分综上的最大值为，此时直线: 或或………12分21．解：（1）由题可知的定义域为，因为，所以又因为直线的斜率为，∴，解得………3分（2）由（1）知：，当时，，所以在上单调递增；………4分当时，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减. ………5分综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. ………6分（3）由（2）可知，当时，在上单调递增，而，故在上没有零点；………7分当时，在上单调递增，而，故在上有一个零点；………8分当时，①若，即时，在上单调递减，∵，∴在上没有零点；②若，即时，在上单调递增，在上单调递减，而，，，若，即时，在上没有零点；若，即时，在上有一个零点；若，即时，由得，此时，在上有一个零点；由得，此时，在上有两个零点；③若，即时，在上单调递增，∵，，∴在上有一个零点. ………11分综上所述：当或时，在上有一个零点；当或时，在上没有零点；当时，在上有两个零点. ………12分选考题：22、解:(1)由消去参数，得，即曲线的普通方程为……………2分由，得，(*)将代入(*)，化简得，……………4分所以直线的倾斜角为……………5分(2)由(1)知，点在直线上，可设直线的参数方程为 (为参数)，即 (为参数)，………………7分代入并化简，得，，设两点对应的参数分别为，则，，所以……………10分23解:(1)(ⅰ)当时，原不等式可化为，解得………………2分(ⅱ)当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式无解；………………4分(ⅲ)当时，原不等式可化为，解得……………5分综上，. ………………6分(2)证明：因为，所以，要证，只需证，即证，即证，即证，即证.因为，所以，所以成立，所以原不等式成立. ……………10分。

雅安市高中2014级第三次诊断性考试数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}0,1,2,3,4U =----，集合{}0,1,2M =--，{}0,3,4N =--，那么()U C M N I为（ ）A ．{}0B ．{}3,4--C ．{}1,2--D ．∅ 2．复数3i2iz -+=+的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i --3．若()y f x =是定义域在R 上的函数，则()y f x =为奇函数的一个充要条件为（ ） A ．()00f = B ．对x R ∀∈，()0f x =都成立 C ．0x R ∃∈，使得()()000f x f x +-= D ．对x R ∀∈，()()0f x f x +-=都成立 4．cos xdx π⎰（ ）A ．1B ．2-C ．0D ．π5．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．4i ≤B ．5i ≤C ．6i ≤D ．7i ≤ 6．将函数()sin 43f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位后关于直线12x π=对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．524π C ．4π D ．724π 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3πB ．103π C ．6π D ．83π8．对一切实数x ，不等式210x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞- B ．[)2,-+∞ C ．[]2,2- D ．[)0,+∞9．半径为2的球内有一底面边长为2的内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），则球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（ ）A．(16π B．(16π C．(82π- D．(82π 10．若ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin 23sin b A a B =，且2c b =，则ab等于（ ） A ．32 B ．43CD11．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且当PA 与抛物线相切时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） ABC1 D1 12．已知函数()ln f x x =，()2042g x x ⎧⎪=⎨--⎪⎩()()011x x <≤>则方程()()1f x g x +=实根的个数为（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．变量x ，y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值 ．14．展开式5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项为 ．15．设a ，b ，{}1,2,3,4,5,6c ∈，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有 个．16．直线0ax by c ++=与圆O ：2216x y +=相交于两点M 、N .若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅uuu r uuu r的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=- （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 18．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.（1）根据已知条件完成上面的22⨯列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 分布列，期望()E X 和方差()D X .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，24BC AD ==，AB CD ==（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若二面角A PC D --的大小为60︒，求AP 的值.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的短轴长为2，离心率为2，直线l ：y kx m=+与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线通过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）当AOB V （O 为坐标原点）面积取最大值时，求直线l 的方程. 21．已知函数()21ln 2f x x ax =-（a R ∈）. （1）若()f x 在点()()2,2f 处的切线与直线220x y ++=垂直，求实数a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）讨论函数()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上零点的个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角；（2）设点()0,2P ，直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =+（1）求不等式()211f x x <+-的解集M ； （2）设a ，b M ∈，证明：()()()f ab f a f b >--.雅安市高中2014级第三次诊断性考试 数学试题（理科）参考答案及评分意见一、选择题1-5:BDDCA 6-10:BABBC 11、12：CB二、填空题13．4 14．40 15．27个 16．[]6,10-三、解答题17．解：（1）设等差数列{}n a 的公差是d ．由已知()()382726a a a a d +-+==- 3d ∴=-2712723a a a d ∴+=+=-m ，得 11a =-， ∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，1n n n a b q -∴+=，1n n n b q a -∴=-=132n n q --+，()14732n S n ∴=++++-⎡⎤⎣⎦L ()211n q q q -+++++L ∴当1q =时，()312n n n S n -=+232n n +=当1q ≠时，()312n n n S -=+11nq q -- 18.解 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22⨯列联表如下：将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++1003.03033=≈.因为3.030 3.841<，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14. 由题意13,4X ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，从而X 的分布列为[来源:学&科&网]()13344E X np ==⨯=， ()()1D X np p =-13934416=⨯⨯=.19．（1）证明：设O 为AC 与BD 的交点，作DE BC ⊥于点E ． 由四边形ABCD 是等腰梯形得12BC ADCE -==，3DE ==， 所以BE DE =，从而得45DBC BCA ∠=∠=︒，所以90BOC ∠=︒，即AC BD ⊥． 由PA ⊥平面ABCD 得PA BD ⊥，因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ． （2）解：作OHPC ⊥于点H ，连接DH ． 由（1）知DO ⊥平面PAC ，故DO PC ⊥．所以PC ⊥平面DOH ，从而得PCOH ⊥，PC DH⊥． 故DHO ∠是二面角A PC D --的平面角，所以60DHO ∠=︒． 在Rt DOH V中，由DO =，得OH =Rt PAC V 中，PA OH PC OC =． 设PA x =6=x =，即AP = 20.解：（1）由已知可得222,222,c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，21b =，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得()22124kxkmx ++2220m +-=．当()228210k m =-+>V ，即2221k m >-时，122412km x x k -+=+，21222212m x x k-⋅=+． 所以1222212x x km k +-=+，122212y y m k+=+． 当0k =时，线段AB 的垂直平分线显然过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭12AOB S AB m =⋅=V 12m ⋅⋅=因为()1,0m ∈-()0,1U ,所以()20,1m ∈AOB S ≤V 2=，当212m =时，取到等号. 则l :y = 当0k ≠时，因为线段AB 的垂直平分线过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以121212202y y x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭+-1k=-，化简整理得2212k m +=． 由222212,21,k m k m ⎧+=⎪⎨+>⎪⎩得02m <<． 又原点O 到直线AB的距离为d =．12AB x =-=所以12AOBS AB d =⋅=V而2212k m +=且02m <<，则AOB S =V 02m <<.所以当1m =，即212k =时，AOB S V 取得最大值2．综上AOB S V此时直线l : 12y x =+或12y x =-+或2y =±21．解：（1）由题可知()f x 的定义域为()0,+∞，因为()21ln 2f x x ax =-，所以()1f x ax x '=-=21ax x-又因为直线220x y ++=的斜率为2-，()14212a-∴-⨯=-，解得0a = （2）由（1）知：()1f x ax x '=-=21ax x-，当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，由()0f x '>得x <()0f x '<得x >()f x 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减.综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减.（3）由（2）可知，当0a <时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，而()1102f a =->，故()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点；当0a =时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，而()1102f a =-=，故()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点； 当0a >时，1≤，即1a ≥时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，()1102f a =-<Q ，()f x ∴在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点；②若21e <≤，即411a e <<时，()f x在⎡⎢⎣上单调递增，在2e ⎤⎥⎦上单调递减，而()1102f a =-<，11ln 22f a =--，()24122f e ae =-，若1ln 2f a =--102<，即1a e >时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点；若1ln 2f a =--102=，即1a e =时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点；若1ln 2f a =--102>，即1a e <时，由()241202f e ae =->得44a e <，此时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点；由()241202f eae =-≤得44a e≥，此时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有两个零点；③若2e ≥，即410a e <≤时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，()1102f a =-<Q ，()241202f e ae =->，()f x ∴在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点. 综上所述：当440a e ≤<或1a e =时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点；当0a <或1a e>时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点；当441a e e≤<时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有两个零点. 选考题：22、解: (1)由3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α，得()f x ，即曲线C 的普通方程为2219x y +=由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，(*) 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入(*)，化简得2y x =+， 所以直线l 的倾斜角为4π(2)由(1)知，点()0,2P 在直线l 上，可设直线l 的参数方程为cos 42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，即222x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入2219x y +=并化简，得25270t ++=，(245∆=-⨯271080⨯=>，[来源:学|科|网]设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则1205t t +=-<，122705t t ⋅=>，10t ∴<，20t < 所以PA PB +=12t t +=()125t t -+=23解:(1)(ⅰ)当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1x <-(ⅱ)当112x -<<-时，原不等式可化为122x x +<--，解得1x <-，此时原不等式无解； (ⅲ)当12x ≥-时，原不等式可化为12x x +<，解得1x > 综上，{1M x x =<-或}1x >.(2)证明：因为()()f a f b --=11a b +--+≤()11a b a b +--+=+，所以，要证()()()f ab f a f b >--，只需证1ab a b +>+， 即证221ab a b +>+，即证2221a b ab ++>222a ab b ++，即证222210a b a b --+>，即证()()22110a b -->.因为a ，b M ∈，所以21a >，21b >，所以()()22110a b -->成立，所以原不等式成立.。

0,1==S i1+=i i 输出i 完毕开始i 是奇数12+*=i S10<S是否否 是四川省雅安市雅安中学2015届高三数学开学考试试题 理一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题给出的四个选项中．只有一个是符合题目要求的．1．集合}3,2,1{⊆A ，且集合A 的元素中至少含有一个奇数，如此满足条件的集合A 有 A ．8个B ．7个C ．6个D ．5个 2．如下说法错误的答案是A ．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；B ．过直线外一点有且只有一个平面与直线垂直；C ．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确 定的平面也两两垂直；D ．如果两条直线和一个平面所成的角相等，如此这两条 直线一定平行.3．4)12(+x 的展开式中含x 的奇次方项的系数和等于A ．44B ．25C ． 41D ． 404．假设c b a ,,为实数，如此如下命题正确的答案是 A ．假设a b >，如此22ac bc > B ．假设0a b <<，如此22a ab b >>C ．假设0a b <<，如此11a b <D ．假设0a b <<，如此b aa b >5．阅读右侧程序框图，如果输出5=i ，那么在空白 矩形框中应填入的语句为 A. i S *=2 B. 12-*=i S C. 22-*=i S D. 42+*=i S6．一个棱锥的三视图如图，如此该棱锥的全面积是A ．4+26B ．4+ 6C ．4+2 2D ．4+ 27．向量a 是与单位向量b 夹角为060的任意向量，如此对任意的正实数t ，||ta b -的最小值是A ．0B ．12 C．2 D ．18．如下命题正确的答案是 ①假设2(3)4log 32x f x =+，如此8(2)(4)...(2)180f f f +++=； ②函数()tan 2f x x =的对称中心是)0,2(πk 〔k Z ∈〕；③“32,10x R x x ∀∈-+≤〞的否认是“01,23>+-∈∃x x R x 〞； ④设常数a使方程sin x x a +=在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x， 如此123x x x ++73π= A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④ 9．函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 如此()f x 可以是 A.()1x f x e =- B.()2(1)f x x =-C. ()41f x x =-D.)21ln()(-=x x f 10．假设存在0,x N n N ++∈∈，使63)(......)1()(000=+++++n x f x f x f 成立，如此称),(0n x 为函数()f x 的一个“生成点〞.函数+∈+=N x x x f ,12)(的“生成点〞坐标满足二次函数c bx ax x g ++=2)(，如此使函数)(x g y =与x 轴无交点的a 的取值范围是A ．16320+<<a B ．16321632+<<-aC ．832+<a D ．163216320+>-<<a a 或二、填空题:本大题共5小题，每一小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上. 11．假设),(2)(R y x i y i i x ∈+=-，如此复数=+yi x .12．x 、y 满足约束条件，如此24z x y =+的最小值是 .13．2014年某地春季高考有10所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方式有 种.14．有两个等差数列2，6，10,…,190与2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,如此这个新数列的各项之和为 . 15．在如下命题中①函数)0()(>+=x x ax x f 的最小值为a 2；②定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，如此()f x 一定为偶函数； ③定义在R 上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，如此f(1)＋f(4)＋f(7)=0④函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，如此0a b c ++=是()f x 有极值的必要不充分条件；⑤函数()sin f x x x =-，假设0a b +>，如此()()0f a f b +>.其中正确命题的序号为 〔写出所有正确命题的序号〕.三、解答题: 本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．(本小题总分为12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，假设(2)cos cos a c B b C -=.〔Ⅰ〕求角B 的大小；〔Ⅱ〕假设3a =，ABC ∆的面积为，求BA AC ⋅的值.17．(本小题总分为12分)某用人单位招聘员工依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核.规定：只能通过前一轮考核后才能进入下一轮的考核，否如此将被淘汰；三轮考核都通过才算通过. 小王三轮考核通过的概率分别为13，34，35，且各轮考核通过与否相互独立.〔Ⅰ〕求小王通过该招聘考核的概率；〔Ⅱ〕假设小王通过第一轮考核，家长奖励人民币1200元；假设小王通过第二轮考核，家长再奖励人民币1000元；假设小王通过第三轮考核，家长再奖励人民币1400元.记小王得到奖励的金额为X ，求的分布列和数学期望.18．(本小题总分为12分) 单调递增的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕假设2log n n n b a a =，12n ns b b b =+++，求12500n n s n +-⋅+<成立的正整数n 的最小值.19．〔此题总分为12分〕在三棱柱ABC －A1B1C1中，AB ＝BC ＝CA ＝AA1， 侧棱AA1⊥平面ABC ，O 、D 、E 分别是棱AB 、A1B1、AA1的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =．〔Ⅰ〕求证：EF ∥平面BDC1；〔Ⅱ〕求证：平面OCC1D ⊥平面ABB1 A1； 〔Ⅲ〕求二面角E －BC1－D 的余弦值．DOF E C 1B 1A 1CBA20．〔此题总分为13分〕函数()ln ,f x ax x a =+其中为常数． 〔Ⅰ〕当1a =-时，求()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕当10e a <-<时，假设()f x 在区间(0,)e 上的最大值为3-，求a 的值；〔Ⅲ〕当1a =-时，试推断方程|()|f x =ln 12x x+是否有实数解．21．〔此题总分为14分〕函数2()416mx f x x =+,||1()2x m g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中m R ∈且0m ≠．〔Ⅰ〕判断函数()f x 的单调性；〔Ⅱ〕当2m <-时,求函数()()()F x f x g x =+在区间[]2,2-上的最值；〔Ⅲ〕设函数(),2(),(),2f x x h x g x x ≥⎧=⎨<⎩当2m ≥时,假设对于任意的[)12,x ∈+∞,总存在唯一的()2,2x ∈-∞,使得12()()h x h x =成立,试求的取值范围．三、解答题：16、解〔1〕∵(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， ∴2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B C B C B B C A =+=+=∵0A π<<，∴sin 0A >∴2cos 1B =，1cos 2B =又0B π<<∴3B π=； ………………………………………………………………………………… 6分〔2〕方法一：∵3a =，ABC △的面积为33，∴1333sin 23c π⨯∴2c =， … 8分 22223223cos73b π=+-⨯⨯=，即7b =， ………………………………………… 9分2222(7)37cos 227A +-==⨯⨯， …………………………………………………………10分∴cos()BA AC bc A π=-2(1==-. …………………………………………12分方法二：2()BA AC BA BC BA BA BC BA ⋅=-=⋅-221cos ,23212BA BC BA BC BA =⋅⋅〈〉-=⨯⨯-=-………………………………12分17、解〔1〕设“小王通过招聘考核〞为事件A ，如此P(A)＝133334520⨯⨯=所以小王通过招聘考核的概率为320……………………………………………………4分〔2〕X 的可能取值为0元，1200元，2200元，3600元……………………………5分12(0)133P X ==-=，131(1200)(1)3412P X ==⨯-=，1331(2200)(1)34510P X ==⨯⨯-=1333(3600)34520P X ==⨯⨯=…………………………………………………………9分所以，X 的分布列为数学期望为2113()01200220036008603121020E X =⨯+⨯+⨯+⨯=〔元〕 ……12分18、解〔1〕设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，以题意有：3242(2)a a a +=+代入23428a a a ++=，得38a =∴311231208a q a q a a q ⎧+=⎪⎨==⎪⎩……………………………………………………………………… 3分解之得：11322122a a q q =⎧=⎧⎪⎨⎨==⎩⎪⎩或…………………………………………………………… 5分 又∵{}n a 单调递增，∴12,2,a q ==∴2nn a =………………………………………………………………………………… 6分(2)22log 22n n nn b n ==⋅…………………………………………………………… 7分∴231222322nn s n =⨯+⨯+⨯++⨯①∴23412122232(1)22n n n s n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯②∴②-①得：12322222n n n s n +=⨯-----=12(21)221n n n +-⨯--=11222n n n ++-+⋅+…………………………………………………………………………9分由12500n n s n +-⋅+<得12520n +-+<，∴12n +>52.又当4n ≤时，152232n +≤=＜52当5n ≥时，162264n +≥=﹥52 故使12500n n s n +-⋅+<成立的正整数n12分19、〔Ⅰ〕证明：如图1，连接OA1，O 为AB 的中点，且14AF AB =所以，AF=FO ，又E 为A A1的中点 所以，EF ∥OA12分在三棱柱ABC －A1B1C1中，A1B1∥AB 且A1B1=AB 因为，O 、D 分别为AB 、 A1B1中点D O F EC 1B 1A 1CBAGHEA所以，OB ∥A1D 且OB=A1D 所以，OBDA1为平行四边形 所以，OA1∥BD3分所以，EF ∥BD ，又EF ⊄平面BDC ，BD ⊂平面BDC 所以，EF ∥平面BDC1．4分〔Ⅱ〕证明：如图1，因为，AA1⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC 所以，AA1⊥OC5分因为，AB=BC ，O 为AB 中点所以，OC ⊥AB ，又AB 、AA1⊂平面ABB1 A1，AB AA1=A6分所以，OC ⊥平面ABB1 A1，又OC ⊂平面OCC1D 所以，平面OCC1D ⊥平面ABB1 A1．8分〔Ⅲ〕解法一，如图2建立空间直角坐标系O —xyz ，设AB=2 如此1(0,1,0),(0,1,2),(0,1,1)A A E ---1(0,1,0),(0,0,2)C B D9分所以，1(3,1,2),(0,2,1),(0,1,2)BC BE BD =-=-=-设平面EBC1的法向量为1111(,,)n x y z =如此1111111132020n BC x y z n BE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取1(3,1,2)n =-10分设平面DBC1的法向量为2222(,,)n x y z =如此2122221132020n BC x y z n BD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取1(0,2,1)n =11分所以，12cos ,n n <>==故，所求二面角E －BC1－D 的余弦值为．12分〔Ⅲ〕解法二，如图1，在三棱柱ABC －A1B1C1中因为，O 、D 分别为AB 、 A1B1的中点所以，OD 平行且等于AA1，AA1平行且等于CC1， 所以，CODC1为平行四边形所以，C1D ∥CO ，由〔Ⅱ〕知，OC ⊥平面ABB1 A1 所以，C1D ⊥平面ABB1 A1 所以，面C1DB ⊥平面ABB1A19分过E 作EG ⊥BD 于G ，过G 作GH ⊥B C1于H ，连接EH 所以，EG ⊥平面BDC1 所以，EG ⊥GH ，EG ⊥BC1 所以，BC1⊥平面EGH 所以，BC1⊥EH所以，GHE ∠为所求二面角E －BC1－D 的平面角10分设AB=2，连接DE所以，所以，1141122BDE S EG∆=---=，所以，5EG =，所以，5BG = 因为，11GH BH C D C B =，又11C D C B ==所以5GH =所以，EH =11分∴cos 5GH GHE EH ∠==所求二面角E －BC1－D 余弦值为．12分20、解：〔Ⅰ〕由知道函数()f x 的定义域为{|0}x x >1分当1a =-时，()ln f x x x =-+，所以/11()1xf x x x -=-+=2分当01x <<时，/()0f x >；当1x >时，/()0f x < 所以，()f x 的单调增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞．4分〔Ⅱ〕因为，/1()f x a x =+，令/()0f x =解得1x a =-5分由/()0f x >解得10x a <<-，由/()0f x <解得1x e a -<< 从而()f x 的单调增区间为1(0,)a -，减区间为1(,)e a - 6分 所以，max 11()()1ln()3f x f a a =-=-+-=-解得，2a e =-． 8分〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知当1a =-时，max ()(1)1f x f ==-，所以，|()|f x ≥1 9分 令ln 1()2x g x x =+，如此/21ln ()xg x x -=当0x e <<时，/()0g x >；当x e >时，/()0g x <从而()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减 所以，max 11()()12g x g e e ==+< 11分所以，|()|f x >()g x ，即|()|f x >ln 12xx +所以，方程|()|f x =ln 12x x +没有实数根． 13分21、解:(Ⅰ)依题意,22222(4)(2)(2)()4(4)4(4)m x m x x f x x x --+'==++ 1分①当0m >时,()022,()02f x x f x x ''≥⇒-≤≤<⇒<-或2x >所以()f x 在[2,2]-上单调递增;在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递减 2分②当0m <时,()022,()02f x x f x x ''≤⇒-≤≤>⇒<-或2x >所以()f x 在[2,2]-上单调递减;在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递增．3分(Ⅱ)当2,22m x <--≤≤时,||111()2222x m x m xm g x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在[2,2]-上单调递减 4分由(Ⅰ)知,()f x 在[2,2]-上单调递减 5分所以21()()()24162xm mx F x f x g x x ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭在[2,2]-上单调递减 6分2max ()(2)4221616m m mmF x F +=-=⨯-=-∴ 7分2min ()(2)216m mF x F -==+． 8分(Ⅲ)当2m ≥,1[2,)x ∈+∞时,11121()()416mx h x f x x ==+,由(Ⅰ)知1()h x 在[2,)+∞上单调递减,从而1()(0,(2)]h x f ∈,即1()0,16m h x ⎛⎤∈⎥⎝⎦ 9分。

(高三备课组集体)本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第2至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将答题卷和机读卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题（每小题5分，共50分，把每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的选项选出来） 1.{}{}______,0|,0|22==+==-=N M y y y N x x x M 则 A. {}1,0,1- B. {}1,1- C. {}0 D. Φ 2.已知_______cos 3sin 7,2tan 22=+=ααα求 A.51 B. 511 C. 521D. 531 3.并排的5个房间，安排给5个工作人员临时休息，假设每个人可以进入任一房间，且进入每个房间是等可能的，问每个房间恰好进入一人的概率是_______ A.62524 B 62548 C. 12524 D. 125484.已知____),10sin ,10(cos ),70sin ,70(cos 0=-== A.0 B.1 C.2 D.35.已知曲线x y 42=的焦点F ，曲线上三点A,B,C 满足=++,则_____=++。

A.2B.4C.6D.86.若P 为棱长为1的正四面体内的任一点，则它到这个正四面体各面的距离之和为______.A.23 B. 33 C. 26 D. 36 7.若等差数列{}n a 的前n 项和为184,S S S n =且，则____22=S A.0 B.12 C.1- D. 12-8.“函数)(x f y =在区间（a,b ）上有零点”是“0)()(<∙b f a f ”的________条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.非充分非必要9.在同一直角坐标系下作)10(log ≠>==a a y a y xa x 且和的图象，有下面四种判断：①两支图象可能无公共点。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作四川省雅安市高中2013级第三次诊断性考试数学试题(理科)（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，答题时间120分钟） 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.考试结束后，将答题卡收回。

第Ⅰ卷 （选择题，50分）一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知i 是虚数单位,则(2+i)(3+i)= A. 5-5iB. 7-5iC. 5+5iD. 7+5i2、已知实数集R ，集合A={x|x<0x 2}>或，集合B=}1-x y |{y =，则=⋂B A)(C RA.{x|1<x<2}B.{x|1≤x ≤2}C.{x|1≤x<2}D.{x|0≤x ≤2}3、已知命题p ，q ，那么“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4、相距1400m 的A 、B 两个哨所，听到炮弹爆炸的时间相差3s ，已知声速340m/s ，则炮弹爆炸点所在曲线的离心率为 A.5170B.7051C.3517D. 15、如图(1)是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是A ．7B ．8C ．9D ．106、已知)(x f =Asin(x ωϕ+)(A>0，ω>0，0<ϕ<π)，其导函数/()f x 的图象如图所示，则)(πf 的值为 A. 2 B. 3 C ．22 D ．237、一个多面体的三视图如图所示，则这个多面体的面数及这些面中直角三角形的个数分别为A. 5和2B. 5和3C. 5和4D. 4和38、假设你家订了一份牛奶,送奶工人在早上6:00-7:00之间把牛奶送到你家,你离开家去上学的时间在早上6:30-7:30之间,则你在离开家前能收到牛奶的概率是 A.18B.58C.12D.789、已知直线1x ya b+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 A. 30条 B. 56条 C. 60条D. 66条10、已知函数x x x x f ln )(+=，若存在实数),2(+∞∈m ，使得)2()(-≤m k m f 成立，则整数k 的最小取值为 A. 3 B. 4C. 5D. 6第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11、=+25.0log 10log 255_________________.12、621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为_________（用数字表示）.13、若,0,1>>b a 且,2=+b a 则ba 411+-的最小值为______. 14、在ABC ∆中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=，则 BC=________.15、定义在R 上的偶函数)(x f 满足对任意R x ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，96)(2-+-=x x x f ，若函数)1(log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有3个零点，则实数a 的取值范围是____________.三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、（本题满分12分）等差数列}{n a 中,9,155432==++a a a a . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)设213+=n a n b ,求数列}b 21a {n n ⋅+的前n 项和n S 17、（本题满分12分）已知函数12cos 2)32cos(2)(+-+=x x x f ωπω (ω>0)的最小正周期为π.(I)求函数)(x f 图象的对称中心；(Ⅱ)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若△ABC 为锐角三角形且0)(=A f ，求bc的取值范围． 18、（本题满分12分）某校从参加某次数学能力测试的学生中抽出36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：)90,80[，)100,90[，)110,100[，]120,110[．（Ⅰ）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列两个条件的概率： ①有且仅有1名学生成绩不低于110分；②成绩在)100,90[内至多1名学生；（Ⅱ）在成绩是)100,80[内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在)100,90[内人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望)(X E .19、（本题满分12分）圆O 上两点C ，D 在直径AB 的两侧(如图甲), 沿直径AB 将圆O 折起形成一个二面角(如图乙), 若∠DOB 的平分线交弧于点G ，交弦BD 于点E,F 为线段BC 的中点.（Ⅰ）证明:平面OGF ∥平面CAD;（Ⅱ）若二面角C-AB-D 为直二面角，且AB=2， ，求直线FG 与平面BCD 所成角的正弦值. 20、（本题满分13分）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，其离心率为32，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为423+. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设曲线C 的上、下顶点分别为A 、B ，点P 在曲线C 上，且异于点A 、B ，直线AP ，BP 与直线:l y=2-分别交于点M ，N ．(1)设直线AP ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值； (2)求线段MN 长的最小值． 21、（本题满分14分）已知函数)(1)(,2)(2R a ax x g ax e x f x ∈+=-=.(Ⅰ)设函数)()()(x f x g x h -=,其导函数为/()h x ，若/()h x 在),0[+∞上具有单调性，求a 的取值范围；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求证：)(41)1()31()21()1(*N n n n f f f f ∈+>+⋅⋅⋅+++.雅安市高中2013级第三次诊断性考试数学试题(理科)参考答案一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDABDCBDCC二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11、2 12、15 13、9 14、3 15、310<<a . 三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、（本题满分12分） 解:(Ⅰ)设数列{}由题意得首项的公差为,1a d a n且⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧==++941563915115432d a d a a a a a 即 解得⎩⎨⎧==211d a所以数列{}12-=n a a n n 的通项公式为 ……………………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得n n n a b 3231==+ 所以n n n n b a 3..21=+ 所以+++=323.33.23.11n S 13.+n n两式相减得++++-=433333(22n S 13.)3+++n n n ………………………10 分43).12(323..1233.31313111+++-+=-+=+---=n n n n n n S n n n 即）（）（………………………………12 分17、（本题满分12分）解: (1)由条件得12cos 2)32cos(2)(+-+=x x x f π1)62sin(212cos 2sin 3++-=+--=πx x x …………………………………3分由)(62Z k k x ∈=+ππ解得212ππk x +-= 故所求对称中心为)1,212(ππk +-)(Z k ∈…………………………………………6分（2）由01)62s i n (2)(=++-=πA A f 解得3π=A ，32π=+C B ，所以21t a n 23s i n )32s i n (s i n s i n +=-==C C C C B c b π又ABC ∆为锐角三角形，故26ππ<<C所以221tan 2321<+=<C cb ，即c b 的取值范围是)2,21(………………………12分 18（本题满分12分）19、（本题满分12分）解析：(Ⅰ) 为 的一条中位线又OF平面平面平面………………………………………………………（2分）又为的平分线OG又可知AD……………………………………………（4分）又OG平面平面平面………………………………………………………（5分）又为平面内的两条相交直线平面OGF∥平面CAD………………………………………………………（6分）（Ⅱ）二面角C-AB-D为直二面角，即平面CAB平面由已知得为斜边的中点，则CO平面又中，AD=1,又，ADGO为菱形，设DG中点为M,则即直线OM,OB,OC两两垂直，故可如图建立空间直角坐标系………………（8分）则B为(0,1,0) C为(0,0,1) D为（，）G为（，） F为（0，，）…………………………………………（9分）（，）为直线FG的一个方向向量………………………（10分）设为平面的一个法向量则又，（，）令y=1,则（分）=则直线FG与平面BCD所成角的正弦值为…………………………………（12分）20、（本题满分13分）解：(Ⅰ)C 的方程为：2214xy+= ……………………………………………………4分(Ⅱ) (1)由题意，A (0,1)，B (0，－1)，令P (x 0，y 0)，则x 0≠0，∴直线AP 的斜率k 1＝y 0－1x 0，BP 的斜率k 2＝y 0＋1x 0.又点P 在椭圆上，∴x 204＋y 20＝1(x 0≠0)， 从而有k 1k 2＝y 20－1x 20＝1－x 204－1x 20＝－14. 即k 1k 2为定值． ………………………………………………7分 (2)由题设可以得到直线AP 的方程为y －1＝k 1(x －0)， 直线BP 的方程为y －(－1)＝k 2(x －0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k 1x ，y ＝－2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3k 1，y ＝－2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k 2x ，y ＝－2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1k 2，y ＝－2，∴直线AP 与直线l 的交点M ⎝⎛⎭⎫－3k 1，－2， 直线BP 与直线l 的交点N ⎝⎛⎭⎫－1k 2，－2. 又k 1k 2＝－14，∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪－3k 1＋1k 2＝⎪⎪⎪⎪3k 1＋4k 1＝⎪⎪⎪⎪3k 1＋|4k 1| ≥2⎪⎪⎪⎪3k 1·|4k 1|＝43，当且仅当⎪⎪⎪⎪3k 1＝|4k 1|，即k 1＝±32时等号成立， 故线段MN 长的最小值是4 3. ………………………………………………13分21、（本题满分14分）解：(Ⅰ) ∵12)()()(2+-+=-=xe ax ax xf xg xh ，∴a e ax x h x22)('+-=，设a e ax x h x m x22)()('+-==，则xe a x m -=2)('，…………2分（1）若02)('≤-=xe a x m 在),0[+∞上恒成立，则xe a ≤2，故21≤a ； （2）若02)('≥-=xe a x m 在),0[+∞上恒成立，则xe a ≥2，此时，),1[+∞∈xe ，故不存在a 使xe a ≥2恒成立综上所述，a 的范围是：]21-，（∞………………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知当21=a 时，121)(2+-+=xe x x x h ， 0)0()(1)('''=≤+-=h x h e x x h x ，，),0[)(+∞在x h 上为减函数，所以0)0()(=≤h x h ，即01212<+-+x e x x ， 所以121)(,12122+>+>-x x f x x e x即，依次令n x 1,,31,21,1⋅⋅⋅=得：,1)1(21)1(,,1)31(21)31(,1)21(21)21(,1121)1(2222+⨯>⋅⋅⋅+⨯>+⨯>+⨯>nn f f f f 累加得：马鸣风萧萧 41)n1-121]11-n 141-3131-2121-1[21])1(1431321211[21)131211(21)1()31()21()1(2222+≥+=+++⋅⋅⋅+++=++⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯>++⋅⋅⋅+++>+⋅⋅⋅+++n n n n n n n n nnf f f f （）（）（）（）（ 故)(41)1()31()21()1(*N n n n f f f f ∈+>+⋅⋅⋅+++………….……………14分。

四川省雅安市2017届高三数学下学期第三次诊断考试试题理（扫描版）雅安市高中2014级第三次诊断性考试数学试题(理科)参考答案及评分意见一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)二、填空题（每小题5分，共20分）13.4 14.40 15.27 个 16.三、解答题17. 解：（1）设等差数列{}的公差是．由已知 ...........2分，得， .........4分数列{}的通项公式为……………6分（2）由数列{ }是首项为1，公比为的等比数列，，，………………9分………………10分………………11分当………………12分18.解 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：……………2分将2×2列联表中的数据代入公式计算，得. ……………4分因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关． ……………6分 (2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为41. ……………7分由题意～，从而X 的分布列为……………10分E (X )＝np ＝3×41＝43，D (X )＝np (1－p )＝3×41×43＝169. ……………12分 19．（1）证明：设O 为AC 与BD 的交点，作DE ⊥BC 于点E ． 由四边形ABCD 是等腰梯形得CE==1，DE==3，所以BE=DE ，从而得∠DBC=∠BCA=45°，所以∠BOC=90°，即AC ⊥BD ．由PA ⊥平面ABCD 得PA ⊥BD ，因为AC ∩PA=A ，所以BD ⊥平面PAC ． ……………6分 （2）解：方法一：作OH ⊥PC 于点H ，连接DH ． 由（1）知DO ⊥平面PAC ，故DO ⊥PC ． 所以PC ⊥平面DOH ，从而得PC ⊥OH ，PC ⊥DH ．故∠DHO 是二面角A ﹣PC ﹣D 的平面角，所以∠DHO=60°． 在Rt △DOH 中，由DO=，得OH=．在Rt △PAC 中，=．设PA=x ，可得=．解得x=，即AP=． ……………12分方法二：（2） 由（Ⅰ）知AC ⊥BD ．以O 为原点，OB ，OC 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：A （0，﹣，0），B （，0，0），C （0，，0），D （﹣，0，0）．由PA ⊥平面ABCD ，得PA ∥z 轴， 故设点P （0，﹣，t ） （t ＞0）．设=（x ，y ，z ）为平面PDC 的法向量，由，知取y=1，得.又平面PAC的法向量为=（1，0，0），于是．解得t=，即AP=．……………12分20.解：（1）由已知可得解得，………2分故椭圆的标准方程为．………4分（2）设，，联立方程消去得．………5分当，即时，，．………6分所以，．当时，线段的垂直平分线显然过点因为,所以，当时，取到等号.则: ………………………8分当时，因为线段的垂直平分线过点，所以，化简整理得．由得．又原点到直线的距离为．所以而且，则．………10分所以当，即时，取得最大值．………11分综上的最大值为，此时直线: 或或………12分21．解：（1）由题可知的定义域为，因为，所以又因为直线的斜率为，∴，解得………3分（2）由（1）知：，当时，，所以在上单调递增；………4分当时，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减. ………5分综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. ………6分（3）由（2）可知，当时，在上单调递增，而，故在上没有零点；………7分当时，在上单调递增，而，故在上有一个零点；………8分当时，①若，即时，在上单调递减，∵，∴在上没有零点；②若，即时，在上单调递增，在上单调递减，而，，，若，即时，在上没有零点；若，即时，在上有一个零点；若，即时，由得，此时，在上有一个零点；由得，此时，在上有两个零点；③若，即时，在上单调递增，∵，，∴在上有一个零点. ………11分综上所述：当或时，在上有一个零点；当或时，在上没有零点；当时，在上有两个零点. ………12分选考题：22、解:(1)由消去参数，得，即曲线的普通方程为……………2分由，得，(*)将代入(*)，化简得，……………4分所以直线的倾斜角为……………5分(2)由(1)知，点在直线上，可设直线的参数方程为 (为参数)，即 (为参数)，………………7分代入并化简，得，，设两点对应的参数分别为，则，，所以……………10分23解:(1)(ⅰ)当时，原不等式可化为，解得………………2分(ⅱ)当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式无解；………………4分(ⅲ)当时，原不等式可化为，解得……………5分综上，. ………………6分(2)证明：因为，所以，要证，只需证，即证，即证，即证，即证.因为，所以，所以成立，所以原不等式成立. ……………10分。

雅安市高中级第三次诊断性考试数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}0,1,2,3,4U =----，集合{}0,1,2M =--，{}0,3,4N =--，那么()U C M N 为（ ）A ．{}0B ．{}3,4--C ．{}1,2--D ．∅ 2．复数3i2iz -+=+的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i --3．若()y f x =是定义域在R 上的函数，则()y f x =为奇函数的一个充要条件为（ ） A ．()00f = B ．对x R ∀∈，()0f x =都成立 C ．0x R ∃∈，使得()()000f x f x +-= D ．对x R ∀∈，()()0f x f x +-=都成立 4．cos xdx π⎰（ ）A ．1B ．2-C ．0D ．π5．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．4i ≤B ．5i ≤C ．6i ≤D ．7i ≤ 6．将函数()sin 43f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位后关于直线12x π=对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．524π C ．4π D ．724π 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3πB ．103π C ．6π D ．83π8．对一切实数x ，不等式210x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞- B ．[)2,-+∞ C ．[]2,2- D ．[)0,+∞9．半径为2的球内有一底面边长为2的内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），则球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（ ）A．(16π B．(16π C．(82π- D．(82π 10．若ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin 23sin b A a B =，且2c b =，则ab等于（ ） A ．32 B ．43CD11．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且当PA 与抛物线相切时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） ABC1 D1- 12．已知函数()ln f x x =，()2042g x x ⎧⎪=⎨--⎪⎩()()011x x <≤>则方程()()1f x g x +=实根的个数为（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．变量x ，y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数3z x y =+的最小值 ．14．展开式5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项为 ．15．设a ，b ，{}1,2,3,4,5,6c ∈，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有 个．16．直线0ax by c ++=与圆O ：2216x y +=相交于两点M 、N .若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=- （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 18．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.（1）根据已知条件完成上面的22⨯列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 分布列，期望()E X 和方差()D X .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，24BC AD ==，AB CD ==（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若二面角A PC D --的大小为60︒，求AP 的值.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的短轴长为2，离心率为2，直线l ：y kx m=+与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线通过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）当AOB （O 为坐标原点）面积取最大值时，求直线l 的方程. 21．已知函数()21ln 2f x x ax =-（a R ∈）. （1）若()f x 在点()()2,2f 处的切线与直线220x y ++=垂直，求实数a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）讨论函数()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上零点的个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角；（2）设点()0,2P ，直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =+（1）求不等式()211f x x <+-的解集M ； （2）设a ，b M ∈，证明：()()()f ab f a f b >--.雅安市高中2014级第三次诊断性考试 数学试题（理科）参考答案及评分意见一、选择题1-5:BDDCA 6-10:BABBC 11、12：CB二、填空题13．4 14．40 15．27个 16．[]6,10-三、解答题17．解：（1）设等差数列{}n a 的公差是d ．由已知()()382726a a a a d +-+==- 3d ∴=-2712723a a a d ∴+=+=-m ，得 11a =-， ∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，1n n n a b q -∴+=，1n n n b q a -∴=-=132n n q --+，()14732n S n ∴=++++-⎡⎤⎣⎦()211n q q q -+++++∴当1q =时，()312n n n S n -=+232n n +=当1q ≠时，()312n n n S -=+11nq q -- 18.解 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22⨯列联表如下：将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++1003.03033=≈.因为3.030 3.841<，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14. 由题意13,4X⎛⎫⎪⎝⎭，从而X 的分布列为[来源:学&科&网]()13344E X np ==⨯=， ()()1D X np p =-13934416=⨯⨯=.19．（1）证明：设O 为AC 与BD 的交点，作DE BC ⊥于点E ． 由四边形ABCD 是等腰梯形得12BC ADCE -==，3DE ==， 所以BE DE =，从而得45DBC BCA ∠=∠=︒，所以90BOC ∠=︒，即AC BD ⊥． 由PA ⊥平面ABCD 得PA BD ⊥，因为ACPA A =，所以BD⊥平面PAC ．（2）解：作OH PC ⊥于点H ，连接DH ． 由（1）知DO ⊥平面PAC ，故DO PC ⊥．所以PC ⊥平面DOH ，从而得PC OH⊥，PC DH⊥． 故DHO ∠是二面角A PC D --的平面角，所以60DHO∠=︒． 在Rt DOH中，由DO =，得3OH =．在Rt PAC 中，PA OH PC OC =． 设PA x =6=11x =，即11AP =． 20.解：（1）由已知可得222,222,c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，21b =，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得()22124kxkmx ++2220m +-=．当()228210k m =-+>，即2221k m >-时，122412km x x k -+=+，21222212m x x k -⋅=+．所以1222212x x km k +-=+，122212y y m k+=+． 当0k =时，线段AB 的垂直平分线显然过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭12AOBSAB m =⋅=12m ⋅⋅=因为()1,0m ∈-()0,1,所以()20,1m ∈AOBS≤=，当212m =时，取到等号.则l :2y =±当0k ≠时，因为线段AB 的垂直平分线过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以121212202y y x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭+-1k=-，化简整理得2212k m +=． 由222212,21,k m k m ⎧+=⎪⎨+>⎪⎩得02m <<． 又原点O 到直线AB的距离为d =．12AB x =-=所以12AOBSAB d =⋅=而2212k m +=且02m <<，则AOBS =02m <<.所以当1m =，即212k =时，AOB S 取得最大值．综上AOB S的最大值为2，此时直线l : 12y x =+或12y x =-+或2y =±21．解：（1）由题可知()f x 的定义域为()0,+∞，因为()21ln 2f x x ax =-，所以()1f x ax x '=-=21ax x-又因为直线220x y ++=的斜率为2-，()14212a-∴-⨯=-，解得0a = （2）由（1）知：()1f x ax x '=-=21ax x-，当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增； 当0a >时，由()0f x '>得1x a<，由()0f x '<得1x a >，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减.综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减.（3）由（2）可知，当0a <时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，而()1102f a =->，故()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点；当0a =时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，而()1102f a =-=，故()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点； 当0a >时，1≤，即1a ≥时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，()1102f a =-<，()f x ∴在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点；②若21e <≤，即411a e <<时，()f x在⎡⎢⎣上单调递增，在2e ⎤⎥⎦上单调递减，而()1102f a =-<，11ln 22f a =--，()24122f e ae =-， 若11ln 2f a a ⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭102<，即1a e >时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点； 若1ln 2f a =--102=，即1a e =时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点； 若1ln 2f a =--102>，即1a e <时，由()241202f e ae =->得44a e <，此时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点；由()241202f eae =-≤得44a e≥，此时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有两个零点； ③若2e ≥，即410a e <≤时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，()1102f a =-<，()241202f e ae =->，()f x ∴在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点. 综上所述：当440a e ≤<或1a e =时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点；当0a <或1a e>时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点；当441a e e≤<时，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有两个零点. 选考题：22、解: (1)由3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α，得()f x ，即曲线C 的普通方程为2219x y +=由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，(*) 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入(*)，化简得2y x =+， 所以直线l 的倾斜角为4π (2)由(1)知，点()0,2P 在直线l 上，可设直线l 的参数方程为cos 42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 即2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，代入2219x y +=并化简，得25270t ++=，(245∆=-⨯271080⨯=>，[来源:学|科|网]设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则1205t t +=-<，122705t t ⋅=>，10t ∴<，20t < 所以PA PB +=12t t +=()125t t -+=23解:(1)(ⅰ)当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1x <-(ⅱ)当112x -<<-时，原不等式可化为122x x +<--，解得1x <-，此时原不等式无解； (ⅲ)当12x ≥-时，原不等式可化为12x x +<，解得1x > 综上，{1M x x =<-或}1x >.(2)证明：因为()()f a f b --=11a b +--+≤()11a b a b +--+=+，所以，要证()()()f ab f a f b >--，只需证1ab a b +>+， 即证221ab a b +>+，即证2221a b ab ++>222a ab b ++，即证222210a b a b --+>，即证()()22110a b -->.因为a ，b M ∈，所以21a >，21b >，所以()()22110a b -->成立，所以原不等式成立.。